tìm hiểm bài toán tĩnh điện hóa báo cáo khoa hoc đông bằng bắc bộ

Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây, cách tâm O của vòng dây một khoảng OM = h..

BÁO CÁO KHOA HỌC ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

ĐỀ TÀI: “ TÌM HIỂU BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN”

Điện học có những ứng dụng rộng rãi, có những đóng góp to lớn cho sự tồn tại

và phát triển của con người Trong thế giới hiện đại, thời đại khoa học kỹ thuật pháttriển thì Điện học là một trong những lĩnh vực đang được quan tâm phát triển

Các sự vật hiện tượng vật lý trong tự nhiên là muôn màu muôn vẻ, vấn đề đặt ra với người học Vật lý là vận dụng được những kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn, muốn làm được điều này thì người học phải nắm vững được bản chất vật lý của vấn đề Tuy nhiên, các lý thuyết, các đối tượng nghiên cứu đượctrình bày ở phổ thông và vật lý đại cương còn nặng về lý thuyết, còn mang tính chất

lý tưởng hóa, đã thoát khỏi mối quan hệ ràng buộc, qui định lẫn nhau Cho nên, họcsinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng đặc biệt là những bài toán khó vàphức tạp

Đề tài điện học được viết ra với mong muốn tổng kết và hệ thống hoá lại những kiến thức trong chương trình chuyên để giúp các em học sinh ôn tập tốt hơn

và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới

II Nội dung của đề tài.

Q r E

r r

πε ε

=

r ur

Điện tích dương thì điện trường hướng ra và điện tích âm thì điện trường hướng vào

2 Định lý O-G

a) Điện thông: Điện thông là một đại lượng vô hướng và ý nghĩ là số đường sức

điện đi qua mặt ∆S và xác định bằng

b) Thiết lập phương trình cho đinh lý O-G

- Xét cá điện tích đặt bên trong một mặt S:

3 Thế năng tương tác của các điện tích điểm

- Các điện tích tương tác lực với nhau, hoặc điện trường tương tác lên điện tích tức có khả năng sinh công hay nói các khác có năng lượng, năng lượng này tồn tại dưới tương tác tích điện

-Thế năng tương tác giữa hai điện tích:

0

W=

4

qQ r

πε ε

- Thế năng tương tác giữa nhiều điện tích:

1 W=

i j

i j

q q r

πε ε

∑

- Điện thế gây ra bởi điện tích điểm:

0 4

q V

i i

q V

q3q

1

•

- Năng lượng tương tác giữa điện trường và điện tích:

,

1 W=

4 Điện trường trên bề mặt vật dẫn và áp suất tĩnh điện

- Xét một vật dẫn tích điện, điện trường bên trong

0 0

E F

p S

ε

σ ε

+ Nếu quả cầu tích điện đều thì áp suất tĩnh điện là như nhau tại mội điểm

5 Định luật bảo toàn năng lượng trong một hệ điện tích.

- Xét một hệ kín tích điện thì cơ năng được bảo toàn

Trong bài viết nhỏ này sẽ trình bày một ví dụ cụ thể của phương pháp môhình đó là “Phương pháp ảnh điện“

Cách giải bài toán ảnh điện: Xác định được các điện tích ảnh, sau đó ta bướcvào giải bài toán tĩnh điện trên hệ điện tích ảnh đã tìm và hệ điện tích điểm ban đầu

đã biết Nghiệm của bài toán cũng là nghiệm duy nhất phải tìm Như vậy ta đãchuyển bài toán phức tạp có những điện tích phân bố liên tục về bài toán đơn giảnchỉ gồm các điện tích điểm bằng cách thay thế hệ vô hạn các điện tích phân bốphức tạp bằng các điện tích ảnh điểm

Trong từng bài toán ảnh điện cụ thể chúng ra sẽ xét nội dung của bài toánmột cách cụ thể hơn

B BÀI TẬP

Bài 1: Tại 8 đỉnh của hình lập phương cạnh a =0,2m ở trong chân không, có đặt 8

điện tích điểm có cùng độ lớn là q = 9.0-8, bốn điện tích ở đáy trên có trị số âm, bốnđiện tích đáy dưới có trị số dương Xác định cường độ điện trường tại tâm hình lập phương

B -q C - q

D

C'' q

-q

A -q

B' q

Vì hệ điện tích phân bố đối xứng nên vectơ

cường độ điện trường tổng hợp phải nằm dọc

theo trục đối xứng zz'

Rõ ràng là hình chiếu của các vectơ cường độ điện trường của các điện tích trên trục zz' đều như nhau Do đó, ta chỉ cầntính hình chiếu của một trong tám vectơ đó Trên hình 1.9G ta biểu diễn bốn vectơ nằm trong mặt phẳng BDD'B' ( với ACC'A' cũng có một hình tương tự) ta tính chomột vectơ, chẳng hạn EuurB

B

kq E

D'' q

z'

O

z

B - q

B'

- q D' - q

- q D z'

z

O

Bài 2: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một vòng dây dẫn mảnh bán kính

R mang điện tích q, tại một điểm M nằm trên trục của vòng dây, cách tâm O của vòng dây một khoảng OM = h

Xét các trường hợp riêng: Điểm M trùng với tâm O, và điểm m ở rất xa vòng dây (h>> R)

Giải:

Chia vòng dây thành từng phần nhỏ có độ

dài ∆ ∆ <<s s( R)sao cho mỗi phân tử nhỏ mang

điện tích ∆q có thể xem như là một tập hợp các

điểm tích điểm mỗi.Khi đó vòng dây được xem

như là một tập hợp các điện tích điểm Mỗi điện

tích này gây ra tại M một điện trường và điện

trường tổng hợp do cả vòng dây gây ra được xác

định nhờ nguyên lý chồng chất điện trường

Ký hiệu λ là mật độ điện dài trên vòng dây ta có:

2

q R

λ π

=

Để cho cụ thể, giả sử q> 0 Phần tử ∆S1mang điện tích ∆q1 gây ra tại M một điện

trường có cường độ ∆Euur1 với phương và chiều như trên hình và có độ lớn

Chú ý đến tính đối xứng với trục vòng dây, ta thấy có thể tìm hiểu được một phần

tử ∆s2 giống hệt ∆ ∆ + ∆s1( s2 s1) nhưng đối xứng với nó qua tâm O Phần tử này mang

điện tích ∆ + ∆q2 q1 gây ra tại M một điện trường ∆E2

Có cường độ ∆ + ∆E2 E1 và có phương chiếu như trên hình Ta thấy các véc tơ

cả ∆s v1 à ∆s G y ra E2 â ∆uurn = ∆ + ∆Euur1 Euur2 có phương dọc theo trục vòng dây, có chiều hướng ra xa tâm O ( do giả thiết q> 0) và có độ lớn.

(Với ∆s2) là tổng độ dài của hai phân tử ta xét Xét tất cả các cặp phần tử của vòng

dây tương tự như trên, mỗi cặp này cho một vectơ cường độ điện trường ∆Euurn nằm trên trục vòng dây Tất cả các vectơ ∆Euurn đótạo thành cường đọ điện trường Eur

do toàn bộ vòng dây gây ra Như vậy, vectơ cường độ điện trường urE

do vòng dây dẫn mang điện tích q gây ra có phương là trục vòng dây, có chiều hướng ra xa tâ, O củavòng dây nếu q>0 hoặc hướng về tâm O, nếu q< 0 và có độ lớn:

- Tại tâm vòng dây (M=O); h=0 ⇒E0 = 0

- Tại điểm M ở rất xa vòng dây h>> R E k q2

h

cường độ điện trường gây bởi dây mang điện tích q có giá trị giống như cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm của vòng dây

Bài 3: Một quả cầu khối lượng m, mang một điện tích là q được buộc vào một sợi

chỉ cách điện Đầu còn lại của sợi chỉ được buộc vào điểm cao nhất của một vòng dây có bán kinh R đặt trong một mặt phẳng thắng đứng Vòng dây được làm bằng một dây dẫn cứng có bán kính nhỏ không đáng kể Vòng dây được tích điện tích Q cùng dấu với điện tích q và phân bố đều Hãy xác định chiều dài / của sợi dây treo sau khi đẩy lệnh, quả cầu sẽ nằm trên trục của vòng dây

Giải:

Nếu điều kiện đặt ra được

thỏa mãn nghĩa là quả cầu m

nằm tại điểm M trên trục của

vòng dây Thì điện trường Eur

do vòng dây gây ra tại M, có phương là trục OM, có chiều hướng ra xa O ( từ O đến M), với giá thiết các điện tích Q và q là điện tích dương

Khi đó, quả cầu nằm cân bằng dưới tác dụng của ba lực: trọng lực Pur lực điện trường F qEur= ur và lực căng Tur

của sợi chỉ cheo quả cầu: ur ur urP F T+ + = 0 nghĩa là sợi chỉ

bị căng ra theo hướng của hợp lực các lực P v Fur à ur

ký hiệu OM =h, từ hình vẽ ta có:

QpR l

mg

πε

=

Thay số vào (3) ta tìm được l = 7,2.10-2m = 7,2 cm

Bài 4: Điện tích Q được phân bố đều trên một mặt cầu kim loại rắn tuyệt đối với

bán kính R Hãy xác định lực F tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt đó từphía điện tích còn lại

Giải:

Theo điều kiện mặt cầu rắn tuyệt đối nên bán kính thực của nó không thểthay đổi Tuy nhiên chúng ta hãy tưởng tượng rằng do lực đẩy của các điện tíchcùng dấu, bán kính mặt cầu tăng lên chút ít, cụ thể là một lượng vô cùng nhỏ δR.Mặt cầu tích điện có tính chất của một tụ điện – nó giữ nguyên điện tích mà người

ta truyền cho nó Điện thế của mặt cầu liên hệ với điện tích của nó bởi hệ thức:

= Mặt khác, theo định nghĩa điện dung ta có V = Q/C, suy ra C = 4πεε0R.

Năng lượng của tụ điện này W = Q2/2C = Q2/(8πεε0R) Như vậy khi tăng bán kínhmặt cầu, năng lượng này giảm một lượng:

Q

O R

∆W = W – W’ =

) (

8 ) (

8

2 0

2 0

2

R R R

R Q R

R

Q R

Q

δ πεε

δ δ

πεε

Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên năng lượng này bằng côngtoàn phần A do lực đẩy tĩnh điện giữa các yếu tố riêng rẽ của mặt cầu thực hiện.Gọi F là lực tác dụng lên một đơn vị diện tích, ta có: A = F.4πR2.δR Do đó:

F.4πR2.δR =

) (

8 0

2

R R R

R Q

δ πεε

δ + Từ đây lưu ý rằng δR.<< R, ta tính được:

F = 4

0 2

2

Q

εε π

Bài 4: Hai vật có kích thước nhỏ, khối lượng m1 và m2 , mang các điện tích cùngdấu q1 và q2 nằm cách nhau một khoảng a trong chân không Hãy tính công của lựcđiện trường khi thả đồng thời cả hai điện tích cho chúng tự do chuyển động Xéttrường hợp các khối lượng bằng nhau và trường hợp các khối lượng không bằngnhau

Giải:

a) Trường hợp khối lượng các hạt bằng nhau:

Do lực tương tác như nhau, gia tốc các hạt như nhau Chúng đồng thời đượcthả ra, nên các điện tích luôn đối xứng qua khối tâm chung, năm chính giữa đoạn aban đầu

Gọi x là các khoảng cách tức thời từ mỗi điện tích đến khối tâm Công dịchchuyển mỗi điện tích đi ra đến vô cùng bằng:

Khi đó gia tốc của hai vật là khác nhau Tuy nhiên theo định luật bảo toànkhối tâm:

Gọi khoảng cách ban đầu từ khối tâm đến các điện tích là a1 và a2, ta có công dịchchuyển điện tích q1 ra xa vô cùng bằng:

0 1 2

1 4

Bài 5: Cho điện tích điểm dương q= 1nC

a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a = 10 cm Tính điện thông qua

từng mặt của hình lập phương đó Nếu bên ngoài hình lapah phương còn có các điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không ?

b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phương nói trên Tính điện thông qua

từng mặt của hình lập phương

Giải:

a) ví lý do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thông Φ 1 qua 6 mặt của hình

lập phương Điện thông tổng hợp qua toàn bộ hình lập phương là

b) Giả sử điện tích q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương đó Đối với ba mặt của hình lập phương có chưa điện tích q (hình 1.13G)tức là chưa đỉnh A ( Các mặt ABCD, ADD'A'), điện thông bằng 0 vì các đường sức điện trường vuông góc pháp tuyến, α = 90o Vì lý do đối xứng điện thong qua ba mặt còn lại (BB'C''C, AB'C'D',CDD'C'') là như nhau, bằng Φ 2 Để tính Φ2 ta xét hình lập phương lớn tâm A , có

cạnh bằng 2a điện tích q nằm tại tâm hình lập phương lớn Diện tích của mỗi mặt hình lập phương lớn (bằng 4a2) lớn gấp 4 lần diện tích của một mặt hình lập

phương ABCDA'B'C'D' đo đó điện thông qua mỗi hình lập phương lớn sẽ bằng Φ 2

Và vì vậy do đối xứng, điện thông qua toàn bộ hình lập phương bằng

ở những điểm rất gần mỗi điện tích, thì sự đóng góp của

điện tích kia vào điện trường tổng hợp là rất nhỏ, có thể bỏ

qua Vì vậy, có thể coi những đường sức đi ra ( hoặc đi tới)

mỗi điện tích điểm được phân bố đều đặt trong khoảng

không ian rất gần điện tích đó Gọi số đường sức tổng cộng

đi ra khỏi q1 và N1, số đường sức đi ra khỏi q1 trong phạm vi hình nón với góc ở

Tương tự, tỉ số giữa đường sức '

1 os 2

' 2 '

2 1

1

2 2 2 2

q q

α β

Bài 7: Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m1

= m; q1 = +q; m2 = 4m; q2= +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫnnằm ngang Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2;

a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu

b) Xét trường hợp a = ∞ tính rmin

c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo vo, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng Xét trường hợp a = ∞

Giải:

Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều Khi khoảng cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc ur

a r

mv a kq

= +

b) Xét trường hợp a= ∞ hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau Từ (2) ta có

2 min 2

0

5kq r

Thay vào (5) và (6) ta suy ra phương trình cho u2

2 2

u

→

rmin0

v uu r m

2

+q 2

m

1

+q

1

phải cùng chiều với vuur 0

, nghĩa là u2 phải cùng dấu với v0 nên phải lấy dấu "+"

0 2

ta thấy u1 trái dấu với v0 ( tức là ngược chiều với vuur 0

) vì quả cầu 1 bật trở lại trong trường hợp a= ∞ thì ta có: 0 0

Bài 8: Có một nửa vòng trong tích điện trên ( hình 1.9) Một hạt mang điện trái dấu

với điện một điểm nửa vòng tròn đó Được thả ra từ một điểm rất xa trên đường thẳng AB với vận tốc ban đầu bằng 0 Biết tỉ số vận tốc của hạt khi đi qua A và B

Mặt khác, ta viết biểu thức của lực do nửa vòng tròn tác dụng lên điện tích tại A và tại B: FA=qEA =maA; FB = qEB=maB, với EA, EB tương ứnglà cường độ điện trường của nửa vòng tròn tại A và B

Dưới đây ta sẽ lần lượt xác định VA, EA;VB; EB

Tính VA chia nửa vòng tròn thành những đoạn đủ nhỏ để coi là điện tích điểm, mỗi đoạn mang điện tích ∆Q Điện tích do nó gây ra tại A là (hình 1.12G)

+ Tính EA gọi chiều dài của mỗi đoạn mang điện tích ∆Q l1 à ∆l i, λ là điện tích của

mỗi đơn vị độ dài của nửa vòng tròn, cường độ điện trường do AQi gây ra tại A là:

Thay các phương trình (4), (5), (6), (7) vào (3) ta có:

2 4

A B

a a

π π

=

Bài 9: Một lưỡng cực điện có mone urp

, tâm O được đặt dọc theo trục x'Ox Lưỡng cực nằm trong một điện trường đều uurE0

hướng theo trục x'Ox

a) Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm lưỡng cực và điện trường, tại một

điểm M có tốc độ cực r và θ, ở đủ xa lưỡng cực Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều uurE0

bằng không tại điểm O

os 1

4

p c r

θ πε

0 2 0

1

os 4

e

p r

0

2

os 4

1

4

e r

e

p V

r

p V

e

p E r

Vậy ở đó:

0 0

3 os 0

r

E E

Bài 10: Một điện tích điểm q = 20,0 nc đặt trong chân không cách một thành phẳng

bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50mm

a) Tìm lực F trong tương tác giữa điện tích q và thành

Ta xét phổ đường sức và mặt đẳng thế của một hệ hai điện tích điểm bằngnhau, trái dấu (hình vẽ) Ta thấy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điệntích + q và - q là một mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0.

Như vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn(nối đất, lúc đầu không mang điện) thì theo kết quả trên điện trường giữa + q vàmặt phẳng sẽ không bị thay đổi, nghĩa là điện trường đã được gây ra bởi các điệntích σ trong kim loại trùng với điện trường gây bởi điện tích – q đặt đối xứng với qqua bản kim loại Điện tích ảo – q gọi là ảnh của điện tích q qua bản kim loại

Vậy lực tương tác giữa q và bản kim loại là :

b) Xét trường gây ra tại điểm M nằm trên mặt

vật dẫn, cách A một khoảng r Cường độ điện

trường do các điện tích q và -q gây ra tại M có

phương, chiều như hình vẽ Độ lớn :

E1 = E2 = kq/r2

Cường độ điện trường tổng hợp do hệ hai điện tích q

và -q gây ra tại M có phương, chiều như hình vẽ

Độ lớn : E = 2E1cosα = 2kqa/r3

Mật độ điện tích hưởng ứng trên mặt vật dẫn : σ = ε0E = qa/2πr3

Bài 11: Một quả cầu nhỏ khối lượng m, điện tích q ban đầu được giữ ở vị trí thẳng

đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vô hạn, có mật độ điện mặt σ một khoảng

h Thả quả cầu cho nó chuyển động Hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu

Lựcđiện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trường E tác dụng lên q và do điện tích hưởng ứng tác dụng lên

+ Lực do điện trường E tác dụng lên q là lực đẩy, hướng ra xa bản và có độ lớn :

0 1

2 ε

σ

q qE

Lực do điện tích hưởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữ điện tích q

và điện tích – q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn Lực này là lực hút, nó có hướng

ra xa bản và có độ lớn :

2

2 2

4d

kq

F =

Trong đó : d – khoảng cách từ q đến bản kim loại

Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại

2 2 0

2 1

4 2

.

d

kq q F

F

ε σ

.

d

kq q

− ε σ

+ Nếu h < d0 quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại

+ Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng

+ Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim

loại

Bài 12: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại

bán kính R nối đất một khoảng a Hãy xác định :

a) Xác định lực tương tác giữa một điện tích điểm q và

quả cầu

b) Cường độ điện trường do hệ gồm điện tích q và điện

tích hưởng ứng trên bề mặt quả cầu gây ra trong không

gian xung quanh và trên mặt cầu

a

R1