Giáo trình thực tại ảo BKHN Bài 11 Hình đặc Solid

 Mô tả hữu hạn Finite describability – Tập các điểm được sử dụng mô hình hoá hình đặc phải mô tả được bởi dữ liệu hữu hạn để đảm bảo chúng có thể biểu diễn bằn máy tính với bộ nhớ hữu h

Bài 11

Hình đặc - Solid

Khái niệm B-rep

CSG Spartial

Hình đặc - Solid

Các tính chất cơ bản của SOLID

 Rigidity Tính cứng– tính chất đẽ dàng có được nếu khoảng cách và

góc giữa các điểm trong không gian Euclidean là cố định Các chuyển động cứng đảm bảo cho khoảng cách và các góc này không đổi

 Như vậy các trường hợp khi cho chuyển động cứng, không gian tạo thành có thể được dùng để mô hình hoá các đối tượng

 Finiteness Tính hữu hạn– đối tượng vật lý phải là hữu hạn Để đảm

bảo tính hữu hạn đó cần có đường biên cho không gian

 Tính đặc - Solidity – mô hình hình đặc phỉ là đồng nhất, không có các

mặt hay các cạnh rời Chúng ta coi đây là một trong những tính hợp lệ của không gian 3D

 Hoạt động với phép toán Boolean -Closure under Boolean operations

– Phép toán Boolean áp dụng lên hình được phải tạo ra hình đặc

– Các ưu điểm của phép toán Boooolean

Kết quả của phép toán Boolean có thể được dùng làm đầu vào cho phép toán Booolean khác Như vậy hình đặc có thể dần dần được xây dựng trên cơ

sở các phép toán Bool

Mô hình trong tiến trình sản xuất sử dụng

 Mô tả hữu hạn Finite describability – Tập các điểm được sử dụng mô hình hoá hình đặc phải mô tả được bởi dữ liệu hữu hạn để đảm bảo chúng

có thể biểu diễn bằn máy tính với bộ nhớ hữu hạn

 Khối đa diện có thể được mô tả bằng tọa độ đỉnh và thông tin kết nối nhằm xác định cạnh và các mặt Tuy nhiên mô hình đa diện chỉ là trường hợp nhỏ

Vì vậy chúng ta cần 1 mô hình tương tự với các bề mặt cong

 Biên xác định - Boundary determinism – Hình đặc phải được mô hình hoá trên tập rõ ràng xác định bởi các biên Phương pháp biểu diễn Breps dựa trên các mặt biên là một trong những phương pháp phổ biến biểu diễn hình đặc

Mô hình hóa hình đặc

 Mô hình hoá hình đặc ( mô hình hoá 3D) các thực thể vật lý là phương pháp biểu diễn dựa trên mô tả các thực thể dưới dạng các mô hình toán học, các ký hiệu, s ơ đồ

 Có 2 phương pháp nền tảng cho việc phân loại các cách biểu diễn:

– Phương pháp mô tả biên-Boundary Representations (B-reps)

mô tả các đối tượng như là tập các bề mặt phân cách hình đặc với môi trường của chúng

– Phương pháp liệt kê không gian - Space Partitioning

representations mô tả các đối tượng dưới dạng tập các khối

nhỏ đơn vị liên tiếp không chồng nhau tạo nên

 V í dụ

– Biểu diễn đa giác - Polygonal Representations

– Hình học cấu trúc khối rắn - Constructive Solid Geometry

3D Modelling

Tessellation or polygonisation

Polygonal Representation

B-rep or boundary representation model

Geometry defined by the sub-space bounded by sets of planes and surfaces

Sơ đồ biểu diễn

 Sơ đồ biểu điẽn - Representation Schemes là cách thức biểu diễn phương pháp mô hình hoá các đối tượng thông qua các thành

phần của chúng nhằm đảm bảo độ chính xác rõ ràng cho các mô

tả Đồng thời đảm bảo tính duy nhất của kết quả

 Ví dụ: sơ đồ biểu diễn cho hình vẽ trên

1 Mỗi đa giác cấu tạo bởi tập các đỉnh theo thứ tự tuỳ ý

2 Mỗi 1 đỉnh được biểu diễn với cặp 2 số thực mô tả tọa độ của đỉnh đó trong 1 bản vẽ nào đó

3 Danh sách (chuỗi các phần tử ) chứa tất cả các cặp số thực

Như vậy sơ đồ biểu diễn đa giác là cấu trúc các ký tự danh sách các cặp

số thực sau::

x1,y1 ( ); x2 ,y2( ) xn,yn( )

Ứng dụng của sơ đồ biểu diễn với các phương pháp mô hình hóa

C ác thuộc tính của sơ đồ biểu diễn

 Miền-Domain – là mức độ phủ hình học của sơ đồ biểu diễn Nó chỉ ra

loại đối tượng có thể được biểu diễn bằng sơ đồ

 Tính hợp lệ Validity – chỉ ra các biểu diễn có tương ứng với các đối

tượng trong miền-domain không? các dữ liệu sai có là nguyên nhân dẫn đến các treo hệ thống khi biểu diễn đối tượng

 Tính trong sáng -Non-ambiguity

– Dầy đủ - completeness mỗi biểu diễn phải phải tạo ra đối tượng hoàn

chỉnh đầy đủ dữ liệu và thực hiện mọi phép toán Nó là cơ sở cho việc

biểu diễn và tính toán các thuộc tính cho đối tượng 1 cách tự động

– Duy nhất –Uniqueness biểu diễn hợp lệ tương ứng với 1 đối tượng duy

nhất trong miền

Thuộc tính bổ xung của sơ đồ biểu diễn

 Xúc tích Conciseness – Gọn How large are the representations?

Representations in verbose schemes consume large amounts of

memory, and are difficult to transmit rapidly in distributed

environments

 Dễ xây dựng-Ease of construction – How hard is it to construct a valid

representation? Representations in verbose schemes with complex validity conditions are difficult to construct, especially by humans

 Khả hợp với các ứng dụng-Suitability for applications – Are there

good application algorithms that operate on the representations of the scheme? Experience shows that representation schemes are not

uniformly suitable for all applications Many modeling systems use

multiple representation schemes, and convert between them as

needed, depending on the specific computations they support

Semi-algebraic half space

Bán đại số Nửa không gian R-set

 Nửa không gian-Half Space là phần không

gian vô hạn được giới hạn bởi 1 bề mặt

 {p : f (p) <= 0}

 ax + by + cz + d <= 0

 Tập bán đại số - semi-algebraic set là kết

quả thu được của các phép toán tập hợp

trên các nửa không gian half spaces

 r-sets là các tập bán đại số chính quy, bao

đóng

 Chúng phải đảm bảo có các tính chất :cứng-

rigid, hữ hạn-finite, đặc-solid, và thoả mãn

các phép tóan Boolean Là độc nhất dưới

đường bao

 phương pháp mô hình hóa các đối tượng

cứng đồng nhất

Phương pháp biểu diễn biên B-rep

 B-REP biểu diễn các đối tượng

vật lý thông qua không gian được

bao bởi các mặt kín có hướng

 Mô hình hoá được biểu diễn bằng

đồ thị mô tả cấu trúc liên kêt gồm

Các thành phần của Brep

Face-Edge

FACE

1 Mỗi mặt - Face là Tập con của các biên tôpo hình đặc

2 Tập kết hợp tất cả các mặt tạo thành biên cho hình đặc

3 Moĩi mặt chỉ là tập con duy nhất của 1 cá thể bề mặt

4 Mỗi Mặt phải có tính đồng nhất2D, không có các cạnh hay đỉnh rờis

5 Các mặt phải được kết nối

6 các mặt chỉ bị tách ra tại các cạnh hay đỉnh nút

Nếu các tính chất trên được thoả mãn thì mặt đó là biên của hình đặc

Edge

1 Cạnh là tập con biên của mặt

2 Tập tất cả các cạnh có liên quan đến mặt tạo thành biên của mặt

3 Each edge is a subset of the intersection of two primitive surface

instances

4 An edge is a compact, connected 1-manifold (Some schemes require that

an edge be homeomorphic to a line segment.)

5 Edges are quasi-disjoint, i.e., meet only at vertices

6 An edge is the largest subset of the boundary of a face that satisfies all the previous conditions

Tính hợp lệ của B-Reps

 The edges associated with a face must form a loop or closed circuit, to

ensure that they enclose a 2-D area This condition is satisfied if and only if each vertex in a face belongs exactly to two of the face’s edges

 The faces must form one or more closed surfaces or shells, to ensure that

they enclose a 3-D volume This condition is satisfied if and only if each edge belongs to an even number of faces (Had we restricted the domain to manifold polyhedra, an edge would have to belong exactly to two faces.)

 Each 3-tuple of coordinates must correspond to a distinct point in 3-space

 Edges must either be disjoint or intersect at a common vertex, otherwise

there would be missing vertices in the representation

 Similarly, faces must either be disjoint or intersect at a common edge or

vertex

 where f, e and v denote the number of faces, edges and vertices, and h is

the number of holes

Hình học cấu trúc đặc

CSG-ConstructiveSolid Geometry

 Constructive solid geometry (CSG) là phương pháp biểu diễn các đối tượng solid của Requicha, Voelcker tại trường ĐH Rochester vào cuối thập kỷ 70s

 CSG là phương pháp định nghĩa các đối tượng bởi chuỗi các các phép toán trên đối tượng đó

 các phép toán trên đối tượng được sử dụng trong CSG là các phép toán tập hợp - Boolean

 Nguyên lý cơ bản của CSG là sử dụng các toán tử regularized

Boolean như hợp union (OR), giao intersect (AND), và trừ difference (AND + NOT) trên các đối tượng tượng đặc cơ sở primitive solids

để tạo thành các đối tượng đặc phức tạp hơn

 Chuỗi các phép toán thường được lưu trữ theo cây dữ liệu

CSG Primitives

(Các thực thể cơ sở)

 Được xây dựng trên tập nhỏ các tham biến do người dùng định nghĩa để xác định mô hình hình học, vị trí và hướng tạo nên các đối tượng cơ sở

CSG Boolean Operations

 3 phép toán cơ bản

 Union (Phép hợp)

 Phép hợp - Union của đối tượng A và đối

tượng B lf đối tượng được hình thành bởi

phần không gian hợp thành từ 2 đối tượng đó

 X = A + B

 Tính chất : A + B = B + A

Phép giao

Intersection

 Giao - intersection c ủa đối

tượng A v à đối tượng B l à phần không gian được hình

thành từ phép toán AND gi ữa

2 đối tượng

 X = A  B

 Tính chất:

 A  B = B  A

Substract

( phép trừ- Difference )

 đối tượng X l à ph ần trừ của giữa A và B

nếu mọi điểm của X chứa trong A mà không

CSG by boolean operations

Tree Structure in CSG

(Cây cấu trúc trong CSG)

 Phép toán Bool trên các đối tượng hình học nhằm tạo ra các đối tượng mới

 Cấu trúc cây nhị phân có thể được sử dụng như ngôn

ngữa để biểu diễn hình học cấu trúc đặc

 Mỗi cây con tại các nút biểu diễn hình đặc là kết quả từ các phép toán Boolean và các phép biến đổi hình học lớp dưới

CSG Tree

Extensions of CSG

Mở rộng của CSG

 Hai kỹ thuật ứng dụng cho việc tạo ra các

thực thể thể hình học rắn cơ sở làm dữ

liệu đầu vào cho cây CSG là phép quay và

phép tịnh tiến lathing - extrusion

 Lathing is the CAD equivalent of turning a

part on a lathe any object whose outline

is constant as it spins about one axis is

allowed

 Extrusion is the CAD equivalent of a cookie

cutter any object formed by the linear

translation of a closed 2D figure is allowed X

CSG Based

Sweep Based

Geometric Modeling System

3D Modeling with Polygons

 We construct 3D models using groups of polygons

 Each polygon is planar  we need a large number of small polygons to give the impression of curved surfaces:

48 polygons 120 polygons 300 polygons 1000 polygons

Polygon Mesh

Voxel - Spartial

 Here the idea is to partition space into regions called cells, and to

enumerate those cells which are filled with material and therefore

constitute the object being represented

 Decompositions into regular, fixed-size cells are called spatial

enumerations In 2-D, the primitive square cells are sometimes called pixels (an abbreviation for “picture elements”), and in 3-D, cubical

cells are called voxels (an abbreviation for “volume elements”)

 Regular decompositions usually represent only “staircase”

approximations of the desired objects

 Hierarchical decompositions with cells of varying sizes are smaller than their regularcounterparts, because small cells are used only

where required for an accurate approximation

 Decompositions into cells with curved boundaries that follow closely the object’s shapealso are useful, for example for finite-element

analysis

 2-D quadtrees are used extensively in image processing

Hierarchical

decompositions

 with cells of varying sizes are smaller than their regularcounterparts, because small cells are used only where required for an accurate approximation

 2-D quadtrees are used extensively in

image processing

 The 3-D analogs of quadtrees are called

octrees Both quadtrees and octrees are

special cases of k-d trees, which are

studied in the theoretical computational geometry literature

 These are trees with k branches per grey node, and with cells of dimension d

Octree

Quadtree

Partially occupied (further decomposition required)

So sánh CSG và Voxel

3D Modelling

CSG - constructive solid geometry

3D Objects defined as boolean operations

on solid primitives

Volumetric model

3D Object is a collection of volume

elements or voxels which flag spatial

occupancy in a discrete region