Hương dẫn HS 12 ôn tập môn toán Kỳ I ( very good)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 y= x−.. Tìm m để hàm số có cực đại

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG I

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I/Tóm tắt lý thuyết:

Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

a) f’(x)>0,∀x ∈ K⇒ y= f(x) tăng trong K b) f’(x)< 0, ∀x ∈ K⇒ y= f(x) giảm trong K c) f’(x)=0,∀x ∈ K⇒ f(x) không đổi Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x)≥0 (f’(x)≤0), ∀x∈K và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y / = ? Tìm nghiệm của phương trình y / = 0 ( nếu có ) + Lập bảng BXD y / (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần Nếu y / > 0 thì hàm số tăng, y / < 0 thì hàm số giảm ) + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng

II/ Bài tập A/ Bài tập mẫu :

1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y= –2x 3 +9x 2 +24x –7 b) 2 1 1 x x y x − + = − Giải: a) Miền xác định: D= ¡ y′ = −6x2+18x+24, cho 1 0 4 x y x = −  ′ = ⇔  = Bảng biến thiên: x –∞ –1 4 +∞

y′ – 0 + 0 –

y

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞ −; 1),(4;+∞) Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4) b) Miền xác định: D= ¡ \ 1{ } ( ) 2 2 2 1 x x y x − + ′ = − , cho 0 0 2 x y x =  ′ = ⇔  = Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 2 +∞

y′ – 0 + + 0 –

y

Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2)

Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;0),(2;+∞)

Ví dụ 2 :

Định m để hàm số: y= x 3 – 3mx 2 + (m+2)x– m đồng biến trên ¡

Giải:

Miền xác định: D= ¡

y′= 3x 2 – 6mx+ m+ 2

Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên ¡ là y’ ≥ 0 ∀ x ⇔ 3x 2 – 6mx+ m+ 2 ≥ 0 ∀ x ⇔ 0

a) Luơn đồng biến trên khoảng xác định của nĩ.Kq:1 ≤ m ≤ 0

b) Nghịch biến trên khoản(1;0). Kq: m ≤ 3

2 x

mx 2 +

− + nghịch biến trên nửa khoảng [0;+∞ ).

5) Chứng minh rằng : hàm số luơn luơn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nĩ :

a) y = x 3 − 3x 2 +3x+2 b)

1 x

1 x x

b) Luơn luơn đồng biến trên khoảng (0;+ ∞ )

7) Tìm m để hàm số :

m x

2 m mx 2 x

y 2

−

+ +

−

= luơn đồng biến trên từng khoảng xác định của nĩ

8) Tìm m để hàm số :

m x

1 m x ) m 1 ( x

−

+ +

− +

= luơn đồng biến trên khoảng (0;+ ∞) Kq: m ≤ 3 − 2 2

3

π

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/Tĩm tắt lý thuyết:

• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x 0 thì f / (x 0 )=0

• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên (x0 – h; x 0 + h) với h > 0.

+Nếu y / đổi dấu từ dương sang âm qua x 0 hàm số đạt cực đại tại x 0 ,

+Nếu y / đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 hàm số đạt cực tiểu tại x 0

Qui t ắc tìm cực trị = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0 Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu cĩ)

+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)

+ Kết luận cực trị ?

Chú ý:

1) Nếu hàm số luơn tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên (a;b)

2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0.

3) Nếu f(x) cĩ đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x 0 

/ 0 /

0

( ) 0( )

y x đổi dấu qua x

•Dấu hiệu II:

Cho hàm f(x) cĩ đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x 0 ∈ (a;b)

+Nếu

/

0 //

Nếu y // (xi) > 0 thì hàm số đạt CT tại xi

Nếu y // (xi) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại xi

Chú ý :

*Dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y / khĩ xét dấu

*Một số bài tốn cực trị cĩ chứa tham số:

1/ Điều kiện để hàm số cĩ cực trị tại x = x 0 :

đổi

'

0)

0)('0

0

x y

x y

2/ Điều kiện để hàm số cĩ cực đại tại x 0 :

=

0

0

.từ

quadấu

đổi

'

0)

('

x qua sang y

0)('0

0

x y

x y

3/ Điều kiện để hàm số cĩ cực tịểu tại x 0 :

y'(x ) 0 y''(x ) 0

4/ Điều kiện để hàm bậc 3 cĩ cực trị (cĩ cực đại,cực tiểu):

y’= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt ⇔ a 0

5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 cĩ cực trị (cĩ cực đại,cực tiểu):

y’= 0 cĩ hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu

Tìm cực trị của hàm hữu tỉ : Nếu h/s ( )

( )

u x y

Miền xác định: D= ¡ y′= – 4x 3 + 4x= 4x(–x 2 + 1) Cho y′= 0 ⇔

011

x x x

Một số bài toán có tham số

1 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

1) y=(m+2)x3+3x2+mx m+ 2)

1

x m x m y

− < <



⇔  ≠ ±

 ⇔ − < <1 m 1Vậy giá trị cần tìm là: − < <1 m 1

2 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị

1) y=(m−3)x3−2mx2+3 2)

2

mx x m y

x m

+ +

=+

Hàm số khơng cĩ cực trị ⇔ y' khơng đổi dấu

⇔ phương trình (1) vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép

m m

m

m m

1

2+

19)y x= + 2 osxc 20)y = sin2x - 3 cosx

2: Định m để y=x3 − 3 mx2 + 3 ( m2 − 1 ) ( x − m2 − 1 ) đạt cực đại tại x=1

− +

2

2

2+

++

=

x

m x x

m x

m x mx y

+

+ +

9 Cho hàm số y x= −3 3x2+m x m2 + Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

y= x− ( ĐHQG à Nội, 2001)

10 Cho hàm số y x= 4−2mx2+2m m+ 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại

và cực tiểu lập thành một tam giác đều (Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)

11 Cho hàm số y x= −3 (2m+1)x2+(m2−3m+2)x+4 Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại

và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.

12 Cho hàm số 3 2 ( )

y x= − x + C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của

đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): x2+y2−2ax−4ay+5a2− =1 0.

a) Đồ thị của hàm số có hai cực trị cùng dấu b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

3.1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:

+ Đạo hàm : y / = ?

Tìm nghiệm của y / = 0 thuộc (a;b) ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x 1 , x 2 …

+ Tính y(a), y(b), y(x 1 ), y(x 2 ) ………

+ So sánh các giá trị vừa tính max y[a;b] =số lớn nhất, min y[a;b] =số nhỏ nhất. Chú ý: * Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì max y f (b); min y f (a)[a;b] = [a;b] = * Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì max y f (a); min y f (b)[a;b] = [a;b] = 3.2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ : + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ + Đạo hàm : y / = ?

cho y / = 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) + BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chú ý: * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT (min yD = YCT ) * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ (max yD = yCD ) * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b). II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y= 2x 3 – 3x 2 – 12x+ 1 trên 3 2; 2 −      b/ y= 1 2x 2 +1 x trong (0;+∞) Giải: a) Xét x∈ 2;3 2 −      y′= 6x 2 –6x –12 cho y′= 0 ⇔x= –1 ( nhận) Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f(3 2 )= –17 Vậy: 2;3 2 max ( ) 8 x f x   ∈ −    = , 3 2; 2 min ( ) 17 x f x   ∈ −    = − b) Xét x∈(0;+∞) y′= x– 12 x = 3 2 1 x x − cho y′= 0 ⇔x= 1 Bảng biến thiên: x 0 1 +∞

y′ – 0 +

y +∞ +∞

3

2

Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong (0;+∞)

∈ +∞ = = (0; ) 3 min ( ) (1) 2 x f x f

B/ Bài tập tự giải:

1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số

a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] b) y = 2 3 4

3

− +

x trên đọan [-4 ; 0]

c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] d) y = -x4 + 2x2 + 2 trên đọan [0 ; 3]

e) y =

1

1

−

+

x

x

trên đọan [2 ; 5] f) y = 1 -

x

1 trên đoạn [1;2]

g) y = x -

x

1

trên (0 ; 2] h) y =

1

1 3 2 +

+

−

x

x x

trên đọan [1 ; 4]

i) y =

2

45

2 2

+

++

x

x x

trên đọan [-3 ; 3] j) f x ( ) x 9

x

= + trên đoạn [ ]2;4 k) f x( ) = +x 2 osxc trên đoạn 0;

2 x

cos

1 x sin

2) Định m để hàm số y = f(x) = x3 − 3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghịch biến trên khoảng( −1;0).Kết quả : m ≤ −34

3) Tìm trên (C): y = xx2−−23 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.

4) Cho hàm số y x2xx12

+ +

−

α +

− α

1 cos x x

cos x cos x

2

x

x x

1 x

x 2 +

x 2 + + . Kết quả: y = ± 1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x 2 + 1.Kết quả : y = ± x

4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 x 2 − x 3 Kết quả : y = x+1.

1 x

m m x 1 m x

+

+ + + +

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm) b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2).

6)Tìm trên đồ thị (C):y =

1 x

2 x

+ + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

7) Lấy một điểm bất kỳ M ∈ (C):y = f(x) =

2 x

1 x

x 2

−

− + Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận

của (C) luôn không đổi Kq: d1 d 2 =

2 9

Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức:

1 TXĐ

2 Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến

Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

Các dạng đồ thị hàm trùng phương:

Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:(−∞;1) và (2; +∞), nghịch biến trong khoảng: (1;2)

Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ =1, cực tiểu tại x=2; y CT =0

x −∞ 1 2 +∞

y′ + 0 – 0 +

y 1 +∞

−∞ 0

y′′= 12x– 18 y′′= 0 ⇔x= 3 2 ⇒y= 1 2 đồ thị có 1 điểm uốn I( 3 2; 1 2) Điểm đặc biệt x 0 1 3 2 2 3 y -4 1 1 2 0 5 Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận I 3 1 ; 2 2    ÷   làm tâm đối xứng. Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= x4 – 2x 2 – 1 Giải: Miền xác định: D= ¡ y′= 4x 3 – 4x cho y′= 0 ⇔4x 3 – 4x=0⇔ 0 1 1 x x x =   =   = −  y′> 0 ⇔  >− < <1 1 0 x x ; y′< 0 ⇔  < <0< −1 1 x x Hàm số đồng biến trong 2 khoảng: (–1;0) và (1; +∞), nghịch biến trong 2 khoảng: (−∞;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ = -1, cực tiểu tại x= ±2; y CT = -2 lim x y →+∞ = lim x y →−∞ = +∞ Bảng biến thiên: x −∞ –1 0 1 +∞

y′ – 0 + 0 – 0 +

y +∞ –1 +∞

–2 –2

Điểm đặc biệt x -2 -1 0 1 2 y 7 -2 -1 -2 7 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. B/ Bài tập tự giải: Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng y = a3 + bx 2 + cx +d a/ y = 2x3 - 3x 2 + 1 b/ y = 1 3x 3 – x 2 + x -1 c/ y = - x 3 – x 2 – x -1 d/y = - x 3 + 3x + 1 e/y = x 3 -3x+1 f/ y = x 3 +3x − 4 g/ y = (1-x) 3 h/ y = 3x 2 -x 3 i/y = -1 3x 3 –2 x 2 -4 x +1 j/ y = x 3 + x + 1 k/ y= x 3 - x 2 - x + 1 l/ y = 1 3 3x - x m/y= - x 3 + 3x 2 n/ y = x 3 – 3x 2 +2 p/ y = x 3 – 3x + 1 2/ Dạng 2 : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) a/ y= x4 – 3x 2 +2 b/ y= x 4 + x 2 – 4 c/ y= 4 2 3 2 2 x x − + −

d/ y= 3 - 2x 2 – x 4 e/y=

4

3

x x

− + f/ y = x 4 + 2x 2 g/ y = - x 4 + 2x 2 +2 h/ y =

-4

x x

− + i/

y = -4 2 5 2 2 x x + − j/ y = 2 1 x 2 x 4 2 + − k/ y = x 4 +x 2 -2 l/ y=2x 2 − x 4 -1 m/ y=x 4 -1 4.2.Hàm phân thức : y = cx ax++d b ( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) * TXĐ : D = R\      − c d * Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: y / = (cx d) 2 bc ad + − ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị của hàm số Hàm số khơng cĩ cực trị c) Giới hạn, tiệm cận: • x = −d c là tiệm cận đứng vì ( / ) ( / ) lim ( ); lim ( ) x d c x d c ax b ax b cx d cx d + − →− →− + = +∞ −∞ + = −∞ +∞ + + • y = c a là tiệm cận ngang vì lim lim x x ax b ax b a cx d cx d c →+∞ →−∞ + = + = + + d) BBT + Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận, trục toạ độ, điểm đặc biệt − Cho 2 điểm về mỗi phía của tiệm cận đứng vẽ từng nhánh một

II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1:khảo sát hàm số 1 1 x y x − = + TXĐ : D=¡ \{ }−1 Sự biến thiên : + Chiều biến thiên: ( )2 2 ' 1 y x = + > 0 ,∀ ∈D x ⇒ Hàm số tăng trong 2 khoảng (−∞ −; 1 ; 1;) (− +∞) + Giới hạn và tiệm cận : • xlim→−∞y=xlim→+∞y= ⇒ =1 y 1 là tiệm cận ngang • x→ −lim( )1+ y= −∞; ( ) 1 lim x y − → − = +∞ ⇒ = −x 1 là tiệm cận đứng +Bbt x -∞ -1 +∞

y’ + +

y +∞ 1

1 -∞

y= a/c

y= a/c

x Ghi tập xác định và nghiệm của phương trình y/=0

f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị của hàm số, giới hạn ở vơ cực và tại x = -d/c

f y ( ) = -12

− +

=+

y x

−

=+ <0 ,∀ ∈x D ⇒ Hàm số giảm trong 2 khoảng

−+ c/ y=

1

x x

−

− d/y=

21

x+ e/y =

1

x x

−

+ h/ y =

2 x x

+

MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến.

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ M(x 0 ;f(x 0 )) :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0 ;f(x 0 )) là: y = f (x )/ 0 (x–x 0 ) + f(x 0 )

2/ Tại điểm M trên đồ thị (C) có hoành độ x 0 :

B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)

B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = f (x )/ 0 (x–x 0 ) + f(x 0 )

3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y 0 :

B1: Tìm f ’(x)

B2: Do tung độ là y0⇔f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0⇒ f / (x 0 )

B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x )/ 0 (x–x 0 ) + y 0

4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:

B1: Gọi M0 (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm

B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

f′(x0)=k (*)

B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒y 0 = f(x 0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến.

Chú ý:

 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 )=a.

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 ).a=-1.

5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) :

B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1 ;y 1 ) có hệ số góc k là: y = k(x–x 1 ) + y 1 (1)

B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trình sau có nghiệm :

y x x k x f

)(

)()

B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến.

Bài tốn 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ :

+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m)

+ y = g(m) là đường thẳng ∆ cùng phương với trục hồnh; hàm số y =f(x) cĩ đồ thị (C)

+ Tuỳ theosố giao của ∆ và đồ thị (C) ⇒ số nghiệm của phương trình

Chú ý: Căn cứ tung độ cực đại và cực tiểu để phân chia các trường hợp biện luận

Bài tốn 3 : GIAO ÐIỂM HAI ÐUỜNG CONG ( Ð.THẲNG VÀ MỘT ÐUỜNG CONG).

1 Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x)

Hồnh độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) nếu cĩ là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

• pt(1) vơ nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) khơng cĩ giao điểm

• pt(1) cĩ n nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) cĩ n giao điểm

* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đuờng cong.

2 Điều kiện tiếp xúc :

Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x 3 -3x +1 = kx + 1 (1) ⇔ x 3 -(3+k)x = 0

Nếu 3+k < 0 ⇔ k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ (C) và d có 1 giao điểm.

Nếu 3+k = 0 ⇔ k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0 ⇒ (1) có 1 nghiệm bội ⇒ (C) và d có 1 giao điểm.

Nếu 3+k > 0 ⇔ k> -3 Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 Vậy k> -3 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt⇒ (C) và d có 3 giao điểm.

Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình 3 2x = mx+ 2

Cho hàm số y=x 3 – 6x 2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số

nghiệm của phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0

Nếu m > 4 thì d và (C) cĩ 1 giao điểm ⇒ phương trình cĩ 1 nghiệm.

Nếu m = 4 thì d và (C) cĩ 2 giao điểm ⇒ phương trình cĩ 2 nghiệm.

Nếu 0< m <4 thì d và (C) cĩ 3 giao điểm ⇒ phương trình cĩ 3 nghiệm.

Nếu m=0 thì d và (C) cĩ 2 giao điểm ⇒ phương trình cĩ 2 nghiệm.

Nếu m < 0 thì d và (C) cĩ 1 giao điểm ⇒ phương trình cĩ 1 nghiệm.

Ví dụ 4 :

Cho đường cong (C) y = x 3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm cĩ hồnh độ bằng –2

c.Tại điểm cĩ tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số gĩc của tiếp tuyến bằng 3.

e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)

0

x =-8 ⇒ x 0 = -2 ⇒ f’(x 0 )=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16

d/ Hệ số gúc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔f ’(x 0 )=3 ⇔ 3.x02=3⇔ x0= ±1

với x 0 =1 ⇒ f(x 0 )=1 ⇒ Phương trỡnh tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2

với x 0 =-1 ⇒ f(x 0 )= -1 ⇒ Phương trỡnh tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.

e/Phương trỡnh đường thẳng d đi qua B(2;8) cú hệ số gúc k là: y = k(x–2) + 8

d là tiếp tuyến của (C) ⇔hệ phương trỡnh sau cú nghiệm :

=



 = −

Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trỡnh tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.

Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trỡnh tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4

B/ Bài tập tự giải:

1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:

a) (C): y =

2 x

3 x

b.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x 3 +3x 2 − (m − 2) = 0

3) Dựng đồ thị (C): y = x3 − 3x 2 +1 biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh x 3 − 3x 2 − 9x+1 − m = 0.

4) Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng vuụng gúc với đường thẳng y=

4

1 x+3 và tiếp xỳc với đồ thị (C) hàm số y= − x 3 +3x 2 − 4x+2.

5) Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3 +3x 2 +1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.

6) Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ (C): y = xx+−22 Tửứ ủoà thũ (C) ủaừ veừ, haừy suy ra ủoà thũ cuỷa caực haứm soỏ: a) (C 1 ): y = f 1 (x) = x 2

2 x

+

−

b) (C 2 ): y = f 2 (x) =

2 x

2 x

+

− c) (C

3 ): y = f 3 (x) = x 2

2 x

+

−

d) (C 4 ): |y| = f 4 (x) =

2 x

2 x

+

− e) (C

5 ): y = f 5 (x) = xx+−22 f) (C 6 ): |y| = f 6 (x) = x 2

2 x

+

−

7) a) Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3 − 3x 2 +2 b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3 − 3x 2

+2 Từ đú biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh: | x| 3 − 3x 2 +1 − m = 0.

8) Cho hàm số y=2x2 − +x 1, có đồ thị (C) Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.

9) Cho hàm số y x= 3 3 2− x+ , có đồ thị (C) Viết PTTT của (C) tại điểm (0;2) (ĐH DL Đông Đô )

10) Cho hàm số y x= 3 3 1− x+ , có đồ thị (C) Cho điểm A(x 0 ;y 0 ) thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại

điểm B khác điểm A, tìm hoành độ B theo x 0 (ĐH Thơng Mại)

11) Cho hàm số y x= (3−x)2, có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) tại điểm x 0 m f à // (x 0 ) = 0 (ĐH Thái Nguyên)

12) Cho hàm số y=2x3+3x2- 12x- 1, có đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó đi quagốc toạ độ

13) Cho hàm số y=x3- 3x2+4 Viết PTTT tại giao điểm của (C) với trục hoành (CĐ Y Tế Nam Định )

x , có đồ thị (C) Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tọa độ tại hai

điểm A, B và tam giác OAB vuông cân tại O.

17) Cho hàm số = + +

+

22

1

x mx m y

x , có đồ thị (C )m Xác định m để (C )m cắt Ox tại hai điểm phân biệt mà tiếp

tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau (ĐH Y93)

thuộc ( )C , biết tiếp tuyến của ( )C cắt 2 trục Ox Oy, tại A B, và tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1

cận tại hai điểm phân biệt , A B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất?

20) Cho hàm số 2 1 ( )

− Tìm các điểm trên đồ thị ( )C mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị

( )C vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của ( )C

21). Cho hàm số y x= −3 2m x( + +1 1) Tìm mđể đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt?

22). Cho hàm số y x= −3 3x2−9x m C+ ( )m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

12

y= x m− luơn cắt ( )C tại hai điểm

phân biệt , A B Xác định m sao cho độ dài AB là nhỏ nhất?

24).Cho hàm số y x= 4−(3m+2)x2+3 m C( )m , m là tham số a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m=0 b/ Tìm m để đường thẳng y= −1 cắt đồ thị ( )C m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

25).Cho hàm số y x= −3 6x2+3(m+2)x m− −6 Định m để hàm số cĩ cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.

26).Cho hàm số y= − −x3 3x2 + 3(m2 − 1) x− 3m2 − 1 (1), m là tham số. (ĐH Khối−B năm 2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.

27) Cho hàm số:y x= 4−2m x2 2+1, (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân

28).Cho hàm số: 2 mx

y

1 x

+

=

− , (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=0.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách

giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10.

1

y x

−

=

− cĩ đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ (C).

b) Tìm trên (C) những điểm cĩ toạ độ nguyên c) Tìm điểm trên (C) cách đều các trục toạ độ.

d) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luơn luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN.

d) Đường thẳng d cắt hai tiệm cận tại hai điểm P và Q Chứng minh hai đoạn MN và PQ cĩ cùng trung điểm.

30) Cho hàm số 3

1

x y x

+

=+ cĩ đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ (C).

b) Chứng minh đường thẳng y = 2x + m luơn cắt (C) tại hai điểmphân biệt M và N Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.

c) Xác định m sao cho đoạn MN ngắn nhất.

d) Tìm trên (C) những điểm cĩ toạ độ nguyên

e) Tìm trên (C) những điểm cĩ tổng khoảng cách tới 2 trục toạ độ nhỏ nhất.

f) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận của (C) tại P và Q Chứng minh S là trung điểm của đoạn PQ.

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG II

Bài 1: LŨY THỪA

• Các quy tắc :

⋅ ax.ay = ax+y  (a.b)x =ax.bx 

x

a x ya y a

1 75

,

0

32

1125

181

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức

Bài 1: Giản ước biểu thức sau

(a−5) b) B = 81a b4 2 với b ≤ 0 c) C = (a3 25)3 5 (a > 0)

b + và a > 0 , b > 0g) J =

a a

++

−

−

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức

Bài 1 chứng minh : x+2 x− +1 x−2 x− =1 2 với 1 ≤ x ≤ 2

Bài 5: Chứng minh rằng 39+ 80 +39− 80 =3

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỨA I/Tĩm tắt lý thuyết:

1 khái niệm.

“Hàm số y = xα, với α ∈ R, được gọi là hàm số luỹ thừa.”

* Chú ý :

+ Với α nguyên dương, tập xác định là R

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}

+ Với α khơng nguyên, TXĐ D = (0; + ∞)

2 đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Hàm số y = x , α (α∈R) cĩ đạo hàm với mọi x > 0 ta cĩ :

2 x

y= − c/ y =(x2 – 1) – 2

d/ y = (2x+1) 2 e/ y = (x2 +2x−3)23 f/ y =

321

x x

−

 + ÷

  g/ y =0

x x

x x

x x

1/ Định nghĩa Logarit: a, b>0 và a≠1 α = log a b ⇔ aα = b

2/ Tính chất: log a1 = 0; logaa=1; aloga x = x ; loga x a = x

3/ Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta có:

• loga(B.C) = logaB + logaC • loga B

C

 

 ÷

  = logaB − logaC •logaBβ = βlogaB

4/ Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta có :

logca.logab = logcb hoặc log ba log bc

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit

Bài 1 Tính logarit của một số

A = log 2 4 B= log 1/4 4 C = 5 1

log

25 D = log279 E =

4 4

3log 9

2log 532

8 F = 21 log 70 + 2 G = 23 4log 3 − 8 H = log 2 3log 5 3 3

C = 2 25 3

1

5 D = log 6log 9 log 23 8 6

E = log 2.log 3.log 4.log 5.log 73 4 5 6 8 F = 2

4

log 30log 30

Chứng minh: log ax 2

21

a x= x

Từ đĩ giải phương trình log 3 x.log 9 x = 2

e) cho a, b > 0 và a 2 + b 2 = 7ab chứng minh: 2 1 2 2

a/ Biết log153 = a Tính log2515 theo a?

b/ Biểu diễn log41250 theo a=log25

c/ Biểu diễn log 50 theo a=log3 315 và b=log310

d/Biết lg2 = a, lg3 = b Tính lg

25

24 theo a và be/ Tính log 32 theo a nếu 49 log 14 a2 =

f/ Tính log2472 theo a nếu log 26 =a

g/ Tính log 65 theo a và b nếu log1003=avà log100 2=b

Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 > logax2

+ 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 ⇔ logax1 <logax2

Đạo hàm của các hàm số logrit

x x

−+d) y = log 3 |x – 2| e)y =

5

log ( 2)

x x

2

1log x−1 i) y= lg( x2 +3x +2)

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 1: tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.e x b) y = x 7 e x c) y = (x – 3)e x d) y = e x sin3x

e) y = (2x 2 -3x – 4)e x f) y = sin(e x ) g) y = cos( e x2 + 2 1x ) h) y = 4 4x – 1

i) y = 3 2x + 5 e -x + 1

3x j) y= 2 xex -1 + 5 x sin2x k) y = 2 1

4x

x −Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số sau

a/ y = ( x + 1)ex b/ y = x2 e4x+1 c/ y = 1( )

2

x x

e −e− d/ y = 1( )

Bài 4 Tính đạo hàm các hàm số sau

a/ y = ( x + 1)lnx b/ y = x2 lnx2 c/ y = ln 1

1

x

x+ d/ y =

Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và loga:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a/ y= lnx– x b/ y= e -x cosx trên [ ]0;π c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [−1 ; 0]

Bài 2: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :y =f(x)= lg2 x + lg x 2

33

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a./ log2x+log (2 x+ =3) 2 b./ log2x+log2x2 =log29x