Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp 1

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhót liên tục của phương trình đạo hàm riêng cắp I” không có sự trùng lặp với kết quả của... Nói chung nghiệm yếu này ch

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

CHU THI THANH THUY

TINH CHINH QUY CUA

NGHIEM NHOT LIEN TUC CUA PHUONG TRINH

DAO HAM RIENG CAP 1

LUAN VAN THAC SY TOAN HOC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học

TS TRAN VAN BANG

Hà Nội - 2013

LOI CAM ON

Luận văn được hoàn thành tại Trường Dai học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của TS Trần Văn Bằng

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, tiến sĩ Trần Văn

Bằng, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Chu Thị Thanh Thủy

LOI CAM DOAN

Luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Tính chính quy của nghiệm nhót liên

tục của phương trình đạo hàm riêng cắp I” không có sự trùng lặp với kết quả của

Muc luc

ID 1

Chương 1.|Kiến thức chuẩn bị| - -.- -. << << << «<< 3 1.1.|Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1| 3

1.1.1.|Định nghĩa và các tính chất cơ bản| - 3

1.1.2.|Phép toán trên các nghiệm nhới| - 10

1.1.3.|Hàm lỀÏ 2222020002202 2112211 xy 17 1.2.|Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm| 21

Chương 2.|Tính chính quy của nghiệm nhới| - 31

2.1.|Tính liên tục Lipschitz | 31

2.2.|Tính nửa lõm| - 36

2.3.|Tính khả vi| c2 SH nh 40 C5) PP (44 42

Tài liệu tham khảo| . <<-<<-<<<<<<<<=+ 43

1 Ly do chon dé tai

Đầu thập kỷ 80, M G Crandall đã đưa ra một khái niệm nghiệm yếu là “nghiệm

nhớt” cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (xem [3]) Nói chung

nghiệm yếu này cho phép một hàm nói chung chỉ cần liên tục là nghiệm của phương

trình đạo hàm riêng cấp một Sự phù hợp của khái niệm này thể hiện ở chỗ nó đã giải quyết được tính đặt chỉnh của nhiều bài toán phi tuyến vốn vẫn chưa có lời giải trước đó Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến khái niệm này và

đã phát triển các kết quả liên quan tới nghiệm nhớt liên tục và đã đưa ra khái niệm

nghiệm nhớt đo được (không liên tục) cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một (xem [1IÍ4il2])

Qua quá trình học tập và nghiên cứu, được sự động viên, hướng dẫn của thầy giáo TS Trần Văn Bằng, với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về loại nghiệm suy

rộng này nên tôi chọn đề tài:

“Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một”

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình

bày trong 2 chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản,

cần thiết cho nghiên cứu trong chương 2 về nghiệm nhớt liên tục của phương trình

đạo hàm riêng cấp 1, nguyên lý so sánh nghiệm và tính duy nhất

Chương 2 Tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục: trình bày một số kết quả

về tính liên tục Lipschitz, tính nửa lõm và tính khả vi của nghiệm nhớt liên tục

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm

riêng cấp một.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một; Tìm hiểu về tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính nửa

lõm của nghiệm nhớt; Tìm hiểu về tính khả vi của nghiệm nhớt;

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng +) Phạm vi nghiên cứu: Xét loại nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng

cấp một

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích tài liệu và kiến thức có liên quan

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày một cách tổng quan về vấn đề nghiên cứu.

Trong luận văn này Q C R" 1a mot tap md, F : Qx Rx RY > R 1a mét hàm liên tục của ba biến (x,r,p) Ta cũng sử dụng các kí hiệu thông thường sau đây: C(©) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên ©;

C*(Q),k = I,2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(©) có các đạo hàm riêng

đến cấp k liên tục trên Q

Với một hàm u € C!(O), thì Du(x) là gradient của u tại x € Q

Xét phương trình ĐHR phi tuyến cấp một (thường gọi là phương trình #amilton-

Jacobi):

Định nghĩa 1.1 Hàm u € C(Q) 1a mot nghiém nhét dudi cia phuong trinh

nếu với mọi ø € C!(©) ta có:

tại mọi điểm cực đại địa phương xọ € © của u— @

Hàm € C(©) là một nghiệm nhớt trên của phương trình nếu với mọi ọcC1(©) tạ có:

tại mọi điểm cực tiểu địa phương xị € © của w— @

Hàm ¿ là một nghiệm nhớt nêu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới của phương trình đó

Hàm ø(z) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thủ

Ví dụ 1.1 Hàm số z(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

—|()|+1=0, xe(-I.1)

That vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x # 0 là một cực trị địa phương của u— @ thì

@'(x) = (x) = +I Vì vậy tại những điểm này điều kiện nghiệm nhớt trên, nghiệm

nhớt dưới được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u — ø, thì ta tính được |Ø'(0)| < 1 nên điều kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là cực đại địa phương của — @ với @ € C!(|0, 1]) Thật vậy, nếu 0 là cực đại địa phương của w — @ thi ta cé (u— @)(0) > (u— @)(x) trong một lân cận của 0, hay @(x) — @(0) > u(x)

trong một lân cận của 0, từ đó ta có:

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của — @

Để y rang, ham s6 u(x) = |x| không phải là nghiệm nhót của phương trình:

|u'(x)| -1=0, x €(-1,1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại xọ = 0 là điểm cực tiểu địa phương của |x| — (—x?)

Chú ý: Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:

u,(f,y) + H(t,y,u(t,y),Dyu(t.y)) =0, ứ,y) € (0,7) xD

thì ta chỉ việc đặt:

x=(,y) cO= (0,7)xDC RŸ?! F(x,r,p) = qx+¡ + H(X,r.qI,-.-., 4N)

VỚI đ = (đ1 đN.đw+1) ERY,

Nhận xét 1.1 Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả sử rằng xọ là

điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u — @ (nếu không ta có thể thay @(x) bởi

p(x) + |x —xo|”) Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào gia tri cla D@ tai xo, nén

không mất tính tổng quát ta có thể gia sit ring u(x) = @(xo) D6i vdi định nghĩa

nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét tương tự

Về mặt hình học thì điều đó có nghĩa rằng: các hàm thử trong điều kiện nghiệm nhớt dưới đối với w là tiếp xúc trên với đồ thị của ¡

Ta cũng chú ý rằng không gian CÍ(@) các hàm thử trong Định nghĩa|1.IÌcó thể được thay thế bằng C”(©)

Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhót và mối quan hệ của nó với nghiệm cổ điển:

Mệnh đề 1.1 (a) Nếu hàm u € C(Q) là một nghiệm nhớt của trong Q, thi u

là nghiệm nhớt của trong G, với mọi tập con mổ Gco,

(b) Giả sử hàm u € C(O) là một nghiệm cổ điển của (Hd), tức là w khả vi tại mọi điểm x € © và:

Khi đó u là nghiém nhét cia (HI);

(c) Néu ham u € C'(Q) la mét nghiém nhot cua (HI), thi u là nghiệm cổ điển của

phuong trinh do

Ching minh (a) Néu xo 1a mét cực đại địa phương (trên Q’) cia u — @,@cC1 (2), thì xo là một cực dai địa phương (trén Q) cia u — Ø, với mọi ð € C!(Q) thỏa mãn

@ = @ trên 8(xọ,r), với r > 0 nào đó Từ (1.1) ta có

0> F(x0,u(x0), DG(x0)) = F (x0, u(%0), DP(x0))-

5

Chứng tỏ là nghiệm nhớt dưới của trên ©' Lập luận tương tự ta cũng có ¡ là

nghiệm nhớt trên của trên ©' Vậy (a) được chứng minh

(b) Lay ø € Cl(O) bất kỳ Do ø khả vi nên tại điểm cực tiểu hoặc cực đại địa phương của w — @ ta có 2u(x) = Do(+x) Từ (1.3) ta được

0 = F(xo,u(x0),D@(x0) < 0 néu x 1a mot diém cuc dai dia phudng cia u— @, và

0 = F(x1,u(x1), D(x) > 0 néu x; 1a mét diém cuc tiéu dia phuong cia u— @ Theo Dinh nghial1.1|ta chứng

minh được (b)

(c) Néu u € C'(Q), thì lấy = u trong định nghĩa nghiệm nhớt Khi đó mọi

x€O đều vừa là cực đại vừa là cực tiểu địa phương của hàm u— @ Do đó theo

và thì:

F (x,u(x),Du(x)) = 0, Vx €Q

Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vì vậy ta có thể lấy các hàm thử trong và thuộc C!(IRŸ) hoặc thuộc hình cau bat kỳ B(zx,r) với tâm x € ©

Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được nêu trong

lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý cực đại và nguyên lý

so sánh Với phương trình hai tính chất này được xây dựng tương ứng như sau

Định nghĩa 1.2 Một hàm số wu C(O) thỏa mãn nguyên lý so sánh với các nghiệm

nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi € CÍ(@) và tập mở Ø C © sao cho

F(x,0(z),Do(z)) >0, Vx € O,u < 0 trên OO

Dé thay rang néu ham u € C(O) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó thỏa mãn

nguyên lý so sánh Mỗi quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm nhớt dưới của phương trình sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây

Mệnh dé 1.2 Néu ham sé u € C(Q) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là một

nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Neguoc lai, néu u la mét nghiém nhét dưới

của phương trình và r — F(x,r,p) là một hàm không giảm với mọi x, p thì u

thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh

Chứng mình Giả sử w € C(O) thỏa mãn nguyên lý so sánh, nếu w không phải là nghiệm nhớt dưới của phương trình thì tồn tại xo € Q, gp € C!(Q) mà xọ là điểm cực đại ngặt của w — @, (w— @)(xo) = 0 và

mâu thuẫn, vay wu 1a nghiém nhét dudi cia phuong trinh {H))

Ngược lại, cho là nghiệm nhớt dưới của phương trình va lay 9 € C'(Q)

thoa man:

F(x,0(z),Do(z))>0_ vxc0

Nếu „— @ đạt cực đại địa phương tại xo € Ó nào đó với (xo) — Ø(xo) > 0 Khi đó

từ giả thiết đơn điệu của F dẫn đến mâu thuẫn:

0< F (x0, 9(x0), D@(x0)) < F (x0, u(x0),D@(x0)) <0

7

Do do, u thoa man nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh L1 Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó ta chỉ cần đổi chiều các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại và thay cực đại

không âm bởi cực tiểu không dương

Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu của

phương trình Thực tế, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u — œ đều là cực tiểu

địa phương của —w — (—0), nên là nghiệm nhớt dưới của phương trình nếu

và chỉ nếu y = —u là nghiệm nhớt trên của phương trình —Ƒ (x,—vw(x),—v(x)) =0

trong Ô; tương tự là nghiệm nhớt trên của phương trình nếu và chi néu v = —u

la nghiém nhot dudi cua phuong trinh —F (x, —v(x), —Dv(x)) = 0 trong Q

Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của nghiệm nhớt của phương trình thông

qua trên vi phân và dưới vi phân Cho hàm số „ € C(O) và x € ©, xét các tập hợp:

Bổ dé 1.1 (xem [2], Lemma 1.7) Cho u € C(Q) Khi đó:

(a) p € Dt u(x) néu va chi néu ton tại @ € C!(Q) thỏa mãn Dọ(x) = p và u— @

đạt cực đại địa phương tại x;

(b)p€ D~ u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại @ € C!(Q) thỏa mãn Dọ(x) = p và u— @ đạt cực tiểu địa phương tại x

Bổ đề 1.2 (xem [2], Lemma 1.8) Cho u € C(Q),x € Q Khi do:

(a) D* u(x) va D~ u(x) là các tập con lỗi, đóng (có thể là tập rỗng) của RỲ;

(b) Nếu u khả vi tai x thi {Du(x)} = D* u(x) = D~ u(x);

(c) Cac tép At = {x € Q: Dt u(x) £0} va A~ = {x € Q: D(x) F O} Ia tra

mật trong ©

Như một hệ quả trực tiếp của Bổ đẻ|[1.1| ta có đặc trưng sau của nghiệm nhớt

Định lý 1.1 Hàm số u € C(O) là nghiệm nhớt dưới của phương trình trong

© khi và chỉ khi:

F(x,u(x),p) <0, Vx € Q,Vp € D* u(x); (1.4)

là nghiệm nhớt trên của phương trình trong © khi và chỉ khi:

F(x,u(x),p) > 0, VYx €Q,Vp € D u(x) (1.5)

Sử dụng đặc trưng này, ta có thể chứng minh một số tính chất quan trọng sau đây của nghiệm nhớt

Mệnh đề 1.3 (a) Nóu ¡ € C(©) là một nghiệm nhớt của phương trình thì:

F(x,u(x),Du(x)) =0

tại mọi điểm mà u khả vi

(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhót của thì:

F{(x,u(x),Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong ©

Chứng minh Nếu u khả vi tai x thì theo Bổ đề|1.2| (b), {Du(x)} = D*u(x) =

D~ u(x) Do đó theo Dinh ly[1.1|

0 > F(x,u(x),Du(x)) > 0, vậy (a) được chứng minh

Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả vi hầu

Nhận xét 1.2 Phần (b) của Mệnh đẻ |I.3| thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là

nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là nghiệm tổng quát nêu:

F(x,u(x),Du(x)) =0 h.k.n trong Q

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không phải là

nghiệm nhớt Thật vậy ví dụ sau cho ta điều đó:

Ví dụ 1.3 Ta thấy hàm u(x) = |x| thoa man:

\u'(x)|-1=0 trong (—1,1)\ {0}

do đó u 1a nghiém téng quat cia |v’ (x)| — 1 = 0 trong (—1, 1) nhung no khéng phai

là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ[1 1}

1.1.2 Phép toán trên các nghiệm nhớt

Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng về các phép toán trên các nghiệm nhớt Để trình bày các kết quả trong phần này chúng ta cần tới khái

niệm mô đun và mô đun liên tục của một hàm:

Mô đun là một hàm liên tục, đơn điệu tăng bất kì p : [0,+es) —> [0,+œ) thỏa mãn p(0) = 0

Mô đun liên tục của một hàm u € C(Q) 1a một mô đun p, sao cho

u(x) —u(y)|< pu(lx—yl), — Vxyec@

Néu u(x,y) € C(Q, x Qo) thi m6 dun liên tục (địa phương) của là hàm hai biến liên tục ø : [0, +) x [0, +20) + [0, +0) 1a mé dun theo từng biến và

Ju(x1,y1) — w2,¥2)| S p(lxì — | lx— 2|), V(xi,yi),(Xa,ya) € Ôi x Ó¿,

Ví dụ 1.4 Nếu wu 1a ham Lipschitz với hằng số Lipschitz L (xem Định nghĩa|1.3} thì ta có thể chọn mô đun liên tục của w là 0„(r) = Lr

Cho u(x), v(x) € C(Q) Ta ky hiéu:

(uV v)(x) = max {u(x),v(x)},

}

(uA v)(x) = min {u(x),v(x)}

Mệnh đề 1.4 Tu có các khẳng định sau:

(a) Cho u(x), v(x) € C(Q) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Khi đó u V v

cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (Hd)

(b) Cho u(x),v(x) € C(©) là nghiệm nhớt trên phương trình thì uA v cũng là

một nghiệm nhót trên của phương trình (HJ)

(c) Nếu u € C(O) là nghiệm nhót dưới của phương trình mà w > v với mọi nghiệm dưới v € C(Q) của phương trình (H]) Khi đó u là nghiệm nhót trên và do

đó là nghiệm nhớt của phương trình (H))

Chứng mình Cho xọ là điểm cực đại địa phương của (wV v) — @ với @ € C!(@) Không mất tính tổng quát ta có thể gia sit rang: (uV v)(xo) = (xo) Khi đó xọ là điểm cực đại địa phương của u — @, do đó

F(o,u(xo),D@(%o)) <0

Vậy ta chứng minh được (a)

Khẳng định (b) cũng được chứng minh tương tự

Để chứng minh (c) ta giả sử ngược lại rằng:

h := F(xo,u(xo),D@(ạ)) < 0, với @ € C!(Q) nào đó và xọ € Q thỏa mãn:

u(xo) — @(xo) < u(x) — (x), Vx € B(x0, dp), với ổ > 0 nào đó Tiếp theo ta xét hàm œ € C!(@) xác định bởi:

@(x) = Ø(8) — |x— xu? + ul) (a0) 58%

với 0 < 5 < 6 Dễ thấy rằng:

(u—@)(xo) < (u—@)(x), Vx thoa man |x —xo| = 6 (1.6)

Bây giờ ta chứng minh rằng với ổ đủ nhỏ thì:

véi moi x € (xo, ổ), trong đó @;(¿ = 1,2) là mô đun liên tục của @ va Dg

mọi ổ như trên đặt:

uV@_ trên B(xọ,ð)

u trên @\ BŒo, ổ)

Ta có thể kiểm tra được rằng ? c C(Q) và từ Mệnh đẻ 1.1(a) và Mệnh đẻ|1.4|(a), 0

là một nghiệm dưới của phương trình trong Q Do #(xo) > u(xo) Diéu nay trái

Mệnh đề 1.5 (Tính ổn định của nghiệm nhớt) Cho u, € C(Q)(n € N) la mot nghiệm nhớt của phương trình:

Fi, (x,Un(x), Dun (x)) =0 trong © (1.10)

Giả sử rằng:

u„ —> w hội tụ đêu trong ©,

E„ — u hoi tụ đều trong Qx Rx R"

Khi đó u là một nghiệm nhót của phương trình trong Q

Ching minh Cho @ € C'(Q) va xo là cực đại địa phương của „— @ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử:

u(xo) — P(x0) > u(x) — P(x)

với x # xọ trong một lân cận của xọ Từ tính hội tụ đều ta có với n di 16n u, — @ dat

cực đại địa phương tai x, —> xọ (xem Bổ đẻ[I.3) Khi đó

trong đó j = 0,1, ,2"~!— 1, Với x € [0,1] rõ ràng là |z/(x)|— 1 = 0 hầu khắp

nơi trong [0, 1], mặc dù ¡¡ là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm nhớt) nhưng „

không phải là nghiệm nhớt với n > 2 Giới hạn của dãy hàm là bằng 0 và không

thỏa mãn phương trình |z'(x)|— 1 = 0 tại mọi điểm

Trong chứng minh Mệnh đẻ|[I.5|chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản sau:

Bổ đề 1.3 Cho v€ C(O) và giả sử rằng xọ € Q là một điển cực đại địa phương ngặt của v trong B(xọ,ð) C © Nếu v„ạ € C(©) hội tụ đều địa phương tới y € Q, thì khi đó tôn tại dãy {x„} thỏa mãn:

Xn > Xo; Vn(%n) > Vn(x), Vx € B(x0, 6) (1.11)

Chứng mình Cho x, là diém cuc dai cia v, trong B(xo, 5) và cho x„¿,k € Ñ là một

day con hội tụ bất kỳ ctia {x,} , € Ñ Từ tính hội tụ đều ta có:

Vink (Xnk) > v(x) khi k + +0,

13

trong đó # = limx„¿ khi k —> -+œ Dựa vào việc chọn {x„} ta được:

v(#)>v(x) Yx€ B(,ổ),

đo đó v(#) > v(xạ) Điều này có nghĩa là ế = xọ và dãy đã cho hội tụ L]

Mệnh đề 1.6 (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)

Cho ¡ € C(O) là nghiệm nhót của phương trình và ®€ CI(R) thỏa mãn

@'(t) > 0 Khi dé v = ®(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:

Chứng mình Ta chi ching minh chỉ tiết phần nghiệm nhớt dưới, chứng minh phần

nghiệm nhớt trên được tiến hành tương tự Cho x € © và p € D” v(x) Khi đó ta có:

v(y) < v(x) + p.(~—x) + ø(|y—+|)

khi y — x Từ ® là không giảm đối với r ta có:

®(,v(y)) < ®(,v(x) + p.(y—x) + o(|y— xl)),

và từ đó

®(y,v(y)) < ®(x,v(x)) + Dy®(x, v(x))-(y— x)

+®,(x,v(x))p.(y—x) + ø(ly—x|)) Theo định nghĩa của v thì điều này có nghĩa là D,®(z,v(z)) + ®,(x,v(x))p €

Dt u(x) Do dé

F (x,u(2x),Dy(®(x,r)) + ®,(x,7)p) <0,

vay v la nghiém nhớt dưới của phương trình {1.13} L]

Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các trường hợp thông dụng

Mệnh đề 1.8 (xem [2], Proposition 2.7) Cho u € C(Q) Khi dé

(¡) với v(x,r) = 0(r)u(x) (x € Q,r ER) va PE C!(R), P(r) > 0, với mọi r € R; ta

có

D”v(x,r) = {(q.p) € R"”":a€ @(r)D”w(x),p = @Í(x)w(3)}

(ii) véi u(x) = v(T(x)), ve c(Õ); ta có (công thức đổi biến)

p € D* v(yo) néu va chi néu (DT (xo))!p € D* u(x), trong dé T : Q -+ O la mot vi phôi, A! la chuyén vị clia A va yo = T (xo);

(iii) voi N(r) = u(y(x)), y € C!(R,Q) ta có (công thức đạo hàm hàm hợp)

D'n(r) 2 D*uly(r)) Hr)

Nhận xét 1.3 Các kết quả tương tự vẫn đúng với D~ Từ công thức “đổi biến”

(ii) ta co là một nghiệm dưới của phương trình trong © nếu và chỉ nếu v(£) = u(T~!(£)) là một nghiệm dưới của phương trình:

F(T"'(8).v(®,DT(T~'(®)Dv(#)=0, #£eÔ

Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh thỏa mãn phương trình là nghiệm nhớt của phương trình trên

Đầu tiên ta xét trường hợp một biến Giả sử w € C([—a,a]) ñC!([—a,0]U [0,a])

là một nghiệm cổ điển của phương trình

F(x,u(x),u(x))=0_ — trong [—a,0]n[0,a]

15

Theo khai triển Taylor với |y| đủ nhỏ ta có

— J¿(0)+w,(0)y+o(ly|) nếuy>0

u(y) = u(0) +u_ (0)y+o(|y|) néuy <0,

trong đó uy (0) và „_ (0) tương ứng là các dao hàm phải, dao ham trdi céia w tai 0

Từ đó p € D*u(0) nếu và chỉ nếu

, ,

u,(0) <p<u_(0)

,

Tương tự, p € D~(0) tương đương với p € |

nhớt của phương trình trên khi

(0),u, (0)) Do đó w là nghiệm

F(0.u(0).p) <0, Yp€l, := |z (0) (0)| =D*u(0):

F(0,u(0),p)>0, Vpel:= | (0),u, (0)| =D-u(0)

Tat nhiên trong trường hợp Uy (0) # u_(O) thi chi ', hodc I 1a khéng rỗng

Để mở rộng kết quả trên với trường hợp số chiều cao hơn ta giả st rang: Q =

Q' U7 UT, trong d6 Q'(i = 1,2) là các tập con mở của © và T là một mặt trơn

Ta ký hiệu n(x) và T(x)(x € T) là các vector đơn vị chuẩn tắc tit T vao Q! va vao

không gian tiếp xúc với T tại x, Pr và y là hình chiếu vuông góc của IRŸ tương ứng

xuống 7(z) và không gian véc tơ sinh bởi n(x)

Theo hệ quả của định nghĩa nghiệm nhớt ta có: nếu w € C(O) là một nghiệm

nhớt của phương trình trong Q!(i = 1,2) thì ¿ là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Q'UQ? = Q\T

Vậy là nghiệm nhớt trên © khi một số điều kiện trên I' được thỏa mãn đó là: Mệnh đề 1.9 Cho u € C(Q) va gid sit rang thu hẹp của nó uÌ trên QÌUT thuộc Cl(OTUT)(¡ = 1,2) Khi đó u là nghiệm nhót của phương trình trong © nếu

và chỉ nếu các điều kiên sau đúng:

(a) _ u là nghiệm cổ điển của phương trình trong Q'(i = 1,2),

(b}) F(x,u(x), Pr Du! (x) + En(x)) <0

VE € [Du' (x).n(x),Du?(x).n(x)], Vx ET

,

(bạ) F(x,u(x),PrDu'(x) + §n(x)) > 0

VE € [Du?(x).n(x), Du! (x).n(x)], Vx ET

Bổ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình tiến hóa

Bổ đề 1.4 (xem [2Ì], Lemma 2.10) 7ø giả sử rằng

tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) š của u — @ trên

(a,b] x Q! véi moi p € C!((a,b] x Q’)

1.1.3 Hàm lề

Dinh nghia 1.3 Cho ham sé g: Q x B > RY, Q CR" 1A mot tap mé va B 1a mot

không gian topo Hàm số (x) được xác định bởi:

được gọi là hàm lê

Một số ví dụ rất cơ bản về hàm lề: đó là hàm khoảng cách đên một tập hợp

$C RỶ được xác định bởi:

d(x,S) := inf|x — sị

ses

Trong chương sau ta cũng đề cập đến một ví dụ khác về hàm lề đó là phép chập-inƒ

của một hàm được xác định bởi:

Ue (x) = inf [u(y) + x —yl? /2e], e>0,

yeQ

Ta ky hiéu M(x) là tập hợp (có thể rỗng):

M(x) = arg min g(x, ) := {b © B: u(x) = g(x,b)}

17

và giả sử rằng g(x, B) bi chan vi moi x € Q vax > g(x,b) là liên tục đều tai x đối

với b € B; ttc la:

|g(x,b) —g(y,b)| < 0(lx—y|,R) (1.17) với mọi |x| |y| < R,b € B với mô đun @ nào đó

Một kết quả đầu tiên về hàm lề đó là mối quan hệ giữa các bán vi phân của hàm

u va các bán vi phân của hàm ø theo biến x (ky hiéu 1a D*g)

Bổ đề 1.5 Cho giá thiết Khi đó w 6 © và

D* u(x) Đ D} g(x,b), Dyg(x,b) Đ Du(x),

Để nghiên cứu sâu hơn ta giả sử g(-,b) khả vi đều tại x, tức là với mô đun @,

nào đó,

với mọi b € B và ñ đủ nhỏ Ta cũng giả sử rằng

b — g(z,b) nửa liên tục dưới (1.20)

Ta sẽ sử dụng những ký hiệu sau đây:

Ménh dé 1.10 (xem (2, Proposition 2.13) Cho các giả thiết 11.17), 11.18), 11.19),

1.20) va B la tap compact Khi do

0 nếu Y(x) không phải là tập một điểm

Đặc biệt, u kha vi tai x nếu và chi néu Y (x) là tập một điểm Hơn nữa, u có đạo hàm theo hưóng (một phía) theo mọi hướng q, được cho bởi

du

—(z)= min y-g= min y-g

aq ) yeY (x) pED* u(x)

Tiép theo 4p dung Ménh dé ta tính các bán vi phân của hàm khoảng cách

từ tập bất kỳ § € IRŸ, Š # 0 xác định bởi

d(x,S) := inf[x— z| = min |x— z| (1.24

ze zeSs

Biểu thức sau của đ(x) thuận tiện hơn trong tính toán và liên quan đến việc xét tập

hình chiếu của x lên Š có dạng

P() := {z€ 9S: d(x) = |x—z|} # 0

19