Tài liệu học tập môn vấn đề và thuật toán

Ta nói số phức là liên hợp của z Tính chất của của phép liên hợp Modun của môt số phức z= a + ib ký hiệu là |z| và được định nghĩa như sau Các tính chất - Dạng lượng giác của số phức: Mộ

CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH

1 Số phức

- Định nghĩa tập số phức C:

Tập hợp số C là mở rộng tập hợp R các số thực với các phần tử thoả 2 điều kiện:

 C chứa một nghiệm i của phương trình

x2+1=0

 Các phép toán + và * trên R được mở rộng thành các phép toán trên C thỏa các tính chất quen thuộc của một trường, nghĩa là với z1, z2, z3 C

 (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2+ z3)

 z1 + z2 = z2 + z1

 z1 + 0 = z1

 Với mỗi z C, tồn tại z’ sao cho z + z’ = 0

 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2* z3)

 z1 * z2 = z2 * z1

 z1 * 1 = z1

 Với mỗi z C, z0 tồn tại z’ sao cho

z * z’ = 1, ta viết z’=z-1

 z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 *z3

- Dạng đại số của số phức và các khái niệm:

Môt số phức z có dạng đại số là z= a + ib (a,b  R) Trong đó:

a là phần thực và viết a= Re(z)

b là phần ảo và viết b= Im(z) Đặc biệt:

Các số thực z=a đều có phần ảo =0 Các số phức có dạng z=ib, b  R gọi là các

số thuần ảo

Xét số phức z = a + ib Ta nói số phức là liên hợp của z

Tính chất của của phép liên hợp

Modun của môt số phức z= a + ib ký hiệu là |z| và được định nghĩa như sau

Các tính chất

- Dạng lượng giác của số phức:

Một số phức z=a+ib còn có thể được viết dưới dạng lượng giác như sau:

Trong đó

r chính là modun của z và góc  được gọi là

argument của z Ta viết =arg(z)

Xét 2 số phức

và

Ta có:

(*)

- Căn bậc n của một số phức.

Từ (*) ta suy ra nếu

thì , nN

Đặc biệt nếu r=1 thì ta có công thức Moivre:

Ta gọi căn bậc n của một số phức A là một số phức z sao cho zn = A

Ta viết A và z dưới dạng lượng giác:

(mod 2)

Do đó tất cả các căn bậc n của A0 là

Chú ý: căn bậc n của A là đỉnh của đa giác đều n cạnh nội

tiếp trong vòng tròn tâm O bán kính

Đặc biệt các căn bậc n của đơn vị (A=1) nội tiếp trong vòng tròn đơn vị Đặt thì căn bậc

n của đơn vị chính là Ta nói  là 1 căn bậc n nguyên thủy của đơn vị

2 Chuỗi lũy thừa

- Metric (khoảng cách) trên tập C.

Cho z và z’ thuộc C, khoảng cách giữa z và z’ được định nghĩa bởi:

| z – z’| =

với z = a+b i, z’ = a’+b’ i

- Định nghĩa khoảng cách ở trên thỏa các tính chất của một metric

- Giới hạn và đạo hàm.

Định nghĩa giới hạn của dãy số phức cũng tương tự như đối với số thực:

Định nghĩa giới hạn của hàm số phức cũng tương tự như đối với hàm số thực:

Đạo hàm của hàm số phức G(z), ký hiệu là G’(z), được định nghĩa bởi giới hạn của tỉ số khi t  z

- Chuỗi lũy thừa, sự hội tụ và hội tụ tuyệt đối.

Chuỗi lũy thừa có dạng:

(1)

với các hệ số an, và biến z lấy giá trị phức

Tổng riêng phần:

Nếu Sn(z) có giới hạn là G(z) khi n   thì ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ và có tổng bằng G(z), và viết:

Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối khi chuỗi

là hội tụ

Tính chất: Chuỗi hội tụ tuyệt đối thì cũng hội tụ

- Định lý Abel.

(i) Tồn tại duy nhất R (0  R  +) sao cho:

chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nếu | z | < R, và

chuỗi (1) phân kỳ nếu | z | > R.

(ii) Hơn nữa, nếu 0   < R thì chuỗi (1) hội tụ đều

trong đĩa | z |  .

Ta gọi R là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Ghi chú: Trên vòng tròn | z | = R ta không có kết luận tổng

quát về chuỗi (1)

Hệ quả: Nếu chuỗi (1) hội tụ tại điểm z 0  0 thì chuỗi cũng

hội tụ tuyệt đối tại mọi z thỏa:

| z | < | z0 |

và hội tụ đều trong mọi đĩa | z |   < | z0 |.

- Các quy tắc tính bán kính hội tụ

Quy tắc Cauchy:

Nếu tồn tại (có thể bằng +) thì

R = ( )-1.

Quy tắc D’Alembert:

Nếu tồn tại (có thể bằng +) thì

R =

- Chuỗi tổng và chuỗi tích.

bán kính hội tụ là R1 và R2 Ta lập chuỗi tổng và chuỗi tích như sau:

với

cn = a0bn + a1bn-1 + + anb0, n = 0, 1, 2, …

Mệnh đề:

Các chuỗi tổng và tích có bán kính hội tụ  min(R1,R2) và hơn nữa

(f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) với | z | < min(R1,R2).

- Đạo hàm và nguyên hàm của chuỗi lũy thừa.

Xét chuỗi lũy thừa với bán kính hội

tụ R

Do chuỗi lũy thừa hội tụ đều trong các đĩa | z |   < R, ta thấy G(z) có đạo hàm theo biến phức là

, | z | < R

(Phép lấy đạo hàm theo từng số hạng của chuỗi lũy thừa)

Một hàm có đạo hàm theo biến phức trong một miền D được gọi là hàm giải tích hay chĩnh hình trong miền D

Như vậy G(z) là một hàm giải tích trong đĩa hội tụ | z | < R.

Ta có khai triển Taylor

, | z | < R

Ngoài phép lấy đạo hàm theo từng số hạng ta cũng có phép lấy tích phân theo từng số hạng vì hàm

có cùng bán kính hội tụ R và

trong đĩa | z | < R.

3 Hàm sinh

- Định nghĩa hàm sinh.

dãy {an} ta nói G(z) là hàm sinh của dãy {an}.

- Một số hàm sinh thường gặp.

hữu hạn a0, a1, …, an Do đó p(z) là một hàm nguyên

(giải tích trên toàn bộ C).

(ii) Xét hàm mũ Đây cũng là một hàm

nguyên

Theo quy tắc tính chuỗi tích ta có:

Theo quy tắc đạo hàm từng số hạng ta có:

Vậy

(iii) Các hàm lượng giác theo biến phức:

Từ quy tắc cộng chuỗi lũy thừa ta có:

Với z = x + i y ta có:

, | z | < 1

Lấy tích phân từng số hạng của chuỗi ta được một nguyên hàm của hàm , ký hiệu là hay

-ln(1-z):

Từ đó ta có:

Sử dụng quy tắc nhân chuỗi ta thấy là hàm sinh của dãy:

, n = 1, 2, …

Dãy {Hn} được gọi là dãy số điều hòa, đóng vai trò quan trọng trong số học cũng như trong việc phân tích độ phức tạp của một số thuật toán

4 Số Bernoulli

- Định nghĩa số Bernoulli.

Trong đó là hệ số nhị thức

o Để ý rằng m=2 thì (4.2) trở thành

B2 + 2B1 +B0 = B2

Hệ thức này được thỏa do (4.1) Với thì (4.2) cho phép tính 1 theo 2, Bm-3,…, B0 Chẳng hạn

B3 = B5 = B7 = … = 0

- Định nghĩa đa thức Bernoulli.

Sử dụng các số Bernoulli, ta có thể định nghĩa các

Chú ý rằng Bm(z) là một đa thức bậc m với hệ số có bậc cao

nhất là B0=1 và hệ số hằng Bm(0)=Bm

- Một số tính chất:

o

o

5 Dáng điệu của Hn và n!

- Ký hiệu O:

Khảo sát hàm theo biến thực hoặc nguyên f(x), g(x) Ta xét dáng điệu của hàm khi x lớn hoặc |x| nhỏ

Ví dụ:

 Khi x  +, ta nói g = O(f) khi

tồn tại M > 0 (không phụ thuộc x) sao cho

|g(x)|  M.|f(x)| , khi x khá lớn

 Khi x  0, ta nói g = O(f) khi

tồn tại M > 0 (không phụ thuộc x) sao cho

|g(x)|  M.|f(x)| , khi |x| khá bé

- Tính chất:

f = O(f)

cf(x) = O(f(x))

O(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x))

O(O(f(x))) = O(f(x))

O(f(x)) O(g(x)) = O(f(x).g(x))

f(x).O(f(x)) = O(f(x).g(x))

- Công thức quan trọng về Hn:

trong đó hằng số  (được gọi là hằng số Euler) tính theo công thức giới hạn

Ta nhận thấy khi nghĩa là

H n ~ Ln(n)

Với n=6 ta có một khai triển đến cấp 6 theo

- Công thức Stirling:

Người ta chứng minh được rằng giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn và được gọi là hằng số Stirling:

Ta cũng có:

và

Dùng tích phân của hàm biến phức ta có thể chứng minh rằng:

và được công thức Stirling sau đây:

Suy ra

6 Hàm sinh của một dãy xác suất (đọc thêm)

7 Giải hệ thức đệ qui bằng hàm sinh (đọc thêm)