SKKN Chuyển động liên kết của các hạt mang điện

CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆNLê Sơn Trường THPT chuyên Thái Bình I.. MỞ ĐẦU: Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện ban đầu,

Trang 1

CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN

Lê Sơn

Trường THPT chuyên Thái Bình

I MỞ ĐẦU:

Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện ban đầu, tôi thấy có bài toán về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện Các bài toán về

chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung: vừa rèn luyện kiến thức vừa học về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; vừa ôn luyện lại các kiến thức của lớp 10 như bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng và bên cạnh đó còn hướng tới những bài toán dao động của chương trình lớp 12 Với những

lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11.

II NỘI DUNG:

Bài 1 Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m, M, m cùng điện tích Q nối với nhau bằng hai dây

nhẹ không dãn và không dẫn điện , chiều dài l Hệ thống được đặt trên mặt bàn nhẵn nằm ngang Quả cầu giữa khối lượng M được truyền vận tốc vr0theo hướng vuông góc với dây

Bỏ qua mọi ma sát

a) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 quả cầu m trong quá trình chuyển động

b) Tính vận tốc của quả cầu M ở thời điểm cả 3 quả cầu lại thẳng hàng

Giải :

a) Khi 2 quả cầu m gần nhau nhất thì 3 quả cầu cùng vận tốc v

Theo bảo toàn động lượng, ta có : Mv0 =(M+2m)v → 0

M

v v

M 2m

=

+ (1)

Vì khoảng cách giữa quả cầu M và các quả cầu m không đổi nên chỉ có thế năng tương tác của hệ gồm hai quả cầu m là thay đổi

v0

Trang 2

Theo định luật bảo toàn năng lượng : E1 = E2

0

2

0

Mv

+

Thay v từ (1) vào (2) ta được

2

1 x

Mmv 1

=

+

l b) Khi cả 3 quả cầu lại thẳng hàng :







→

M

2m







Bài 2: Ba quả cầu cùng khối lượng m , điện tích cùng dấu , đều bằng q ,

được nối với nhau bằng ba sợi dây dài l , không giãn , không khối lượng

, không dẫn điện Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang , nhãn Người ta

đốt một trong ba sợi dây đó

a) Xác định vận tốc cực đại vmax của các quả cầu trong quá trình chuyển động

b) Mô tả chuyển động của các quả cầu sau khi đã đạt được vmax

Giải :

Cách 1 :

a) Khi một trong ba dây bị đứt , dưới tác dụng của các nội lực còn lại (lực đẩy tĩnh điện và lực căng dây ) cả ba viên bi đều chuyển động nhưng khối tâm của hệ vẫn đứng yên và động lượng của hệ vẫn bảo toàn :

+ + =

+ = −

Trang 3

Do tính chất đối xứng của hệ , nên quả cầu 2 chuyển động trên đường trung trực y’y , và hai quả cầu 1 và 3 luôn luôn nằm ngang , các vận tốc vr1và vr3đối xứng qua y’y để “tam giác điện tích ‘’luôn có khối tâm tại G

Ở vị trí bất kì , thế năng tĩnh điện của hệ là :

1

2

= 1q(2kq 2kq 2k )q

=

2 2

2k

+

Theo định luật bảo toàn năng lượng thì động năng cực đại của hệ ứng với thế năng cực tiểu của hệ

Wt(min)⇔ x=2l: hệ ba quả cầu thẳng hàng

→ vr1=vr3 và vuông góc với đường nối 3 điện tích

→v1m = v3m =1/3 v2m

∆Wđ = -∆Wt

1m 2m 3m

2 2

1m

m6v

→ v1m = v3m= kq2

6ml ; v2m =

2

kq 2 6ml b) Sau khi đạt vận tốc cực đại chúng chuyển động chậm dần cho đến khi vận tốc bằng không thì khôi phục thế năng ban đầu và tam giác điện tích trở thành tam giác đều có hình dạng đối xứng với tam giác ban đầu Sau đó hệ dao động tuần hoàn quanh khối tâm G

Cách 2 : ( Dùng định luật bảo toàn năng lượng )

Vì hệ không chịu tác dụng của ngoại lực nên năng lượng của hệ được bảo toàn Dễ thấy rằng thế năng tĩnh điện giữa các quả cầu 1,3 và 2,3 không thay đổi nên có thể viết định luật bảo toàn năng lượng của hệ dưới dạng :

Trang 4

2

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng với động lượng của hệ 3 quả cầu ( chưa đốt dây bằng 0)

0= 2mv – mv (2)

Lấy (2): v → vmax ⇔ khoảng cách quả cầu 1 và 2 cực đại

⇔ r12 = 2l

Giải hệ phương trình (1),(2),(3) → vmax = q 2

3ml

Bài 3 Tại ba đỉnh của một tứ diện đều cạnh a giữ ba quả cầu nhỏ giống nhau có khối lượng

và điện tích tương ứng là M và Q Tại đỉnh thứ tư giữ một quả cầu khác điện tích q , khối lượng m (m<<M , Q = 2q ) Tất cả các quả cầu được thả đồng thời

a) Tính độ lớn vận tốc các quả cầu sau khi chúng đã bay rất xa nhau

b) Sau khi đã bay ra xa nhau , các quả cầu này chuyển động theo phương hợp với mặt phẳng tứ diện chứa ba quả cầu M một góc bao nhiêu ?

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

Giải :

a) Chọn trục OZ vuông góc mặt phẳng của tứ diện chứa ba điện tích Q Do M>>m nên coi gần đúng là khi m ra xa vô cùng thì các quả cầu M mới bắt đầu chuyển động Gọi vận tốc của quả cầu m khi bay ra xa vô cùng là v0 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có :

2

0

mv

2 = 3

kQq

a =

2

6kq a

→ v0 =

2

12kq

ma

Do tính đối xứng nên khi các quả cầu M chuyển động thì vận tốc của chúng có độ lớn luôn bằng nhau Gọi v là vận tốc mỗi quả cầu M khi chúng rất xa nhau Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có :

2

3Mv

2 =

2

3kQ

a → v =

2

2kQ

2

8kq Ma

Trang 5

b) Gọi thành phần vận tốc của các quả cầu M theo phương trục Z là vz

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (m+ 3M) , ta có :

3Mvz = mv =m 12kq2

ma

→ vz = m

3M

2

12kq ma

Do vz <<v nên góc α rất nhỏ Ta có : vZ m

α ≈ = Rad

Bài 4 ở cách xa các vật thể khác trong không gian, có hai quả

cầu nhỏ tích điện Điện tích và khối lượng của các quả cầu lần

lượt là q1 = q2 , m1 = 1g ; q1= q2 , m2 =2g Ban đầu , khoảng cách

hai quả cầu là a = 1m , vận tốc quả cầu m2 là 1m/s , hướng dọc

theo đường nối hai quả cầu và đi ra xa m1 và vận tốc quả cầu m1

là 1m/s, nhưng hướng vuông góc với đường nối hai quả cầu Hỏi với giá trị điện tích q bằng bao nhiêu thì trong chuyển động tiếp theo , các quả cầu có hai lần cách nhau một khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tác điện của hai quả cầu

Giải :

+ Vận tốc khối tâm của hệ hai hạt

02 01

0

V

3m

+

=

r

= 2v02 v01

3

+

= const →

cx 0

cy 0

2

3 1

3

 =





 =



Do không có ngoại lực , khối tâm chuyển động đều

Xét trong hệ quy chiếu khối tâm (C) Vận tốc của mỗi hạt gồm 2 thành phần :

+ Thành phần theo phương nối 2 hạt ( dưới đây gọi là thành phần song song)

+Thành phần vuông góc với đường thẳng nối 2 hạt ( dưới đây gọi là thành phần vuông góc )

Tại thời điểm ban đầu vật tốc trong hệ quy chiếu C của các hạt là :

Trang 6

vrm mx 0

2

3 2

3





 = −



, vr2m

0 2mx

0 2my

v V

3 v V

3

 = −







Để thỏa mãn điều kiện hai hạt 2 lần qua vị trí cách nhau 3m

thì khoảng cách cực đại giữa hai hạt lmax≥ 3m Khi đạt

khoảng cách lmax thì thành phần vận tốc theo phương song

song triệt tiêu, chỉ còn thành phần vuông góc

Do động lượng của hệ trong hệ quy chiếu C bằng 0 nên vm = 2v và v2m = v Theo định luật bảo toàn mômen động lượng quanh C của hạt 2m, ta có : v.rmax = v0 a v a0

    = ÷

 ÷  

Mặt khác : rmax = lmax

3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra : v = 0

max

v a 3l Vì lmax≥ 3a  v ≤ v0 a

3 3a hay v ≤ v0

9 (3) Theo định luật bảo toàn năng lượng:

mx my 2mx 2my

2

0 max

−

πε  

 m

2

0

v 4

2

0 max

−

πε  

Theo giả thiết lmax≥ 3a

0

2

0

 − 

πε  

0

2

0

q

6πε a

0

v

9

πε

=0,32C (4)

Trang 7

Mặt khác , cũng theo định luật bảo toàn năng lượng , ứng với trạng thái trong đó hai hạt cách nhau một khoảng l , ta có :

2 2

0 0

v

 

2

0

 − 

πε  

Vì hai hạt không thể đi xa nhau quá lmax nên với l> lmax ta phải có :

2

0

 − ≤

πε  

2

0

4πε a

0

v

3

πε

=0,27C (5)

0

v

3

πε ≤ q ≤ 0

0

v

9

πε hay 0,27C ≤ q ≤ 0,32C.

Bài 5 Hai quả cầu nhỏ , mỗi quả có khối lượng m và điện tích q

được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông một vỏ cầu cách điện có bán kính OA=OB=r và khối lượng 4m Hãy xác

định vận tốc cực đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu Bỏ qua tác dụng của trọng lực

Giải : Dễ dàng thấy 2 quả cầu sẽ trượt xuống Xét khi ∠AOx=BOx=α, các vật m co vật tốc là vuur1 vuur2; vật 4m có vật tốc là vr Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn :

mv +mv +4m.v 0= Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương ⊥Ox ta được :

mv1 cosα=mv2.cosα (1)

4mv =mv1sinα+mv2sinα (2)

→ v1 =v2 = 2v

sinα

Trang 8

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng :

1

α

2 2

2

v

α − α

α +

Vận tốc vỏ cầu lớn nhất ( )

2 2

y

α

α − α

α + đạt giá trị lớn nhất

( )

⇔ = ⇔ (sin2α +8sin α-2)cos α =0

⇔

α =



 α = − +



 α = − −



(loại vì khi đó α<300) ⇔cos α =0 ⇔ α=π/2

Vậy vận tốc lớn nhất của vỏ cầu lúc đó là :

2

kq v

12m

Bài 6 Hai đầu một đòn cân nhẹ chiều dài 2L có gắn điện tích +Q và –Q với cùng khối lượng

M Đòn cân có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng Ỏ dưới đòn cân , trên đường thẳng nối +Q và –Q có một lưỡng cực điện nhỏ gồm hai điện tích +q và –q cánh nhau 2a ( với a << L)cố định Ở thời điểm ban đầu đòn cân nằm ở vị trí cân bằng Tính tần số dao động nhỏ của đòn cân trong mặt phẳng thẳng đứng

Giải :

Xét khi đòn cân quay một góc α nhỏ Điện thế do lưỡng cực gây ra tại A

VA =

0 1 2

2 1

0 1 2

−

πε với r2 –r1 = 2acosα≈2a(

2

1 2

α

− )=2a-α2 ; r1r2≈L2

Trang 9

Suy ra VA= - 2 2

0

qa

πε Tương tự ta có điện thế tại B do lưỡng cực điện gây ra ra là :

0

qa

πε

Thế năng tĩnh điện của hệ là:

0

Qqa

πε

Theo định luật bảo toàn năng lượng :

0

Qqa

2 2

2M L 2

ω

= const Lấy đạo hàm theo thời gian hệ thức trên ta có :

2 2

0

πε

⇔ 2 " 2

0

Qqa

L

ωα + α =

πε

⇔ α"+ ω2α = 0

Vậy tần số dao động nhỏ của đòn cân là: f =

2

ω

π = 2

0

Bài 7 Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m ,M ,m cùng điện

tích q nối với nhau bằng hai dây nhẹ không dãn và không

dẫn điện , chiều dài l Chọn trục tọa độ có gốc O trùng với

vị trí quả cầu M khi hệ cân bằng , trục Ox vuông góc với hai

dây Tìm chu kỳ dao động nhỏ của hệ theo phương Ox Bỏ

qua ảnh hưởng của trọng lực

Giải : Khi M có li độ x1 thì hai vật m có li độ x2 Khối tâm của hệ có tọa độ

0

M 2m

+

M

2m

= −

Trang 10

Thế năng của hệ :

t

Với r/2 =

2

M

2m

=

1/2

1

     

  ÷  ÷

   



t

1/2

1

−

     

  ÷  ÷ 

   

1

l

    +  ÷  + ÷

   

Do năng lượng của hệ được bảo toàn , ta có :

 + 

1

l

    +  ÷  + ÷

    = const

Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên ta dễ dàng nhận được phương trình vi phân mô tả dao động điều hòa với tần số góc :

1

+

ω =  + ÷=

3 2

4Mml 2

kq (M 2m)

π

+

Bài 8 Bốn hạt nhỏ A, B, C, D có cùng khối

lượng m và đều mang điện tích dương, được nối

với nhau bằng bốn sợi dây mảnh có cùng chiều

dài L trong không khí Các dây không giãn, khối

và C, B và D có điện tích bằng nhau Biết điện

tích của mỗi hạt A, C bằng q Khi hệ cân bằng,

bốn điện tích ở bốn đỉnh của hình thoi ABCD có góc ở các đỉnh A, C là 2α (hình vẽ) Bỏ qua tác dụng của lực hấp dẫn và lực cản của môi trường

a) Tính điện tích Q của mỗi hạt B, D

b) Kéo hai hạt A, C về hai phía ngược nhau theo phương AC sao cho mỗi hạt lệch khỏi

vị trí cân bằng ban đầu một đoạn nhỏ rồi buông cho dao động Tìm chu kì dao động

B

D

α

L

Trang 11

c) Giả thiết khi cỏc điện tớch đang nằm yờn ở vị trớ cõn bằng thỡ cỏc dõy đồng thời bị đốt đứt tức thời Tỡm tỉ số gia tốc của hạt A so với gia tốc của hạt B ngay sau khi đốt dõy

Giải :

a) Khi cân bằng, lực căng dây là F :

2

a

2

a

2

3 Q

q)

a= ổ ửỗ ữỗ ữỗ ữỗố ứữ Q q tg= 3α

b) Khi các điện tích A, C ở hai đầu đờng chéo này có độ dời là x1 và - x1 và có vận tốc là

'

v =x Vì dây không giãn và góc α thay đổi rất ít nên:

v cosα = −v sinα

v2 = - v1 cotgα

Bảo toàn năng lợng:

1

2

a a

+

Biến đổi :

2

2L cosa+ 2x =2L cos (1 x / L cos )a + a ằ 2L cosa - L cosa+ L cos a

2 2

2Lsina+ x ằ 2L sina - Lsina+ Lsin a

x = L −(L cosα +x ) −Lsinα

2

2 1

x

2Lsin

q Q

B

D

Q q

α

L

x y

O

Trang 12

Do đó: 2 2 2 1 2 2 2

a

Với:

2

(x x )

a

2 2

2 1

kq x

(1 cot g )

a

2 2

3kq x

4L cos

a

2

3kq x

4mL cos a

4mL cos

w

a

3kq

w

c) Khi đứt dây đồng thời các hạt ra xa vô cùng, từng đôi có vận tốc v'1 và v'2 nh nhau Gia tốc ngay sau khi đứt dây là

a1 kq2 2 2 2kqQ2 cos

a

2

2 3

kq tg cos 2kqQ

sin cos

a

2

sin cos

a

2

a cot g

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	439 KB