Đồ họa máy tính đề tài tìm hiểu và cài đặt các thuật toán vẽ đường cho trường hợp tổng quát đường thẳng phân loại và các thuật toán

ĐỒ HỌA MÁY TÍNHTìm hiểu và cài đặt các thuật toán vẽ đường cho trường hợp tổng quát... Tất cả các trường hợp của đoạn thẳng còn lại được vẽ dựa trên thuật toán DDA bằng việc hoán đổi vị

ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Tìm hiểu và cài đặt các thuật toán vẽ đường cho trường hợp tổng quát

(x2,y2)

y2-y1 x2-x1 y1-mx1

x b

1.Tăng chậm 2.Tăng nhanh

3 Giảm chậm ngược 4 Giảm nhanh ngược

- Đối tượng mô tả trong hệ tọa độ thực là đối tượng liên tục, còn đối tượng trong hệ tọa độ thiết bị là đối tượng rời rạc Nên cần thực

hiện việc rời rạc hóa và việc nguyên hóa một cách tối uư nhất.

-Từ đó hình thành các thuật toán khác nhau với những uư thế riêng của nó để tối uư về

mặt tốc độ và sự chính xác.

Digital Differential Analyzer

Để hiển thị trên lưới nguyên được liền nét

các điểm có tọa độ (xi+1; yi+1) sẽ phải chọn 1

trong 8 điểm có tọa độ (xi + 1;yi + 1 )

Lưu đồ thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng qua 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) trong trương hợp 1

Cài đặt thuật toán DDA trong trường hợp 1

} }

Lưu đồ thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng qua 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) trong trường hợp 2

Cài đặt thuật toán DDA trong trường hợp 2

}

Trường hợp 3

Đoạn thẳng giảm chậm với điểm đầu A(x1;y1) ở bên phải trên

và điểm cuối B(xk; yk) ở bên trái dưới và đối xứng của nó qua

Lưu đồ thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng qua 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) trong trường hợp 3

Cài đặt thuật toán DDA trong trường hợp 3

}

Lưu đồ thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng qua 2 điểm (x1,y1) và (x2,y2) trong trường hợp 4

Cài đặt thuật toán DDA trong trường hợp 4

}

Luư đồ thuật toán DDA trong tất cả các trường hợp vẽ đường thẳng

step = abs(Dx) step = abs(Dy)

x = x + xinc

y = y + yinc Putpixel(Round(x),Round(y),c)

NO

Cài đặt thuật toán DDA trong trường hợp Tổng quát

Void DDA_line1(int x1,int y1,int x1,int y2, Color color){

double x,y; int step;

if(abs(x2-x1)>abs(y2-y1)) step=abs(x2-x1);

x+=m;

y+=n;

putpixel(Round(x),Round(y),color); }

}

Ví dụ Demo vẽ đường thẳng từ điểm A(2, 10) đến điểm B(21, 16) (0 < m < 1)

điểm A(9, 1) đến điểm B(17,12) (m > 1) bằng thuật toán DDA.

Tất cả các trường hợp

của đoạn thẳng còn lại được vẽ dựa trên thuật toán DDA bằng việc

hoán đổi vị trí của điểm đầu và điểm cuối hoặc lấy đối xứng qua các

trục tọa độ của 4 trường hợp trên.

• Việc sử dụng công thức để tính giá trị y tại mỗi bước đã giúp cho thuật toán DDA nhanh hơn hẳn so với

cách tính y từ phương trình y=mx +b do khử được phép

nhân trên số thực Tuy nhiên, việc cộng dồn giá trị thực m vào y có thể sẽ tích lũy sai số làm cho hàm làm tròn có kết quả sai dẫn tới việc xác định vị trí của điểm vẽ ra bị chệch hướng so với đường thẳng thực Điều này chỉ xảy ra khi vẽ đoạn thẳng khá dài

• Tuy đã khử được phép nhân số thực nhưng thuật toán DDA vẫn còn bị hạn chế về mặt tốc độ do vẫn còn phép toán cộng

số thực và làm tròn Có thể khắc phục thao tác cộng số thực

m và làm tròn trong thuật toán bằng cách nhận xét

m=Dy/Dx với Dy, Dx là các số nguyên

sau truoc

- Thuật toán Bresenham đưa ra cách chọn

yi+1 là yi hay yi+1 theo một hướng khác sao cho có thể tối ưu hóa về mặt tốc độ so với thuật toán DDA Vấn đề mấu chốt ở đây là làm thế nào để hạn chế tối đa các phép

toán trên số thực trong thuật toán.

- Ý tưởng chính của thuật toán Bresenham

là việc so sánh khỏang cách giữa tọa độ y thực tại vị trí x i+1 với các tọa độ y nguyên trên và dưới nó.

*** Phương pháp của thuật toán Bresenham

• Xét các hiệu khoảng cách của tung độ thực y so với các

pi +1 - pi= (2Δx (dy.xi+1 - 2Δx (dx.yi+1+ C) - (2Δx (dy.xi - 2Δx (dx.yi+ C )

=> Pi +1 = pi + 2Δx (dy - 2Δx (dx ( yi+1 - yi)

- Nếu pi< 0 : chọn điểm S, tức là yi +1= yi và pi +1 = pi + 2Δx (dy

- Nếu pi≥ 0 : chọn điểm P, tức là yi +1= yi +1 và pi +1 = pi + 2Δx (dy - 2Δx (dx

- Giá trị p0được tính từ điểm vẽ đầu tiên (x0,y0) theo công thức :

Giải thuật trong trường hợp 1:

Luư đồ thuật toán Bresenham trường hợp 1: |Dy|<=|Dx|

Cài đặt thuật tóan Bresenham trong trường hợp 1

int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1; int x = x1, y = y1;

int p = 2 * Dy – Dx ; int const1 = 2 * Dy , const2 = 2 * (Dy-Dx); putpixel(x, y, color) ;

int dx =(Dx>0)? 1:-1 ,dy=(Dy>0)? 1:-1;

if(abs(Dy) <= abs(Dx)) {

while(x != x2) {

}

AB

Giải thuật trong trường hợp 2

Luư đồ thuật toán Bresenham trong trường hợp 2: |Dy|>|Dx|

Cài đặt thuật toán Bresenham trong trường hợp 2

int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1; int x = x1, y = y1;

int p = 2 * Dx – Dy ; int const1 = 2 * Dx , const2 = 2 * (Dx-Dy); putpixel(x, y, color) ;

int dx =(Dx>0)? 1:-1 ,dy=(Dy>0)? 1:-1;

if(abs(Dy) > abs(Dx)) {

while(y != y2) {

}

Ví dụ Demo vẽ đường thẳng bằng thuật toán Bresenham qua hai điểm A(5,8) và B(20,13)

Ta có Dy=5, Dx=15; p=2Dy-Dx=-5 const1=2Dy=10, const2=2(Dy-Dx)=-20

-5+1 0=5

• Thuật toán Bresenham chỉ làm việc trên số nguyên và các thao tác trên số nguyên chỉ là phép cộng và phép dịch bit (phép nhân 2) điều này là một cải tiến làm tăng tốc độ đáng kể so với thuật toán DDA.

• Ý tưởng chính của thuật toán nằm ở chỗ xét

bằng các phép toán đơn giản trên số nguyên

• Tuy nhiên thuật toán Bresenham xây dựng phức tạp hơn thuật toán DDA.

Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi +1 bằng cách so sánh điểm thực Q với điểm MidPoint là trung điểm của S

và P Ta có :

-Nếu điểm Q nằm dưới điểm MidPoint, ta chọn S

- Ngược lại nếu điểm Q nằm trên điểm MidPoint ta chọn P

Ta có dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là :

Ax + By + C = 0 Với A = y2 –y1; B = - (x2 – x1) ; C = x2y1 -x1y2

Đặt F(x,y)=Ax + By + C thì ta có nhận xét F(x,y) <0,nếu (x,y) nằm phía trên đường thẳng

F(x,y) = 0 nếu (x,y) nằm thuộc đường thẳng

F(x,y) > 0 nếu (x,y)nằm phía dưới đường thẳng

Lúc này việc chọn điểm S hay P được đưa về việc xét dấu của pi =

2F(midpoint) = 2F(xi+1;yi+1/2 )

Xây dựng pi trong trường hợp 0<=m<=1, và Dx <0

Giống như một số thuật toán khác, ta không tính toán trực tiếp các giá trị pi

để chọn điểm tiếp theo mà tính toán dựa trên kết quả của bước trước.

Xét pi+1-pi=2F(xi+1+1,yi+1+1/2)-2F(xi+1,yi+1/2)

Thay F(x,y)=Ax+By+C với A=Dy, B=-Dx vào ta được kết quả 2Dx(yi+1-yi) (1)

pi+1-pi=2Dy-Nhận xét:

Khi yi+1=yi ta có (1) pi+1=pi+2Dy

Khi yi+1=yi+1 ta có (1)  pi+1=pi+2Dy-2Dx=pi+2(Dy-Dx)

Giá trị p0 ứng với điểm ban đầu được tính:

p0=2F(xđầu+1, y đầu+1/2)=2[A(xđầu+1)+B(yđầu+1/2)+C] =2Dy-Dx

Giải thuật bằng thuật toán Midpoint trong trường hợp 1

Luư đồ thuật toán Midpoint trường hợp 1: |Dy|<=|Dx|

Cài đặt thuật tóan Midpoint trong trường hợp 1

int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1; int x = x1, y = y1;

int p = 2 * Dy – Dx ; int const1 = 2 * Dy , const2 = 2 * (Dy-Dx); putpixel(x, y, color) ;

int dx =(Dx>0)? 1:-1 ,dy=(Dy>0)? 1:-1;

if(abs(Dy) <= abs(Dx)) {

while(x != x2) {

}

AB

Giải thuật bằng thuật toán MidPoint trong trường hợp 2

Luư đồ thuật toán Midpoint trong trường hợp 2: |Dy|>|Dx|

Cài đặt thuật toán Midpoint trong trường hợp 2

int Dx = x2 – x1, Dy = y2 – y1; int x = x1, y = y1;

int p = 2 * Dx – Dy ; int const1 = 2 * Dx , const2 = 2 * (Dx-Dy); putpixel(x, y, color) ;

int dx =(Dx>0)? 1:-1 ,dy=(Dy>0)? 1:-1;

if(abs(Dy) > abs(Dx)) {

while(y != y2) {

}

Mở rộng thuật toán Midpoint trong các trường hợp vẽ

đường thẳng với m bất kì

•***Trường hợp đặc biệt m = : Đoạn thẳng song song trục tung nên rất đơn giản khi vẽ.

•***Trường hợp -1<=m<=1 :Sử dụng các công thức của thuật toán vẽ

trong trường hợp 0 < = m <=1, Dx >0 và thay đổi một số điểm sau:

• Nếu Dx < 0 thì bước nhảy của x sẽ thay bằng -1 tương tự nếu Dy <0,

bước nhảy của y cũng sẽ là -1.

•Thay Dx bằng abs(Dx), Dy = abs(Dy) trong tất cả các công thức có

chứa Dx,Dy

•*** Trường hợp m<= -1 hay m>=1

•Thay đổi vai trò của x và y cho nhau, thay đổi vai trò của Dx và Dy

cho nhau trong tất cả các công thức

•Thực hiện nguyên tắt về bước nhảy và thay đổi Dx, Dy như trong

trường hợp -1< = m < =1



Dựa vào tính chất đối

xứng của đường tròn ta

có thể mở rộng các

thuật toán Bresenham

và Midpoint cho việc vẽ đường tròn

(-x,-y) (-y,-x)

THUẬT TOÁN VẼ ĐƯỜNG TRÒN

BẰNG MIDPOINT

Do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối xứng là vẽ được cả đường tròn.

Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi-1

bằng cách so sánh điểm thực Q(xi+1,y) với điểm giữa MidPoind là trung điểm của S1 vàS2.

Chọn điểm bắt đầu để vẽ là (0,R) Giả sử (xi, yi) là điểm nguyên đã tìm được ở bước thứ i (xem hình 1.8), thì điểm (xi+1, yi+1) ở bước i+1 là sự lựa chọn giữa S1 và S2.

• Xi+1 = x + 1

• yi+1= yi – 1 hoặc yi;

THUẬT TOÁN VẼ ĐƯỜNG TRÒN

BẰNG MIDPOINT

Đặt F(x,y) = x2 + y2 - R2 , ta có :

F(x,y) < 0 , nếu điểm (x,y) nằm trong đường tròn.

F(x,y) = 0 , nếu điểm (x,y) nằm trên đường tròn.

F(x,y) > 0 , nếu điểm (x,y) nằm ngoài đường tròn.

Xét Pi = F(MidPoint) = F(xi +1, yi - 1/2) Ta có :

- Nếu Pi < 0 : điểm MidPoint nằm trong đường tròn

Khi đó, điểm thực Q gần với điểm

S1 hơn nên ta chọn yi+1 = yi

- Nếu Pi>= 0 : điểm MidPoint nằm ngòai đường tròn Khi đó, điểm thực Q gần với điểm

S2 hơn nên ta chọn yi+1 = yi - 1.

- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi Khi đó Pi+1 = Pi+ 2xi +3

- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1 Khi đó Pi+1 = Pi+ 2xi - 2yi +5

- Piứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là:

(xi,yi)

Luư đồ thuật toán Midpoint cho đường tròn

Cài đặt thuật toán Midpoint cho đường tròn

void MidpointCircle(int a,int b,int r,Color c){

} else { p+=2*(x-y)+5;

y ;

} x++;

put8pixel(x,y,a,b,c);

}

}

Ví dụ Demo đường tròn bằng thuật toán Midpoint

Midpointcircle(15,16,13,Color(255,0,0));

Vẽ đường tròn bằng thuật toán

(xi,yi)

d1 d2

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN BRESENHAM VẼ ĐƯỜNG TRÒN

Ta có :

d1 = (yi)2 - y2 = (yi)2 - (R2- (xi + 1)2 )

d2 = y2 - (yi - 1)2 = (R2- (xi + 1)2 ) - (yi - 1)2Pi = d1 - d2

* Tính Pi+1 - Pi

=> Pi+1 = Pi + 4xi + 6 + 2((yi+1)2 - (yi)2 ) - 2(yi+1 - yi)

- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi Khi đó Pi+1 = Pi+ 4xi +6

- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1 Khi đó Pi+1 = Pi+ 4(xi

- yi ) + 10

- P0ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,R) là: P0= 3 - 2R.

Luư đồ thuật toán Bresenham cho đường tròn

begin

P= 3 - 2R x=0 ; y= R;

Putpixel8(x,y,c);

P= 3 - 2R x=0 ; y= R;

Cài đặt thuật toán Bresenham cho đường tròn

void Bres_circle(int a,int b,int r,Color c){

if(p<0) { p+=4*x+6;

} else { p+=4*(x-y)+10;

y ;

} x++;

put8pixel(x,y,a,b,c);

} }

Ví dụ Demo thuật toán Bresenham vẽ đường tròn

Bres_circle(25,26,17,Color(225,0,0));

Ngoài ra ta còn có thể

mở rộng thuật toán

Bresenham cho việc vẽ

đường tròn và các đường conic

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN

=> Pi+1 = Pi + 2((yi+1)^2 - (yi)^2 ) - 2(yi+1 - yi)+2b^2/a^2(2xi+3)

- Nếu Pi < 0 : chọn yi+1 = yi Khi đó Pi+1 = Pi+2b^2/a^2(2xi+3)

- Nếu Pi >= 0 : chọn yi+1 = yi - 1

Khi đó Pi+1 = Pi+2b^2/a^2(2xi+3)+4(1-yi)

- Pi ứng với điểm ban đầu ( x0 , y0 ) = (0,b) là:

P0=2b^2/a^2-2b+1

putpixel4(x,y,color)

y++;

putpixel4(x,y,color)

Cài đặt thuật toán Bresenham cho Elip

Ví dụ Demo vẽ đường Elip bằng thuật toán Bresenham

ellipse(23,28,22,10,Color(0,225,0));

Đề tài của nhóm 9 đến đây xin kết thúc Vì thời gian và kiến thức có hạn nên chắc

chắn đề tài của chúng em còn nhiều vấn đề sai sót, rất mong được sự giúp đỡ và việc

đóng góp ý kiến của thầy Điều đó giúp

chúng em hoàn thành những đề tài sau này tốt hơn Chúng em xin cảm ơn thầy Kính chúc thầy sức khỏe dồi dào.

Cảm ơn