CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 MÔN: TOÁN BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN - TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ VÀ TIỆ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT
VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009
MÔN: TOÁN BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN - TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ VÀ TIỆM CẬN HÀM SỐ
I MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
Hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán về tiệm cận, điểm cực đại
và cực tiểu
II KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Quy tắc tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = F(x)
1.1 Quy tắc 1:
- Tìm đạo hàm y’
- Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3…xn
(xi gọi là điểm dừng của y = F(x) nếu y’(xi)= 0)
- Lập bảng xét dấu y’ Từ đó suy ra cực đại, cực tiểu cần tìm
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 với x∈R
Ta có y’= 3x2 – 6x Cho y’= 0 ta có:
3x2 – 6x= 0 => x1= 0, x2 = 2
Lập bảng xét dấu:
y' + 0 - 0 +
y
Vậy hàm số y = x3 – 3x2 đạt cực đại tại M(0,0) và cực tiểu tại N(2,-4)
1.2 Quy tắc 2:
- Tìm đạo hàm y’
- Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3…xn
- Nếu y’’(xi) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu khi x= xi Nếu y’’(xi) < 0, thì HS đạt cực đại tại xi
Ví dụ 2: Cho hàm số y= sin2x – sinx xét trên [0,2π]
y’= 2sinxcosx – cosx = sin2x – cosx
Trang 2y'= 0 ta có : cosx(2sinx - 1) = 0
=> cosx = 0, sinx = 1
2 Trên [0,2π], các điểm dừng của hàm số là: x1= π
6; x2= π
2; x3 = 5π
6 ; x4 =3π
2 Dễ thấy y’’ = 2cos2x + sinx
- y’’(x1) = 2cosπ
3 + sinπ
6 > 0 => hàm số đạt cực tiểu tại (π
6,-1
4)
- y’’(x2) = 2cos + sinπ π
2 = -1 < 0 => hàm số đạt cực đại tại (π
2,0)
- y’’(x3) = 2cos5π
3 + sin5π
6 = 2cosπ
3 + sinπ
6 > 0 => hàm số đạt cực tiểu tại (5π
6 ,-1
4)
- y’’(x4) = 2cos3π + sin3π
2 = -3 < 0 => hàm số đạt cực đại tại (3π
2,0)
2 Cực trị của hàm số
2.1 Các bài toán đơn thuần tìm cực trị:
Các bạn học sinh cần lưu ý rằng chúng ta có 2 quy tắc để tìm cực trị Quy tắc 1 và quy tắc 2 Chúng tôi có lời khuyên sau:
- Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất là dễ dàng, các bạn nên dùng quy tắc 1
- Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (VD trong các bài toán mà hàm số đã cho có dạng lượng giác, hoặc trong các bài toán có tham số), thì các bạn nên dùng quy tắc 2 Xét VD sau:
Ví dụ 1: Cho hàm số y= (x - m)3 – 3x
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x= 0
Ta có: y’ = 3(x - m)2 – 3
y'’ = 6(x - m) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ, x= 0 khi:
<=> <=> m = -1
⎪⎪
⎪⎩
'( ) ''( )
⎪⎨
⎪− >
⎪⎩
2
Nhận xét: Rõ ràng sử dụng quy tắc 2 trong trường hợp này là phù hợp
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 + 2 Tìm cực trị của hàm số
Hãy giải thích vì sao không dùng được quy tắc 2 trong VD này?
Ta có: y’ = 4x3
Trang 3y’= 0 <=> 4x3 = 0 <=> x= 0
Lập bảng biến thiên như sau:
x -∞ 0 +∞
y’ - 0 +
y
Vậy hàm số có cực tiểu tại điểm (0,2)
(Xin lưu ý với các bạn: Vì x3 = x2.x, nên việc xét dấu của y = x3 giống hệt như xét dấu của y
= x)
- Ta thấy: y’’= 12x2
Vậy nếu dùng quy tắc 2 thì do y’’ = 0 khi x = 0, nên chưa thể nói gì về cực trị của hàm số tại
x = 0
Nói cách khác, quy tắc 2 chỉ là một điều kiện đủ để nhận biết hàm số có đạt cực trị tại một điểm cho trước hay không? (Nếu không thỏa mãn thì chỉ có thể nói rằng: không thể dùng quy tắc 2 trong trường hợp này mà thôi!)
2.2 Các bài toán định tính về cực trị:
- Các bài tập này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để một hàm số đã cho có cực trị và cực trị thỏa mãn một điều kiện nào đó (tính chất này thường cho dưới dạng một hệ thức có thể là đẳng thức hoặc bất đẳng thức)
- Lược đồ chung để giải bài toán này như sau:
+ Trước hết tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị (nói cách khác tìm điều kiện cần để lời giải) Xin lưu ý với các bạn rằng: học sinh hay quên điều này vì họ cho rằng khi đầu bài yêu cầu tìm điều kiện để cực trị của hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó thì
họ mặc nhiên công nhận là
∃
cực trị đã tồn tại Chính vì thế dẫn đến chuyện trong các nghiệm tìm được rất có khả năng gặp phải nghiệm ngoại lai (nghiệm thừa)
+ Vận dụng các kiến thức khác (ở đây hay dùng định lý Viet) để CM hệ thống mà cực trị của hàm số cần thỏa mãn
- Ta rất hay sử dụng một số kiến thức sau:
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a# 0) có cực đại, cực tiểu <=> PT y’ = 0 (3ax2 + 2bx + c = 0) có 2 nghiệm phân biệt
• Hàm số y = + +
+
2
a x b (a, a’ # 0)
Trang 4Có cực đại và cực tiểu <=> y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt #− '
'
b a
• Hàm số y = + +
+
2
a x b (a, a’ # 0) nếu có cực trị tại x0 thì:
y(x0) = +
' 0
a
Một cách tổng quát: Nếu y = ( )
( )
x x
P
Q đạt cực trị tại x = x0 , thì
y(x0) = ( )
( )
' '
x0 x0
P Q
Xét các VD sau:
Ví dụ3: Cho hàm số y= x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 +1)
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ x1, x2 sao cho:
Trước hết để hàm số có cực trị ta cần có PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt
Ta có y’ = 0 <=> 3x2 + 4(m -1)x + (m2 - 4m + 1) = 0 (1)
(1) có 2 No phân biệt khi ∆’ > 0
<=> m2 + 4m +1 > 0
> − −
3
3 (2) Vậy (2) là điều kiện để đường cong có cực trị
Khi có cực trị, hoành độ x1, x2 của nó là No của (1)
Ta có: + = ( 1+ 2)
<=> 1+ 2
1 2
x x = 1( x1+ x2)
2
<=>2(x1+ x2) = x1 x2 (x1+ x2)
<=>(x1+ x2)(2- x1 x2) = 0
* Nếu x1 + x2 = 0 Theo định lý Viet ta có:
0
3 <=> m = 1
Trang 5Giá trị m = 1 thỏa mãn (2)
* Nếu x1 x2 = 2 Theo định lý Viet ta có:
2
2
3 <=> m2 – 4m – 5 = 0 <=>m= -1 hoặc m = 5
Ta nhận thấy m= -1 không thỏa mãn (2), còn m= 5 thỏa mãn (2)
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m= 1 và m= 5
Chú ý: Đây là VD chứng minh rằng nếu bỏ qua điều kiện cần (tìm điều kiện để có cực trị)
thì sẽ dẫn đến thừa No (ở đây thừa No m = -1)
Ví dụ 4:
Cho F(x) = x3 −x2 +mx+1
G(x)= x3 + 2 + +
Tìm m để mỗi hàm số có 2 cực trị, vì giữa 2 hoành độ cực trị của hàm số này có một hoành độ cực trị của hàm số kia
Ta có: F’(x) = x2 – x + m
G’(x)= x2 + 2x + 3m
Trước hết ta cần tìm điều kiện để F(x) và G(x), mỗi hàm số đều có cực trị Điều kiện
đó là các PT: F’(x) = 0 và G’(x) = 0 đều có 2 No phân biệt
Nói khác đi ta cần có:
<=> m <
⎧Δ = − >
⎪⎪
⎨⎪Δ = − >
⎪⎩
1 2
1
Với điều kiện (1) thì: F(x) có 2 cực trị tại x1, x2 (x1 < x2)
G(x) có 2 cực trị tại x3, x4 (x3 < x4)
Theo bài ra ta cần có: Hoặc ⎡⎣ < < <
⎡ < < <
⎣
Hay PT: H(x) = F’(x) = x2 – x + m = 0 có 2 No phân biệt x1, x2 sao cho giữa 2 No x1, x2 và ngoài khoảng 2 No này chứa x3, x4 Theo định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 ta cần có:
H(x3)H(x4) < 0
<=> (x2
3 – x3 + m) (x2
4 – x4 + m) < 0 (2)
Để ý rằng:
Trang 6x23 – x3 + m = (x23 + 2x3 + 3m) – (3x3 + 2m) = - (3x3 + 2m)
x24 – x4 + m = (x24 + 2x4 + 3m) – (3x4 + 2m) = - (3x4 + 2m)
(Do x 3 , x 4 là 2 No của PT: G’(x)= x 2 + 2x + 3m = 0)
Thay lại vào 2 ta có:
(3x3 + 2m) (3x4 + 2m) < 0 <=> 9x3x4 + 6m(x3+ x4) + 4m2 < 0 (3)
áp dụng định lý Viet với PT: x2 + 2x + 3m = 0 ta có:
x3+ x4 = -2; x3x4 = 3m (4)
Thay (4) vào (3) ta có: 27m – 12m - + 4m2 = 0
<=> 4m2 + 15m < 0
<=> −15 < m < 0
Rõ ràng (5) thỏa mãn điều kiện cần của (1) Đó chính là các giá trị cần tìm của tham số m
Ví dụ 5: Cho hàm số:
Y = +
−
2
1 x x
Tìm m để khoản cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10?
Bài giải
Ta có: y’ = − + +
−
2
2
Trước hết tìm điều kiện để đường cong có 2 cực trị:
Điều này xảy ra khi PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt # 1 Tức là hệ PT:
Có 2 No phân biệt
⎪⎪
⎪⎩
( )
f 1 0
Hay ⎧⎪Δ = + >⎪⎨ <=> m > -1 (1)
⎪ + ≠
⎪⎩
Với điều kiện (1), giả sử đừơng cong có 2 cực trị tại các điểm x1, x2
Khi đó x1, x2 là 2 No của PT:
- x2 + 2x + m = 0 (2)
Giả sử M(x1, y1), N(x2, y2) là các điểm cực trị Ta có:
y1= + = − −
1 (Thay x= x1)
Trang 7Tương tự: y2 = + = − −
Theo bài ra ta cần có: MN = 10
MN2 = 100 <=> (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 100
<=> (x2 – x1)2 + 4(x2 – x1)2 = 100
<=> (x2 + x1)2 – 4x1x2 = 20 (2)
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = -m
Thay vào (2) ta có: 4 + 4m = 20 => m = 4
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 6: Cho hàm số:
−
2
x 1
5
Tìm m để cực đại, cực tiểu của hàm số nằm về 2 phía của y = 2x?
Bài giải
−
2
2
Trước hết tìm điều kiện để hàm số có cực trị PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt #1 Tức là hệ PT sau có 2 No:
⎪⎪
⎪⎩
( )
f 1 0
<=> m <-3 (1)
⎧⎪Δ = − + >
⎪⎨
⎪⎩
Với điều kiện (1) hàm số có 2 cực trị: M(x1, y1), N(x2, y2) với x1, x2 là 2 No của PT: -
x2 + 2x –(2m-5) = 0
y1= −2x+2m = − 2x1+ 2m
Tương tự: y2 = −2x+m = − 2x2 + 2m
Vậy 2 điểm cực trị là: M(x1, -2x1 + 2m), N(x2, -2x2 + 2m)
Hai điểm (ỏ1; õ1), (ỏ2; õ2) bất kỳ nằm về 2 phía của đường thẳng:
Trang 8ax + by + c = 0 khi và chỉ khi:
(a ỏ1 + b õ1 + c)(a ỏ2 + b õ2 + c) < 0
áp dụng vào bài toán ta có: M, N nằm về 2 phía của đường thẳng y = 2x
(2x-y = 0) khi và chỉ khi:
(2x1 – y1) (2x2 – y2) <0
<=> (4x1 – 2m) (4x2 – 2m) < 0
<=> (2x1 - m) (2x2 - m) < 0
<=> 4 x1x2 – 2m(x1 + x2) + m2 < 0 (2)
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = 2m - 5
Thay vào (2) ta có: 4(2m – 5) – 4m + m2 < 0
m2 + 4m – 20 < 0 -2 - 2 6 < m < -2 + 2 6 (3)
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài
3 Các bài toán tiệm cận
Tiệm cận là một đặc trưng của hàm phân thức, vì lẽ đó lớp các bài toán về tiệm cận đối với hàm phân thức khá đa dạng Ta hãy xét trước tiên các bài toán mô tả tính chất của các tiệm cận
Thí dụ 1: Cho hàm số y = ( )
2
1 2
C x
x
− +
M là một điểm tuỳ ý nằm trên (C) Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A và B
1 Chứng minh rằng M là trung điểm của AB
2 Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận
ngang và tiệm cận đứng một tam giác có diện tích không đổi
3 Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) lại đi qua giao điểm của hai
đường tiệm cận
Dễ thấy (C) có hai tiệm cận ngang và đứng lần lượt là:
y = 2 và x = 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+ 2
1 2 ,
0
0 0
x
x
x với x0 > 2 là điểm tuỳ ý nằm trên (C) (khi x0 < 2 xét hoàn toàn tương tự)
Trang 9Ta có y’(x0) = 2
0 2 ) (
5
−
−
x ,vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là:
) 2 (
5 2
1 2
0 2
0 0
x x
x
−
−
−
=
−
+
0 0
2 0 2
2 2 2 ) 2 (
5
−
− + +
−
−
x
x x x
x
(1)
Ta tìm toạ độ các điểm A, B
0 0
2 0 2
0
0
2 0
) 2 (
12 2 2 )
2 (
2 2 2 10
−
− +
=
−
− + +
−
x
x x x
x x
Vậy B (x0, 2
0 0
2 0
) 2 (
12 2 2
−
− +
x
x x
)
Từ (1) xét phương trình (ẩn x)
2 0 0
2 0 2
2 2 2 ) 2
(
5
−
− + +
−
−
x
x x x
x
= 2
0 2 ) (
5
−
−
x
x
0 0
2 0
) 2 (
2 2 2
−
− +
x
x x
Ù - 5x = 2x20 - 8x0 + 8 - 2x02 - 2x0 + 2
Ù - 5x = -10x0 + 10 Từ đó ta có : x=2x0 −2 Vậy A x(2 0−2, 2)
Do B, M, A nằm trên đường thẳng (1), mà
x B+x A = +2 (2x0−2) 2= x0 = x2 M
Vậy M là trung điểm của AB
Gọi I (2,2) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số đã cho
Ta có: IA = x A−x I = 2x0 −2−2 =2(x0 −2) (do x0 > 2)
0
0 2
0
0 2
0 0
2 0
) 2 (
) 2 ( 10 )
2 (
20 10
2 )
2 (
12 2 2
−
−
=
−
−
=
−
−
− +
=
−
x
x x
x x
x x y
y B I
Vậy SIAB =
2
1
IA IB = 10 = const , tức là tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận của hàm số một tam giác có diện tích không đổi
Xét điểm I (2, 2) là giao của hai tiệm cận:
Thay x = 2 vào vế phải của (1) ta có
4 4
12 2
2 )
2 (
12 2
2
0
2 0 0
2 0 2
0 0
2
+
−
− +
=
−
− +
−
x x
x x x
x x
∀x0 ≠2 Thay y = 2 vào vế phải của (1) ta có: VT = 2
Vì lẽ đó I không nằm trên đường thẳng (1) ∀x0 ≠2
Trang 10Điều đó có nghĩa là: Mọi tiếp tuyến của (C) không bao giờ đi qua giao điểm của 2 đường tiệm cận
Nhận xét:
- Các hàm phân thức quen thuộc:
y =
' 'x b
a
b ax
+
+
và y =
' '
2
b x a
c bx ax
+
+ +
(a, a’≠0) cũng có các tính chất như trên Cách chứng minh cho dạng tổng quát với cả hai loại trên giống hệt như cách chúng tôi đã trình bày trong thí dụ vừa xét
Thí dụ 2: Cho đường cong y = 2 3 1
2
x x x
− (C) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên (C) đến hai tiệm cận của (C) là một hằng số
Viết lại y dưới dạng y = x + 5 +
2
9
−
x
Ta có lim 2 3 1 ( 5) lim 9 0
x
Lấy M (x0, x0 + 5 +
2
9
0 −
x ) là điểm tuỳ ý trên (C) Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên x - y + 5 = 0 là
d1 =
2 2
9 2
5 2
9 5
0 0
0 0
−
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− + +
−
x x
x x
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là d2 = x0 −2
Từ đó suy ra d1, d2 = =
2
9 const => đ.pc.m Chú ý: Ta đã sử dụng công thức sau (cần nhớ) Khoảng cách từ điểm
0 0
( , )
M x y tới đường thẳng x = c là d = x0 −c
Tương tự khoảng cách từ điểm M (x0, y0) tới đường thẳng y = a là
d = y0 −a .Từ thí dụ trên ta lại có thêm một tính chất nữa của tiếp tuyến và đường tiệm cận của hàm phân thức
Trang 11Với y =
' 'x b a
b ax
+
+ và y =
' '
2
b x a
c bx ax
+
+ +
(a và a’≠0) là hai hàm phân thức thông dụng,khi đó tính các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường cong tới hai tiệm cận nó
là một hằng số Cách chứng minh đói với đường tổng quát cũng giống như cách ta đã làm trong thí dụ cụ thể trên
Thí dụ 3: Cho y =
1
1
2
−
+
−
x
x x
(C) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai đường tiệm cận là bé nhất
Bằng phép tính tương tự như trên , dễ dàng thấy rằng (C) nhận x=1 là tiệm cận đứng
và y=x là tiệm cận ngang Do đó giao điểm I của hai tiệm cận là I (1, 1)
Lấy M (x0, x0 +
1
1
0 −
x ) ∈( C ) Khi đó ta có
0 0
2
1
1 1 ( ) 1 (
− +
− +
−
x x
) 1 (
1 )
1 (
0
2
− +
−
x
Từ đó suy ra MI ≥ 2 2+2 (1)
Từ (1) suy ra MI = 2 2+2 Ù 2(x0 - 1)2 = 2
0 1 ) (
1
−
x
Ù (x0 - 1)4 =
2 1
Ù x0 - 1 = 4
2
1
±
x0 = 1 +
4 2 1
Ù
x0 = 1 -
4 2 1 Như vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là:
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ +
4
2
1 1 , 2
1
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
4
2
1 1 , 2
1 1
III CỦNG CỐ KIẾN THỨC
Bài 1: (Đại học, Cao đẳng khối B, 2002)
Cho hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
Trang 12Bài giải
Ta có: y’ = 4mx3 + 2(m2- 9)x
*Nếu m = 0, thì y’= -18x
Với bảng biến thiên:
x 0
y’ + 0 -
y
Suy ra khi ấy hàm số có điểm cực trị
Giá trị m = 0 bị loại
* Nếu m 0, ta có ≠
y’ = 2x [ 2mx2 + m2 – 9)
Như vậy có 3 điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ta có:
y’ = => x( 2mx2 + m2 – 9) = 0 (1)
Vì thế (1) có 3 nghiệm phân biệt, cần và đủ là phương trình
2mn2 + m2 – 9 = 0
Có hai nghiệm phân biệt khác 0 Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
0 2
〉
−
m
m
Dựa vào trục xét dấu sau:
Suy ra: m< -3 hoặc 0 <m < 3
Tóm lại hàm số có 3 điều cực trị ⎢
⎣
⎡
〈
〈
〈−
⇔
3 0
3
m m
Chú ý: Đường cong bậc 4 y = ã4 + bx3 + 0x2 + doanh nghiệp + e (a ≠0)
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2: (Đề thi đại học, cao đẳng khối A 2005)
Cho đường cong
x mx
y= +1 tìm m để đường cong có cực trị và khoảng cách từ điểm
cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng
2 1 Bài giải
Ta có ' 12
x m
y = − trước hết đường cong mới có giá trị cực trị, thì phương trình y’ = 0 phải có nghiệm phân biệt Điều này có khi và chỉ khi m >0