Báo cáo hệ thức liên hệ giữa cường độ điện trường,điện thế

Cường độ điện trường được định nghĩa bằng thương số của của lực do điện trường tác dụng lên điện tích thử và độ lớn của điện tích thử đó.. Khác với cường độ điện trường, điện thế là một

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HẠ LONG

**********************************

CHUYÊN ĐỀ :

HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG – ĐIỆN THẾ

VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG

Người viết : ĐỖ THỊ DIỆU THÚY

Tổ : Vật lý-côngnghệ Trường : THPT Chuyên Hạ Long

Hạ Long, tháng 8/2012

CHUYÊN ĐỀ:

HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG – ĐIỆN THẾ

VÀ CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG.

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1 Đặt vấn đề.

Đặc tính về lực của điện trường là véctơ cường độ điện trường E Cường độ điện trường được định nghĩa bằng thương số của của lực do điện trường tác dụng lên điện tích thử và độ lớn của điện tích thử đó Từ định nghĩa này dễ dàng thấy cường độ điện trường không phụ thuộc vào độ lớn điện tích thử (miễn là nó không làm thay đổi điện trường mà ta đang xét) và bởi vậy nó đặc trưng cho chính điện trường đó

Ngoài đặc trưng về lực ra, người ta còn đưa vào đại lượng đặc trưng về mặt năng lượng của trường, đó là điện thế V Khác với cường độ điện trường, điện thế là một đại lượng vô hướng và có

độ lớn bằng thương số của thế năng tương tác của điện tích thử với trường và độ lớn của điện tích thử đó Thế năng của điện tích đặt tại một điểm M trong điện trường ngoài về trị số bằng công cần thiết phải thực hiện để làm dịch chuyển điện tích đó từ mốc tính thế năng đã chọn (tức là điểm qui ước thế năng bằng không) về điểm M Do đó giá trị của thế năng cũng như điện thế tại một điểm đã cho phụ thuộc vào mốc tính điện thế đó Như vậy không phải bản thân điện thế tại một điểm mà là

sự biến thiên của nó trong không gian (tức hiệu điện thế) mới có ý nghĩa vật lý, vì nó không phụ thuộc vào việc chọn mốc tính

Trên thực tế, điện trường có thể đặc trưng chỉ bởi một hàm, chẳng hạn như điện thế, vì cường độ điện trường có mối quan hệ đơn giá với điện thế, nên ta có thể tính điện thế với phân bố cường độ điện trường đã biết, hoặc ngược lại, tính cường độ điện trường E khi phân bố điện thế V đã biết

2 Tính điện thế từ điện trường.

Ta có thể tính hiệu điện thế giữa hai hai điểm M và N trong một điện trường nếu ta biết điện trường E ở mọi vị trí dọc theo một đường nào đó nối hai điểm đó

Xét một điện trường bất kỳ được biểu diễn bằng các đường sức như hình vẽ 1 và một điện tích thử q0

chuyển động dọc theo đường đã chỉ từ điểm M đên điểm N Ở một điểm nào đó trên đường đi, lực tĩnh điện Eq0 tác dụng lên điện tích khi nó thực hiện một di chuyển vi phân sd, ta có công do lực F thực hiện trong đoạn dịch chuyển ds là:

dW=F.ds=q0E.ds

Để tìm công toàn phần W do điện trường thực hiện lên hạt khi nó dịch chuyển từ điểm M đến N

ta lấy tổng bằng tích phân công vi phân đã thực hiện lên điện tích cho mọi dịch chuyển vi phân sd dọc đường đi

= ∫N

M 0

Mặt khác ta có

0

MN N

M

q

W V

V

M N

Kết quả trên không phụ thuộc vào giá trị q0 mà ta đã dùng để tính

+

.N

M.

qoE

ds

q0

Hình 1

Vậy nếu biết điện trường trong miền nào đó phương trình trên cho ta tính hiệu điện thế giữa hai điểm bất kỳ ở trường Vì lực điện là bảo toàn nên tất cả các đường đi đều dẫn đến cùng một kết quả Tất nhiên một số đường có thể tính dễ dàng hơn các đường khác Nếu ta chọn điện thế VM tại điểm

M nào đó làm mốc thì ta có phương trình

=−∫N

M

s d E

phương trình này cho ta điện thế tại một điểm N nào đó ứng với mốc điện thế tại điểm M Nếu ta chọn M ở xa vô cùng thì ta cho điện thế tại một điểm N đối với thế ở xa vô cực

3 Tính điện trường từ điện thế.

Trong phần 2 ta đã biết làm thế nào để tính điện thế ở một điểm nếu biết điện trường ở đó Trong phần này ta sẽ đi theo đường khác nghĩa là tìm điện trường khi biết điện thế Nếu ta biết điện thế V ở tất cả các điểm gần một tập hợp điện tích ta có thể vẽ được một họ mặt đẳng thế Các đường sức điện trường, vẽ vuông góc với các mặt đó sẽ cho ta thấy sự biến thiên của E

Hình vẽ 2, cho ta thấy các mặt cắt của một họ các mặt đẳng thế ở gần nhau Hiệu điện thế giữa mỗi cặp lân cận là dV Điện trường Eở một điểm P bất kỳ vuông góc với mặt đẳng thế đi qua điểm

đó

Giả sử có một điện tích thử q0, dịch chuyển một đoạn dstừ một mặt đẳng thế bên cạnh Ta có công mà điện trường thực hiện trên điện tích thử đó trong quá trình dịch chuyển là (-q0dV) Mặt khác công điện trường cũng được tính bằng (q0E)ds hay q0Ecosθds Cân bằng hai biểu thức ta được

-q0dV=q0E(cosθ)ds

Hay

ds

dV

Vì Ecosθ là thành phần của E

dọc theo trục s (nằm dọc theo sd)

phương trình trên trở thành:

s

V

Es

∂

∂

−

=

Vậy thành phần E hướng dọc theo một hướng nào

đó bằng trừ tốc độ biến thiên của điện thế theo

khoảng cách trên hướng đó

Nếu ta lấy trục s lần lượt là các trục x, y, z ta sẽ tìm được các thành phần x, y, z của E tại một điểm bằng

x

V

Ex

∂

∂

−

y

V

Ey

∂

∂

−

z

V

Ez

∂

∂

−

=

Như vậy nếu ta biết tại mọi điểm trong một miền quanh một phân bố điện tích, nghĩa là nếu ta biết V(x,y,z) ta có thể tìm được các thành phần của Etại một điểm nào đó bằng cách lấy đạo hàm riêng phần của V

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài toán 1:

Thế ở một điểm trên trục của đĩa tích điện được cho bởi biểu thức sau:



2ε

σ

0

+

E

ds

q0

Hình 2

θ s

với R là bán kính của đĩa, σ là mật độ điện mặt Xuất phát từ biểu thức này, hãy suy ra biểu thức cho điện trường ở một điểm nào đó nằm trên trục của đĩa

Bài giải:

Do đối xứng, E phải nằm dọc theo trục của đĩa

Nếu ta chọn trục s trùng với trục z của đĩa thì ta có





+

−

=







−

=

−

=

2 2 0

2 2 2 0

z

R z

z 1

2ε

σ z R

z dz

d 2ε

σ dz

dV

E

Bài toán 2:

Một mặt cầu dẫn tích điện bán kính R1 được bao quanh một lớp cầu làm bằng điện môi, bán kính ngoài R2 Hãy tìm phân bố điện thế V(r) trong toàn không gian và vẽ phác đồ thị tương ứng, nếu biết điện tích của mặt cầu là Q

Bài giải:

Trước hết tìm phân bố cường độ điện trường E(r) Vì bài toán có tính đối xứng cầu, nên cường độ điện trường và điện thế chỉ phụ thuộc vào độ lớn rkhông phụ thuộc vào hướng của nó Ta phân không gian thành ba vùng r≥R2 , R1 ≤r≤R2 , r≤R1

Dễ dàng thấy rằng cường độ điện trường do điện tích gây nên trong vùng r≥R2 bằng cường độ điện trường do điện tích điểm Q đặt tại tâm mặt cầu gây nên Do đó trong vùng này

( ) 2

0r 4ππ

Q r

Sử dụng mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế nói trên

0

const 4ππε

Q dr r 4ππ

Q Edr

Để tìm hằng số const1 ta chọn mức không của điện thế ở vô cùng, tức là khi r→∞, V→0, với cách chọn mốc như vậy hằng số trong biểu thức trên bằng không, khi này phân bố điện thế có dạng ( )

r 4ππ

Q r

V

0

=

Xét vùng R1≤r≤R2, trong vùng này điện trường tương đương với điện trường của điện tích điểm Q, còn toàn không gian thì choán đầy chất điện môi có hằng số điện môi là ε Bởi vậy phân bố cường độ điện trường trong vùng có dạng

( ) 2

0εr 4ππ

Q r

Làm tương tự như trên ta tính được

0

const εr

4ππ

Q r

Vì V(r) là hàm liên tục nên điện thế tại r=R2 phải có giá trị

như nhau khi r→R2 từ cả hai phía bên phải cũng như bên

trái, tức là:

2 0 2

0

const R

4ππ

Q R

4ππ









 −

=

ε

1 1 R 4ππ

Q const

2 0 2

z

P.

o

R2

R1

+

+

+ +

+ +

+

ε

Q Hình 3

Hình 4

Và phân bố điện thế trong vùng này có dạng.

2 0

1 ε Q εr 4ππ

Q r

Cuối cùng ta xét vùng r≤R1 Dễ dàng thấy trong vùng này cường độ điện trường bằng không và

do đó V(r) =const =const3 Tương tự như trên hằng số const3 tìm được từ biểu thức trong vùng thứ 2 khi cho r→R1và ta được

2 0 1

1 ε Q εR 4ππ

Q r

Đồ thị biểu diễn phân bố điện thế trong cả ba vùng

được cho trên hình vẽ Nét đặc trưng của đồ thị này là tại

r=R1 và r=R2 xẩy ra sự nhẩy bậc của đạo hàm dV/dr, do

đó có sự nhẩy bậc của cường độ điện trường Sự gián

đoạn của hàm E(r) tại r=R1 và r=R2 là do các điện tích

phân cực ở mặt trong và mặt ngoài điện môi

Bài toán 3:

Trong một khối trụ đặc, rất dài, tích điện đều với mật độ điện tích là (ρ1=7,08.10-8 C/m3), bán kính

R1= 10cm, người ta khoét một hốc cũng hình trụ có bán kính R2= 2cm (hai hình trụ có trục song song với nhau, rồi lồng vào trong đó một khối trụ tích điện đều ( với mật độ điện tích là ρ2=1,77.10-7 C/m3

) có cùng bán kính với hốc Khoảng cách hai trục của hai khối trụ là a=5cm, biết chất tạo nên hai khối trụ có ε1 = ε2 = 1 , ε0 = 8,85.10-12 F/m

a Tìm cường độ điện trường bên trong khối trụ nhỏ

b Vẽ bức tranh các đường đẳng thế của điện trường trong khối trụ nhỏ, trên mặt phẳng vuông góc với trục của khối trụ đó

Bài giải:

a Chọn hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ, trục Ox hướng theo O1O2

Xét điểm M(x,y) bên trong trụ nhỏ Điện trường tại M xem như chồng chập của điện trường của hình trụ lớn không bị khoét có mật độ điện tích ρ1 và điện trường của trụ nhỏ có điện tích (ρ2-ρ1) cùng gây ra tại M

0

1 2 1 0

1 2 1

2ε

ρ ρ r 2ε

ρ E E

0

2 0

1

2ε

ρ a 2ε

ρ

⇒

Trong đó r1 =O1M , a=O1O2

Như vậy xem như trụ nhỏ tích điện với mật độ điện tích ρ1 đặt trong một điện trường ngoài , đều , có cường độ

0

1

2ε

a

ρ

và hướng theo trục Ox

b Điện thế gây bởi thành phần điện trường đều là:

0

1

2ε

ρ

Điện thế gây bởi điện trường thứ hai là:

2 0

2 2 2 2

2 2 0

2

4ε

y x ρ C r 2ε

ρ Edr

Điện thế tổng cộng tại điểm M bất kỳ là:

V

r R

2

o Hình 5

Hình 6

( ) C

4ε

y x ρ 2ε

a.x ρ V

V

V

0

2 2 2 0

2 2









−

= +

=

Có thể biến đổi đưa biểu thức trên về dạng

2

2

1 0

ρ

ρ x 4ε

ρ

















+







 +

−

=

Từ đây ta thấy các đường đẳng thế là đường tròn mà tâm O có tọa độ −ρ a;0

ρ

2 1

Dễ dàng thấy tâm O nằm trên mặt trụ nhỏ Các đường đẳng thế được biểu diễn như hình vẽ

Bài toán 4:

Phân bố điện thế V(x) giữa các điện cực của một ống phóng điện qua chất khí trong thời gian phóng được cho như hình vẽ 7 Hãy dựng phân bố cường độ điện trường E(x)

Bài giải:

Để tìm phân bố cường độ điện trường ta dùng hệ thức

dx

dV

Ex =−

5.10

2,5.10 Δx

ΔV

2

3

E2=0

Trong khoảng 30cm≤x≤40cm, hàm V(x) là tuyến tính bởi vậy

10

5.10 Δx

ΔV

1

2

Từ đó ta dựng được đồ thị như hình vẽ 8

Bài toán 5:

Trong một tụ phẳng, khoảng cách giữa hai bản tụ là d, bên trong có chứa tấm kim loại bề dày d/2

ở chính giữa Diện tích mặt bên của tấm kim loại này bằng diện tích của hai bản tụ điện Tụ được mắc vào nguồn có suất điện động E Hãy tìm và vẽ đồ thị phân bố điện thế bên trong tụ điện, nếu

chọn mốc tính điện thế

a Ở vô cùng

b Ở bản trái của tụ điện

x (cm) 20

(103V)

o

1

2

V

1

5

E (104V/m)

x(cm) o

Hình 7

Hình 8

Bài giải

Trước hết ta hãy xét trường hợp a Điện trường trong tấm kim loại bằng không, còn trong khoảng

hở giữa tấm kim loại và hai bản tụ điện trường là đều và cường độ của nó bằng E=-2E/d Dễ dàng

thấy rằng mặt phẳng x=d/2 cách đều hai bản tụ là mặt cũng có điện thế bằng không, nên ta có thể chọn mốc điện thế mới tại x=d/2

Phân khoảng cách giữa hai bản tụ làm ba miền :0≤x≤d/4; d/4≤x≤3d/4; 3d/4≤x≤d

Trong miền thứ nhất: 0≤x≤d/4 ; E=-2E/d, sử dụng công thức :

d

2E dx d

2E Edx

x

Để xác định hằng số trong biểu thức trên ta dùng tính chất là điện thế toàn bộ tấm kim loại bằng không do đó V=0 tại x=d/4 Thay điều kiện này vào biểu thức trên ta tìm được hằng số const= E/2

Vậy trong miền này phân bố điện thế có dạng









=

2

1 d

2x E x V Đối với miền thứ hai d/4≤x≤3d/4, cường độ điện trường bằng không (không có điện trường trong tấm kim loại), do đó V(x) = const Nhưng vì V=0 tại x=d/4, áp dụng điều kiện liên tục V(x)=0 trong miền này

Trong miền thứ ba 3d/4≤x≤dcũng như trong miền thứ nhất E=-2E/d, do đó

( ) x const

d

2E x

Sử dụng tính chất V=0 tại x=3d/4, thay vào biểu thức trên ta tìm được hằng số bằng -3E/2 và phân

bố điện thế trong miền này









=

2

3 d

2x E x V

Đồ thị của phân bố điện thế giữa hai bản tụ trong cả ba miền được cho trên hình vẽ 9

Bây giờ xét trường hợp b Khi này V=0 tại x=0

d

2E x

Trong miền: d/4≤x≤3d/4, điện thế không đổi bằng E/2.

Còn trong miền thứ ba: 3d/4≤x≤d









d

2x E x V

Đồ thị tương ứng cho trên hình vẽ 10

E/2

-E/2

o

4

d

4

V

E E/2

o 4

d

4

V

Hình 9

Hình 10

Bài toán 6:

Hai vòng tròn đồng trục mỗi vòng có bán kính R được làm bằng sợi dây dẫn mảnh, và cách nhau

một khoảng l<<R, và chúng mang các điện tích q và –q Hãy tính điện thế V và véc tơ cường độ điện

trường E0 trên trục của hệ theo x Hãy biểu diễn trên cùng một hình vẽ, đồ thị V(x) và E(x) Xét V

và E khi x>>R

Bài giải:

Xét một điện tích dq trên vòng dây gây ra tại M là:

2 0 2

εr 4ππ

dq

0

2

x R ε 4ππ

dq dV

+

0

2

x R ε 4ππ

q V

+

=

Và tương tự ta tính được

1 0 1

εr 4ππ

q

2

4ππ

q

+ +

−

=

Và điện thế tại M bằng tổng điện thế do hai vòng dây gây nên











+ +

− +

= +

=

2 2

2 2 0

2 1 M

l x R

1 x

R

1 ε

4ππ

q V

V

V











+ + +

+

− +

2 2 0

x R 1

x R ε 4ππ

q V

Sử dụng công thức tính gần đúng ta có

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x R

lx 1

l 2lx x R

/2 l lx 1

l 2lx x R

l 2lx 1

l 2lx x R

x R

+

−

≈ + + +

+

−

≈ + + +

+

−

=

















+ + + +

Thay giá trị gần đúng này vào phương trình trên ta được

0 3/2

2 2 0 2

2 1/2

2 2 0

M

x R ε 4ππ

px x

R ε 4ππ

qlx x

R

lx 1

1 x R ε 4ππ

q V

+

= +

=













+ +

− +

=

Áp dụng công thức liên hệ giữa điện thế và cường độ điện trường ta tính cường độ điện trường tại M

( 2 2)3

1/2 2 2 3/2

2 2

0

M M

x R

.2x x R 3/2 x

x R ε 4ππ

ql x

V E

+

+

− +

−

=

∂

∂

−

=

(R x ) .

ε 4ππ

R 2x ql E

2 2 0

2 2 x

+

−

=

=

0εx 4ππ

ql

Và .

εx 2ππ

ql

0

Đồ thị biểu diễn V(x) và E(x) như hình vẽ

+q

-q

x

o R

V(x)

E(x)

2

R

Hình 11

B

A A

B O

I

O

I

x

r2

r1

l

R

Hình 12

Hình 13

Bài toán 7:

Một lưỡng cực điện có momen p, có tâm O, được đặt dọc theo trục x’Ox Lưỡng cực nằm trong một điện trường đều E0 hướng theo trục x’Ox

a Tìm biểu thức cho điện thế V của hệ gồm lưỡng cực và điện trường, tại một điểm M có tọa độ cực

r và θ, ở đủ xa lưỡng cực Người ta giả thiết điện thế của điện trường đều E0bằng không tại điểm O

b Xác định mặt đẳng thế V=0

c Chứng minh rằng cường độ điện trường trên mặt đẳng thế V=0 có giá trị 3E0cosθ

Bài giải:

a Biểu thức cho điện thế V tại M(r,θ) được tính như sau

VE =−∫E0dr=−∫E0dx=−E0x+const

Tại điểm O ta có x=0, V0=0 nên VE=-E0x , hay VE=-E0rcosθ

e 0 l

r

cosθ p 4ππ

1

r

p 4ππ

1

0

M = − 

Mặt đẳng thế ứng với V=0, vậy có hai khả năng xẩy ra

+) cosθ=0 hay

2

π

θ= Đó là mặt phẳng trung trực của lưỡng cực

r

p

4ππ

1

0 2

e

0

=









0

e 0

3

E

p 4ππ

1

0

e

0 E

p 4ππ

1

r=

c Điện trường ở M(r,θ) có các thành phần:

r 4ππ

2p r

V

0

e

∂

−

=

r 4ππ

p θ

V r

1

0

e

∂

−

=

0

E r

p 4ππ







=

=

0 E

cosθ 3E E E

θ

0 r



Do đó , E0=0 và E//r ( vì mặt đẳng thế là mặt cầu)

Bài toán 8:

Cho một tụ điện cầu không khí, bán kính hai bản là R1=1cm, và R2=3cm, hiệu điện thế giữa hai bản U0=450V, bản trong tích điện dương

a Tính cường độ điện trường tại điểm cách tâm O của hai bản là 1,5cm

b Một electron chuyển động với vận tốc ban đầu bằng không dọc theo đường sức điện trường từ vị trí cách tâm O một khoảng r1=2,5m Tìm vận tốc của electron khi nó cách O một khoảng r2=1,5cm

Bài giải:

a Kí hiệu q là điện tích tụ điện Cường độ điện trường tại điểm M trong khoảng giữa hai bản chỉ do bản trong gây ra:

y

r

0 =0

o

M

0

E 

Hình 14

2

r

kq

R R C

1 2

2

−

=

Và áp dụng công thức q=CU0, suy ra:

( 2 1)

0 2 1

R R k

U R R q

−

=

U R R

1 2 2

0 2

−

=

b Công của lực điện trường chuyển thành động năng của electron

2

mv A

2

=

r

keq eEdr

edV

2

r

2 1

r r keq dr r

keq A

2 1

2 1 2 1 0

R R r r

r r R R eU A

−

−

r mr

r r R R 2eU

1 2 2 1

2 1 2 1

−

−

=

⇒

Bài toán 9:

Một vật dẫn A hình cầu bán kính R1=3cm, tích điện đến hiệu điện thế V1=4V, được đặt đồng tâm với một vỏ cầu mỏng B bằng kim loại có bán kính trong R2=12cm, và bán kính ngoài R3=12,1cm, vỏ cầu này gồm hai bán cầu ban đầu được úp khít vào nhau và sau đó được tích điện đến hiệu điện thế

V2 Hỏi điện thế V2 phải có trị số (dương) tối thiểu bằng bao nhiêu để hai bán cầu có thể tự tách rời nhau

Bỏ qua tác dụng của trọng lực hai bán cầu

Bài giải:

Gọi q1 là điện tích của quả cầu A, mật độ điện tích mặt của A là:

2

1

1 1

4ππ

q

Do hiện tượng hưởng ứng tĩnh điện toàn phần, mật độ điện tích mặt của mặt trong vỏ cầu B là:

2

1 '

2

4ππ

q

mặt ngoài của B là:

3

2 0 2 3

'' 2 ''

V ε 4ππ

q

Xét bán cầu (1) của vỏ cầu B, và Oz là trục đối xứng của nó (hình vẽ 15) Mỗi phần tử dS của mặt ngoài bán cầu (1) chịu tác dụng của lực đẩy tĩnh điện:

( ) dS.n

2ε

σ F d

0

2 '' ng





=

Vì lí do đối xứng, tổng hợp dFngcủa các lực đẩy tác dụng lên mặt ngoài bán cầu (1) sẽ hướng theo trục Oz Thành phần trên Oz của dFnglà: