Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ t
Trang 1Bài tập Toán khối 11
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1
2
x x
3
10) y = 1 1
sinx 2 osxc
II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = sin(-x)2= (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x D x D x,
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2
4) y = 1
2tan2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x
III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; 2 k
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng k2 ; k2
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ;
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
Trang 2Bài tập Toán khối 11 1) y = sinx trên ;
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn ;
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y =
2sin(x-2
) + 3 2) y = 3 – 1
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn a b; thì ma ;ax ( )b f x f b( ) ; min ( )a ;b f x f a( )
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn a b; thì ma ;ax ( )b f x f a( ) ; min ( )a ;b f x f b( )
Trang 3Bài tập Tốn khối 11
I:LÍ THUYẾT
1/Phương trình lượng giác cơ bản
2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0 x = k , sinx = 1 x =2 + k2 ,sinx = -1 x = - 2 + k2
cosx = 0 x = 2 + k , cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x = + k2
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 0
Cách 1: acosx + bsinx = c 2 2 cos( )
Xét phương trình với x = + k , k Z
Với x + k đặt t = tan 2x ta được phương trình bậc hai theo t :
(c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm a2 + b2 - c2 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3 cosx sinx 2 , 2 cosx 3 sinx 1
3 3 sin 3x 3 cos 9x 1 4 sin 3 3x
4 ( cos sin 4 4
4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos 2 x
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0
Cách 1 :
Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
Xét cosx 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx
Cách 2: Thay sin2x = 21 (1 – cos 2x ), cos2x = 12 (1+ cos 2x) ,
Trang 4Bài tập Tốn khối 11
sinxcosx = 21 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 + k ,kZ
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
sin sin 2 2cos
2
6/ Phương trình dạng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinxcosx =
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 2 t 2 khi đó sinxcosx =
2
1 t2
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7 Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = cos3 x , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx
2/ x cos 2 x
3
4
cos ĐS : x = k3 , x= 4 +k3 , x = 54 +k3 3/ 1+ sin2x sinx - cos 2x sin2x = 2cos2 (
6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 21
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2x 10/ sin2x+ 2tanx = 3
Trang 5Bài tập Tốn khối 11
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
12/ tan3( x - 4 ) = tanx - 1 ĐS : x = k v x = 4 + k
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 + k
15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= 4 +k2
5/ sin3(x - 4 ) = 2 sinx ĐS : x = 4 +k
6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = 3 + k v x= 4 +k2 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = 23 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ sin cos 103
sin
1 cos
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 41 5/ sin4
sin cos
1
sin cos
11/ sin2 )
4 2
( x
tan2x – cos2
2
x
= 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = sin1x
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
Trang 6Bài tập Toán khối 11
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2
4
(2 sin 2 )sin 3tan 1
1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B Phương
án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việcđược thực hiện theo n + m cách
Trang 7Bài tập Toán khối 11
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện
bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.mcách
II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1 Hoán vị:
a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định
trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A
b Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2 Chỉnh hợp:
a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k mà 1 k n Khi lấy ra k phần tử trong số
n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợpchập k của n phần tử
là khai triển theo số mũ của a tăng dần
Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B
để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau,
cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Trang 8Bài tập Toán khối 11
Bài 2: Cho tập A 0;1; 2;3; 4 Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong sốcác phần tử của A?
Bài 3: Từ tập A 1, 2,3, 4,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuấthiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng
trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai
điểm trong các điểm đó?
Bài 6: Từ tập A 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập được
bao nhiêu tam giác?
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11
Bài 11: Trong khai triển
, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 x 1 x 2 8
Bài 13: Cho khai triển: 10 2 10
0 1 2 10
1 2x a a x a x a x , có các hệ số a , a , a , , a 0 1 2 10 Tìm hệ số lớnnhất
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 x)- 25
Trang 9Bài tập Tốn khối 11
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 x )- 2 25
3) Số hạng khơng chứa x trong khai triển
12
1xx
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4
3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 éêë1 x (1 x)+ 2 - ùúû8
4) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 ( 2 3)10
1 x+ +x +x5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 (x2- x+2)10
6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1 x+ +3x )2 10
7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển:3
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng
thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai
Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Trang 10Bài tập Tốn khối 11 Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối
cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
u a
Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30 Bài 3: Cho cấp số cộng:
6 4
3 5 2
u u
u u u
Tìm số hạng đầu và công sai của nó
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là
165
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là
1140
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số
cộng với công sai là 25
Bài 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3,
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và
số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó
Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10
Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
2
129 14 /
1
9 5 13 5 3
u u S u u
31 /
4
2 45 9 /
3
9 4 10 3 6 4
u u u u S S
ĐS: 1/ u1 = 1353 và d = 3938; 2/ u1 = 3 và d = 4
Trang 11Bài tập Tốn khối 11
3/ u1 = 0 và d = 23 ; 4/ u1 = và d =
Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên
Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20.
Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng
thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
un+1 =un.q (n = 1, 2, )
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu
u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối
với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:
u k u k1 u k1 ( k 2 )
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Cho một cấp số nhân với công bội q 1
n
n (q 1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1
Trang 12Bài tập Tốn khối 11
2/ Cho q = 41 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:
3 5 2 4
u u u u
Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:
6 5 4
3 2 1
u u u
u u u
Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số
thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó
Trang 13Bài tập Tốn khối 11
PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tịnh tiến theo vectơ v a b( ; ) biến điểm M(x;y) thành
M’(x’;y’) Tìm tọa độ điểm M'
Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) Phép tịnh tiến theo vectơ v(2;3) biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N
Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5) Tìm điểm B(x,y) sao cho A là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo v(2;1) :
Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng:
A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuông D)Hình thoi
Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3) Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M'
Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v(1;1)?
Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox
Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M
thành điểm N Tìm tọa độ điểm N?
Câu 9:Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’ Tìm phương trình d'
Câu 10: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 Phép tịnh tiến theo vectơ v(1;2) biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C')
Câu 11: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C')
Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ?
A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= 1 ; C) phép tịnh tiến ; D)phép chiếu vuông góc
Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') và phép tịnh tiến v(1;4) biến (C') thành (C’') Tìm phương trình của (C'')
Câu 14 :Cho hình vuông ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Thực hiện phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó Tìm số đo của góc quay đó?
Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k0) là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho :
Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )2 + y2 = 16 phép vị tự tâm O
tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C') Tìm phương trình (C')
Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là phép naò sau đây:
