Gọi K là giao điểm của OH và AB.. Suy ra ĐPCM.. Xét hình tròn tâm O bán kính 1 4 Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho... Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: TOÁN
Điều kiện: 5 5
Phương trình đã cho tương đương với:
2
3x+ − +15 3x 2 45x−9x =8x−5 2
45x 9x 4x 10
0,5
5 2
x
≥
⇔
0,5
2
5 2
x
≥
⇔
− + =
0,5
5 2 1 4
x x x
≥
0,5
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình làx=4 0,5
Hệ đã cho ⇔
( )
( )2 2
1 ( 1) 4
Đặt u x= +1,v= +y 1
Hệ đã cho trở thành
4
uv
=
, ĐK : 1
1
u v
≠ ±
≠ ±
(*)
1,0
( 2 2 ) ( 2 2 2 2 )
4
uv
=
4 8
uv
u v
=
4
4
uv
u v
=
2
2
u v
u v
= =
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 1; 3
0,5
Trang 22 3,0
Ta có 2 2
5x +2xy y+ −4x−40 0=
( ) (2 )2
Vì ,x y∈¢ , 2x−1 là số nguyên lẻ và 41 5= +2 42 nên 0,5 ( )
( )
2
2
16
x
x y
4
x
x y
− = ±
Từ đó suy ra các cặp (x y cần tìm là; )
( ) (3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2− ) (− ) (− − ) 1,0
Xét tam giác IAC và tam giác BDC có
IC BC
IA BD
Tương tự ta cũng có IC AC
Ta có ∆MBC đồng dạng với MDB∆ (g.g)
MC BC
MB BD
Tương tự ta có: MC AC
d
A
B
D N
C
K
Trang 3Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5
Kẻ OH ⊥d tại H Gọi K là giao điểm của OH và AB.
Ta có M, O, I thẳng hàng và OI ⊥AB.
0,5
⇒ ∆OIK đồng dạng với ∆OHM suy ra OK.OH = OI.OM 0,5
Mà OI.OM = OB 2 OB2
OK OH
Vì OI ⊥AB và O, K cố định nên I thuộc đường tròn đường kính OK cố định (ĐPCM). 0,5
BĐT cần chứng minh tương đương với
3
0,25
Đặt a x, b y,c z x y z, , 0; xyz 1
Khi đó (1) trở thành:
(xy yz zx x y z) ( ) 1 3 x 1 y 1 z 1
(x y y z z x) ( ) ( ) xyz 1 3 (x y y z z x) ( ) ( )
xyz
(x y y z z x) ( ) ( ) 1 1 3(x y y z z x) ( ) ( )
0,75
Đặt 3 (x y y z z x+ ) ( + ) ( + ) =t ⇒ ≥t 2 0,25 Khi đó (2) trở thành
t3+ ≥ +1 1 t
⇔ + ≥ + +t3 1 1 2t t2
⇔t t( −2) (t+ ≥1) 0 (luôn đúng do t≥2) Suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra ⇔ a b c= =
0,5
Gọi A, B là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho A, B chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng
nhau và bằng 1
Gọi O là trung điểm của AB Xét hình tròn tâm O bán kính 1
4
Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm M thuộc cạnh đa giác và M nằm ngoài hình tròn tâm O bán kính 1
4
N
A
B
O
M
Trang 4Khi đó 1
2
MA MB+ ≤ ( Độ dài đường gấp khúc chứa M ) (1). 0,5
Gọi N là điểm đối xứng với M qua O Ta có 2 1
2
MA MB MN+ ≥ > R= (2)
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.