Nghịch biến trong từng khoảng xác định b.
Trang 1§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xét tính đồng biến(tăng), nghịch biến(giảm) (= tính đơn điệu của hàm số) DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
DẠNG 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, bất phương trình
DẠNG 1: Xét tính đồng biến(tăng), nghịch biến(giảm) (= tính đơn điệu của hàm số)
a/Phương pháp: Cho hàm số y= f x( )
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính y’( hay f x'( ) ) và giải phương trình f x'( ) 0=
- Lập bảng biến thiên
- Kết luận
b/Ví dụ minh họa: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau
a y x= + x + x− b y = − +x3 2x2−7x c y = − +x4 6x2−3
2
x
e y x
−
=
−
2
1
f y
x
=
+ 1
3
g y x
x
= − − +
+ h y = 2x x− 2
2 2
1
x
i y
x
=
−
GIẢI
a y x= + x + x−
TXĐ D=¡
' 3y = x2+18x+15
' 0 3 18 15 0
5
x
x
= −
BBT
x −∞ -5 -1 +∞
'
y + 0 - 0 +
y 22 +∞
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞ −; 5);(1;+∞); hàm số nghịch biến trên ( 5; 1)− −
b y= − +x x − x
TXĐ D=¡
'y = −3x2+4x− < ∀ ∈7 0, x ¡ vì ∆ = − ' 4 21 = − < 17 0 nên dấu của y’ cùng dấu với a = -3 Vậy hàm số nghịch biến trên ¡
c y= − +x x −
TXĐ D=¡
'y = −4x3+12x= −4 (x x2−3)
Trang 20 ' 0
3
x
y
x
=
= ⇔ = ±
BBT
x −∞ − 3 0 3 +∞
'
y + 0 0 + 0
-y 6 6
−∞ -3 −∞
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞ −; 3);(0; 3); hàm số nghịch biến trên (− 3;0);( 3;+∞)
d y= x + x −
TXĐ D=¡
' 8y = x3+8x=8 (x x2+1)
' 0y = ⇔8x= ⇔ =0 x 0
BBT
x −∞ 0 +∞
'
y - 0 +
y
+∞ +∞
-2
Vậy hàm số đồng biến trên (0;+∞); hàm số nghịch biến trên (−∞;0)
1
2
x
e y
x
−
=
−
TXĐ D=¡ \{ }2
' 1 2 0, 2
( 2)
x
−
−
BBT
x −∞ 2 +∞
'
y - - +
y 1
−∞ +∞
Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞; 2);(2;+∞)
2
1
f y
x
=
+
TXĐ D=¡ \{ }−1
2
2
'
( 1)
y
x
=
+
2
3 2 ' 0 4 8 3 0
1 2
x
x
= −
= −
1
Trang 3 BBT
x
−∞ 3
2
− -1 1
2
− +∞
'
y + 0 - - 0 +
y -7
−∞ −∞ 1+∞ +∞ Vậy hàm số đồng biến trên ( ; 3);( 1; )
−∞ − − +∞ ; hàm số nghịch biến trên ( 3; 1);( 1; 1)
2
g y x
TXĐ D=¡ \{ }−3
2
2
6 10
( 3)
x
+ vì ∆ = − = − <' 9 10 1 0 nên dấu của y’ cùng dấu với a = -1 Vậy hàm số nghịch biến trên (−∞ −; 3);( 3;− +∞)
2
2
h y= x x−
TXĐ D=[ ]0; 2 vì y xác định⇔2x x− 2 ≥0
2
x
x x
x
=
− = ⇔ = biểu diễn các nghiệm lên trục số và xét dấu
' 2 2 2 1 2
y
' 0y = ⇔ − = ⇔ =1 x 0 x 1
BBT
x −∞ 0 1 2 +∞
'
0 0 Vậy hàm số đồng biến trên (0;1); hàm số nghịch biến trên (1; 2)
2
2
1
x
i y
x
=
−
TXĐ D= −∞ − ∪ +∞( ; 1] [1; )vì y xác định⇔x2− >1 0
1 0
1
x x
x
=
− = ⇔ = − biểu diễn các nghiệm lên trục số và xét dấu
3
2 '
y
−
=
2
x
x
=
BBT
+
Trang 4x −∞ − 2 -1 0 1 2 +∞ '
y - 0 + + 0 - - 0 +
2
2 Vậy hàm số đồng biến trên (0;1); hàm số nghịch biến trên (1; 2)
c/Bài tập rèn luyện thêm
Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
Bài 1: (B1.T7.NC) Xét chiều biến thiên của các hàm số:
2 3
a y = x + x +1 b y x ) = −3 2 x2 + +1 x c y x ) 3
x
= +
2 )
d y x
x
= − e y x ) = −4 2 x2 − 5 f y ) = −4 x2
Bài 2: (B6.T8.NC) Xét chiều biến thiên của các hàm số:
2 3
1 3
a y = x − x + 4 − x ) 4 3 6 2 2
b y = − x + x −9 − x ) 2 8 9
5
c y
x
− +
2
d y = x x − e y ) = x2− + 2 x 3 ) 1 2
1
x
= + −
Bài 3: Xét chiều biến thiên của các hàm số:
2
a y = − + +1x x b y) = 1x3−3x2+ − 28x
c y = − +x x
2 1 )
2
x
d y
x
− =
+
)
2
x x
e y
x
− + =
−
1
1
f y x
x
= + +
+
g y = x − x 2 16 3 4
3
h y = x+ x − x −x 3 2
i y x = − x + x
j y x = + x + ) 2 3
7
x
k y
x
− + =
1 )
( 5)
l y
x
=
−
2
2 )
9
x
m y
x
=
2
2 3 )
1
n y
x
=
2
5 3 )
2
o y
x
=
−
2
p y = − x )
100
x
q y x
=
16
x
r y
x
=
−
3 2
)
6
x
s y
x
=
t y x = − x + x+ 2
1
v y
x
− =
2
u y = x − x− w y x) = 4−x ) 2 3
1
x
x y
x
+ =
+
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
a/Phương pháp: Muốn tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= f x m( , )đồng
biến hay nghịch biến trên D, ta thực hiện theo các bước:
- Tìm TXĐ của hàm số là D D f( ⊂D f)
Trang 5- Tính y’( hay f x'( ) )
- Tìm m để y' 0( ' 0)≥ y ≤ trên D
Chú ý: Cần xem lại các kết quả về định lý dấu tam thức bậc hai, các trường hơp
so sánh một số α với nghiệm của tam thức f x( )=ax2+ +bx c a( ≠0)
0 ( ) 0
0
a
∆ ≤
≥ ∀ ⇔ >
0 ( ) 0
0
a
∆ ≤
≤ ∀ ⇔ <
0
0 0
( ) 0 0 2
a
af S
α α
∆ ≤
>
∆ >
≥
− <
0 0 0
( ) 0 0 2
a
af S
α α
∆ ≤
<
∆ >
≥
− <
0
0 0
( ) 0 0 2
a
af S
α α
∆ ≤
>
∆ >
≥
− >
0 0 0
( ) 0 0 2
a
af S
α α
∆ ≤
<
∆ >
≥
− >
Trang 60 0 0 0 ( ) 0 0 2
0 ( ) 0 ( ; )
0 ( ) 0 0 2
0 0 ( ) 0 ( ) 0
a
a af S
a af S
a af af
α α
α β
β β
α β
∆ ≤
>
∆ >
>
− <
∆ >
≥ ∀ ∈ ⇔ >
≥
− >
∆ >
<
0 0 0 0 ( ) 0 0 2
0 ( ) 0 ( ; )
0 ( ) 0 0 2
0 0 ( ) 0 ( ) 0
a
a af S
a af S
a af af
α α
α β
β β
α β
∆ ≤
<
∆ >
<
− <
∆ >
≤ ∀ ∈ ⇔ <
≥
− >
∆ >
>
b/Ví dụ minh họa:
1 Cho hàm số y x= −3 3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 Tìm m để hàm số:
a Đồng biến trên ¡
b Đồng biến trên (2;+∞)
c Đồng biến trên (−∞ −; 1);(2;+∞)
Giải
TXĐ D=¡
' 3y = x2−6(2m+1)x+12m+ =5 f x( )
' 9(2m 1) 3(12m 5) 6(6m 1)
a ycbt⇔ ≥ ∀ ∈y' 0 x ¡ ⇔ f x( ) 0 ≥ ∀ ∈x ¡
2
m
m a
> >
b ycbt⇔ ≥ ∀ ∈y' 0 x (2;+∞ ⇔) f x( ) 0 ≥ ∀ ∈x (2;+∞)
0
3 (2) 0 ( ) 0
2 0
2
m a
a
f af
S S
α α
∆ > < − ∨ >
⇔ > ⇔
− < − <
Trang 76 6
5
12 5
5 12 0
12
2
m m
m
m
m
< − ∨ >
c.ycbt⇔ ≥ ∀ ∈ −∞ − ∪y' 0 x ( ; 1) (2;+∞ ⇔) f x( ) 0 ≥ ∀ ∈ −∞ − ∪x ( ; 1) (2;+∞)
7 ( ) 0 3 (2) 0
12 ( ) 0 3 ( 1) 0
5
1 1
m
m a
a
m
β
α
α
β
>
≤
− > + >
12 m 12
2 Cho hàm số y x= +3 3x2+mx m+ Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Giải
TXĐ D=¡
' 3y = x2+6x m+ = f x( )
36 12m
∆ = −
( ) 0
ycbt⇔ f x = có hai nghiệm
0
36 12 0
1
9
4
x x x x
a m
∆ >
− >
=
⇔ =
c/Bài tập rèn luyện thêm
1 Cho hàm số 2 5
3
x mx y
x
=
− Tìm m để hàm số
a Nghịch biến trong từng khoảng xác định
b Nghịch biến trên (-1;0)
c Đồng biến trên (-2;2)
Trang 82 Cho hàm số 1 3 2
3
y= − mx +mx −x Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
3 Cho hàm số 1 3 2
3
y= x −mx + m− x m− + Tìm m để hàm số nghịch biến trong (-2;0)
DẠNG 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
a/Phương pháp:
Chứng minh bất đẳng thức: Xét hàm số f x( ) trên [ ]a b;
- Nếu f x'( ) 0 ≥ ∀∈[ ]a b; ⇔ f x( )đồng biến trên [ ]a b; ( ) ( )
( ) ( )
f x f a
f x f b
≥
⇒ ≤
- Nếu f x'( ) 0 ≤ ∀∈[ ]a b; ⇔ f x( )nghịch biến trên [ ]a b; ( ) ( )
( ) ( )
f x f a
f x f b
≤
⇒ ≥
Giải phương trình, bất phương trình: chúng ta thường sử dụng 3 tính chất
sau:
- Tính chất 1: Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0
có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a;b)
- Tính chất 2: Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì
( ) ( ) u,v (a;b)
f u = f v ⇔ = ∀u v ∈
- Tính chất 3: Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f x( )=g x( ) có nhiều nhất 1 nghiệm
thuộc khoảng (a;b).( Do đó nếu tồn tạix0∈( ; ) : ( )a b f x0 =g x( )0 thì nó là nghiệm duy nhất
của phương trình f x( )=g x( ))
b/Ví dụ minh họa:
1 Cho 0
2
x π
< < CMR: sin
tan
<
>
Giải
a.Đặt f x( ) sin= x x− với 0
2
x π
< <
'( ) cos 1 0
f x = x− < với 0 ( )
2
x π f x
< < ⇔ nghịch biến trên (0; ) ( ) (0)
π ⇒ < với 0
2
x π
< < sinx x 0
⇒ − < với 0
2
x π
< < Hay sin x x< với 0
2
x π
< <
b Đặt f x( ) tan= x x− với 0
2
x π
< <
2 2
1
cos
x
2
x π f x
< < ⇔ đồng biến trên (0; ) ( ) (0)
π ⇒ > với 0
2
x π
< < ⇒tanx x− >0 với 0
2
x π
< < Hay tan x x> với 0
2
x π
< <
Trang 9Chú ý: đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng f x'( ) 0 ≥ ∀∈[ ]a b; ( hoặc
[ ] '( ) 0 ;
f x ≤ ∀∈ a b ) ví dụ như hàm số ( ) 3 sin , 0
6
x
f x = −x − x x> ta có '( ) 1 2 cos
2
x
f x = − − x rõ ràng không thể khẳng định được gì với x>0, trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn
x, như bài tập 2 sau đây:
2 Cho x>0 CMR: 3 in
6
x
x− <s x
Giải
Đặt ( ) 3 sin
6
x
f x = −x − x với x>0
2
'( ) 1 cos
2
x
f x = − − x với x>0
''( ) sin
f x = − +x x với x>0
'''( ) 1 cos 0
f x = − + x< với x> ⇔0 f x''( )nghịch biến với x>0
''( ) ''(0)
f x f
⇒ < với x> ⇔0 f x''( ) 0< với x>0 ⇔ f x'( )nghịch biến với x>0
'( ) '(0)
f x f
⇒ < với x> ⇔0 f x'( ) 0< với x>0 ⇔ f x( )nghịch biến với x>0
( ) (0)
f x f
⇒ < với x> ⇔0 f x( ) 0< với x> ⇔0 3 sin 0
6
x
x− − x< với x>0
3
in
6
x
⇔ − < với x>0
3 Cho 0
2
x π
< < CMR: sinx+tanx>2x
Giải
Đặt f x( ) sin= x+tanx−2x với 0
2
x π
< <
2
x π
< <
1
cos
f x
x
x
π
< < ⇒ < < ⇒ > ⇒ > với 0
2
x π
< <
với ⇔ f x( )đồng biến trên (0; ) ( ) (0)
π ⇒ > với0
2
x π
< < ⇔ sinx+ tanx− 2x>0 với 0
2
x π
< <
in tan 2
⇔ + > với 0
2
x π
< <
4 Giải phương trình
2
a x− + x − = ` b 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1
Giải
Trang 10a x− + x − = (1)
ĐK: 4 2 1 0 1
2
x
x x
− ≥
⇔ ≥
Ta thấy số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y= 4x− +1 4x2−1 và đường thẳng y=1
Xét hàm sốy= 4x− +1 4x2−1 có TXĐ 1;
2
D=
+∞÷
2
x y
1 2
x
∀ ≥ ⇔hàm số luôn đồng biến với 1
2
x≥
Do đó: phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất (Theo tính chất 3)
Ta thấy 1
2
x= thỏa mãn (1) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1
2
x=
b − +x x − + −x x = (1)
Đặt t=x2−x
Phương trình được viết lại dưới dạng: 3+ = +t 1 2−t (2), ĐK: 3 0 3 2
t
t t
+ ≥
− ≥
- Xét hàm số f = 3+t có TXĐ D= −[ 3; 2]
1
2 3
t
+ hàm số đồng biến trên D
- Xét hàm số g= +1 2−t có TXĐ D= −[ 3; 2]
1
2 2
t
− hàm số nghịch biến trên D
Do đó: phương trình(2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất (Theo tính chất 3)
Ta thấy t=1 thỏa mãn (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtt=1, tức là: x2− =x 1
2
⇔ =
Vậy nghiệm của (1) là 1 5
2
x= ±