SKKN xét trường hợp đặc biệt để phân trường hợp trong giải toán

Đa phần học sinh và có giáo viên còn nhiều lúng túng khi đọc một lời giải của một bài toán có chia trường hợp, họ băn khoăn “không hiểu vì sao định lí đó, hay bài tập đó khi chứng minh h

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Môn toán là môn học có tính thực tế rất cao Nó ảnh hưởng lớn đến đời sống con người, ảnh hưởng đến các môn khoa học khác Một nhà tư tưởng Anh đã nói:

Ai không hiểu biết Toán học thì không thể hiểu biết bất cứ khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình Vì thế dạy học môn toán luôn được mọi ngành giáo dục và mọi quốc gia coi trọng Nhất là trong thời đại ngày nay

Trong dạy và học toán ở cấp học THCS có lẽ việc hướng dẫn học sinh giải quyết tìm lời giải một bài toán là khâu then chốt và khó khăn nhất Đặc biệt là các bài toán phải phân trường hợp trong khi giải Đa phần học sinh và có giáo viên còn nhiều lúng túng khi đọc một lời giải của một bài toán có chia trường hợp, họ băn khoăn “không hiểu vì sao định lí đó, hay bài tập đó khi chứng minh hay giải lại phải chia làm nhiều trường hợp thế nhỉ?” và không hiểu bằng cách nào mà người giải lại phát hiện ra là phải phân trường hợp như thế; hoặc khi họ tự giải thì không xem xét đến các trường hợp riêng và nên bỏ quên mất các trường hợp phải chia ra

để lời giải đầy đủ dẫn đến lời giải không đầy đủ, thiếu tính chính xác

Khi xem xét các trường hợp riêng trong giải toán chúng ta sẽ thu được rất nhiều kết quả thú vị về bài toán, mới hiểu được có thực sự là lời giải đã đúng cho mọi trường hợp khi các yếu tố của bài toán ở dạng tổng quát cũng như mọi trường hợp đặc biệt Ngoài ra nó còn góp phần rất lớn vào việc phát triển tư duy, sự sáng tạo cho học sinh; làm cho học sinh linh hoạt trong suy nghĩ và cẩn thận thận hơn trong việc giải toán

Chính vì lẽ đó tôi chọn đề tài “Xét trường hợp đặc biệt để phân trường hợp trong hướng dẫn học sinh giải toán” với mục đích giúp học sinh và giáo viên

THCS hiểu rõ về lời giải và hướng dẫn giải các bài toán phân trường hợp trong bậc học THCS, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán nói riêng và dạy học nói chung Bằng phương pháp nghiên cứu tài liệu, điều tra, tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong phạm vi trường THCS Gia Phong năm học 2010 -2011

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

Bằng phép suy luận đặc biệt hóa chúng ta sẽ xem xét được các trường hợp riêng của bài toán đó là các vị trí đặc biệt, sự suy biến của các yếu tố và các đối tượng… Từ đó phát hiện ra được những điều bất hợp lý của lời giải bài toán trong trường hợp tổng quát để phân trường hợp giải chính xác bài toán cũng như hướng dẫn học sinh hiểu và giải bài toán đó một cách đầy đủ không bỏ sót các trường hợp riêng của nó

2 Cơ sở thực tiễn

Kết quả điều tra khi chưa áp dụng đề tài cho thấy với bài toán “Chứng minh rằng điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.” hầu hết học sinh khối lớp 7 (57/57 học sinh) và lớp 8 (50/51 học

sinh) tham gia giải chỉ giải mỗi trường hợp tổng quát mà không chú ý gì đến điểm

là trung điểm của đoạn thẳng Còn khi đưa ra lời giải đầy đủ của bài toán và hỏi

“Tại sao giải bài toán này lại phải chia hai trường hợp? Đa số học sinh khối lớp 8

không có câu trả lời số còn lại trả lời không chính xác

Thực trạng trong giải toán và hướng dẫn học sinh giải toán hiện nay có không

ít học sinh và các giáo viên chỉ thực hiện hướng dẫn học sinh trên các trường hợp tổng quát, sau khi hoàn thành lời giải của bài toán trên dạng tổng quát rồi là nhận xét, rồi kiểm tra tính chính xác của lời giải trong trường hợp đó rồi kết thúc bài toán ở đó Như thế đối với các bài toán không có trường hợp riêng thế là hoàn thành lời giải, nhưng nếu đó là bài toán có trường hợp riêng thì chưa thể hoàn thành được và sẽ mắc sai lầm Chẳng hạn như ở các bài toán sau:

Bài toán 1:

Chứng minh rằng điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Nếu không chú ý tới trường hợp riêng giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải như sau:

Kẻ đoạn thẳng nối M với trung điểm I của đoạn thẳng AB

Ta có MAI MBI (trường hợp C.C.C), Suy ra

180

0

90

Nhận xét:

Trong trường hợp này M không thuộc AB nên lời giải hoàn toàn đúng nhưng

ta thấy khi M thuộc đoạn thẳng AB thì liệu cách chứng minh này có đúng không?

Rõ ràng không thể đúng được vì khi đó làm gì có tam giác AMI và tam giác BMI

Vì thế lời giải cho bài toán này không thể chỉ có thể này được mà phải chia ra hai trường hợp M nằm trên đoạn thẳng AB và M không nằm trên đoạn thẳng AB

Bài toán 2:

Chứng minh rằng trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau

Với bài toán này học sinh nhiều em sẽ giải như sau:

Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có:

Suy ra tam giác ODC cân tại O, nên OD = OC (1)

Suy ra tam giác OAB cân tại O, nên OA = OB (1)

Mặt khác A thuộc cạnh OD, B thuộc canh OC, kết hợp với (1) và (2) suy ra AD =

BC

Nhận xét:

Với lời giải trên ta thấy không thể đúng được khi hình thang cân ABCD có

AD // BC (hình thang đặc biệt) do đó không thể là lời giải cho bài toán đặt ra được

mà lời giải bài toán này phải chia làm hai trường hợp, một trường hợp AD // BC và một trường hợp AD cắt BC

M

B

A

I

O

B

A

Bài toán 3:

Chứng minh rằng trong một đường tròn số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Trong bài toán này lời giải của trường hợp hình tổng quát (Tâm O của đường tròn nằm trong góc BAC nội tiếp) như sau:

Nối A với O kéo dài cắt (O) tại D khi đó ta có

Nối O với B và C ta có OBA và OAC cân tại O

Suy ra OAB = OBA , lại có BOD là góc ngoài đỉnh O của tam giác AOB

sđ BD, suy ra sđ OAB =1

2 sđ BD (1)

Tương tự như trên ta dễ dàng chứng minh được sđ OAC =1

2 sđ CD (2)

Từ (*), (1), (2) ta suy ra sđ BAC =1

2 sđ BDC

Nhận xét:

Với lời giải trên rõ ràng chỉ có một trường hợp tâm O nằm trong góc nội tiếp được giải quyết Còn lại, trường hợp tâm đường tròn nằm trên một cạnh của góc và trường hợp tâm đường tròn nằm ngoài góc thì chưa được giải quyết

Bài toán 4:

Chứng minh rằng số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số

đo cung bị chắn

Nếu không chú ý tới trường hợp riêng giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh giải như sau:

Vẽ đường cao OH của tam giác cân OAB, ta có:

BAx = O1 (hai góc cùng phụ với OAB)

A

O

D

C

B

m

1

2

H

A

O

x

Nhưng O1 = 1

2 AOB ( tam giác OAB cân tại O và OH là đường cao, nên là

đường phân giác) Suy ra BAx = 1

Mặt khác sđ AOB = sđAmB nên BAx= 1

2 sđAmB (điều phải chứng minh)

Nhận xét:

Rõ ràng trong lời giải này với hình vẽ (O nằm ngoài góc xAB) trong trường hợp tổng quát này là hoàn toàn chính xác nhưng khi tâm O của đường tròn nằm trên dây cung AB thì làm gì có tam giác cân AOB nữa nên làm sao có thể lấy lời giải này cho trường hợp đó được Hay như trường hợp tâm O nằm trong góc xAB thì lời giải trên cũng không thể đúng cho nó được Vì thể nếu không chú ý tới vị trí đặc biệt của điểm O so với góc ABx thì chúng ta sẽ gặp sai lầm trong hướng dẫn học sinh giải bài toán này

3 Giải pháp thực hiện khắc phục thiếu sót

Từ những thực tiễn và các phân tích trên Ta thấy, nếu chỉ thực hiện hướng dẫn học sinh trên các trường hợp tổng quát, sau khi hoàn thành lời giải của bài toán trên dạng tổng quát rồi là nhận xét, rồi kiểm tra tính chính xác của lời giải trong trường hợp đó rồi kết thúc bài toán chưa xét đến các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt của bài toán thì chuyện sai lầm là tất yếu

Để khắc phục sự sai lầm đáng tiếc trong hướng dẫn học sinh giải toán chúng

ta cần chú ý phân tích nghiên cứu lời giải trong trường hợp đặc biệt để phát hiện ra các trường hợp đặc biệt của các yếu tố trong bài toán chẳng hạn như khi hình suy biến, các vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học thay đổi,… phát hiện ra các trường hợp riêng mà lời giải của trường hợp tổng quát hay trường hợp chúng ta đang xét không phải là lời giải cho nó để từ đó phân bài toán thành các trường hợp

để giải Chúng ta hãy xét các bài toán trên theo cách này để có hướng dẫn tìm lời giải chính xác

Bài toán 1:

Chứng minh rằng điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Sau khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải được trường hợp trên, ta cần chú ý cho học sinh trong lời giải đó ta đã chứng minh dựa vào hai tam giác MAI, MBI bằng nhau để chứng minh, nhưng khi M thuộc AB thì không còn

hai tam giác đó Do vậy trường hợp M thuộc đoạn AB ta phải chia riêng ra, khi đó học sinh sẽ giải lại đúng như sau:

a/ Trường hợp M không thuộc AB:

Kẻ đoạn thẳng nối M với trung điểm I của đoạn thẳng AB

Ta có MAI MBI (trường hợp C.C.C), Suy ra

180

0

90

b/ Trường hợp M thuộc AB:

Vì M thuộc AB và M cách đều A, B do đó M là trung điểm của AB nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

Vậy điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

Bài toán 2:

Chứng minh rằng trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau

Với bài toán này sau khi hướng dẫn học sinh sẽ giải được lời giải cho trường hợp trên, giáo viên lưu ý cho học sinh ở đây ta đã dựa vào hai tam giác cân OAB

và ODC để chứng minh Vậy có khi nào không có điểm O không? Học sinh sẽ phát hiện ra ngay trường hợp AD//BC thì không có điểm O Khi đó các em sẽ nhận thấy ngay cách chứng minh trên là không đúng cho trường hợp này từ đó sẽ phân ra thành hai trường hợp để giải và có lời giải đúng đầy đủ như sau:

M

B

A

I

a/ Trường hợp hai cạnh bên AD và BC không song song

Gọi O là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC

Vì ABCD là hình thang cân nên ta có ADC = BCD

Suy ra tam giác ODC cân tại O, nên OD = OC (1)

Suy ra tam giác OAB cân tại O, nên OA = OB (1)

Mặt khác A thuộc cạnh OD, B thuộc cạnh OC, kết hợp với (1) và (2) suy ra AD =

BC

b/ Trường hợp hai cạnh bên song song AD // BC

Vì ABCD là hình thang có hai cạnh bên AD//BC nên theo tính chất của hình thang có hai cạnh bên song song suy ra AD = BC

Vậy trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau

Bài toán 3:

Chứng minh rằng trong một đường tròn số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Với bài toán này sau khi học sinh giải được trường hợp đã nói ở trên (Tâm O của đường tròn nằm trong góc BAC nội tiếp) giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh

và chỉ ra được hai trường hợp tâm O nằm trên cạnh AB, trường hợp tâm O nằm trong góc nội tiếp thì không đúng từ đó học sinh sẽ hiểu cần phải chia thành ba trường hợp và có nhận xét các trường hợp tâm O không nằm trên cạnh AB có thể dựa vào trường hợp tâm O nằm trên cạnh AB để giải và có lời giải đúng như sau:

a/ Trường hợp tâm O thuộc cạnh AB

Nối O với C ta có OAC cân tại O

suy ra OAC = OCA, lại có BOC là góc ngoài

đỉnh O của tam giác AOC nên OAC + OCA = BOC

suy ra sđ CAB =1 sđ BC

O

B

A

A

B

C

O

b/ Trường hợp tâm O nằm trong góc nội tiếp BAC

Nối A với O kéo dài cắt (O) tại D khi đó ta có: BAD DAC BAC (*)

Hai góc BAD và DAC là hai góc có cạnh AD đi qua tâm O nên theo trường

hợp a/ ta có:

2 sđ BD (1)

2 sđ CD (2)

Mà BD + CD = BC (3)

Từ (*), (1), (2) (3) ta suy ra sđ BAC =1

2 sđ BDC

c/ Trường hợp tâm O nằm ngoài BAC

Nối A với O kéo dài cắt (O) tại D khi đó ta có

Hai góc BAD và DAC là hai góc có cạnh AD đi qua tâm O nên theo trường

hợp a/ ta có:

2 sđ BD (1)

2 sđ CD (2)

Mà BD - CD = BC (3)

Từ (*), (1), (2) (3) ta suy ra sđ BAC =1

2 sđ BDC

Vậy trong một đường tròn số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Bài toán 4:

Chứng minh rằng số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số

đo cung bị chắn

Sau khi học sinh học sinh giải được như trên người thày cần cho HS nhận thấy khi tâm đường tròn nằm trên cạnh AB của góc, hay tâm O nằm trong góc xAB

O

A

D

C

B

O

D

C

B

A

thì lời giải đó không thể đúng vì vậy phải chia bài toán này ba trường hợp khi đó học sinh sẽ giải lại đúng như sau:

a/ Trường hợp tâm O nằm ngoài góc xAB

Vẽ đường cao OH của tam giác cân OAB, ta có:

BAx = O1 ( hai góc cùng phụ với OAB)

Nhưng O1 = 1

2 AOB ( tam giác OAB cân tại O và OH

là đường cao, nên là đường phân giác)

Suy ra BAx = 1

2sđAmB

b/ Trường hợp tâm O nằm trên cạnh AB

Vì AB qua O nên AB là đường kính do đó

xAB = 900, mặt khác sđAB = 1800,

do đó sđ xAB = 1

c/ Trường hợp tâm O nằm trong góc xAB

Vì O nằm trong góc xAB nên tia AO nằm giữa tia

Ax và tia AB, kéo dài AO cắt (O) tai điểm D Khi

đó ta có xAB = xAD + DAB

tâm O nằm trên cạnh AD của góc xAD nên theo trường hợp

trên ta có ngay sđ xAD = 1

2 sđAmB

DAB là góc nội tiếp nên có sđ DAB = 1

mà 1

2 sđAmB + 1

2 sđDB =1

2 sđAmB nên suy ra: sđ xAB = 1

2 sđAmB

Vậy số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn

m

1

2

H

A

B

O

x

m

O

D

B

x

A

B

O

4 Kết quả sau một năm thực hiện SKKN

Sau một năm thực hiện SKKN két quả đại bộ phận học sinh đã không còn mắc phải những sai lầm trong việc giải các bài toán phải chia trường hợp

Kết quả khảo sát cuối năm của lớp 7 với bài toán:

Chứng minh rằng điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì cách đều hai mút của một đoạn thẳng đó

Tổng số HS

khảo sát

Học sinh giải đúng Học sinh giải thiếu Học sinh giải sai

- Kết quả khảo sát cuối năm của lớp 8 và lớp 9 với câu hỏi “ Vì sao giải bài toán : Chứng minh rằng trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau lại phải chia thành hai trường hợp hai cạnh bên song song và hai cạnh bên không song song?

A Vì lời giải của trường hợp hai cạnh bên không song song không đúng cho trường hợp hai cạnh bên song song

B Vì lời giải của trường hợp hai cạnh bên song song không đúng cho trường hợp hai cạnh bên không song song

C Vì lời giải của trường hợp hai cạnh bên không song song không đúng cho trường hợp hai cạnh bên song song và lời giải của trường hợp hai cạnh bên song song không đúng cho trường hợp còn lại

- Đáp án là câu trả lời khác” thì 97 em trả lời đúng trong tổng số 101em

đạt tỉ lệ 96%

C KẾT LUẬN

Nghiên cứu các trường hợp đặc biệt để phân trường hợp trong hướng dẫn học sinh giải toán là một vấn đề thật sự quan trọng Khâu này được tiến hành trong bước kiểm tra lời giải ban đầu, không thể coi là nhỏ được, nó góp phần rất lớn vào việc tìm lời giải của một bài toán đặc biệt là các bài toán phải chia trường hợp để giải

Nếu không xem đến các trường hợp đặc biệt trong giải toán thì người thày và học sinh sai lầm trong giải toán và hướng dẫn giải toán sẽ là thường xuyên và một điều chắc chắn là không thể hiểu rõ được bài toán cũng như hiểu sâu thêm trong mỗi bài toán Không thể có được lời giải hoàn chỉnh cho mỗi bài toán mà khi giải phải phân trường hợp

Những kết quả trên đây là quá trình đúc rút kinh nghiệm của bản thân tôi đã được đồng nghiệp trong đơn vị ghi nhận và vận dụng có hiệu quả trong trường THCS Gia Phong trong năm học qua Nó là tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo Do đó có thể áp dụng với mọi điều kiện trong mọi đơn vị Tuy vậy, bài viết vẫn còn nhiều khiếm khuyết, rất mong sự đóng góp các đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn các thày cô giáo trong trường đã giúp tôi hoàn thành đề tài này