TAI LIEU ON THI DAI HOC MON LY THUYET TRUONG GALOA

a/ Xđ trường phân rã F của đa thức fx trên ¤b/ Chứng minh F là một mở rộng Galois trên ¤ c/ Tính bậc mở rộng của F trên ¤.

I/ Chứng minh đa thức bất khả qui:

Bài 11: Chứng minh đa thức x4 − 2x2 + 9 bkq trên ¤

Giải

Ta có: f(x) = x4 − 2x2 + 9 ∈ ¤ [ ]x

( ) ( 2 ax+b) ( 2 cx+d)

x a c x b d ac x ad bc x bd

(với a b c d, , , ∈ ¤ )

0 (1)

2 (2)

0 (3)

9 (4)

a c

b d ac

ad bc

bd

+ =



 + + = −





 =



0

a

b d

=



⇔  =

(2), (4) ⇒ b d bd+ = −=9 2



+ b = d

Từ (4) ⇒  = = −b d b d= =33

8

a c ac

+ =



⇔  = −



Từ (1), (2) ⇔ a c ac+ ==4 0



Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*)

Câu 3:

a/ CMR: ¤ ( 5, 7) (= ¤ 5 + 7)

b/ Tìm đa thức tối thiểu của 5 + 7 trên ¤

Giải

( 5 7) ( 5, 7 (a))

2

α

2 2

2

α α

−

vì α ∈ ¤ ( 5 + 7 ; 5) ∈ ¤ ( 5 + 7)

từ (2), (3) ⇒ ¤ ( 5, 7) (⊂ ¤ 5 + 7 (b))

từ (a) và (b) ⇒ ¤ ( 5 + 7) (= ¤ 5, 7 )

b/ Tìm đa thức tối thiểu 5 + 7 trên ¤

2

2

7 5 2 35

12 2 35

24 144 140

α

α

α

f x =x − x + ∈ ¤ x

( ) ( 2 ax+b) ( 2 cx+d)

x a c x b d ac x ad bc x bd

(với a b c d, , , ∈ ¤ )

0 (1)

24 (2)

0 (3)

4 (4)

a c

b d ac

ad bc

bd

+ =



 + + = −





 =



0

a

b d

=



⇔  =

(2), (4) ⇒ b d bd+ = −=4 24



Phương trình vô nghiệm trên ¤ nên b, d không tồn tại + b = d

Từ (4) ⇒  = = −b d b d= =22

Từ (1), (2) ⇔ a c ac+ == −280



20

a c ac

+ =



⇔  = −



20 0

X − =

Vậy f(x) không thể phân tích thành dạng (*)

Câu 1: a/ Tìm các đa thức bậc hai và bậc ba bkq trên trường ¢ 2 các số nguyên mod 2

Giải

G/s đa thức f x( ) = ax 3 +bx2 + +cx d với a2 +b2 ≠ 0

( )

0

1

f a b c d

=





( )

0

1 1

a b c f

=

 =  + + =



Vậy ta có các đa thức sau:

3 2

3

2

1 1 1

x x

x x

x x

+ +

+ +

+ +

3

2

p x =x + + ∈x ¢ x CMR p(x) là bkq trên ¢ 3 và dựng một mở rộng ¢ 3( )α , với

Giải

+ CM p(x) bkq trên ¢ 3

Ta có:

( ) ( ) ( )

1 1

p p p

=





= ⇒





( )

⇒ p(x) bkq trên ¢ 3

3 α = a b+ α / ,a b∈ 3

(vì p(x) bkq trên ¢ 3 nên đa thức xác định trên ¢ 3 là p x( ) =x2 + +x 2)

3 α 0, , 2 ,1,1 α α α ,1 2 , 2, 2 α α , 2 2 α

Bài 7: CMR trường các số phức £ không có mở rộng thật sự nào:

Giải

a F

∀ ∈ ⇒ a là phần tử đại số trên £ Do £ là trường đóng đại số nên đa thức bkq nhận a làm nghiệm trên £ là bậc nhất, tức là ∃p x( ) = αx+ ∈ β £[ ]x

Sao cho p(x) =0

0

α

−

Bài 5: Hãy xét xem mỗi số sau là siêu việt hay đại số trên ¤ : 7; 5; 3 e+ 3; π 2 ;i+ 3

Giải a/ i+ 3

Đặt α = +i 3

2

2

3

6 10 0

i

α

⇒ − =

⇒ α là nghiệm của đa thức f x( ) =x2 − 6x+ ∈ 10 ¤ ( )x

b/ π 2

Giả sử π 2 là phần tử đại số trên ¤

( )2

0

0

f x x

f π

¤

Đặt g x( ) = f x( )2 ⇒ ∃ ≠ 0 g x( )∈ ¤ [ ]x

g π f π

π

2

π

c/ 7

2

2

7

7 0

α

α

⇒ α là nghiệm của đa thức f x( ) =x2 − ∈ 7 ¤ ( )x

d/ e + 3

0

3 0

f x x

f e

¤

Đặt g x( ) = f x( + ⇒ ∃ ≠ 3) 0 g x( )∈ ¤ [ ]x

g e f e

e

3

e

f/ 3 5

Đặt α = 3 5

3

3

5

5 0

α

α

⇒ α là nghiệm của đa thức f x( ) = − ∈x3 5 ¤ ( )x

Bài 18: Xét xem các đa thức sau có bkq trên trường tương ứng sau a/ x2 + 3 trên ¤ ( )7

b/ x2 + 1 trên ¤ ( )− 2

c/ x3 + 8x− 2 trên ¤ ( )2

Giải a/ x2 + 3 trên ¤ ( )7

ta có ¤ ( ) {7 = a b+ 7 / ,a b∈ ¤}

đặt f x( ) =x2 + ∈ 3 ¤ ( )7 [ ]x

f x = ⇔x + = ⇔ = ±x i

3

f x =x + bkq trên ¤ ( )7

b/ 2

1

x + trên ¤ ( )− 2

( ) ( )− = 2 i 2

ta có ¤ ( ) {i 2 = a bi+ 2 / ,a b∈ ¤}

f x =x + ∈ ¤ i x

f x = ⇔x + = ⇔ = ±x i

G/s i∈ ¤ ( )i 2

2

2

2

i a bi

a b i

ab

⇒ = +

2

i

⇒ f(x) vô nghiện trên ¤ ( )i 2

Vậy đa thức f x( ) bkq trên ¤ ( )i 2

c/ x3 + 8x− 2 trên ¤ ( )2

ta có ¤ ( ) {2 = a b+ 2 / ,a b∈ ¤}

f x = +x x− ∈ ¤ x

2

a b

α = +

Vì αlà nghiệm f(x) nên: f ( )α = 0

( ) ( )

3

3

0

8 2 0 VN trê

a b b b

b

=



⇒

không tồn tại α ∈ ¤ ( )2

Vậy đa thức f x( ) bkq trên ¤ ( )2

Bài 8: Tìm mở rộng đơn ¤ ( )α sinh ra bởi một nghiệm của pt x3 − 6x2 + 9x+ = 3 0 Hãy biểu thị mỗi phần tử sau 4 5 5 4 1

1

α α α α

α

+ qua các phần tử

2

1, , α α

Giải

+ Đạt f x( ) = −x3 6x2 + 9x+ ∈ 3 ¤ [ ]x Và f ( )α = 0

( )α {a bα cα 2 / , ,a b c }

+ Biểu thị

• α 4 qua các phần tử 1, , α α 2

3 6 2 9 3 0

α − α + α + =

3 6 2 9 3

4 6 3 9 2 3

4 6 6 2 9 3 9 2 3

• α 5 qua các phần tử 2

1, , α α

3 6 2 9 3 0

α − α + α + =

3 6 2 9 3

4 6 3 9 2 3

5 6 4 9 3 3 2

2

105 261 81

105 261 81

Các câu còn lại làm tương tự đối với

Bài 17: Các mở rộng của trường K đối với trường F dưới đây mở rộng nào là mở rộng chuẩn tắc?

a/ ¤ ( )− 5 có chuẩn tắc trên ¤ hay không?

b/ ¤ ( )5 7 có chuẩn tắc trên ¤ hay không?

Giải a/ ¤ ( )− 5 có chuẩn tắc trên ¤ hay không?

Ta có ¤ ( ) ( )− = 5 ¤ i 5

( )i 5

Xét f x( ) =x2 + ∈ 5 ¤ [ ]x bkq trên ¤ (vì f(x) vô nghiệm trên ¤ )

f(x) = 0 ⇔ = ±x i 5

⇒ Trường phân rã của f(x) trên ¤ là: ¤ (±i 5) ( )= ¤ i 5

( )i 5

b/ ¤ ( )5 7 có chuẩn tắc trên ¤ hay không?

Ta có ¤ ( )7 5 : ¤  = deg(x7 − = 5) 7

( )7 5

( )7 5

5

f(x) = 0, f(x) có 7 nghiệm là:

7 5, 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 7 ξ 7 ξ 7 ξ 7 ξ 7 ξ 7 ξ

c π i π

⇒ Trường phân rã của f(x) trên ¤ là: ¤ ( )7 5ξ

ta có: 7 5 ∈ ¤ ( )7 5 nhưng ¤ ( ) ( )7 5 ξ ∉ ¤ 7 5

( )7 5

Bài 19: Tìm bậc của trường phân rã các đa thức sau trên ¤

a/ x3 − − −x2 x 2

đặt f(x) = x3 − − − = −x2 x 2 (x 2) (x2 + +x 1)

x= − ±i

Tính  ( )i 3 : 

Đa thức xác định của i 3 trên ¤ là: x2 + 3 ∈ ¤ [ ]x

( )i 3 :

b/ x3 − 5

đặt f(x) = x3 − 5

x =

x = ξ

x = ξ

2 i 2

ξ = − +

⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ¤ (3 5; 5 3 ξ) (= ¤ 3 5; ξ)

Tính ¤ (3 5; ξ): ¤ 

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) (3 5 ⊂ ¤ 3 5;ξ)

+  ( )3 5 : 

¤ ¤ 

Đa thức xác định của 3 5 trên ¤ là: x3 − 5 ∈ ¤ [ ]x

( )3 5 :

+ ¤ (3 5, ξ) ( ): ¤ 3 5 

Đa thức xác định của ξ trên ¤ ( )3 5 là: x2 + +x 1 ∈ ¤ [ ]x

(3 5, ξ) ( ): 3 5

⇒¤ (3 5; ξ): ¤= ( )3 5 : 

¤ ¤.¤ (3 5, ξ) ( ): ¤ 3 5 

= 3 2 = 6

c/ 4

3

x −

đặt f(x) = 4

3

x −

f(x) có 4 nghiệm là:

x =

x =i

x = −

k = 3 ⇒ 4

x = −i

⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ¤ (4 3; − 4 3; 3;i4 −i4 3) ( )= ¤ 4 3,i

Tính  ( )4 3; :i 

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) ( )4 3 ⊂ ¤ 43;i

+  ( )4 3 : 

¤ ¤ 

Đa thức xác định của 4 3 trên ¤ là: x4 − 3 ∈ ¤ [ ]x

( )4 3 :

+  ( ) ( )4 3, :i 4 3 

Đa thức xác định của i trên ¤ ( )4 3 là: x2 + 1 ∈¤ [ ]x

( ) ( )4 3, :i 4 3

⇒ ( )4 3; :i 

¤ ¤ = ( )4 3 : 

¤ ¤. ( ) ( )4 3, :i 4 3 

= 4 2 = 8

d/ ( 2 ) ( 2 )

x − x −

x − x −

Tính  ( 6, 7 :) 

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) (6 ⊂ ¤ 6; 7)

¤ ¤ 

Đa thức xác định của 6 trên ¤ là: x2 − 6 ∈ ¤ [ ]x

( )6 :

+  ( 6, 7 :) ( )6 

Đa thức xác định của 7 trên ¤ ( )6 là: x2 − 7 ∈ ¤ [ ]x

( 6, 7 :) ( )6

⇒ ( 6, 7 :) 

¤ ¤ = ( )6 : 

¤ ¤. ( 6, 7 :) ( )6 

= 2 2 = 4

x + x +

đặt f(x) = x4 + 5x2 + 6 = (x2 + 2) (x2 + 3)

f(x) có 4 nghiệm là: ±i 2; ±i 3

⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ¤ (i 2, −i 2, 3,i −i 3) (= ¤ i 2, 3i )

Tính  (i 2, 3 :i ) 

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) (i 2 ⊂ ¤ i 2; 3i )

+  ( )i 2 : 

Đa thức xác định của i 2 trên ¤ là: x2 + 2 ∈ ¤ [ ]x

( )i 2 :

+  (i 2, 3 :i ) ( )i 2 

Đa thức xác định của i 3 trên ¤ ( )i 2 là: x2 + 3 ∈ ¤ [ ]x

(i 2, 3 :i ) ( )i 2

⇒ (i 2, 3 :i ) 

¤ ¤= ( )i 2 : 

¤ ¤. (i 2, 3 :i ) ( )i 2 

= 2 2 = 4

f/ 6

8

x −

đặt f(x) = 6

8

x −

f(x) có 6 nghiệm là:

x = =

x = ξ

x = ξ

x = ξ

x = ξ

2 i 2

ξ = +

⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ¤ ( 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5) (= ¤ 2, ξ)

Tính ¤ ( 2, ξ): ¤

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) (2 ⊂ ¤ 2,ξ)

¤ ¤ 

Đa thức xác định của 2 trên ¤ là: x2 − 2 ∈ ¤ [ ]x

( )2 :

+ ¤ ( 2, ξ) ( ): ¤ 2 

Đa thức xác định của ξ trên ¤ ( )i 2 là: x2 − +x 1 ∈ ¤ [ ]x

( 2, ξ) ( ): 2

⇒¤ ( 2, ξ): ¤ =¤ ( ) ( )2, : ξ ¤ 2 . ( )2 : 

¤ ¤ 

= 2 2 = 4

Bài 21: Với p là số nguyên tố

a/ Xác định đa thức chia đường tròn bậc F x p( ) trên ¤

b/ Chứng minh ( ) ( )r1

r

p p p

F x =F x −

|

1

p

p

d p

F x =∏ x − µ  ÷ 

vì p là số nguyên tố nên các ước của p là: 1, p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

= 1 1

= 1 1 1

= 1

p

p

µ µ

−

b/ Chứng minh ( ) ( )r1

r

p p p

F x =F x −

từ câu (a) ta có

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 ( )1

p

|

1

r r

r

p

p

d p

Vì p là số nguyên tố nên p r có các ước: 1, ,p p2 , ,p r−1 ,p r

( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

2 1

1

1

r

r

r

p p

p

p

x

µ µ

µ µ

− −

−

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

p

−

( ) ( )1 1 1 2 ( )1 1

x − − x − − x −

r

p p p

F x =F x −

Bài 22: Cho f x( ) =x4 − ∈¤ 3 [ ]x

a/ Xđ trường phân rã F của đa thức f(x) trên ¤

b/ Chứng minh F là một mở rộng Galois trên ¤

c/ Tính bậc mở rộng của F trên ¤ Tìm một cơ sở của F trên ¤ , mô tả các phần tử của trường F

d/ Xác định nhóm Galois của F trên ¤ Nhóm các hoán vị đẳng cấu với nhóm Galois đó

giải

a/ f x( ) =x4 − ∈ 3 ¤ [ ]x

f x = ⇒x − = ⇒x =

x =

x =i

x = −

⇒ Trường phân rã của đa thức f(x) trên ¤ là: ¤ (4 3, 3,i4 − 4 3, − 4 3) (= ¤ 4 3, 3i4 ) ( )= ¤ 4 3,i

b/ Vì F = ¤ ( )43,i là trường phân rã của đa thức f x( ) =x4 − ∈ 3 ¤ [ ]x

vì f x( ) =x4 − 3 tách được trên ¤

( ) ( ) 5 1

dl

⇒

→ F là mở rộng Galois trên ¤

c/ [F:¤]=  F:¤ ( ) ( )4 3    ¤ 4 3 :¤  

+ F: ( )4 3 

 ¤  =  ( ) ( )4 3, :i 4 3 

Đa thức xác định của i trên ¤ ( )4 3 là: x2 + ∈¤ 1 ( )4 3 [ ]x ⇒  F:¤ ( )4 3  = deg (x2+1) = 2

+  ( )4 3 : 

¤ ¤ 

Đa thức xác định của 4 3 trên ¤ là: x4 − ∈ 3 ¤ [ ]x

( )4 3 :

Vậy [F:¤ ]=  F:¤ ( ) ( )4 3    ¤ 4 3 :¤  = 2 4 = 8

Một cơ sở của F trên ¤ ( )4 3 là { }1,i

Một cơ sở của ¤ ( )4 3 trên ¤ là {1, 3, 9, 27 4 4 4 }

⇒ Một cơ sở của F trên ¤ là: {1, 3, 9, 27, , 3, 9, 27 4 4 4 i i4 i4 i4 }

4

3,

a a a a a i a i

a i a i

¤

4 (1) (2)

3,

⇒

¤

¤

Xét ¤ ⊂ ¤ ( ) ( )4 3 ⊂ ¤ 43,i

( )

4

4

3,

i

G ÷ id i i σ i i

¤

¤

Xét ¤ ⊂ ¤ ( )i ⊂ ¤ ( )4 3,i

( )

4

3,

F

i

¤

¤

( )

4

4

3,

3

i

¤

( )

43,i

¤

¤

¤

( )

2 4

3

3,

i i i i F

i i i i i

i

id i

G

σ

¤

¤

1

4 3

2

4 3

i

3

4 3

θ =

−

3

4

4 3

i

θ =

−

4

Các phépthế ( )1234

1234 ( )1234

1432 ( )1234

2341 ( )1234

3412 ( )1234

4123 ( )1234

4321 ( )1234

3214 ( )1234

2143

=(1) =(24) =1234 =(13)(24) =1423 =(14)(23) =(13) =(12)(34)

Vậy ( )4 3, {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

1 , 13 , 24 , 12 34 , 13 24 , 14 23 , 1234 , 1423

i

 ÷

 ÷

 

¤

¤