Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 và bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn

Theo phương pháp đó hàm giá trị của bài toán nếu khả vi sẽ là nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jaeobi-Bellman liên kết, đó là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một.. C

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần

Văn Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học

tập và làm luận văn

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản

luận văn này

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Tác giả

Chu Thanh Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình của nghiên cứu của cá nhân

tôi, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của,

các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Tác giả

Chu Thanh Vân

Mục lục

Mở đầu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1

1.11 Định nghĩa và các tính chất cøbản

1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhóớt

113 Hàm lề Ặ

1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm

1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt

1.3.1 Tính liên tục Lipschitz

1.3.2 Tính nửa lõm .Ặ.Ặ.ẶẶẶẶ 1.3.3 Tinhkhavi 2 0

Chương 2 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 2.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn

2.1.1 Hệ điều khiển

2.1.2 Nguyên lý quy hoạch động

2.1.3 Phuong trinh Hamilton-Jacobi-Bellman

2.1.4 Dịnhlýkiểm định

2.2 Ung dụng của nghiệm nhớt đối với bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn ào 2.2.1 Nguyên lý quy hoạch động và phương trình Hamilton- Jacobi-Bellman đối với nghiệm nhớt

2.2.2 Dịnh lý kiểm định qua nghiệm nhớt

Tài liệu tham khảo

12

16

20

23

23

26

29

32

32

32

33

34

35

38

40

53 57

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán điều khiển tối ưu xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khoa học

cũng như thực tiễn (xem [1, 4, 5]) Một trong những phương pháp tiếp cận quan trọng của lý thuyết các bài toán điều khiển tối ưu là phương pháp

quy hoạch động Theo phương pháp đó hàm giá trị của bài toán (nếu khả vi) sẽ là nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jaeobi-Bellman liên kết, đó là một phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một Tuy nhiên

trong đa số các tình huống thì hàm giá trị nói chung không khả vi, vì thế

một vấn đề quan trọng đặt ra là: hàm giá trị có thỏa mãn phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman hay không? Nếu có thì thỏa mãn theo nghĩa nào? Đầu những năm 80 của thế kỉ trước, M G Crandall đã đề xuất một khái niệm nghiệm suy rộng mới cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một, đó là nghiệm nhớt Cho đến nay khái niệm này đã được chứng minh là đặc biệt hữu dụng đối với lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết

Nội dung của Luận văn gồm hai chương:

Chương 1, trình bày các kiến thức chuẩn bị về nghiệm nhớt của phương

trình đạo hàm riêng cấp một, bao gồm: khái niệm, các tính chất, các phép toán,

Chương 2, tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn trong lý thuyết cổ điển và những ứng dụng của nghiệm nhớt đối với bài

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu Nghiên cứu ứng dụng của nghiệm nhớt liên tục của

phương trình đạo hàm riêng cấp 1 đối với bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Tìm hiểu về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng

cấp 1;

-Tìm hiểu về bài toán điều khiển tối ưu nói chung;

-Tìm hiển về bài toán điều khiển tối tu thời gian vô hạn

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Các điều kiện tối

ưu cho bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu tất định với hàm giá trị liên tục số không gian hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng một số phương pháp của Giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết điều khiển tối ưu

6 Đóng góp mới của luận văn

+ Luận văn là một tài liệu tổng quan về ứng dụng của nghiệm nhớt

của phương trình đạo hàm riêng cấp 1 vào bài toán điều khiển tối ưu thời gian vô hạn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [3]-[7]

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng

phi tuyến cấp 1

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Mục này trình bày khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng (ĐHR) cấp một và một số tính chất cơ bản dựa vào nguyên lý so sánh nghiệm cũng như mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển của phương trình đó

Cho O C RŸ là một tập mở, F:Q x Rx RY > R là một hàm liên tục của ba biến (z,z,p) Kí hiệu:

Œ(©) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên O;

Œ!(O),k = 1,2, là không gian tất cả các hàm thuộc Œ(©) có các đạo hàm riêng đến cấp k liên tục trên 9

Với một hàm œ € Œ1(Ó), thì Du(z) là gradient của wu tai x € Q

Xét phương trình ĐHR, phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình

Hamilton-Jacobi):

Dinh nghĩa 1.1.1 Hàm u € C(Q) là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) nếu với mọi ¿ € Œ1(©) ta có:

P(œo, u(#o), Dụ(zo)) < 0 (1.1)

tại mọi điểm cực đại địa phương zạ € Ô của — Ụ.

Ham u € C(Q) 1a một nghiệm nhét trén cia phuong trình (HJ) nếu với mọi @ € C1(Q) ta có:

Tt(œi,0(#ì), De(3i)) > 0 (1.2) tại mọi điểm cực tiểu địa phương z¡ € © của u — ÿ

Hàm wu là một nghiệm nhớt nêu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là

nghiệm nhớt dưới của phương trình đó

Ham ¿(z) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử

Ví dụ 1.1.2 Hàm số u(x) = |z| là một nghiệm nhớt của phương trình:

—|u'(x)|+1=0, z€(-I,I)

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu + # 0 là một cực trị địa phương của — ¿@ thì ¿'(#) = w/(z) = £1 Vi vay tại những điểm này điều kiện nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u— y, thi ta tính được |¿'(0)| < 1 nên

điều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể

là cực đại địa phương của — œ với ¿ € Œ!(|0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cực

dai địa phương của — y thi ta c6 (u — y)(0) > (u— y)(x) trong mot lan cận cha 0, hay v(x) — ¿(0) > u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có:

Vo ly, vay 0 khong thé 1A cuc dai dia phugng cha u — ¿

Dé ¥ rang, ham sé u(x) = |z| không phải là nghiệm nhớt của phương

trình:

|u(z)|—1=0, z€ (—1,1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tai zy = 0 1A điểm cực

tiểu địa phương của |#| — (—z?).

Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:

u(t, y) + H(t,y, u(t, y), Dyu(t,y)) = 0, (t,y) € (0,T) x D

thi ta chi viéc dat:

r= (t,y)€Q=(0,T) x DCR®*, F(a,r,p) = avai t+ A(a,7,@, 5 aN)

với q = (1, 5 Gv, Gv+1) € R®*1

Nhận xét 1.1.3 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả

sử rằng zạ là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm œ — ¿ (nếu không ta

có thể thay ¿(#) bởi v(x) + |# — zo|”) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào

giá trị của Dy tại zạ, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng

u(zo) = @(œạ) Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét tương tự

Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệm nhớt dưới (1.1) đối với w là tiếp xúc trên với đồ thị của wu

Ta cũng chú ý rằng không gian C1(O) các hàm thử trong Dịnh nghĩa

1.1.1 eó thể được thay thế bằng Œ%(©)

Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt

và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:

Mệnh đề 1.1.4 (a) Nếu hàm + € Œ(©) là một nghiệm nhớt của (H1) trong ©, thì u là nghiệm nhót của (H1) trong Q, với mọi tập con mở

Q CQ;

(b) Giả sử hàm u € C(Q) la một nghiệm cổ điển của (H1), tức là w khả vi tai moi diém x € Q va:

Khi đó u là nghiệm nhớt của (H1);

(c) Néu hàm u € Œ1(Q) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổ

điển của phương trình đó

Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vì

vậy ta có thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) 1A mot C!—ham trên IRỲ hoặc trên một hình cầu bất kỳ Ö(z,r) với tâm z € 9

Dịnh nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được nêu trong lý thuyết của phương trình eliptie - parabolie đó là nguyên ly cực đại và nguyên lý so sánh Với phương trình (HJ) hai tính chất này được xây dựng tương ứng như sau

Định nghĩa 1.1.5 Một hàm số € C(Q) théa man nguyên lý so sánh với

các nghiệm nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi @ € Œ1{) và tập mở @Ø C © sao cho

thì œ — ¿ không thể có cực đại không âm trong O

Dễ thấy rằng nếu hàm + € Œ(O) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó thỏa mãn nguyên lý so sánh Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.1.6 Nếu ham sé u € C(O) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u

là một nghiệm nhót dưới của phương trình (HJ) Ngược lại, nếu u là một

nghiệm nhớt dưới của phương trinh (HJ) var > F(a,r,p) lA mét ham

không giảm với mọi z,p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so

sánh

Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó ta chỉ cần

đổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại

và thay cực đại không âm bởi cực tiểu không dương.

Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu

của phương trình Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của — ¿

đều là cực tiểu địa phương của —% — (—øœ), nên œ là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu ø = —%w là nghiệm nhớt trên của phương

trình —#(z,—0(z),— Do(z)) = 0 trong ©; tương tự œ là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu = —w là nghiệm nhớt dưới của phương trình —#'(z,—ø0(z),— Do(z)) = 0 trong 2

Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình

(HJ) thong qua trên vi phân và dưới vi phân Cho hàm số u € C(Q) và

(a)p€ D*u(z) nếu và chỉ nếu tồn tại p € Œ1(Q) thỏa mãn Dọ(z) = p

và u — yp dat cực đại địa phương tại #;

(b)p€ D~u(z) nếu và chỉ nếu tồn tại € Œ!(Q) thỏa mãn Dẹ(z) = p

và w — ¿ đạt cực tiểu địa phương tại z

Bổ đề 1.1.9 Cho u € C(Q), 2 € Q Khi do:

(a) DTu(z) và D~u(œ) là các tập con lồi, đóng (có thể rỗng) của IRỲ; (b) Nếu u khả vi tại z thì {Du(z)} = D*u(z) = D~u(z);

(c) Các tập A* = {z€ Q9: D*u(z) # Ú} và A" ={zcQ:D u(z) # Ú}

la nghiém nhét trén cia phuong trinh (HJ) trong 2 khi va chi khi:

F(a,u(x),p) > 0, Vzre©,Vp€ D u(z) (1.5)

Sử dụng đặc trưng này, ta có thể chứng minh một số tính chất quan trọng sau đây của nghiệm nhớt

Ménh dé 1.1.11 (a) Néuu € C(Q) là một nghiệm nhớt của phương trình

(HJ) thì:

F(x,u(x), Du(x)) = 0 tai moi diém ma u kha vi

(b) Nếu u là một hầm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớt

của (HJ) thì:

F(œ,u(z), Du(z)) = 0 hầu khắp nơi trong ©

Nhận xét 1.1.12 Phần (b) của Mệnh đề 1.1.11 thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số œ liên tục Lipschitz địa phương là

nghiệm tổng quát nếu:

F(œ,u{(z), Du(z)) =0 h.k.n trong 2

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không

phải là nghiệm nhớt Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:

Ví dụ 1.1.13 Ta thấy hàm #(z) = |z| thỏa mãn:

lứ(Œ)|~1=0— trong (-1,1)\ {0}

do đó œ là nghiệm tổng quát của |w'(z)| — l = 0 trong (—1,1) nhưng nó không phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1.2)

1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt

Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép toán trên các nghiệm nhớt Để trình bày các kết quả trong phần này chúng

ta cần tới khái niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:

Mô đun là một hầm liên tục, đơn điệu tăng bất kì ø : [0, +) — [0, +oe) thỏa mãn ø(0) = 0

Mô đun liên tục cha mot ham u € C(Q) là một mô đun ø„ sao cho

|u(z) — u()| < ø„(|# — yl), Vz,cQ

Néu u(z,y) € C(Q, x Q2) thi mô đun liên tục (địa phương) của œ là hàm hai biến liên tục ø : [0,+œ) x [0,+œ) — [0,+©o) là mô đun theo

từng biến và

|u(Œ, 0ì)—8(32, 02) Š p(#ì—I|, |#2—|).— Vi), (2s,a) € Ox Do

Ví dụ 1.1.14 Nếu œ là hàm Lipschitz với hằng sé Lipschitz L (xem Dinh nghĩa 1.1.24) thì ta có thể chọn mô đun liên tục của wu 1A p,(r) = Lr

Cho u(x), v(x) € C(O) Ta ký hiệu:

(uV 0)(z) = max {u(z),0(#)}, (uA v)(x) = min {u(z), 0(+)}

Mệnh dé 1.1.15 Ta có các khẳng định sau:

(a) Cho u(x), v(x) € C(Q) là nghiệm nhót dưới của phương trình (H1)

Khi đó u V 0ò cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (H))

(b) Cho u(x), v(x) € C(©) là nghiệm nhót trên phương trinh (HJ) thiuAv

cũng là một nghiệm nhót trên của phương trình (HJ)

(c) Néu u € C(Q) 1a nghiệm nhót dưới của phương trình (HJ) mà u > 0

với mọi nghiệm dưới u € C(Q) của phương trình (HJ) Khi đó u là nghiệm nhót trên và do đó là nghiệm nhớt của phương trình (H1)

Mệnh đề 1.1.16 [Tính ổn định của nghiệm nhớt] Cho u„ € C(Q)(n € N)

là một nghiệm nhớt của phương trình:

F(x, n(x), Du,(x)) =0 trong 9 (1.6) Giả sử rằng:

Un — hội tụ đều trong Q,

F, + u hội tu déu trong 2 x R x IR"

Khi đó u là một nghiệm nhớt cia phuong trinh (HJ) trong ©

Chứng mình Cho ¿ € C1(Q) va zo 1A cuc dai dia phương của u— ọ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử:

u(xo) — p(xo) > u(x) — v(x) véi x # x trong mét lan can cia xp Tit tinh hoi tụ đều ta có với ø đủ lớn

uạ — @ đạt cực đại địa phương tại #„ + xy (xem Bé dé 1.1.18) Khi dé

Vi du 1.1.17 Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm +„ được xác định bởi: u(r) = 1— z và với n > 2 thì

In > Xo, Un(@n) > n(x), We € B(x, 9) (1.7) Ménh dé 1.1.19 (Quy tac déi bién trong phuong trinh Hamilton-Jacobi)

Cho u € C(Q) 1a nghiém nhét cia phuong trinh (HJ) va ® € C'(R) thoa mãn ®'{£) >0 Khi dé v = ®(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:

F(x, 0(o(z)), W'(o(z))Do(z)) = 0, reEQ, (1.8)

Khi dé ham v € C(Q) duge xac dinh bdi

là một nghiệm nhớt của phương trình

F(œ,0(œ), Du(z)) = 0 trong Q, (1.9) véi F(x,r,p) = F(a, 0(x,r), D,®(x,r) + ©, (2, r)p)

Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các trường hợp thông dụng

Mệnh dé 1.1.21 [xem [2], Proposition 2.7] Cho u € C(Q) Khi dé

(1) với 0(z,r) = p(r)u(z) (c@ € Q,r € R) va p € C'(R), g(r) > 0, với mọi re; ta có

D*ø(z,r) = {(q,ø) €R"”!:q€ ø(r)Dˆu(),ø = ÿ (#)u(3)}:

(ii) với u(z) = v(T(x)), v € C(Q); ta có (công thức đổi biến)

p € D*v(yo) nếu và chỉ nếu (DT(zụ))'p € D*u(z), trong đó T: Q — Ö là

một vi phôi, A' là chuyển vị của A và ty = T(œg);

(i1) với n(r) = u(y(2)), ụ € C1(R,©) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)

Dn(r) 5 D”u(w(r)) - 0)

Nhận xét 1.1.22 Các kết quả tương tự vẫn đúng với D~ Từ công thức

“đổi biến” (ii) ta có w là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong © nếu và chỉ nếu 0(#) = w(T'”!{£)) là một nghiệm dưới của phương trình:

F(TT'(2),»(&), DT(T"'(â))Do(£)) =0, — &cÔ

Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh

thỏa mãn phương trình (HJ) là nghiệm nhót của phương trình trên

Bồ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình tiến hóa.

Bồ đề 1.1.23 Ta giả sử rằng

pi E> F(Œ,T, Đi, Pa : DA ) (1.10)

là không giảm với mọi điểm #, F, Ba, ., 0y Cũng gia sit rang Q = (a, b] x 0,

với Q' là tập con mở của RŸ~!, Nếu u € Ở(Ö) là một nghiệm nhớt dưới (tương ứng nghiệm nhớt trên) của phương trình (HJ) thi

Œ,u(),Dw(#)) <0, (tương ứng > 0) (1.11)

tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) # của

u— @ trên (a,b} x Q' với mọi p € Cl((a, b] x 0’)

1.1.3 Hàm lề

Định nghĩa 1.1.24 Cho hàm số ø : 9 x B + RY, Q CR" 1A mot tap mở

và là một không gian topo Hàm số (+) được xác định bởi:

và giả sử rằng ø(z, Ö) bị chặn với mọi ø € © và z —> ø(z,b) là liên tục đều

tại z đối với b€ HD; tức là:

Ig(+,b) — gly, b)| < ø(lz — vị, R), (1.13)

với mọi |z|, |u| < R,b€ với mô đun w nào đó

Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phân

của hàm + và các bán vi phân của hàm ø theo biến z (ký hiệu là D?ø)

Bổ dé 1.1.25 Cho giả thiết (1.13) Khi đó u € © và

b — g(z,b) nửa liên tục dưới (1.16)

Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:

D-uls) = i" néu ¥ (0) = {y} = 2 1.19

Ú nếu Y(z) không phải là tập một điểm ( )

Đặc biệt, u khả vi tại z nếu và chỉ nếu Y (a) 1a tap một điểm Hơn nữa, u

có đạo hàm theo hướng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi

Biểu thức sau của đ(z) thuận tiện hơn trong tính toán và liên quan đến

việc xét tập hình chiến của z lên Ø có dạng

P(z) := {z€ 95: d(z) = |z — z|} # 0

Mệnh đề 1.1.28 Với 9 Z Ú, d€ Œ(R") bất kỳ và với mọi z ¢ S va vector đơn vị q Khi đó

vz

nếu và chỉ nếu hình chiếu của z lên S$ 1A duy nhat Mot két qua noi tiéng

trong giải tích lồi (định lý Motzkin) khẳng định rằng tập hình chiến p(z)

là tập một điểm nếu và chỉ nếu S$ là tập lồi Khi đó Š là tập lồi nếu và

chỉ nếu đ khả vi trong RŸ \ § Trong trường hợp này hình chiếu p(z) phụ

thuộc liên tục trên z do vậy đ € C!(R* \ S$)

Dễ biết rằng nếu Ø® trơn thì hàm khoảng cách là trơn ở gan 0S va thỏa

man phuong trinh eikonal

một cách địa phudng quanh 0S Néu phương trình này xét theo nghĩa nhớt

thì nó là nghiệm toàn cục với mọi ®

Hệ quả 1.1.30 Hàm khoảng cách đ đến Š là nghiệm nhớt của phương

trình (1.21) trong S Ñó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng không là nghiệm nhớt trên trong cả RŸ,

Một khái niệm khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng

cách đó là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị ø(#) của S tai x € Ø9 Trong trường hợp Ø5 trơn, hàm ø là mở rộng duy nhất của Dd lên OS, voir ¢

đủ gần Ø8 ta có

r= p(x) + s(x)n(p(x)), Dd(z) = n(p(3)), (1.22)

trong d6 p(x) biéu thi hinh chiéu duy nhất của z lên Š Điều này dẫn đến định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.31 Cho 9 C IRŸ là một tập không rỗng Một vector đơn

vị v IA mot vector phap tuyến ngoài (suy rộng) của Š tại z € Ø5 (ta ký

hiệu là ø € N(z)) nếu tồn tại z # Š thỏa mãn

20

1.2 Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm

Trong mục này ta đề cập đến vấn đề tính duy nhất và sự so sánh nghiệm

của nghiệm nhớt Đây là một vấn đề lớn trong lý thuyết và có mối liên hệ với các điều kiện đủ trong bài toán điều khiển tối ưu

Xét hàm #' có dạng F'{z,r,p) =r + H(z,p)

Định lý 1.2.1 [Sự so sánh nghiệm trên tập bị chăn] Cho © là một tập

con mở bị chặn của RỶ Giả sử ,u;¿ € C() tương ứng là nghiệm nhớt

trên và dưới của

Nhận xét 1.2.2 Nếu w¡, ø; đều là nghiệm nhớt của (1.24), theo Định

lý 1.2.1 thì điều kiện = 1 trên ØŠ sẽ kéo theo u, = uy trén 8

Nhận xét 1.2.3 Khẳng định trong Định lý 1.2.1 cũng đúng với phương trình

Au(z) + H(z, Du(z)) = 0 reEQ, với À > 0 Mặt khác đối với phương trinh H(z, Du(x)) = 0 thì kết qua trên không đúng Thật vậy, với phương trình H(z,p) = 0 với mọi # và p thì ham wu € Œ(©) bất kỳ đều là nghiệm nhớt

Bây giờ ta xét trường hợp Q = RỶ và chứng minh kết quả về sự so sánh nghiệm trong không gian ØŒ(IR) của các hàm liên tục bị chặn trong RỲ.

Ta giả sử điều kiện sau trên H:

H(y, My — 2) +p) — H(a,A(y — 2) +q) < œ›(|z — | + À|w — z|”, R)

+ ws(|p — 4Ì) (H:)

với mọi À > 1, p, g€ (0,1), z, y € B(0,R), VR > 0, trong đó œø;, ¿ là

các mô đun Dễ thấy rằng (H¡) và (H;) xác định bởi

LH(z,p) — H(z,g)| < ø(Íp— |) Yz,p,q€ RỲ (Hs)

thỏa mãn (Hà) với œ = œ và a(r, R) = œø¡(2r) với mọi r, R > 0

Định lý 1.2.4 [Sự so sánh nghiệm trên toàn không gian] Giả sử rằng trị, uạ C BƠ(IRỶŸ) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và nghiệm nhớt trên của

phương trình

u(x) + H(x2, Du(x)) = 0, zcRỲ, (1.26) với H thỏa mãn (H;) Khi đó u, < uy trong RX

Định lý 1.2.4 có thể được khái quát cho trường hợp tập mở 9 € R#

không bị chặn Thật vậy, ta có thể chứng minh được rằng nếu 0!4,uạ € BGC(9) tương ứng là nghiệm nhớt dưới, nghiệm nhớt trên của phương

trình

u{#) + H(x, Du(x)) = 0, z(C€9, với H thỏa mãn Hy va uw, < uạ¿ trên ØO thì ứị < ue trong Q

Nhận xét 1.2.5 Một biến thể rất hữu dụng của Dịnh lý 1.2.4 có được

khi ta thay giả thiết về tính bị chặn của ø;,0; bằng tính liên tục đều của chúng Người ta có thể chứng minh được rằng nếu ,ạ € ƯC(RŸ) tương

ứng là nghiệm nhớt dưới, trên của phương trình (1.26) với H thoa man A,

và H; thì „ < uạ trong RỶ,

Một kết quả về sự so sánh nghiệm tiếp theo liên quan phương trình tiến

hóa Nó cũng dẫn đến một kết quả về tính duy nhất nghiệm của bài toán

Cauchy

u(x,t) + H(t, Du(t,x)) =0 (f,z) c[0,T] x RỲ

với điều kiện ban đầu up € UC(R®)

Định lý 1.2.6 [Sự so sánh nghiệm của phương trình tiến hóa} Giả sử

H cC(0,T] x RỲ) Cho œ¡,uạ € ƯỚƠ([0,7] x RỶ) tương ứng là nghiệm

nhót dưới, nghiệm nhớt trên của phương trình

u(œ,£) + H(t,D,u(f,#z)) =0 trong [0,7] x R”

khi đó

sup (1 — uz) < sup (w(0,+) — u2(0,-))

Nhận xét 1.2.7 Dịnh lý về sự so sánh nghiệm 1.2.6 có thể được mở rộng cho phương trình

u, + H(t,z, Du) =0 nếu hàm Hamilton H € UC([0,T] x R® x B(0,R)) voi moi R > 0 va H

thỏa mãn (H¡) với một mô đun œ độc lập của £ € [0,7]

Nhận xét 1.2.8 Nguyên lý so sánh có thể được sử dụng để chỉ ra khoảng

bị chặn của nghiệm nhớt của phương trình (HJ) Để chỉ ra điều này ta xét

u„ € BƠ(RŸ),nø € Ñ là nghiệm nhớt của phương trình

tạ() + H,(œ, Du,(z)) = 0, +cRỲ, (1.27) trong đó H„ thỏa mãn (Hi), (H;) với mỗi n € Ñ Cũng giả sử rằng

23

1.3 Tính chính quy của nghiệm nhớt

Trong mục này ta giới thiệu hai kết quả (Mệnh đề 1.3.2 và Mệnh

đề 1.3.3) Chúng chỉ ra rằng với những giả thiết thích hợp trên thì nghiệm nhót của phương trình

nhớt liên tục Lipschitz của phương trình (H1) là nửa lõm va Ménh dé 1.3.14 chỉ ra rằng một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) có thể được xấp

xỉ đều từ dưới bởi một nghiệm dưới nửa lõm +„ của một phương trình xấp

xi

1.3.1 Tinh lién tuc Lipschitz

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử u 1A mot hàm số xác định trên tập mở © € RỲ

uw được goi la ham Lipschitz (hay ham lién tuc Lipschitz) trén lân cận

V CQ (vdi hang 86 Lipschitz K > 0) nêu

lu(z) — uly) < lel, Ve,y€V:

Ham wu duge goi lA ham Lipschitz dia phương (hay liên tục Lipschitz dia phương) trên Q néu véi méi x € © tồn tại lân cận mé U, cia x trong 2

sao cho u la ham Lipschitz trén U,

Ta giả sử rằng H thỏa mãn điều kiện sau

H(z,p) —> +o khi |p| —> +© (H.) Khi H có dạng

H(x,p) = sup {—f(x,a).p — I(x, a)}, (1.28)

acA

điều kiện đủ để (H,) đỷng lỏ tợnh bị chặn của ỉ cỳng với giả thiết

1r>0: B(0,r) C cof(2, A), Vr ER” (1.29)

Mệnh đề 1.3.2 Cho điều kiện (H,) Khi đụ mọi nghiệm nhớt dưới u €

BC(R*) của phương trớnh (H1) lỏ liởn tục Lipschitz

Một điều kiện khõc trởn ủ đảm bảo tợnh liởn tục Lipschitz cha nghiđờm

Mệnh đề 1.3.3 Cho cõc điều kiện (H.), (H;), (H;), á > 1 vỏ u € UC(R*)

lỏ nghiệm nhớt của phương trớnh (HJ) Khi đụ

u(x) — u(y)| SC a — yl

Bóy giờ ta nởu một cõch ngắn gọn một số tợnh chất khả vi của hỏm liởn tục Lipsehitz địa phương Theo định lý Rademacher, mọi hỏm liởn

tục Lipschitz địa phương đều khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn

địa phương Do đụ, nếu u € Lipu.(ễ) (tập cõc hỏm liờn tuc Lipschitz dia phương trong Ẫ), thớ tập hợp

D”u(z) = Ũ ERY: p= lim Du(z,),z„ 9 o}

n— +00

lỏ tập khừng rỗng vỏ đụng với mọi z € Q Ký hiệu coJ2”u lỏ bao lồi của

nụ Một kết quả khõ nổi tiếng trong giải tợch khừng trơn đụ lỏ

trong đó Øu(+) là gradient tong quat hay gradient Clarke cia u tai x dude

u°(e;q): = liminf uly + tg) = uly) —>z,t—>0* t

Mot khai niém lién quan ntta d6 la dao ham Dini theo hudng, cu thể là

| tq) —u O° u(a;q) : = lim sup We + ta) — 1Œ)

>0? t

“ t — ⁄

0 u(x;q) : = lim ing Ue + ta) = ule)

Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng

ug(#;g) < 9” u(œ,g) < Ø*u(œ,g) < 0?(;g), Ve €2,¢ER*, (1.31)

và điều này có nghĩa là với € Lip.(©),

D-u(x)U Dru(r) C Øu(z), Vr EQ (1.32) Cũng thấy rằng D*%(z), D”u(z) là các tập bị chặn

Kết quả tiếp theo về sự tồn tại của đạo hàm theo hướng cổ điển (một phía) của các hàm liên tục Lipschitz địa phương, đó là

an?) := Øu(#,g) := lim u(x + tg) ~ u(x)

Mệnh đề 1.3.4 Cho u € Lipj.(O) Khi đó, với mọi q mà |q| = 1, tồn tại

—.(z)= Bq | ) peutin min Po 4 “Gq = ttọ(; 0(; 4) (1.33) 1.33 tai moi x € © mà D*u(œ) = Øu(z, q)

Mệnh đề trên cho phép ta chứng minh một biến thể rất hữu ích của Mệnh đề 1.1.27 đối với các bán vi phân và đạo hàm theo hướng của hàm

Định nghĩa 1.3.6 Ta nói rang ham wu: © — R 1A ham mửa lốm trên tập

lồi đóng © nếu có một hằng số Œ > 0 thỏa mãn

p(n) + (1 wu(y) < ulm + (L— py) + CHC — p)le yP (Lk9)

vdi moi z,y € 2 va pw € [0, 1]

Diéu nay dan dén tinh lom cia ham x + u(x) — $C |zl” Nếu w liên tục thì ta có một điều kiện tương đương với (1.34) đó là

u(œ + h) — 9u(#) + u(œ — h) < Ơ|hỈ, (1.35)

với mọi z € Q và h ERX, với |h| đủ nhỏ Tất nhiên hàm lõm là hàm nửa lõm Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả

vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương Một lớp các hàm nửa lõm

không khả vi đó là các ham u(x) = infycg g(z, b) với z => ø(z, b) thỏa mãn

(1.34)

Ví dụ 1.3.7 Cho 9 C RỲ, S 49,

d(x) = dist(x,S) = inf |x — s] ses

Khi đó đ# là hàm nửa lõm trong RŸ vì z r> |z — s|” thuộc Œ* với các đạo hàm cấp hai là hằng số Mặt khác, bản thân đ cũng là hàm nửa lõm trong mọi tập compact có khoảng cách dương đối với 9, bởi vì z => |œ — s{ có

đạo hàm cấp hai bị chặn trong tập như vậy

Những tính chất chính của hàm nửa lõm sẽ được trình bày trong Mệnh

trong d6 u(x) = u(x) — ¢ |z|’ IA ham lom va do đó liên tuc Lipschitz địa

Trong Mục 1.3.1 ta biết rằng D*u(z) €C Øu(z) = coD*"u(z) với mọi

w € Lipe(O) Nếu thêm giả thiết œ là hàm nửa lõm thì D†(z) = Øu(z) Điều này và một số tính chất khả vi khác của các hàm nửa lõm được trình bày trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.9 Cho w là hàm nửa lõm trong Q Khi đó với mọi z € © thì

(a) D*u(z) = Øu(z) = coD*u(z);

(b) — hoặc Du(z) = Ú hoặc u khả vi tại z;

(c) — nếu D*w(z) là tập một điểm thì u kha vi tai 2;

(d) (2) = min,cp+u(x) P*q Vi moi vector dan vi q Op

Mệnh đề 1.3.10 Cho u là một hàm nửa lõm và thỏa mãn

†(œ,u(œ, Du(z))) > 0 h.k.n trong Q, (1.36)

trong do F lién tuc Khi dé u là nghiệm nhớt trên của phương trình

F(œ,u(œ, Du(z))) = 0 trong Q (1.37)

Kết quả tiếp theo là về tính nửa lõm của nghiệm nhớt của phương trình

(HJ).

Dinh ly 1.3.11 Cho u € BC(RY) NM Lip(RŸ) là một nghiệm nhớt của

đúng với mọi z,b € R*,p € Z(0, '') Khi đó ¡ là hàm nửa lõm trên JR*

Một cách rất thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm của một hàm cho trước là

dựa vào phép chập-inƒ, đây là một công cụ rất cơ bản trong giải tích lồi

và giải tích không trơn Cho © là một tập con của RỶ và ø là một hàm bị chặn Với mọi e > 0, đặt

tu;() s=int fy) + |z —vỈ :ự af (1.38)

ham u- duge goi la ¢—chép-inf của u Tương tự,

ul (a) = sup { uly) = 3 kev Ly co} (1.39)

là e— chập-sup của u

Bổ đề 1.3.12 Cho u liên tục và bị chặn trong {) Khi đó

(a) u, và uŸ là nửa lõm trong Q;

(b) uz Auu® \u, khie > 0°, hội tụ đều địa phương trong Q;

(c) inf vasup trong (1.38) va (1.39) dat dugc néue < d?(x, 0Q)/(4 |lull,.)