tập lồi yếu và tối ưu hóa trên tập lồi yếu

Luận văn trình bày các nghiên cứu về các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin, các tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các hàm lồi yếu và lồi mạnh cùng với một số áp dụng về tính c

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-o0o -

NGUYỄN THỊ LINH CHI

TẬP LỒI YẾU VÀ TỐI ƯU HOÁ TRÊN

TẬP LỒI YẾU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2010

MỤC LỤC Trang

Mục lục……… 1

Mở đầu 2

Chương 1 CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH 1.1 Các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu 4

1.2 Tính chất của đoạn lồi mạnh 8

1.3 Tính chất của tập lồi yếu 37

1.4 Tính liên thông địa phương của tập lồi yếu theo nghĩa Vial 45

Chương 2 CÁC HÀM LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƯU HOÁ TRÊN TẬP LỒI YẾU 2.1 Các hàm lồi yếu, lồi mạnh 53

2.2 Cực tiểu hàm lồi mạnh trên tập lồi yếu 61

KẾT LUẬN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi đóng một vai trò quan trọng trong toán học ứng dụng đặc biệt là lí thuyết tối ưu hoá Nhiều lớp hàm lồi suy rộng được nghiên cứu để giải quyết nhiều vấn đề được đặt ra trong lí thuyết các bài toán cực trị

N.V Ephimov và S.B Schetkin ( 1959 ) đã đưa ra khái niệm tập

 - lồi mà sau này trong [1] G.E Ivanov gọi là tập lồi yếu với hằng số

R > 0 J.P Vial (1982 ) đã đưa ra khái niệm tập lồi yếu mà trong [1] gọi là tập lồi yếu theo nghĩa Vial Lớp các tập lồi mạnh được B.T Poliak ( 1983 ) đưa vào nghiên cứu trong [4] và E.S Polovinkin – M.V Balasov nghiên cứu trong [3] Các nghiên cứu về các tập và hàm lồi yếu và mạnh cùng với nhiều ứng dụng được trình bày một cách hệ thống trong cuốn sách chuyên khảo của G.E Ivanov [1]

Luận văn trình bày các nghiên cứu về các tập lồi yếu theo nghĩa Vial

và Ephimov – Schetkin, các tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các hàm lồi yếu và lồi mạnh cùng với một số áp dụng về tính chất nghiệm của bài toán cực tiểu một hàm lồi mạnh trên một tập lồi yếu

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày các tính chất của tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin và mối quan hệ giữa chúng Kết quả chỉ ra rằng trong không gian Hilbert, một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0 bất kì thì lồi Còn một tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì thì không nhất thiết lồi

mà chỉ đóng Một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0 thì liên thông

Chương 2 trình bày một số kết quả về hàm lồi yếu , lồi mạnh và tính chất điểm cực tiểu của bài toán cực tiểu hàm lồi mạnh trên tập lồi yếu theo nghĩa Vial

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS

Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học

sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khoá học, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp Cao học Toán K16 đã luôn quan tâm, động viên, giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Nguyễn Thị Linh Chi

Chương 1 CÁC TẬP LỒI YẾU VÀ LỒI MẠNH

Chương 1 trình bày các tính chất của tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các tập lồi yếu theo nghĩa Vial và Ephimov – Schetkin và mối quan hệ giữa chúng Chú ý rằng một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R> 0 bất kì thì lồi, còn một tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì thì không nhất thiết lồi mà chỉ đóng

1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA TRỰC TIẾP VÀ ĐỐI NGẪU

Định nghĩa1.1.1

Tập hợp A trong không gian tuyến tính được gọi là tập lồi nếu với hai điểm bất kỳ x x0, 1A ,

x x0; 1 x1 1  x0: 0;1 A

Định nghĩa này sẽ được gọi là định nghĩa trực tiếp của tập lồi

Giả sử E là không gian vectơ tôpô vàE*là không gian đối ngẫu tôpô của E Kí hiệu p x, là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục pE*

tạixE hay tích vô hướng của pvà x trong trường hợp nếu E là không

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

pE cR, chỉ số α chạy trên tập tuỳ ý A 1

Nếu tập A có dạng là tương giao của các nửa không gian thì ta nói

A thoả mãn định nghĩa đối ngẫu của tập lồi Định lý 1.1.1 khẳng định rằng với các tập hợp đóng trong không gian lồi địa phương thì định

nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập lồi là tương đương

Sau đây ta sẽ khảo sát các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của các tập lồi mạnh và lồi yếu

Từ định nghĩa 1.1.3, 1.1.4 suy ra tập hợp D Rx x0, 1 lồi mạnh với

hằng số R Điều này giải thích tại sao ta gọi là “đoạn lồi mạnh”

Định lý1.1.2 ( [3] )

Giả sử trong không gian Hilbert H cho tập đóng A và số R > 0 Các khẳng định sau đây là tương đương:

(i) Tập hợp A lồi mạnh với hằng số R

(ii) Với mọi x x0, 1A thì x1x0 2R và D Rx x0, 1 A

Tương tự các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập hợp lồi thì điều kiện (ii) của định lý 1.1.2 gọi là “ trực tiếp ”, còn định nghĩa 1.1.3 là

định nghĩa “ đối ngẫu ” Định lý 1.1.2 thiết lập sự tương đương của các định nghĩa trực tiếp và đối ngẫu của tập lồi mạnh

Giả sử trong không gian định chuẩn cho hai điểm x x và cho số 0, 1

Tập hợp A trong không gian định chuẩn là lồi yếu theo nghĩa Vial

với hằng số R khi và chỉ khi với hai điểm bất kì x x0, 1A sao cho

Tập hợp A trong không gian định chuẩn E được gọi là lồi yếu theo nghĩa Ephimov - Schetkin với hằng số R > 0 nếu tồn tại một tập hợp

Hình 3 minh hoạ tập hợp lồi yếu theo Vial và theo Ephimov - Schetkin

Sau đây ta chỉ ra rằng trong không gian Hilbert H , tính đóng và

tính lồi yếu theo nghĩa Vial của tập AH kéo theo tính lồi yếu theo Ephimov - Schetkin của A nhƣng điều ngƣợc lại không đúng

1.2 TÍNH CHẤT CỦA ĐOẠN LỒI MẠNH

Lấy xD Ry y0, 1 Giả sử aE sao cho, x x0, 1B R a

Vì y y0, 1D Rx x0, 1, nên y y0, 1B R a Từ điều kiện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11

Số

2

1 0 2

14

1 0 2

2

1 0 2

Khi đó, các điều kiện sau đây tương đương:

1 0 2

121

.2

x x0, 1B R a Khi đó,

1

x  a R và x0  a R

Vì vậy ,

0 1

0 1 : ,

Giả sử trong không gian Euclide cho các điểm

Cho tập hợp A trong không gian vectơ tôpô E Kí hiệu s p A ;  là hàm tựa của tập A

Giả sử trong không gian Euclide E cho tập A lồi mạnh với hằng số

R Cho các vectơ pE x, A y, A sao cho

Bởi vì q x, 1x0 0, q x, x0 0, nên các vectơ xx x0, 1x0

không cộng tuyến Từ đó suy ra tính duy nhất của vectơ qE sao cho (1.2.11) đúng, q x, x0 0 và tính không cộng tuyến của các vectơ

Trong không gian Euclide E cho các vectơ x x p thoả mãn điều 0, ,1

kiện 0 x1x0 2 ,R p 1.Ta xác định được các số

2 2

trong đó 0 1

2

x  RqRp.Vì vậy, để có (1.2.13) thì đẳng thức cần chứng minh là đúng

Từ đó và từ tính lồi, tính thuần nhất dương của hàm số tựa suy ra

 

 

2 2

2 2

1 0

,1

14

2 2

1 0 2

R

Chứng minh

Nếu các vectơ xx x0, x1 cộng tuyến thì do điều kiện

 0, 1

R

xD x x vectơ x nằm trên đoạn x x0; 1 và khẳng định của mệnh đề

là đúng Ta sẽ giả thiết các vectơ xx x0, x1 không cộng tuyến Ta xác định vectơ q từ các điều kiện q 1, q x, 1x0 0, q x, x0 0 và các vectơ xx x0, 1x q0, là đồng phẳng Khi đó từ điều kiện xD Rx x0, 1

Bất đẳng thức q x, x0 0 trên đoạn của cung đó Do đó số đo góc x xx lớn hơn hoặc bằng số đo của góc chắn cung lớn của hình tròn 0 1

với các điểm mút là x x0, 1 Số đo của cung đó bằng arcsin 1 0

2 2 2

cos2

x   d y d R  d R Theo định nghĩa của đoạn lồi mạnh, từ các điều kiện

do mệnh đề 1.2.12 ta suy ra d R, trái với d R 

1.3 TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI YẾU

Mệnh đề tiếp theo sẽ đưa ra định nghĩa tương đương của tính lồi yếu theo nghĩa Ephimov - Schetkin

(2) AE và với bất kì xA c ,tìm được vectơ aE sao cho

Vì vậy điều kiện (2) đúng

b) Giả sử (2) đúng ta chứng minh điều kiện (1) Chú ý rằng với các vectơ bất kì a b, E,

aintB R b vàbintB R a là tương đương (1.3.2)

R > 0 theo nghĩa Vial hoặc Ephimov- Schetkin Khi đó, A lồi yếu với hằng số bất kì r 0;R theo nghĩa tương ứng

Chứng minh

a) Cho A lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R Ta chứng minh A lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số rR Giả sử

0 , 1 ,0 1 0 2

x A x A  x x  r Khi đó, do tính lồi yếu của tập hợp A theo

nghĩa Vial với hằng số R ,  x D Rx x0, 1A không trùng với x x Do 0, 1mệnh đề 1.2.5, ta có xD Rx x0, 1D x x r 0, 1 Vì vậy A lồi yếu theo

nghĩa Vial với hằng số r

b) Giả sử A lồi yếu theo nghĩa Ephimov- Schetkin với hằng số R Ta chứng minh A lồi yếu theo nghĩa Ephimov- Schetkin với hằng số

Ta chứng minh rằng intB R a intB R b

Giả sử yintB R a Khi đó,

b       y b a a y b a r

Từ (1.3.8) ta suy ra b y R, tức là yintB R b Vậy,

intB R a intB R b

Giả sử A là tập lồi trong không gian Banach E Khi đó,

(1) Tập A lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số bất kì R >0 ;

(2) Nếu A đóng và AE thì A lồi yếu theo nghĩa Ephimov- Schetkin với hằng số bất kì R >0

ra A lồi yếu theo nghĩa Ephimov- Schetkin với hằng số bất kì R 

Từ tính đóng của tương giao các tập hợp đóng ta có định lí sau

Định lí 1.3.5

Cho H là không gian Hilbert, tập hợp A đóng và nằm trong siêu phẳng S  x H : p x, c, trong đó pH \ 0 ,  c Khi đó, tập hợp A lồi yếu theo nghĩa Ephimov-Schetkinvới hằng số bất kì R0

Chứng minh

Giả sử R0 Cố định c

xA Do mệnh đề 1.3.1 ta chứng minh sự tồn tại của vectơ aH sao cho xintB R a  A c

Bây giờ giả sử xS Vì xA c và A đóng nên   0; R sao cho

Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó, nếu  A  là họ các

   thì

 lồi yếu theo nghĩa Ephimov-Schetkin với hằng số R

Chứng minh

Vì với bất kì  tập hợp Alồi yếu theo nghĩa

Ephimov-Schetkin với hằng số R cho nên với  bất kì   A' ,A' E sao

Phép toán tương giao không bảo toàn tính lồi yếu theo nghĩa Vial Dưới đây là một ví dụ

Giả sử x x0, 1A sao cho B 0 x1x0 2R Vì A lồi yếu theo

nghĩa Vial với hằng số R nên  x D Rx x0, 1A không trùng với x x 0, 1

Do các định nghĩa 1.1.3 và 1.1.4 thì D Rx x0, 1B Vì vậy,

xD Rx x0, 1 A B

Do đó, AB lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R 

1.4 TÍNH LIÊN THÔNG ĐỊA PHƯƠNG CỦA TẬP LỒI YẾU THEO NGHĨA VIAL

Mệnh đề 1.4.1

Giả sử H là không gian Hilbert Cho tập AH đóng, lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R Khi đó, với hai điểm bất kì x x0, 1A sao cho x0 x1 2 ,R x AD Rx x0, 1 sao cho

Ta chứng minh rằng

ˆbcˆ (1.4.3)

Giả sử ˆbcˆ Do A lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R và

Từ đó và tính đóng của A suy ra A lồi

Cho x x0, 1A Với số tự nhiên k bất kì mà 1 0

Vì

2

2 1 0

04

Trong không gian Hilbert, một tập lồi yếu theo nghĩa

Ephimov-Schetkin với hằng số R > 0 bất kì cũng không thể suy ra tập đó lồi

Chẳng hạn, tập A gồm hai điểm khác nhau lồi yếu theo nghĩa

Ephimov-Schetkin với hằng số R > 0 bất kì nhưng A không phải là tập

lồi

Định lí 1.4.2 (Tính liên thông địa phương của tập lồi yếu Vial)

Giả sử H là không gian Hilbert.Tập AH đóng, lồi yếu theo

nghĩa Vial với hằng số R Khi đó, với 2 điểm bất kì a b, A sao cho

0  a b 2R , tồn tại hàm liên tục f : 0;1 AD a b R , sao cho

n n

j

Nếu j chẵn thì f t  cũng xác định tại điểm 1

Ta chỉ ra rằng hàm f t  liên tục đều trên T

Từ cách xác định T và mệnh đề 1.2.1 suy ra nếu tT thoả mãn

Giả sử nN  0 , ,t t T sao cho 0 1

Chương II CÁC HÀM LỒI YẾU, MẠNH VÀ TỐI ƯU HÓA

TRÊN TẬP LỒI YẾU

Chương 2 trình bày một số kết quả về hàm lồi yếu, lồi mạnh và tính chất điểm cực tiểu của bài toán cực tiểu hàm lồi mạnh trên tập lồi yếu theo nghĩa Vial

2.1 CÁC HÀM LỒI YẾU, LỒI MẠNH

Cho X là tập hợp trong không gian tuyến tính Hàm f X: 

gọi là hàm lồi nếu trên đồ thị epi f là tập lồi

hàm –f lồi mạnh ( yếu) với hằng số C trên tập X

Hai mệnh đề sau suy ra trực tiếp từ các định nghĩa

Mệnh đề 2.1.1

Giả sử X là tập lồi trong không gian định chuẩn E , hàm f X:  Khi đó,

(1) Nếu f lồi mạnh với hằng số C > 0 trên X thì f lồi trên X ;

(2) Nếu f lồi trên X thì f lồi yếu trên X với hằng số C > 0 bất kì;

(3) Nếu hàm f lồi mạnh trên X với hằng số C 1 > 0 thì hàm f lồi mạnh trên

X với hằng số bất kì C20;C1;

(4) Nếu hàm f lồi yếu trên X với hằng số C 1 > 0 thì hàm f lồi yếu trên

X với hằng số bất kì C 2 > C 1

Mệnh đề 2.1.2

Giả sử X là tập lồi trong không gian Hilbert H Khi đó,

(1) Hàm f X: R  lồi yếu với hằng số C khi và chỉ khi với bất kì

1, 2

x x X và bất kì  0;1 ,

của điểm x0H Hàm f gọi là khả vi ( theo nghĩa Frétchet) tại điểm x nếu 0

 0

'

liên tục : f X R , số L > 0 Các điều kiện sau là tương đương:

(1) Hàm f khả vi trên X và hàm f':X H thoả mãn điều kiện Lipschitz trên X với hằng số L ;

(2) Hàm f lồi yếu với hằng số L và lõm yếu với hằng số L trên X

Áp dụng mệnh đề 2.1.2 ta suy ra điều kiện (2)

Giả sử có điều kiện (2), ta cố định một điểm tuỳ ý x0X Bởi vì tập

X mở nên tồn tại số  0 sao cho B x0 X Với

Ta cố định các vectơ tuỳ ý x x1, 2X và vectơ lH sao cho l 1

Với số tự nhiên N bất kì ta xác định vectơ 1 2 1

2 1

Giả sử U là tập lồi trong không gian định chuẩn E Cho hàm liên

tục : f U  và số y Giả sử hàm f thoả mãn điều kiện Lipschitz trên tập

hợp F y u U f u :   y với hằng số L Giả sử u0U f u,  0  y Khi đó,

và vectơ ˆu u 0 t u uˆ  0 Do f u  y và tính liên tục của hàm f trên

Định lí 2.2.1

Giả sử U là tập lồi trong không gian Hilbert H , tập hợp PU đóng

và lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R, hàm f U: R liên tục và lồi

kì  u k P hội tụ đến u ( tức là 0 f u k  finf khi k )

Chứng minh

Gọi  u k là dãy cực tiểu trong bài toán inf  

u P f u

 ( bài toán cực tiểu

hàm f trên tập hợp P) Bởi vì y finf nên k0 sao cho f u k  y với

Vì f u k  finf,f u m  finf khi k ,m  nên u k u m 0

khi k  ,m  Vì vậy, dãy  u k là dãy cơ bản nên hội tụ Nhƣ vậy ta chứng minh đƣợc dãy cực tiểu bất kì của bài toán inf  



và trên tập hợp F y u U : minf u1   , f u2 y, các hàm f f thoả 1, 2

mãn điều kiện Lipschitz với hằng số

2

CR

L Khi đó, với i1,2, tồn tại các

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một cách hệ thống các tính chất của tập lồi mạnh, đoạn lồi mạnh, các tập lồi yếu theo nghĩaVial và theo nghĩa Ephimov – Schetkin và các hàm lồi mạnh, yếu cùng với một số tính chất của điểm cực tiểu của bài toán cực tiểu hàm lồi mạnh trên một tập lồi yếu theo nghĩa Vial

Rõ ràng là một tập lồi mạnh thì lồi Kết quả chỉ ra rằng một tập lồi thì lồi yếu theo nghĩa Vial, và nếu tập đóng thì lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin Trong không gian Hilbert một tập đóng lồi yếu theo nghĩa Vial với hằng số R > 0 bất kì thì lồi, nhƣng một tập lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì thì đóng và chƣa chắc đã lồi Một tập đóng của một siêu phẳng thì lồi yếu theo nghĩa Ephimov – Schetkin với hằng số R > 0 bất kì

Lí thuyết các tập lồi yếu, mạnh và ứng dụng trong tối ƣu hoá đang đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển