SỰ PHÂN BỐ THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1.. Thay các tọa độ đặc biệt đó vào hai công thức trên, ta suy ra sự phân bố thời gian trên quỹ đạo trong dao động điều hòa như hình vẽ.. Sự
Trang 1I SỰ PHÂN BỐ THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
1 Bài toán:
Cho một vật dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T Hãy tính:
a Thời gian chất điểm đi từ vị trí cân bằng đến điểm M có tọa độ x
b Thời gian vật đi từ M đến biên
Lời giải:
a Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến M bằng thời gian bán
kính đường tròn quay được góc
T360 360
Trên hình vẽ: sin α OM x α arcsin x
Thay vào trên suy ra:
0M
x T
b Thời gian vật đi từ M tới biên bằng thời gian bán kính đường tròn quét góc
Ta có MB
MB 0
T 360 306
Trên hình vẽ ta có:
OM
Thay vào trên ta có: tMB T arc cos x
Vậy sự phân bố thời gian trên đoạn OB được phân bố như sau:
c Lưu ý:
+ Dùng máy tính để tính các hàm arcsin và arccos nhớ để máy ở hệ độ (D)
+ Do tính thuận nghịch của dao động, nên khi vật chuyển động theo chiều ngược lại thì công thức trên vẫn đúng
+ Do tính đối xứng về hai bên vị trí cân bằng , nên công thức trên vẫn đúng khi xét trên đoạn OB’
2 Các khoảng thời gian đặc biệt
Trong các đề thi, tọa độ của điểm M thường có giá trị đặc biệt: VD: xM A, A 2
Thay các tọa độ đặc biệt đó vào hai công thức trên, ta suy ra sự phân bố thời gian trên quỹ đạo trong dao động điều hòa như hình vẽ
(Ở hình này chỉ biểu diễn sự phân bố thời gian trên đoạn OB, còn trên đoạn OB’ thì tương tự)
Trang 2
3 Trường hợp áp dụng
Sự phân bố thời gian trên không chỉ đúng cho li độ x của dao động điều hòa mà còn có thể áp dụng được cho các đại lượng biến thiên điều hòa Đó là các đại lượng sau:
+ Vận tốc v
+ Gia tốc a
+ Cường độ i của dòng điện xoay chiều
+ Điện áp u của dòng điện xoay chiều
+ Điện tích q trong mạch dao động LC
+ Cường độ dòng điện i trong mạch dao động LC
Riêng đối với động năng, thế năng:
Do chúng là các đại lượng biến thiên tuần hoàn nhưng không điều hòa theo thời gian nên, việc áp dụng
sự phân bố thời gian trên được xét gián tiếp thông qua các đại lượng điều hòa ( như li độ, vận tốc) ( Xem bài tập 7 và 8)
Trang 3II MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 6cos(10t + /4) cm Hãy tính thời gian ngắn nhất
vật đi từ li độ x = 1cm đến li độ x’ = - 2cm
Giải:
Thời gian cần tìm gồm hai phần như hình vẽ:
Ta có: t1 T arcsin1 0, 2.9,59 0, 0053s
360 6 360
2
T 2 0, 2
t arcsin 19, 47 0, 0108s
360 6 360
Vậy t = t1 + t2 = 0,0161s
Bài 2 Một vật dao động điều hòa với biên độ 10cm, chu kì 0,1s Hãy tính:
a.Thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ -5cm đến li độ 5cm
b Thời gian dài nhất để vật đi được quãng đường 10cm
Bài giải:
a Do điểm đầu và điểm cuối là các li độ đặc biệt nên ta suy ra sự phân bố thời gian của đoạn đường như hình vẽ
Thời gian cần tìm là t = T/12 +T/12 = T/6 = 1/60 s
b Khi vật càng gần biên thì càng đi chậm Vậy cùng là quãng đường 10cm nhưng vật sẽ đi mất nhiều thời gian nhất khi quãng đường đó được phân bố ở gần biên như hình vẽ:
Từ hình vẽ ta suy ra, thời gian cần tìm là t = T/6 + T/6 = T/3 = 1/30 s
Bài 3 Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 20cos(10t – /2)cm Hãy tính thời gian trong một
chu kì tốc độ của vật không lớn hơn 100 cm/s
Giải:
Vmax = A = 200 cm/s T = 2/ = 0,2s
Trang 4Tốc độ của vật không lớn hơn 100 cm/s nghĩa là v 100π cm/s
Vậy thời gian cần tìm được phân bố trên hình vẽ:
Thời gian cần tìm là t = 4.T/12 = T/3 = 0,2/3 = 1/15 s
Bài 4 Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 8cm Trong một chu kì, tỉ
số thời gian dãn và nén của lò xo là 2 Tính tần số dao động của con lắc Biết g = 2 m/s2
Bài giải:
Gọi l0 là độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân
bằng Ta có công thức tính chu kì của con lắc là:
0
Δl
T 2π
g
Theo đề bài, thời gian lò xo dãn và nén trong
nửa chu kì được phân bố như hình vẽ
Từ hình vẽ suy ra l0 = A/2 = 4cm = 0,04m
Thay l0 và g vào công thức trên ta suy ra chu
kì dao động của con lắc là 0,4s Vậy tần số dao
động của con lắc là 2,5Hz
Bài 5 Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với năng lượng dao động là 1J và lực đàn hồi cực đại tác dụng vào điểm Q là 10N Khoảng thời gian
giữa hai lần liên tiếp điểm Q chịu tác dụng của lực kéo 5 3 N là
0,1s Tính quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong 0,4s
Bài giải:
Sự phân bố thời gian của lực đàn hồi được thể hiện như trên hình vẽ
Từ hình vẽ ta suy ra khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp lực kéo có độ lớn 5 3 N là t = T/12 + T/12 = T/6
Vậy T/6 = 0,1s Suy ra T = 0,6 s
Trang 5Biên độ của dao động được tính như sau:
max
Khoảng thời gian t = 0,4s được phân tích như sau:
Δt
T 0, 6 3 6 2 6 2
Quãng đường S2 đi trong T/2 luôn là 2A = 40cm
Vậy độ dài của quãng đường đi được chỉ phụ thuộc vào quãng đường S1 đi trong T /6
Ta có nhận xét rằng: Càng gần Vị trí cân bằng thì vận tốc của vật càng lớn Vậy S1 lớn nhất khi nó được phân bố ở hai bên vị trí cân bằng như hình vẽ
Thời gian ở mỗi bên của Vị trí cân bằng là T/12 Từ đó ta tính được S1max = 20cm
Vậy quãng đường lớn nhất vật đi trong 0,4s là 40 + 20 = 60cm
Bài 6 Một bóng đèn neon được thắp sáng bởi điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 220V và tần số
50Hz Đèn chỉ sáng khi điện áp đặt vào nó có giá trị tức thời thỏa mãn u 160V Hãy tính thời gian đèn sáng trong một chu kì
Giải:
Biên độ của điện áp là U0 = 220 2 = 311 V
Các khoảng thời gian sáng và tối của đèn được phân bố như trên hình vẽ
Thời gian đèn sáng trong một chu kì là
tsáng = 4t1 4 T shiftcos160
= 0,7479T = 0,7479/f = 0,01495 s
Bài 7 Một vật dao động điều hòa với tần số 2Hz Tính thời gian trong một chu kì thế năng không nhỏ hơn
2 lần động năng
Bài giải:
Tại M và M’ thì thế năng bằng hai lần động năng
Ta nhận xét rằng, càng xa vị trí cân bằng thì thế năng càng tăng, động năng càng giảm Vậy thời gian trong một chu kì thế năng không nhỏ hơn hai lần động năng được phân bố ở phía ngoài đoạn MM’
Tại M và M’, ta có: Wt 2Wd Wt 2W x2 2A2 x 2
Trang 6Thời gian trong một chu kì động năng không nhỏ hơn hai lần động năng là
t = 4t1 = 4 T shift cos 2 4.0,5 shift cos 2 0,196
s
Bài 8 Một mạch dao động LC có năng lượng dao động là 10mJ Trong một chu kì, thời gian năng lượng
từ trường ở cuộn cảm L không lớn hơn 4mJ là 4µs Tính tần số dao động của mạch
Bài giải:
Khi cường độ dòng điện qua cuộn cảm là I0 thì năng lượng từ trường là 10mJ
Khi cường độ dòng điện qua cuộn cảm có giá trị tức thời i thì năng lượng từ trường là 4mJ
Ta có
2
0
1
Li
LI
2
Ta lưu ý là khi i càng nhỏ thì năng lượng từ trường trong cuộn cảm càng nhỏ Vậy thời gian mà năng lượng từ trường không lớn hơn 4mJ được phân bố trên đoạn MM’
Theo đề ta có 4t1 = 4µs Vậy t1 = 1µs
Trên hình vẽ ta suy ra 1
0
t shift sin 1μs shift sin 0, 4
-6
s
Tần số của dao động trong mạch LC là f = 1/T = 108696Hz = 108,7kHz
Bài 9( TSĐH 2010) Tại thời điểm t, điện áp u = 200 2 cos(100πt - π
2) (trong đó u tính bằng V, t tính bằng s)
có giá trị 100 2 V và đang giảm Sau thời điểm đó 1
300s, điện áp này có giá trị là
A - 100 2 V B – 100 V C 100 3 V D 200 V
Bài giải:
Ta có Δt 1 s 1 1 s T T T
300 6 50 6 12 12
Trang 7
Dựa vào sự phân bố thời gian trên hình vẽ ta suy ra sau 1/300s thì điện áp u có giá trị: u = - 100 2 V
Chọn A
Bài 10 (ĐH - 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi
đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí có li độ x = -A/2, chất điểm có tốc độ trung bình là:
Bài giải:
Thời gian đi từ li độ x = A đến li độ x = -A/2 là t = T/4 + T/12 = T/3
Quãng đường đi được là: S = A + A/2 = 3A/2
Tốc độ trung bình:
3A
v
T
3
Bài 11 (ĐH - 2010) Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A = 5cm Biết trong
một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có gia tốc không vượt quá 100cm/s2 là T/3 Lấy 2 =
10 Tần số của dao động là:
Bài giải:
Tại biên thì gia tốc lớn nhất, tại vị trí cân bằng thì gia tốc bằng không
Tại M và M’ thì gia tốc a có độ lớn a = 100cm/s2 Lưu ý là M và M’ đối xứng nhau qua vị trí cân bằng
Thời gian trong một chu kì vật có gia tốc không lớn hơn 100cm/s2 được phân bố trên đoạn MM’
Ta có T/3 = 4t1 Vậy t1 = T/12 Từ đó suy ra M và M’ có li độ A
2
=2,5cm
Áp dụng hệ thức a ω x2 tại điểm M ta có 100ω 2,52 Suy ra ω 40 4.π2 2π
Rad/s
Vậy tần số của dao động là f = /2 = 1Hz Chọn C