Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiều

Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều" được hoàn thành theo q

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân

Chương 1 [Kiến thức chuẩn bị| 7

1.1 |Các không gian| cẶ Ăn 7

1.1.1.|Không gian BanaechlL eenet ene vớ 7

1.1.4 |Không gian Hilbert[ HH nh ng ng kh kẻ 12

1.2.|Các toán tửỬ| cQQQ ng ng nh ky 14

1.2.1.|Toán tử tuyến tính bị chặn| c2 SE nh nh và 14 1.2.2.|Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert[ - 19

1.3.|Phổ của toán tử| c2 22s 20 Chương 2 [Toán tử Schrödinger| - 23

2.1.|Một số định nghĩa và tính chất| 24

2.2.|Phổ của một số dạng toán tử Schrödingerl 30

2.2.1.|Toán tử Schrödinger dạng Hạ + VỊ ẶẶẶẶẶẶSẶSSS 30

À 2.2.2.|Toán tử Schrödinger dạng —A — el "dd 31

3.3 |Chứng minh những kết quả chính: từ trường tổng quái|

3.3.1.|Chứng mình Định lý [3.I[ SH nh xa

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học chính là ngôn ngữ để miêu tả một cách gọn gàng và logic các định lý, định luật của vật lý Toán tử Schrédinger chính là một trong

ví dụ điển hình của ngôn ngữ đó Thật vậy, trong cơ học lượng tử, mỗi

vật chất có thể được mô tả bởi một toán tử tự liên hợp - ma trận đối xứng xác định trên IR" hữu hạn chiều Chẳng hạn —A là một toán tử

tự liên hợp trong £?(R*") khi xác định trên một miền thích hợp (Không gian Sobolev H?) No tương ứng với một chất điểm tự do di chuyển trong không gian Dùng hàm sóng ø(z,f) € £?(IR") ta có thể mô tả được

vị trí của chất điểm và xác suất để tìm nó trong miền © tại thời điểm t= Jo |o(x, £)|Ÿ đz Dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp pha ổn

định ta thu được các đánh giá cần thiết

Vấn đề được quan tâm là số các giá trị riêng không âm của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều bị chặn bởi các điện thế tương ứng, các ước lượng này không còn đúng nếu không có từ trường Cận trên tương ứng phụ thuộc vào tính chất của từ trường như thế nào

và sự liên hệ với bất đẳng thức Hardy ra sao Dể làm rõ vấn đề này ta

sẽ đi nghiên cứu về nó

Với mong muốn hiểu biết sâu về cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều và ứng dụng của

nó cùng với sự giúp đỡ tận tình của người hướng dẫn em đã chọn đề tài:

“Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiêu” nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trinh bày các định nghĩa, định lý, các ví dụ cụ thể về toán từ Schrödinger từ tính

+ Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều

+ Nêu các ứng dụng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schrödinger từ tính, Cận trên của

số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger trong không gian hai chiều + Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán

tử Schrédinger từ tính, cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề + Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán

tử tự liên hợp, toán tử trong không gian Hilbert

6 Dự kiến đóng góp

+ Hệ thống một số dạng của toán tử và kết luận cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều + Nêu được vai trò, áp dụng của toán tử Schrödinger trong vật lý

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các không gian

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (R hoặc C) Một ánh xạ p: X -> R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó

thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) p(z) > 0 với mọi z € X;

p(z) = 0 © z = 0 (8 là kí hiệu phần tử không trong X);

(ñ) p(Az) = |A|p(z) với mọi số À € và mọi zø € X;

(H) p(z + ) < p(z) + p() với mọi z, € X

Số p(z) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(z), thông thường

ta kí hiệu ||z|| thay cho p(z)

Không gian vectơ X cùng với chuẩn ||-|| trong nó được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||-|))

Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi +, € X, đặt

p(z,y) = || — 9)l|:

Khi do, p là một metric trên X

Định nghĩa 1.2 Dãy (z„) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến xạ € X nếu

Dinh nghĩa 1.3 Không gian metric dude gọi là day di néu moi dãy

Cauchy đều hội tụ

Định nghĩa 1.4 Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ (với khoảng cách ø(z, ) = ||( — ø)||) Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầu đủ, hay còn gọi là không gian Banach

1.1.2 Không gian L’?

Định nghĩa 1.5 Cho (X, Ø,) là một không gian đo được, nghĩa là X

là một tập và

(i) G 1A mét ø - đại số trong X, nghĩa là G 1A một họ những tập con

của X sao cho

(a) OE G,

(b) AEG > A’ EG, A là phần bù của 4

(c) Néu A, € G,Vn thi > A, € G,

n=1

(ii) « 1a một độ do xac dinh trén G, nghia la : G > [0,00) thỏa mãn

(a) (0) = 0,

(b) Nếu (4) là họ đếm được các phần tử rời nhau của Ø, thì

Phần tử của Ø gọi là tập đo được Dôi khi ta viết |A| thay cho (44)

Tập A € Ø với tính chất (4) = 0 gọi là tập có độ do không Ta nói rằng, một tính chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó

đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X

Hàm ƒ : X —> R gọi là đo được trên A4 nếu

VaER: {re A: f(r) <a} eG

Trong truéng hop X = R" va 6 là những tập hợp đo được theo nghĩa Lebesgue thì ta nói tắt ƒ(z) là hàm đo được Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f(x) trén tập đo được A được kí hiệu là

/ ƒ(z)du(z) hoặc J ƒ(z)4(z) hoặc / f(a)a"(x),

Định nghĩa 1.6 Cho (X,GØ,/) là một không gian đo được Kí hiệu L'(X, ) (hoặc L1!) là không gian các hàm khả tích trên X với

fll = lth = f Islan = f itl

Cho p € R với l < p< oo, kí hiệu, L? 1A khong gian cdc ham s6 f(z) c6 lity thiva bac p kha tich trén X, nghia la |f(x)|? € Lt vdi

l/p

I/l„ = lIfll, = ( [ i'd)

Kí hiệu ® là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại

hằng số Œ để |ƒ(z)| < C hau khắp nơi trên X với

l/l,- = I/ll, = inf{C : |[ƒ(z)| < Œ hầu khắp nơi trên X}

Định nghĩa 1.7 (Không gian 7") Cho (X, Ø,) là một không gian do

được Họ tất cả các hàm số ƒ(z) có lũy thừa bậc ø (l1 < p< œ) của

modun khả tích trên X, tức là sao cho

1p

l= | [eran | <

goi la khong gian L?(X, 1)

Khi đó 7?(X, ø) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu

khắp nơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R*, Li la do do

Lebesgue thi ta viét L?(X) Néu X = [a,b] C R’, w 1a độ do Lebesgue

thi ta viét L?(a,b) ho&c Ty và néu X = [0,1] thi viét don gidn L?

Định lý 1.1 Các khong gian L” vdi chuan cho bdi ||f||,, nhu trong định nghĩa trên là những không gian Banach

1.1.3 Không gian Sobolev

Cho © là một tập mở con của IR*" có biên là Ø9

Định nghĩa 1.8 Cho số nguyên mm > 0 và 1 < p < œ Không gian

5obolev được định nghĩa như sau:

W””(9) ={uce L?(Q)| Du € L?(Q), Jal < m}

W”*” là tập hợp tat cA cdc ham thudc L?(Q) cé dao ham suy rong dén

m cũng thudc L?(Q)

Ta có ŒX(Ô) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact

trong Q thi tri: mat trong L?(Q), véi 1 < p < oo Nếu ó € Œ*(Ô) thì

D°¿€ C®(©), với mọi đa chỉ số œ Như vậy,

ŒZ(9)C W””(9)C (9), 1<p<œ

W?(Ô) là một không gian vectơ

Trén W™?(Q) ta trang bị một chuẩn ||-||,„„„ như sau: ™,DP,

Với l < p< œ, ta định nghĩa

1/p

Hava = 4 > IDs, b (o<lal<<m )

Với p = oo, ta định nghĩa

|Ì+Ì,„ o = 02 la em D“#||¡-(ey:

Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W?(Q) = H”(©), cho u €

H™ (Q), khi d6

|*|.ø = Wn 2.0-

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9 Cho ? là một không gian vectơ trên trường số C (gọi tắt là không gian vectơ phức)

(i) (x, x) > 0 với mọi zø € ?í;

(z,z) =0 z= 0( 0 là kí hiệu phần tử không trong ? );

(ii) (y,v) = (x,y) v6i moi x,y € ?í;

(iii) œ +z,0) = ứ,) + (+0) với mọi z,z', € Tí

(iv) (Az,) = À(,) với mọi z € ?, mọi số À € Œ

Các phần tử z,z, gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (z,ÿ} gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử z và g

Định nghĩa 1.10 Cho ? là một không gian vectơ trên trường số C Ánh

xa B: Hx H — C duoc gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear

form) néu B(x,-) 1A tuyén tinh, B(-, yo) 1A lién hop tuyén tinh:

Br +y,2+w) = Blx,y) + B(x, w) + Bly,z) + Bly, w),

B(az,b#) = abB(z, 0) véi moi z,y,z,w € H,a,beEC

Định nghĩa 1.11 Không gian vectơ phức ?( được trang bị một dạng tuyến tính rưỡi (-,-) thỏa mãn (+,#) > 0 với mọi z € # \ {0}, được gọi

là không gian có tích uô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong 2) Khi đó, (-,-) gọi là tích vô hướng trên ?{ Không gian có tích vô hướng còn gọi là không gian tiền Hilbert

Cho H là không gian tiền Hilbert Với mỗi z € ?, ta đặt ||z|| =

V4,z) Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy-Schwarz2):

Jz.ø)| < lzllllul, Ve,yeH

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:

Mệnh đề 1.3 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định

chuẩn, với chuẩn

lzl= vứ,z)

Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn ||z||= \/(z, 2)

Định nghĩa 1.12 Nếu không gian tiền Hilbert # với metric cho béi ø(#, ) = ||(œ, 0)|| là một không gian metric du, thi 4 được gọi là không gian Hilbert

Từ đây trở đi, # sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert

1.2 Các toán tử

1.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.13 Cho X,Y là các không gian vectơ định chuẩn trên trường số K, ánh xạ T': X -> Y tuyến tính nêu

T(az + Ø8) = aTz) + B(Ly)

với mọi z,€ X và œ,Øje€ K

Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính 7' là một toán tử tuyến tính bị chặn (bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số Œ sao cho

Mệnh đề 1.4 Cho T' là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) T bi chan;

(1) T liên tục;

(iii) T liên tục tại điểm 0

Định nghĩa 1.14 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệu

£(X,Y) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bi chan từ không gian X vào không gian Y Xét A, Ð là hai toán tử thuộc £(X,Y), khi đó ta đưa vào £(X,Y) hai phép toán:

e Tổng của hai toán tử A,B € L(X,Y) là một toán tử, kí hiệu là

A+B và được xác định bởi biểu thức

(A+ B)(x) = Av + Br véi moi x € X;

e Tich vô hướng của œ € € với toán tử A4 € £(X,Y) là một toán tử,

kí hiệu là œA và được xác định bởi biểu thức

(œ4)(z) = a(Az)

Dễ dàng kiểm tra được rằng 4+ 8 € £(X,Y), aA € £(X,Y) và hai

phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tập

£(X,Y) trở thành một không gian vectơ trên trường C Trong trường hợp Y = C thì Z(X,€) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu

là X” Nếu Y = X thì Z(X,Y) được kí hiệu gọn lại là £(X)

Chuẩn 7 trong Z(X,Y) được xác định bởi

T

P| = sup Pally WP Telly EX

Không gian £(X,Y) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn

Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:

@) J7z|| < ITIIllzll với mọi z € X

(ñ) Với mọi e > 0, tồn tại z; € X : ||T||— e < |\7z:|

Mệnh đề 1.5 Nếu Y là đầy đủ thì £(X,Y) là không gian Banach

Từ mệnh đề trên suy ra X* luôn là không gian Banach

Dinh ly 1.2 ([8]) , Ki hiéu £(H) là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H Cho T,, là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (T,,z, y)

hội tụ khi n > oo với mọi ?( Khi do tén tai £L(H) sao cho T, “+ T (hội tụ yếu)

Nếu một dãy các toán tử 7, trên không gian Hilbert có tính chất 7}, hội tụ với mọi z € ?, khi đó tồn tại 7 € £(?0) sao cho Tj, -> 7' (hội tụ mạnh)

Cho 7 € £(X,Y) Tập các vectơ z € X sao cho Tx = 0 được gọi là

nhân của T, kí hiệu là Ker(T’) = {x € X|Tx = 0} Tập các vectd € Y sao cho = Tz với z € X được gọi là miền giá trị của T, kí hiệu là Ran(7) = {u= 7z|z € X} Ta có Ker(7) và Ran(7) là các không gian con

Định nghĩa 1.15 Cho X và Y là hai không gian Banach, 7' là toán

tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Toán tử liên hợp (trong không gian

Banach) của 7, kí hiệu là 7", là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y* tới X” được cho bởi công thức

(T'Ð(œ) = t(Tz) với VÉC Y*,z€ X

Định lý 1.3 (|[Š|) ,Cho X,Y là hai không gian Banach Ánh xạ T > T'

là một phép đẳng cấu đẳng cự của £(X,Y) vào £(Y*, X*)

Đặc biệt, 7 là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert

?í vào chính nó Khi đó liên hợp không gian Banach của 7' là ánh xạ từ H* t6i H* ChoC : H —> ?í' là ánh xạ ứng với mỗi y € H, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn (,:) trong ?' Xét Ở là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp và toàn ánh Chúng ta định nghĩa ánh xạ 7” bởi công thức

T'=C'TC

Khi đó 7” thỏa mãn

(x, Ty) = (Cx)(Ty) = (C'T'Cz,y) = (T*x, y)

T* duoc goi la lién hop (trong khong gian Hilbert) của 7' nhưng chúng

ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là 7" để phân biệt với 7" Chú ý rằng ánh xạ 7' —> T* là tuyến tính liên hợp nghĩa là œ7' — #7”, do Œ là tuyến tính liên hợp

Dinh ly 1.4 ((8]) ,

(a) T + T* IA phép dang cau ding cit tuyén tinh lién hop tit £(H) lén

L(H);

(b) (TS)' = 8*T";

(e) (T*)* =7:

(d) Nếu T' có toán tử ngược bị chặn T! thì T* có toán tử ngược bị chặn va (T*)~! = (T7!)*;

(e) Ánh xạ T — T* luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng

nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu 7t là hữu hạn chiều;

(0 ||T*T | = ||T |

Định nghĩa 1.16 Toán tử bị chặn 7' trong không gian Hilbert được

gọi là fự liên hợp nêu T' = T"

Định nghĩa 1.17 Nếu P € £() và P? = P thì P được gọi là một phép chiếu Nêu thêm điều kiện thì P = P* được gọi là phép chiếu trực

giao

Dinh nghĩa 1.18 Cho X 1a khong gian Banach, £(X) tà tập các toán

tử bị chặn trên X Toán tử A € £(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử Ö € £(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong

X) Khi đó, toán tử Ø được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là

Định lý 1.7 Nếu toán tử A € £(X) khả nghịch và toán tử B € £(X) sao cho

1 I4 = BÌ< a J.4-'|

thì toán tử B khả nghịch

Định nghĩa 1.19 Toán tử 7' được gọi là compact nếu nó liên tục và biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu A/ là

tap bi chan thi T(M) 1A compact tương đối (7(ă) compaet)

Định nghĩa 1.20 Todn tu Hilbert-Schmidt T 1a toán tử trên ?( thỏa

vGi €1, ,€, lA mOt cd sé truc chuan cha H

Toán tử Hilbert-Schmidt khong chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact

1.2.2 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.21 Cho ? và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu B(H, K) là tập các toán tử bị chặn từ ?( vào K, toán tử A € 6(H, 1d) Khi

đó tồn tại duy nhất toán tử A* € 8(H, K) sao cho (Ah, k)„ = (h, A*k) v6iVhEH, KEK

Toan ttt A* dugc goi la todn tit tự liên hợp của toán tử A Trong trường

hợp ? = K va A= A' ta nói A là toán tử tự liên hợp

1.3 Phổ của toán tử

Định nghĩa 1.22 Cho X là không gian Banach trên trường số C, Z(X)

là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử 7 € £(X) Phổ của toán tử 7' kí hiệu là ø(7) là tập tất cả các số phức À sao cho khi đó T'— À1 không khả nghịch (tức là det(7 — À1) = 0, khi X là không gian hữu hạn chiều), trong đó 1 là toán tử đơn vị

Định nghia 1.23 Cho T € L(H) Tập hợp giải được của T` xác định bởi

Chính xác hơn, số phức À € ø(7) khi và chỉ khi 7 — À là song ánh với

toán tử ngược bị chặn Phần bù của tập giải được gọi là phổ

được gọi là giải thúc của T' tại À Ta có công thức sau:

Rr(A)* = ((T—A)') = (TAY) = (TS =) = RaQ")

Đặc biệt,

Định nghĩa 1.24 Cho 7 € £(X)

(a) z # 0,z € Xthỏa mãn 7+ = Àz với À € C được gọi là 0ecfø riêng của 7, À tương ứng được gọi là giá tri riéng Néu À là một giá trị riêng thì 7 — \1 không là đơn ánh do đó À thuộc phổ của 7 Tập các giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T, kí hiệu là ø„(7); (b) Nếu Ker(7 — À1) = 0 và nếu Ran(T' — À1) không là giá trị riêng

và nếu Ran(7 — À1) không trù mật thì A thì được gọi là phổ dư ; (c) Phổ rời rạc , kí hiệu øa(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số

bội hữu hạn Khi 7 là toán tử liên hợp thì

ø4(T) = {À € ø,(T)|rank(Pr(AT— e,À + £)) < œ với mỗi e > 0};

(d) Phổ thiết yếu ơ (T) = ø(T)\øơa(T), khi T là toán tử tự liên hợp thì

Oess(T) = {A € R|rank(Pr(À — e,À +e)) = œ với mỗi e > 0}

Dinh ly 1.8 ([9]) Tap giải được p{(T) là tap md va Rp : p(T) > L(H)

là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối quanh điểm Àg € p(T) Thêm vào đó

#z(A)ll > dist(A, ø(7))”1

Nếu T' bị chặn thì ta có {A € Œ||À| > I[TII} € pŒ)

Bồ đề 1.1 ([0|) Ta có À € ø(7) nếu tồn tại dãy „ € D{(T) thỏa mãn

|(L — Awv,)|| > 0 Nếu À là điểm biên của p(T) thì điều ngược lại vẫn đúng Dãy có tính chất như trên được gọi là dãy Woyl

Bổ đề 1.2 (|9|) Giả sử 7 là đơn ánh Khi đó

z(T~})\ {0} = (o(A)\ {0})*

Ngoài ra ta có Tụ = ÀU khi và chỉ khi TT = ÀA~!ú, À #0

Định lý 1.9 (||) Cho T là toán tử đối xứng Khi đó T' là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi ø(T) CR và (T — X) >0, X €R khi và chỉ

khi ø(T) € [X,s] Hơn nữa ||Rr(A)|| < |Im(A)| ` nến (7T — E) > 0;

IR+(A)l|< |À— X| ” nếu À < X

Định lý 1.10 (9|) Cho 7 là toán tử tự liên hợp Khi đó

inf o(T) = inf (Ww, Tw)

Chương 2 Toan tu Schrodinger

Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schrödinger dưới những khía cạnh khác nhau Trong chương này, chúng tôi xin đề cập đến ba dạng toán tử Schrödinger đó là

đồng thời cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng

Để thuận lợi cho việc trình bày những kiến thức ở trên, chúng tôi xét một số định nghĩa và tính chất về phép biển đổi Fourier và toán tử Schrédinger tự do thông qua toán tit Laplace A = » am Trong phần này thông qua các định lý và bổ đề để đưa ra một số kết quả liên quan tới phổ của toán tử Schrödinger tự do Đặc biệt, Định lý nói rằng toán tử Schrödinger tự do tự liên hợp và ø(Hạ) = [0,œ) Những nội dung trình bày trong chương nay chi yéu lay tit [9]

nhac lai rang khong gian Schwartz

là phép biến đổi Fourier của hàm ƒ

Bồ đề 2.1 ([9|) Phép biến đối Fourier ánh xạ không gian Schwartz vào

chính nó, F : S(R") —> S(R") Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số œa € Ñj và mỗi f € S(R") ta cé

Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần ta có

Công thức thứ nhất được suy ra bằng quy nạp

Tương tự công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng

(f(a + a))*(p) =e" f(p), a ER", (2.3)

Dinh ly 2.1 (9) Phép bién doi Fourier F : S(R") > S(R") là một song anh Phép bién ddi Fourier ngugc cho bởi

F-'(g)(x)

Ta có điều phải chứng minh

Bồ đề 2.3 (|9|) Cho g(z) là toán tử nhân bởi g và ƒ(œ) là toán tử được cho bởi ƒ(p)U(+) = 71 (70)¿(n) (z) Kí hiệu LX(RÑ") là các hàm Borel bị chăn, triệt tiêu tại vô cùng Khi đó ƒ(z)ø() và g(z) ƒ(p) là các toán tử compact nếu ƒ,g € L?(IR") và là các toán tử Hilbert-Schmidt

Nếu ƒ,ø bị chặn thì các hàm fr(p) = X{pp2<ny(p)f(p) va gr(x) =

Xtpp><n}(#)9(2) nằm trong L? Vậy øn(z)ƒn(p) compact

Do

lø(z)ƒŒ0) — gr(@)Fr(P)Il S Wglloollf — Fells + M9 - øals, ||» |

tiến đến g(x)f(p) theo chuan, tit d6 f,g triệt tiêu tại vô cùng

Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến xe(ạ + ï)~! là compact nên © là tập

bị chặn trong R” Do d6 Jm lvoe |? = 0 với mdi ham w € L?(R")

và Q bị chặn trong R“ Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển đến

vô cùng từ đó có thể tìm được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến

0

Bổ đề 2.4 (Riemann-Lebesgue, [9]) Kí hiệu Œ„(JR") là không gian

Banach của tắt cả các hàm số liên tục ƒ : Ñ" —y C triệt tiêu tại vô cùng

được trang bị chuẩn sup Khi đó phép biến đổi Fourier là một đơn ánh

bị chăn ánh xạ từ L!(R") vào Œ (R") thỏa mãn

chứng tỏ ƒ € Œ(R*) với f bat ki thudc L!(R"), tit do S(R") tri mat

trong L'(R") Dé chitng td phép bién ddi Fourier 1A don ánh ta giả sử

f = 0 Theo Dinh ly Fubini ta có

0= | eeofle@e= [ole fore

với mọi y € S(R”) Từ đó suy ta ƒ = 0

Định nghĩa 2.1 Toán tử Schrödinger tự do là toán tử có dạng

Hy = —A, D(Hy) = H?(R"), (2.7) trong đó A là toán tit Laplace

Tỉ @

» Ox?

j=l 7 Dinh lý 2.2 ([9|) Toán tử Schrödingcr tự do Hạ tự liên hợp và phổ của

nó được cho bởi

Chitng minh Diéu kién đủ là chứng tỏ dp, hoan toàn liên tục tuyệt

đối với mỗi ¿ Trước hết ta thấy rằng

(0, Ruu(2)0) = (ó, Re(s)0) = | WON ry = [ —djny(r), Ry pp —Z raz

trong đó

diol) = xu«fn1 (lê) } ức gi

Dùng phép đổi trục tọa độ ta được

Bồ đề 2.5 (9|) Tập

ŒX(R”*) = {7 € S(R")| supp(f) compact}

là miền lõi của Hạ

Chứng minh Dễ thấy S(IR") là miền lõi nên điều kiện đủ là chứng

minh bao đóng của Ao|cx (er) chứa THhls(a»):

Lấy hàm ¿(z) € ŒX(") sao cho hàm (x) = 1 với |z| < 1 và triệt tiêu với |z| > 2 Đặt g„(z) = g(+z), khi đó „(z) = œ„(2)0(z) nằm trong C®(R") với mỗi € S(Ñ”) và „¿ —> t tương ứng với Aw, — Av

Ta lưu ý rằng dạng toàn phương của Hụ được cho bởi

qHy(w) = >| |Ø;U(z)|Ïd"z, — ủc D(Hp) = H!(R")

j=1 RU

Định nghĩa 2.2 Cho V : ]R" — R 1A mot ham số, fẹ là toán tử nhân với V và Schrödinger tự do trên L?(R") Toan tt H = H)+V trén không gian Hilbert L?(R”) cho béi Hyp + Vụ với € L”(R"), được gọi là toán

tử Schrödinger hoặc toán tử Hamilton

Về miền xác định của toán tử ï và tính liên hợp của nó được khẳng định qua định lý Kato-Rellich, với Họ là toán tử tự liên hợp và giả sử V

là một toán tử đối xứng với D(Hạ) C D(V) sao cho có a < 1 và số b để

IIV(2)1| < ø || Hsớ|| + ð ||ø|

với mọi ¿ € D(Hụ) Khi đó Hạ+V xác định trên D(Hạ)nD(V) = D(Hn)

là tự liên hợp

Toán tử Hụ thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thường được gọi là toán tử thế năng

2.2 Phổ của một số dạng toán tử Schrödinger

tốt hơn về các hàm trong miền ïụ

Bổ đề 2.6 (|9|) Giả sử n < 3 và € H”(R) Khi đó ÿ € C,,(R") va

với mỗi a > 0 tồn tại b > 0 thỏa mãn

llớl, < ø | Houll + b lw (2.10) Ching minh Ta thay (p? + 7°)"! € L1°(R") néu n < 3 Vi thé ti

(p° + +”) € 1?(R"),

theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có

II, = ||? +3) “0 +32)¿0)|

< |e + 3) | le" + 3°)¿0)| -

Hon nữa, C?°(R") là miền lõi của H

Chứng minh Theo bổ đề nêu ở trên chứng tỏ D(Hg) C D(V) Hơn

nữa từ Bồ đề |2.1| với ƒ(p) = (p?— z)"} và g(x) = V(x) (lưu ý rằng

ƒƑƒ€ L(R")n r?(R") với ø < 3) chứng tỏ V compact tương đối Do đó

x

Ta bắt đầu với mô hình đơn gian cia mot electron tu do trong R? di chuyển trong trường thế mở rong V sinh ra bởi một hạt nhân (được giả

thiết là cố định tại điểm gốc) Nếu trong tính toán ta chỉ lấy lực tĩnh

điện thì khi đó V được cho bởi trường thế Coulormmb và phương trình Hamilton tương ứng cho bởi

Nếu trường điện thế là hấp dẫn, nghĩa là y > 0 khi đó nó mô tả nguyên

tử Hiđro và có thể đây là một mô hình nổi tiếng nhất trong cơ học lượng

tử

Chọn miền D(WŒ)) = D(,)n Dũ) = D(H) và st dung Dinh lý

ta rút ra Ữ) tự liên hợp Hơn nữa cũng theo Định ly [2.3] ta cd

va H” bị chặn dưới

Ey = inf o(H") > —oe (2.15)

Nếu + < 0, ta có ïWỮ > 0 và do vay Ey = 0, cdn néu + > 0 thì ta có

E < 0 và có một số giá trị riêng rời rạc dưới phổ thiết yếu

Để nói về các giá trị riêng của #Œ) ta sử dụng cả ụ và Vf = —+/|z|

có biểu diễn đơn giản theo tỉ xích Xét nhóm giãn (dilation group)

U(s)U() = e""*“U(e"°z), se€R (2.16)

nó liên tục mạnh - nhóm đồng nhất tham số Dùng máy ta dễ dàng tính

được

De) = yIzp + poi) = (ap- 7) ve), ve SR") 040)

Bây giờ ta khảo sát tác động của U(s) trên #)

H's) = U(—s)H™U(s) =e -** Hy te8V"), D(H (s)) = D(H")

Ta giả sử Hụ = Àu, khi đó

(, [U(s), H]b) = (U(—s), Hủ) — (Hủ,U(s)) = 0 (2.19)

va do đó

0 = lim = (,[U(6), Hh) = tim (0 (9), == sU 8 s0 20) ) 8

= 00, (BH, + V0), (2.20)

Vậy ta đã chứng minh xong định lý virial

Định lý 2.4 (|9|) Giá sử H = Hạ + V với U(—s)VU(s) = e"°V Khi

đó hàm riêng chuẩn hóa tÙ theo giá trị riêng À thỏa mãn

1

A= = (U, How) = 5 U,V) (2.21)

Đặc biệt, tẤt cả các giá trị riêng âm

Từ kết quả này ta có một số hệ quả cho phổ điểm của #)

Hệ quả 2.1 ([0|) Giả sử y > 0 Khi đó

o,(H™) = oH) = {Ej-1h jen? Ey < E; < đa <0 (2.22)

với lim #; = 0 7—0

Chứng minh Chọn € C¿°(R\ {0}) và đặt j(s) = U(—s) Khi đó

(0(s), HỮU0(3)) = e ®(0, Hạu) + e "(0y VCĐá)

có giá trị âm với s lớn Bây giờ ta chọn dãy s„ —> œ sao cho supp(#({s„))f supp(0(s„)) = với n # m Khi đó ta có

rank(Đ„u›(Tœ,0)) = oo

Do mỗi giá trị riêng #; có hữu hạn số bội (nằm trong phổ rời rạc) nên phải có vô số các giá trị riêng chồng chất tại 0

Nếu + < 0 ta có øa(HÚ)) = Ú do trong trường hdp nay H™ > 0

Như vậy ta đã nhận được một hình ảnh khá đầy đủ về phổ của H)

Tiếp theo ta cố gắng tính các giá trị riêng của #Œ) (trong trường hợp + > 0) bằng các giải phương trình đặc trưng tương ứng, nó được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

*

Đối với một trường thế tổng quát thì điều này không thể nhưng trong các trường hợp ta có thể sử dụng phép đối xứng quay của toán tử đưa vào phương trình đạo hàm riêng thông thường

Trước hết ta chuyển sang tọa độ cầu (#,#¿,#s) => (r,Ø,œ}

(i,2a,#3) E> (r,Ø,), 1 =rsin(A)sin(y), z¡ =rcos() (2.24)

nó tương ứng với phép biến đổi đồng nhất

L”(R?) — T?((0,©),r?dr) @ L?((0,), sin(0)4(0)) ® L?((0,2a), dy)

Lấy tích ansatz (tách biến)

Đây chính là phương trình Hamilton tương ứng với hơn một chất điểm

Trước hết ta xét với hai chất điểm:

Ta kí hiệu tọa độ của chất điểm thứ nhất IA 2) = (711,219,713), toa

độ của chất điểm thit hai 1A xo = (91,222,223) Néu ta gid sit d6 1A tương tác Coulomb, phương trình Hamilton được cho bởi

khi đó trong hệ tọa độ mới H có dạng

H=(-Aj+ (-a - 2) (2.33)

lyk

Đặc biệt, nó là phổ của một chất điểm tự do với một chất điểm trong

trường mở rộng Coulomb Theo vật lý, phần thứ nhất ứng với tâm của

động lượng còn phần thứ hai ứng với chuyển động tương đối

Sử dụng +/(V2 |w›|) có (—A›) cận 0 trong L?(R3) không khó khăn lắm

để thấy rằng điều này cũng đúng cho (—A¡ — A;) cận trong L?(R°) Dac biệt ï tự liên hợp và nửa bị chặn với mỗi y € R Hơn nữa +/(v2lw|)

compact tương đối theo (—A¡ — A¿) trong U?(R°®) từ đó nó compact

tương đối theo —A¿ trong Ƒ?(R®6) Tuy nhiên điều này không đúng, điều này đưa đến +/(v/2 |w›|) không triệt tiêu khi || > oo

Ta cùng nhìn bài toán này theo quan điểm vật lý Nếu À € ø,,.(H), nghĩa là chuyển động của toàn bộ hệ thống biết không bị chặn Có hai khả năng:

Thứ nhất, cả hai chất điểm rời xa nhau (ta bỏ qua sự tương tác) và năng lượng tương ứng bằng tổng động năng của hai chất điểm Do cả hai có thể bé bất kì (nhưng dương), ta hy vọng [0,o) C ø,;„(H)

Thứ hai, cả hai chất điểm gần nhau và cùng chuyển động Trong hệ

tọa độ cuối nó tương ứng với trạng thái bị chặn của toán tử thứ hai Do

đó ta hy vọng [Ag, ©) C Ø,;„(H), trong d6 Ay = -7/8 la gid tri riéng nhỏ nhất của toán tử thứ hai nếu các lực này hút nhau (+ > 0) va Ay = 0

nếu chúng đẩy nhau (A < 0)

Không khó để chuyển ý tưởng trực giác vào chứng minh chính xác