Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Việc trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của các thuật toán lặp và bậc hội tụ của chúng trong việc giải gần đúng phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có một cái nhìn sâu hơn

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo, cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 15 chuyên ngành Toán giải tích Trường Dai học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả

có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tac gia

Trần Văn Cường

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số phương

pháp lặp giải phương trình phi tuyến” được hoàn thành bởi chính

sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế

thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết

ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tac gia

Trần Văn Cường

Mở đâu|

Chương 1 |KIỄN THỨC CHUAN BI

2.2.2 Sự hội tụ tuyến tính và trên tuyến tính|

Có rất nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Mỗi phương pháp có những ưu điểm riêng, và phù hợp với những loại phương trình khác nhau Nhưng có thể thấy rằng nhiều thuật toán giải

phương trình được mô tả bởi các hàm lặp Việc trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của các thuật toán lặp và bậc hội tụ của chúng trong

việc giải gần đúng phương trình và hệ phương trình giúp cho ta có một cái nhìn sâu hơn và tổng quát hơn về các phương pháp lặp riêng biệt đã biết, và có thể tìm ra được ứng dụng của những phương pháp đó trong việc giải phương trình

Vì những lí do trên, được sự định hướng của PGS TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết về các phương pháp lặp giải gần đúng phương trình ƒ(z) = 0 trong không gian một chiều

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các tính chất của phương pháp lặp được biển diễn dưới dạng hàm lặp, trong việc giải phương trình Trong đó

nghiên cứu về thuật toán, về bậc hội tụ

Nghiên cứu các ứng dụng của phương pháp lặp trong việc giải phương

trình cụ thể

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các phương pháp lặp trong việc giải gần đúng phương trình ƒ(z) = 0 trong không gian một chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo

- Sử dụng các phương pháp của Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số

- Tong hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về phương pháp lặp về bậc hội tụ và

ứng dụng của nó trong các bài toán cụ thể

Chương 1

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về giải tích hàm giải tích số, phương trình toán tử, một số phương pháp lặp giải phương tình phi tuyến ƒ(z) = 0 Phương pháp Newton và một số mở

rong

Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1,3,5,7,8,9]

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Cho tập X Z Ø Ánh xạ đ: X x X — R được gọi là

metric trên X nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

1) Vz,u€ X, d(z,) >0, d(z,u)=0U©® + =;

ii) Vz,y € X, d(a,y) = d(y, 2);

iii) Vr, y,2 © X, d(x, z) < d(z,y)+d(y, z)

Cap (X,d) dugc goi la khong gian metric Cac phần tử của Xgọi là các điểm, các tiên dé i), ii), iii) goi lA hé tién dé metric, d(x, y) goi lA khoang cách giữa hai phần tit x va y

Dinh nghĩa 1.2 Cho không gian metric (X,d) Day {x,} C X dude

gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Ve > 0, ng € Ñ”,Vm,n > nụ : d(#„,#„) < € hay

d(Az, Az) < ad(,+),Vr,az€ X

Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xa co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ

không gian metric đủ (X,d) vào chính nó đều có điểm bất động # duy

Suy ra A là ánh xạ co, vì |a| < 1

Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất # Ta dễ dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là # = z

Ví dụ 1.2 Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoang [1, +00) vào chính nó xác định bằng công thức

1 Az=zx+~

x

Ta có [l,+œ) là một tập hợp con đóng của R! vdi metric d(x,y) =

|z — | Do đó [1,+00) cing véi metric cia IR! lập thành một không gian metric đủ

Vậy A không có điểm bất động, do đó A khong IA Anh xa co

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P =C) cing với một ánh xạ từ X vào tập số thực IR, ký hiệu là ||-|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) Vz € X, ||z|| > 0, |lz|ll =0 © z = 0 (ký hiệu phần tử không là 0); ii) Vz € X, Va € P, |lezl| = |e| |lzl›

iit) Vey © X, lle + yll < lel + loll

Số ||z|| được gọi là chuẩn của véctơ z Ta ký hiệu không gian định chuẩn

là (X, ||-||) Nếu trên X chỉ trang bị một chuẩn ta có thể ký hiệu là X Các tiên đề ¡), ii), ii) gọi là hệ tiên đề chuẩn

Định nghĩa 1.6 Dãy điểm {z„} trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu

Từ công thức ||z|| = đ(+,Ø) và hệ tiên đề metric suy ra công thức

cho một chuẩn trên IR" Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R” Dé thay R” 1A không gian Banach

Vi dụ 1.4 Cho không gian véctơ Œ,„„ Đối với véctơ bất kì x(t) € Chay

ta đặt

Từ công thức ||z|| = d(z,Ø) và hệ tiên đề metric suy ra công thức cho một chuẩn trên Cia Khong gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Cia) Dé thay Œ„„ là không gian Banach

Vi du 1.5 Cho khong gian vécto Lj, 4) Doi vai vécto bat ki a(t) € Ly,

ta dat

[ol = f fete (13)

6

Từ công thức ||z|| = d(z,Ø) và hệ tiên đề metrie suy ra công thức (1.3) cho một chuẩn trên Dias} Khong gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Liay Dé thay Lj, 2) lA khong gian Banach

Ap dung Dinh Iý|I.1|eho X là không gian Banach ta có định lý sau:

Dinh lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co trong không gian Banach) Cho không gian Banach X và một ánh xạ co T' đi từ X vào chính nó, nghĩa

là tồn tại một hằng số M, 0M < 1, thỏa mãn

|Tv, — Tvl] M |lor — vel] , Vor, ve € X

Khi đó, tồn tại duy nhất điểm u thuộc X sao cho u = Tu

1.2 Phương pháp dây cung

Xét phương trình ƒ(z) = 0

Giả sử hàm số = ƒ(z) liên tục trên đoạn [a,b] và ƒ(a).ƒ(b) < 0 Giả

sử ƒ(z) có đạo hàm cấp hai liên tục và ƒ”(z) > 0 trên đoạn [ø, Ù]

Khi đó đồ thị y = f(x) nằm phía dưới dây cung AB với A(ø, f(a)),

Trường hợp 2: Nêu ƒ(a) < 0, ta xây dựng dãy {z„} theo hệ thức

Để ý rằng nghiệm đúng của phương trình trên là z = 1,2 Vì

|za — #z'| = 0,002 nên z¿ là nghiệm gần đúng chấp nhận được

1.3 Phương pháp Newton và các mở rộng

1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiếp tuyến)

Cho phương trình

trong đó ƒ(z) là hàm số biến số thực

Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:

¡) Phương trình có nghiệm £ duy nhất trên |ø, b],

ii) fe Ch] và ƒf{z), ƒ“(z) không đổi dấu trên [a, Ù]

Điểm zụ € [a,b] gọi là điểm Fourier của hàm f nếu nó thỏa mãn điều

kien f (xo) f" (xo) > 0

Chọn xấp xỉ ban đầu 2p 1A diém Fourier Phuong trình tiếp tuyến của đường cong = f(x) tai diém Mụ (o, ƒ(o)) có dạng

Không giảm tính tổng quát, hàm ƒ(z) trong phương trình có thể

coi có đạo hàm ƒ“(z) > 0, nếu không ta xét phương trinh g(r) = 0 VỚI g = —ƒ Sau đây ta chỉ xét trường hợp ƒ'{z) < 0 Trường hợp ƒƑ(z) > 0 hoàn toàn tương tự Khai triển ƒ(z„) tại điểm z„_¡ theo công thức Taylor, ta có

|ƒ(za)| = |f'(@n)| |#n+i — #n| <M |#n+i — #n|›

trong đó M = sup{|ƒ'(z)|: z € [a,b]}

Cho ø — oo ta được ƒ(C) = 0 Từ giả thiết i) suy ra ¢ = €

Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết |ƒ”(z)| < M;

và |ƒ'(z)| > Mị > 0 với mọi z € [a,b} Mặt khác, ta có

Phương pháp Newton có bậc hội tụ bằng 2 (Khái niệm bậc hội tụ sẽ

được nêu trong chương 2.)

1.3.2 Phương pháp Newton - Raphson

Bây giờ ta xét ánh xạ ƒ : R” — R" và phương trình

7œ) =0, (1.10)

trong đồ # = (6i #)” € R°, ƒ(#) = (f2), s falx))? € R" Ta 06

ÔNG

ee

Giả sử (1.10) có nghiệm duy nhất £ = (&, ,É„) € 5(+o, R)

Ta viết phương trình (1.10) dưới dạng:

Thay f(x) — f(xo) 4 ƒf(zs)(# — zo), trong đó ƒf(zo) là đạo hàm Frechet

của, ƒ tại #ạ, vào ta được

Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm z¡ Khi đó

“ n

& x, = 29 —[f'(20)] ' f(a)

Ta c6 x, lA nghiém xAp xi dau tién cia phuong trinh (1.10)

Tiếp tục, ta viết phương trình (1.10) dưới dạng:

li — €|| < e(4Ÿ”: e¡ = const,0 < g < 1

1.3.3 Phương pháp Newton - Kantorovich

Nhà toán học Liên xô L Kantorovich đã mở rộng phương pháp New- ton cho ánh xạ từ một không gian Banach X vao một không gian Banach

Y

Giả sử X và Y là các không gian Banach, S = 5(z, R) hinh cau tâm

Các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau:

Lấy phần tử zs € S Giả sử toán tử P có đạo hàm liên tục P{z) trong

S Thay thé phương trình (1.14) bởi phương trình tương đương sau

P(x) — P(x) = P(x»)

Giả sử z” là nghiệm của phương trình (1.14) Giá trị P(zo)— P(z”) được

thay bởi giá trị gần đúng P!{zø)(ø —#*) Ta có thể suy luận rằng nghiệm của phương trình

P'(x9)(xp — 2) = P(xo)

sẽ gan nghiém 2* Vi vay x4p xỉ đầu tiên z¡ được chọn là nghiệm của phương trình nói trên, tức là

P'(x9)(ap — 21) = Pao) > 1 = xo — [P'(ao)] | P(a0)

Những xấp xỉ tiếp theo được xác định tương tự từ những phương trình tuyến tính sau

Pt(z,)(› — +) = P(a,); n= 0, 1,2 ,

Gọi #z„„.¡ là nghiệm của phương trình nói trên:

P'(2n)(2n — #a+1) — Pự,)

Nếu tồn tại [P'(z„)]} ”, thì

#nuy1 = 8„ — [P'„)] `P(„): m„ = 0,1,2 (1.15) Phương pháp xây dựng các xấp xỉ z„ như trên gọi là phương pháp Newton - Kantorovich

Nếu dãy {z„} hội tụ đến z* và zạ được chọn gần z* thì các toán tử P'(x,) va P'(xo) sé gan nhau Điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công thức (1.15) bằng công thức đơn giản hơn

u+1 — Yn — [P(œo)] Pu): n=0,1,2 ; Yo = Lo (1.16)

Phương pháp xây dung day {y,} nhu trên được gọi là phương phấp

Newton - Kantorovich cải biên

Sau đây ta nêu một số điều kiện đủ để dãy (1.15) hoặc (1.16) hoi tu

dựa trên phương pháp làm trội (majorant):

Định lý 1.3 Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1) toán tử P được xác định trong hình cầu đóng S và có đạo hàm cấp hai liên tục P"(z) trong S; S = S(ag, R);

2) tồn tại hàm số )(u)(uạ < u < 1), u = tạ +r, r > 0 hai lần kha

vi liên tục và @(u) = u+ cow(u);

3) tồn tại toán tử tuyến tính liên tục ạ = [P'(zu)] `;

4) œ =— (4ø) >Ũ;

5) ||PoP (xo) || < cow (uo);

6) ||PoP"(x)|| < cow” (u), néu ||x — #g|| < — tạ ST;

7) phương trình

cĩ ít nhất một nghiệm trong đoạn [uạ, 0']

Khi đĩ dãy xây dựng theo phương pháp Newton - Kantorovich cai bién

(1.16) hội tụ đến nghiệm của phương trình (1.14) Tĩc độ hội tụ được

xác định bởi cơng thức

|, ~ z#'l Su-v,,

trong đĩ u là nghiệm nhỏ nhất của phuong trinh (1.17); v, dude xac định bởi các đẳng thức

Vy = Un—y + coÙ(Đ„—1)¡ n= 1,2 ; Up = Uo-

Dinh ly 1.4 Giả sử các điều kiện của Định Iý|L.3 được thỏa mãn, ngồi

Ta

(u) <0

Khi đĩ nếu phương trình (L.17) cĩ một nghiệm duy nhất trong [uạ, u], thì phương trình (L.14) cĩ một nghiệm duy nhất

Định lý 1.5 Giả sử các điều kiện của Định lý|L.3| được thỏa mãn Khi

đĩ các nghiệm xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) hoi tu dén nghiém

cua phuong trinh (1.14) Tĩc độ hội tụ được xác định bởi cơng thức

ứng dụng gặp nhiều khó khăn Sau đây chúng ta nêu ra một định lý

nhằm khắc phục nhược điểm trên

Định lý 1.6 Giả sử toán tử P hai lần khả vi liên tục trong S và các

điều kiện sau đây được thực hiện:

1) tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Ứạ = [P'(ze)] ";

2) [PoP (20) ll < +

3) ||FoP"(z)||< k,z € S Khi do néu

1—v1—2h

1 h=kn<-=,r>rọ= TS yr =To h 1;

thì phương trình (1.14) c6é ngiém x* va nghiệm đó là giới hạn của dãy

các xấp xỉ Newton - Kantorovich (1.15) và (1.16) Nếu

1+vi—-2h

h r<r¡= nạ khih < 1/2,

r<rị¡ khih = 1/2, thì nghiệm của phương trình (L.14) là duy nhất

Tốc độ hội tụ được xác định bởi các công thức

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP LẶP

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp lặp giải

phương trình ƒ(+) = 0, trong đó ƒ là một hàm số biến số thực Vấn dé

chính được bàn đến là bậc của hàm lặp Trong chương này cũng trình bày các định lý về tăng bậc hội tụ, định lý về nâng bậc hội tụ

Trong chương này tác giả sử dụng phần lớn các kết quả trong tài liệu tham khảo [1, 2, 10]

2.1 Phân loại các hàm lặp

2.1.1 Một số khái niệm cơ bản

a) Gia stt f : (a,b) 4 R Néu da € (a,b) sao cho ƒ(a) = 0 thì ta nói

œ là không điểm của hàm ƒ trên (ø,b) hay là a là nghiệm của phương trình ƒ(z) = 0

b) Nếu ƒ(z) = (z — œ)”øg(z) trong đó g(x) bi chan trong lân cận của điểm œ, ø(œ) # 0, m là số nguyên dương thì m được gọi là bội của không diém a, néu m = 1 thì ta nói œ là nghiệm đơn, nếu mm > 1 thì ta nói œ

là nghiệm bội

c) Giải sử (z„) là dãy hội tụ đến a, œ là nghiệm của phương trình ƒ(œ) = 0 Hàm ¿ thiết lập phép tương ứng của bộ các sỐ #¿, #¡_¡ , #¡—„

Ti = P (@i5 Li, 5 Lien) - (2.2)

Khi đó ¿ được gọi là hàm lặp một điểm có nhớ Dấu chấm phẩy trong tách điểm sử dụng thông tin mới với các điểm sử dụng thông tin

cũ Loại hàm lặp này đang thu hút sự quan tâm đặc biệt bởi vì thông

tin cũ được lưu dễ dàng trong bộ nhớ máy tính Thực tế trường hợp được quan tâm là khi cùng một thông tin, ví dụ giá trị của f và ƒ”, được

sử dụng tại mọi điểm Ví dụ quen thuộc về hàm lặp có nhớ là hàm lặp

trong phương pháp dây cung

2.1.3 Hàm lặp nhiều điểm

Giả sử z;¿¡ được xác định theo thông tin mới của #;, W1(#;), Wa(#;), - , wz(z¿), k > 1, thông tin cũ không được sử dụng Từ đó ta có

Tint = @ |8ị, WI(đi), Wa(i), , Wa(®2)] (2.3)

Khi đó ¿ được gọi là hàm lặp nhiều điểm

2.1.4 Bậc hội tụ

Chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm quan trọng là khái niệm bậc của một

hàm lặp Giả sử zạ,z\, ,z;, là dãy hội tụ đến a Gia stt e; = 2; — a

Định nghĩa 2.1 Nếu tồn tại một số thực p và một hằng số Œ khác

không sao cho khi ¡ > oo thi

le,|?

Khi đó p được gọi là bậc của dãy (z„)và Œ được gọi là hằng số sai số

tiệm cận

Chúng ta sẽ làm rõ định nghĩa trên Để thiết lập mối quan hệ giữa

khái niệm bậc với hàm lặp sinh ra z; Ta có thể viết (2.4) dưới dạng

|x; — a Định nghĩa 2.2 Nếu tồn tại số thực p và hằng số Œ khác không thỏa mãn (2.5) thì ta nói hàm lặp ¿ có bậc ø

Ta nhận thấy bậc p không phụ thuộc vào dãy {z;} sinh bởi hàm ¿

và hàm ¿ có liên tục hay không Từ nay về sau ta sẽ sử dụng khái niệm

bậc của hàm lặp Ta biết rằng ¿ là một phiếm hàm phụ thuộc vào ƒ

Do đó bậc của ¿ có thể khác nhau với các lớp khác nhau của ƒ Với lớp

ƒ và ¿ mà chúng ta sẽ nghiên cứu, ta sẽ quan tâm đến ¿ có bậc đã biết với mọi ƒ mà không điểm của ƒ có bội số đã biết Từ nay về sau ta sẽ xét đến những hàm ƒ có không điểm đơn Kí hiệu 7, là lớp các hàm lặp

có bậc p Để chỉ ra ¿ thuộc lớp hàm lặp bậc p, ta viết

Trong các định nghĩa đã nêu ở trên bậc liên quan đến bội của nghiệm

Ta nói bậc không phụ thuộc vào bội của nghiệm của phương trình, nếu bậc là như nhau với mọi nghiệm có số bội khác nhau

Trong trường hợp ngược lại ta nói bậc phụ thuộc vào bội của nghiệm Trong trường hợp đặc biệt bậc p = 1 với mọi nghiệm bội và bậc ø > l

với mọi nghiệm đơn thì ta nói bậc là tuyến tính đối với các nghiệm bội Bậc tuyến tính còn gọi là bậc nhất

Bậc bình phương còn gọi là bậc hai

Chú ý rằng nếu bậc tồn tại thì nó là duy nhất Thật vậy, giả sử một

dãy hội tụ có hai bậc p; va po Gia stt pp = p; + 6,6 > 0 Khi dé

(fini — a |#+¡ — a|

lim ee jz; -—a|” —————,„ = lim ios |x; — alt? ——————— = (› œ

Từ đó suy ra

li |#i+¡ — a| — =0

isco |a¿ — al?

Diều này mâu thuẫn với giả thiết vì giới hạn sau cùng là khác không

Ta thấy hàm lặp có nhớ không có bậc nguyên Nếu +”) liên tục và

@(#) —œ = C(z — œ)”[L+ o(œ — œ)|, (2.7)

g(a) = 0; 9 (a) =0;7 = 1 p— Le (a) # 0

Dịnh nghĩa này có ý nghĩa đối với hàm lặp ¿ một biến có đạo hàm liên tục đến bậc p Trong Định lý [2.3] ta sẽ nêu lên định nghĩa bậc

Giả sử ø là một hàm số tùy ý sao cho g(a) # 0 va g(a) hitu han

—oo < g(a) < +00 Dat p(x) = x — f(x).g(x) RO rang œ là nghiệm của

phương trình f(x) = 0 khi va chi khi œ là điểm bất động cia ham y 2.2.1 Một số mệnh đề về điểm bất động

Bổ đề 2.1 Giả sử hàm ¿ liên tục từ J = [a,b]} vào J Khi đó tồn tại a,a<a<b, sao cho g(a) =a

Chứng mình Vì hàm ¿ từ J vào J, nên ta có

y(a) 2 a, ¿(b) < b

Dat h(x) = ¿(z) — z Khi đó

h(a) 2 0, h(b) < 0,

va theo Dinh lý giá trị trung bình, tồn tại œ sao cho h(a) = 0, hay

Bổ đề 2.2 Giả sử ¿ là một hầm từ J = [a,b| vào J thỏa mãn điền kiện Lipschitz

lp(s) — p()| < Lls—t]|,0< 0 <1;Vs,te€ J (2.9) Khi đó g(x) = x c6 nhiéu nhat mot nghiệm

Chitng minh Gia stt y(x) = x c6 hai nghiém phan biét a; va ag Khi

lay — a2| = |e (a1) — g(A;)| < b lai — a9] < Jay — a9)

Diều này mâu thuẫn Do đó v(x) = x có nhiều nhất một nghiệm O Định lý 2.1 Cho J là khoảng đóng, bị chặn và vy 1a ham tit J vao J thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.9) Giả sử zạ là điểm tùy ý thuộc J và

#;+¡ = @(0¿) Khi đó dãy {z;} hội tụ đến nghiệm duy nhất của @(#) = # trong J

Chứng minh Theo Bổ đè |2.1| và Bổ đề J3.2| tồn tại và duy nhất một nghiệm của phương trình p(x) = + Nghiệm này là giới hạn của dãy xác định bởi #;¿¡ = ý (#¿), #o € [ø, b|,m = 0,1,2 Do đó

Tix — @ = Y (xj) — a = v(x) — Y(a)

Từ điều kiện Lipschitz ta cd

Itix1 —0| SL x;-a|,0<5L <1, suy ra

|x; —a| < L' |x — a

Khi i > o0 thi L' > 0 cho nén x; > a Dinh ly duce chitng minh O

2.2.2 Su héi tu tuyén tinh vA trén tuyén tinh

a) Su hoi tu tuyén tinh

Giả sử ợ' liên tục trong lân cận của œ Ta có

Thật vậy, nếu z; — œ và ¿ liên tục, thì

œ = lim #;¿¡ = lim @(#;) = (Jim z) = g(a)

Ta có

#z+ì = @ (2) = @(Ø) + ý (6) (¡ — @), trong đó é; thuộc khoảng xác định bởi z; và œ Áp dụng ta thu

được

#z+i — œ = ỨØ (&) (; — @), (2.11)

Ta cần có |¿'(£)| < K < 1 trong lân cận của œ Vì ¿' liên tục nên ta chỉ cần giả thiết |¿'(œ)| < K < 1 Khi đó tồn tại một lân cận của œ sao cho

|l¿(z)|<F,0<”7<1

và

#+¡— | S L|x¿ — a|, suy ra

lz, —a| < L'|xo —a| và #¡ — œ

Néu a thỏa mãn với mọi điểm dau zy trong lan can di nhé cia a day

{z;} hội tụ tới œ, thì œ được gọi là điểm hút Thuật ngữ này được đưa

ra bởi J F Ritt Theo thuật ngữ này chúng ta có thể phát biểu kết quả

như sau:

Nếu @' liên tục trong lân cận của œ,, @(aœ) = ava |@{aœ)|< Ù <1, thi a la diém hit

Chúng ta có một số kết quả mở rộng sau

Dinh ly 2.2 Gia sit y'(a) 4 0, y'(a)| < L <1 khi đó sự hội tụ là hội

tụ tuyến tính hay sự hội tụ bậc nhất

Thật vậy do ý” liên tục trong lân cận của œ, cho nên ợ“ không triệt tiêu trong lân cận của œ Dặt e; = z; — œ Dẳng thức (2.11) trở thành

ein1 = # (§¡) 6¡

Rõ ràng, nếu eạ # 0 và ¿' không triệt tiêu, thì e; không triệt tiêu với ? hữu hạn tùy ý Điều này nghĩa là phép lặp không thể hội tụ sau một số

hữu hạn các bước lặp nếu các số hạng của dãy lặp nằm trong lân cận của điểm œ mà ¿' (œ) # 0, cho nên

Diều này nghĩa là sự hội tụ tuyến tính hay sự hội tụ bậc nhất

b) Sự hội tụ trên tuyến tính

Trường hợp hội tụ trên tuyến tính không cần đồi hỏi |¿'(a)| < 1; phép lặp luôn hội tụ trong một lân cận nào đó của a

Gia sit y (a) = ava ta gid sit rằng các đạo hàm ¿),ø > 1 tồn tại và

liên tục trong một lân cân nào đó của œ Khi đó

Dist = 9(x;) =a + Ya) (aj — a) +++ + — (a; — a)’,

trong đó £; thuộc khoảng xác định bởi z; và œ Rõ ràng có bậc p chỉ nếu @I2(œ) = 0;j = 1,2, ,pT— 1 và @)(œ) # 0 Do đó chúng ta gán các điều kiện sau cho ợ:

g(a) =a; g(a) = 0;5 = Tp—T; p(a) # 0 (2.12) Khi đó

œ0) (&¡) D

C41 = _

trong đó ø¡ = #;¡ — œ Vì ¿)(œ) # 0, nên ¿) không triệt tiêu trong lân

cận của œ Do đó thuật toán không thể hội tụ sau một số hữu hạn bước

mà eạ # 0 và các số hạng của dãy lặp thuộc lân cận của œ Mà ở đó ¿)

không triệt tiêu Hơn nữa,

đi — #"'(a)

Ta tong két két qua trong dinh ly sau

Định lý 2.3 Cho ¿ là một hàm lặp thỏa mãn ¿` liên tục trong lân can cla a Gia sit e; = 2; — a Khi đó @ có bậc p nếu và chỉ nếu

Chú ý rằng trong phần a) một dãy được tạo thành bởi hàm lặp bậc

tuyến tính có thể không hội tụ trong mọi lân cận tùy ý của a và điều

kiện |¿'(œ)| < 1 chỉ là điều kiện đủ, trong khi đó một dãy được tạo thành

bởi hàm lặp bậc trên tuyến tính luôn hội tụ trong một lân cận nào đó của œơ Trong lập luận dưới đây bao hàm cả sự hội tụ tuyến tính và trên

tuyến tính

Giả sử (2.16) thỏa mãn Khi đó

leis] = [Mil lei” < Mle;|”* Jei|

< MTP" Je|< LUT = LP <T,

suy ra (2.16) thỏa mãn với ¡+ Ivà chứng minh quy nạp được hoàn thành

Vì

|e;| < LT, L< 1,

nên suy ra ø; > a Nhu vay ta đã chứng minh được định lý sau:

Định lý 2.4 Giả sử ¿` liên tục trên khoảng J,