Chứng minh rằng a Tứ giác OHBC là tứ giác nội tiếp.. b BK là tia phân giác của góc HBM... Người ra đề Nhóm chuyên môn Ban giám hiệu ký , ghi rõ họ tên ký và xác nhận.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN
MÔN: TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút
(Đề này gồm 5 câu , 1 trang)
Câu 1 (2 điểm)
Tính giá trị của biểu thức
ab
b a P
+
−
=
2 1
1
x x
x x
a
−
−
− +
x
x b
2
1−
2
2 <x<
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình x2 +4x+m+1=0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2sao cho
3
10 1
2 2
x
x x
x
Câu 3 (2 điểm)
a) Giải phương trình x2 +5+3x= x2 +12+5
b) Cho x>0,y >0 Chứng minh rằng
xy y
1 )
1 (
1 )
1 (
1
2
Câu 4 (3 điểm)
Từ điểm M ngoài đường tròn (C) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C ) với đường tròn Gọi H là hình chiếu của A trên MO , K là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn (O) Chứng minh rằng
a) Tứ giác OHBC là tứ giác nội tiếp
b) BK là tia phân giác của góc HBM
Câu 5 (1 điểm)
Tìm các số tự nhiên x, sao cho y x2 +y2 = x+y+8
Trang 2
-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH 10 CHUYÊN
Năm học : 2013-2014
(hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
1
(2 điểm)
−
−
− + +
−
−
−
− +
=
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
P
2 2
2 2
2
1
1 1
:
1 1
1 )
1 (
1 1
1 :
) 1 (
1 1
1
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
=
−
−
− +
− +
−
−
−
−
− +
−
−
− +
=
x x
x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
1.0 điểm
Vậy P=1
0.5 điểm
2
(2 điểm)
a (0.5 điểm)
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi ∆, =3−m=0
⇔m=3 0.5 điểm
b (1.5 điểm)
Điều kiện để phương trình có nghiệm là ∆, ≥0⇔m≤0
Theo định lý Viét ta có
+
=
−
= +
1
4 2
1
2 1
m x x
x x
0.5 điểm
Khi đó
3
10 2
) (
3
10
2 1
2 1
2 2 1 1
2 2
x x
x x x
x x
x x
x
0.5 điểm
2 3
10 1
) 1 ( 2 ) 4
=
⇔
= +
+
−
−
m
m
a (1 điểm)
Trang 3B
K
C N
x2 +5+3x= x2 +12+5⇔ x2 +5−3+3x−6− x2 +12+4=0
0 4 12
2 )
2 ( 3 3 5
4
2
2 2
2
= + +
−
−
− + +
+
−
⇔
x
x x
x
0 4 12
2 3
3 5
2 )
2
(
2
+ +
+
− + + +
+
−
⇔
x
x x
x
Từ phương trình suy ra
3
5 5
3x> ⇔x> , do đó
4 12
2 3
5
2
2
+
>
+
+
+
x
x x
x
, vậy biểu thức trong ngoặc luôn dương
0.5 điểm
b (1 điểm)
Bất đẳng thức tương đương với
(1+xy)(2+2x+2y+x2 +y2)≥(1+2x+x2)(1+2y+ y2) 0.25 điểm
0 ) 1 ( ) ( 0
1
2 2 3
Bất đẳng thức cuối đúng do x>0,y >0 0.25 điểm
Dấu ''='' xảy ra khi 1
=
=
y x xy
y x
0.25 điểm
M
H O
Trang 43
(3 điểm)
a (1,5 điểm)
+ Từ MAB∆ đồng dạng với ∆MCA suy ra MA2 =MB.MC (1)
+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông MAO ta có MA2 =MH.MO
(2)
0.5 điểm
+ Từ (1) và (2) ta có
MB
MH MO
MC MO
MH MC
+ Từ đó suy ra ∆MCO đồng dạng với MHB∆
0.5 điểm
O C M B H
Mˆ = ˆ
⇒ , mà M HˆB+B HˆO=1800 nên M CˆO+B HˆO=1800
0.25 điểm
b (1.5 điểm)
Gọi N là giao điểm thứ hai của MO với (O) Khi đó
M B K M N C N C O C OˆH
2
1 ˆ ˆ
ˆ = = = ( Tính chất góc ngoài của tam giác ) (3)
0.5 điểm
Tứ giác OHBC nội tiếp nên C OˆH =M BˆH ( cùng bù với H ˆ ) (4) B C 0.5 điểm
Từ (3) và (4) suy ra M BˆH =2M BˆK , hay BK là tia phân giác của H ˆ B M 0.5 điểm
4
(1 điểm)
Ta có x2 +y2 = x+y+8⇔4(x2 +y2)=4(x+ y+8)
2 2 2
) 1 2
Vì x,y∈N, kết hợp với )(∗ suy ra
=
−
=
− 5 1 2
3 1 2
y
x
hoặc
=
−
=
− 3 1 2
5 1 2
y
=
=
⇔
3
2
y
x
hoặc
=
= 2
3
y
x
0.25 điểm Vậy có hai cặp số (x;y) thỏa mãn là (2;3) và (3;2) 0.25 điểm
Trang 5
Người ra đề Nhóm chuyên môn Ban giám hiệu
(ký , ghi rõ họ tên) ( ký và xác nhận)