Đồ án tốt nghiệp mô hình và phương pháp số tính toán dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số

Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputo nghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới… Các nhà cơ h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG VÀ CLC

-*** -

ĐỀ TÀI:

MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA

CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

Giảng viên hướng dẫn : GS.TSKH Nguyễn Văn Khang

Sinh viên thực hiện : Dương Văn Lạc

Lớp : KSTN – CĐT – K54

MSSV : 20091541

HÀ NỘI 6/2014

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU………

CHƯƠNG 1: ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ………

1.1 Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên……….…… ……… ……

1.2 Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên………

1.3 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ………

1.4 Các tính chất của đạo hàm và tích phân cấp phân số………

1.5 Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số………

1.6 Phép biến đổi Fourier và Laplace của đạo hàm cấp phân số ………

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ………

2.1 Các mô hình hệ đàn nhớt………

2.2 Hệ dao động một bậc tự do………

2.3 Hệ dao động hai bậc tự do………

2.4 Hệ dao động nhiều bậc tự do………

CHƯƠNG 3: CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ………

3.1 Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số………

3.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số………

3.2.1 Phương pháp Newmark………

3.2.2 Phương pháp Runge-Kutta-Nystrӧm ………

3.2.3 Phương pháp Gauss………

3.2.3 Phương pháp Runge-Kutta………

CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ………

4.1 Tính toán hệ dao động một bậc tự do………

4.2 Tính toán hệ dao động hai bậc tự do………

CHƯƠNG 5: CHƯƠNG TRÌNH FDE SOLVER TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG ……… ………

5.1 Tổng quan về chương trình………

5.2 Sử dụng chương trình………

KẾT LUẬN………

TÀI LIỆU THAM KHẢO………

PHỤ LỤC………

1

2

2

3

6

8

12

15

19

19

20

24

28

30

30

35

35

36

36

37

38

38

45

47

47

49

50

51

52

LỜI NÓI ĐẦU

Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, cơ khí, giao thông vận tải, xây dựng, tài chính và các ngành khoa học khác đã được quan tâm nghiên cứu Oldham và Spanier ứng dụng đạo hàm cấp phân số vào quá trình khuyếch tán; Kempfle mô tả cơ hệ tắt dần; Bagley và Torvik, Caputo nghiên cứu về tính chất của các vật liệu mới…

Các nhà cơ học cũng bắt đầu nghiên cứu việc áp dụng đạo hàm cấp phân số vào các hệ dao động, động lực học như hệ đàn nhớt và nhớt dẻo Nutting (1921, 1943) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên nghĩ rằng hiện tượng chùng ứng suất có thể được mô hình thông qua thời gian bậc phân số Shimizu (1995) nghiên cứu dao động và đặc tính xung của bộ dao động với mô hình Kelvin – Voigt phân số của vật liệu đàn nhớt dựa trên gel silicone và chứng minh một số tính chất khác biệt giữa khả năng giảm chấn của vật liệu này so với vật liệu đạo hàm cấp nguyên Zhang và Shimizu (1999) nghiên cứu một vài phương diện quan trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt được mô hình bởi quy luật kết cấu Kelvin – Voigt phân số Họ đã thảo luận sự ảnh hưởng của điều kiện đầu tới trạng thái tắt dần …

Thực tế rằng đối với những biến dạng lớn, đáp ứng phi tuyến xuất hiện Một số mô hình được đề xuất để giải thích sự đáp ứng phi tuyến Một mô hình có thể được đưa ra là một lò xo phi tuyến được thêm vào vế phải của phương trình trên Một mô hình khác được đưa ra bởi Nasuno yêu cầu đối với một

số vật liệu đàn nhớt, tính phi tuyến xuất phát từ đạo hàm cấp phân số của biến dạng nén

Đồ án tốt nghiệp này trình bày các mô hình cơ bản của đạo hàm cấp phân số, và các phương pháp

số giải phương trình vi phân cấp phân số Áp dụng tính toán của một vài mô hình dao động phi tuyến của các hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Bùi Thị Thúy là tác giả của tài liệu [11] Và đặc biệt là thầy GS.TSKH.NGND Nguyễn Văn Khang, thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện

đồ án tốt nghiệp này

Hà Nội, Ngày 30 tháng 4 năm 2014 Sinh viên thực hiện: Dương Văn Lạc Email: duonglacbk@gmail.com

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CẤP PHÂN SỐ

1.1 Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên

Chúng ta sử dụng n và N là những số nguyên dương, , , , ,p q r   và Q là những số bất kỳ Cho

một hàm số f x  Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp n,…của hàm f x  như sau

  2    

2

n n

n n

Đạo hàm của hàm f x  theo xabằng đạo hàm theo x của nó

d f x

dx f x dx dx

Đạo hàm cấpn thường được viết f n  x

Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân

Bởi các hệ số trong những phương trình trên gần giống với hệ số nhị thức Newton, ta có thể viết đạo hàm cấpn

1.2.2 Tích phân nhiều lớp của một hàm số

Bây giờ ta sẽ chú ý vào biểu thức tích phân n lớp của f x  Vì một tích phân cấp nguyên được định nghĩa qua diện tích, ta biểu diễn nó với tổng Riemann

0

1 0

0

N N

1 2 0

a x a x

a a a N

N n

1.2.3 Sự hợp nhất giữa toán tử đạo hàm cấp n và tích phân n lớp

Bây giờ ta thay   n n với n nhận giá trị âm thì phương trình (1.27) có dạng

 

 

1 0

Trong đó n nhận cả giá trị nguyên âm và dương

1.3 Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

1.3.1 Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald-Letnikov

Công thức (1.32) đúng với mọi tùy ý, ta đạt được định nghĩa cơ bản và tổng quát nhất theo - Letnikov

   

 

 

   1

được gọi là hệ số Grunwald

1.3.2 Ðịnh nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann Liouville

Với p0 đạo hàm, tích phân cấp phân số có dạng

  1   1   ,  0, 1 

x n

n p p

n p p

1.3.4 Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác

1.3.4.1 Đạo hàm cấp phân số dạng dãy (dạng Miller – Ross)

p

p p p

n

n p p

1.3.4.2 Định nghĩa dạng Weyl (tích phân Weyl)

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville , cho a   ta có định nghĩa dạng Weyl

1 0

,1

0

1

.1

x n

p n p

d

n p dx

1.4.3 Tính chất biến đổi thang bậc

Phép biến đổi thang bậc của một hàm số đối với giới hạn dưới a

1.4.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một chuỗi

Cho 1 chuỗi hàm hội tụ đều  

0

j j

j j

d f d

d f x d

d f x d

.1

n q

d f x d

1.5 Một số ví dụ về đạo hàm, và tích phân cấp phân số

1.5.1 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của một hằng số

Trước tiên ta sử dụng định nghĩa Grunwald , ta có đạo hàm và tích phân cấp phân số của C  1

1

.1

p N

N j

p p

1.5.2 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f x     x a

Sử dụng định nghĩa Grunwald - Letnikov đối với hàm f x x a

p p

Xuất phát từ định nghĩa Riemann – Liouville, mối liên hệ giữa các hàm Bêta và hàm Gamma, ta có đạo hàm và tích phân cấp qcủa hàm f x 

1.5.4 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm f x     1  x p

Để xây dựng công thức cho tất cả giá trị p q , ta viết 1x 1 axa

với x là hàm bêta không đầy đủ

1.5.5 Đạo hàm và tích phân cấp phân số của hàm bước nhảy đơn vị và hàm Delta – Dirac

x p

d f x d

p a

t at

1.6 Phép biến đổi Fourier và Laplace của đạo hàm cấp phân số

1.6.1 Phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân biến một hàm f t trong miền thời gian sang f L s trong mặt phẳng phức

Trong đó tích phân được tính dọc theo đường thẳng đứng Re s 

1.6.2 Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace

Hàm f t  được gọi là hàm cấp mũ khi t   nếu tồn tại các hằng số C, K, T sao cho

Nếu f t  có các đạo hàm tới cấp n và f t   f L s ta sẽ có các đạo hàm của nó

1.6.4 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số

1.6.4.1 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số Riemann - Liouville

1.6.4.2 Phép biến đổi Laplace của đạo hàm và tích phân cấp phân số Caputo

1 0

1.6.5 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm và tích phân cấp phân số

1.6.5.1 Phép biến đổi Fourier

1.6.5.3 Phép biến đổi Fourier của đạo hàm và tích phân cấp phân số

Định nghĩa theo Weyl

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ

ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

2.1 Các mô hình hệ đàn nhớt

Với sự phát triển khoa học kỹ thuật, ngày càng có nhiều các vật liệu mới ra đời (như vật liệu silicone, vật liệu cao su…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu Do đó để giải quyết vấn đề này, đạo hàm cấp phân số được áp dụng bởi các nhà nghiên cứu trong thời gian gần đây

Hình 2.1 Mô hình cổ điển Hình 2.2 Mô hình mới

Trong đó lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng như sau:

1( ) , ( ) 1(1 )

F  A    A     A    x A   Ax A kx A (2.3) Với A là diện tích mặt cắt ngang của vật mẫu, và trong trường hợp này vật mẫu được xem như là một vật trụ

Theo tài liệu [4] đưa ra 4 mô hình lý thuyết  có dạng như sau: n

- Mô hình IIa và IVa:

2.2.1 Mô hình Kelvin – Voigh

Hình 2.3 Mô hình Kelvin – Voigh

m

F

x

k μ, c(x)

Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:

- Đối với mô hình này ta có thế áp dụng cho các trường hợp cụ thể sau

+ Hệ có nền rung dịch chuyển u khi đó phương trình dao động của hệ thu được bằng cách thay x=x-u

- m là khối lượng của vật dao động và vật kích động : mm0m1

- Điều kiện đầu : x 0 ; x 0 m0 2gh

- m là khối lượng của vật, và vật lệch tâm : mm1m e

- Điều kiện đầu: x 0 ; x 0

2.2.2 Mô hình Maxwell

Hình 2.4 Mô hình Maxwell

Để lập phương trình dao động, ta sử dụng định lý chuyển động khối tâm:

e e

Thay (2.22) vào (2.28) ta được phương trình dao động của hệ như sau:

2.3 Hệ dao động hai bậc tự do

Trong phần này ta xét mô hình búa rèn trên nền đàn nhớt cấp phân số chịu kích động va đập Trong đó khối lượng m0 là đầu búa, m1 là đe, m2là móng Với giả thiết m0 m m1, 0m2nên độ lún tĩnh và ảnh hưởng động lực do m0gây ra sau khi va chạm là không đáng kể nên bỏ qua khi khảo sát Có hai mô hình được khảo sát như sau:

Hình 2.6 Mô hình 1 Hình 2.7 Mô hình 2

(Để đơn giản cho việc lập hệ phương trình vi phân thì hàm điều chỉnh c(x), và b(x) của bộ cản nhớt cấp

phân số được chọn bằng 1.)

Thiết lập hệ phương trình dao động đối với mô hình 1:

- Phương pháp sử dụng phương trình Lagrange loại II:

Biểu thức động năng của hệ có dạng:

Tương tự, đối với mô hình 2 ta có:

- Phương pháp sử dụng phương trình Lagrange loại II:

Biểu thức động năng của hệ có dạng:

p p

Với: u v0,u v1- vận tốc trước va chạm; u u0, 1- vận tốc sau va chạm;

Trong trường hợp tổng quát, để tính các giá trị u u0, 1người ta sử dụng giả thiết của Newton:

2.4 Hệ dao động nhiều bậc tự do

Đối với các hệ có nhiều bậc tự do ta có thể đưa về dạng sau:

x

- D có dạng như sau :

1 0

0

i n

y x x y

CHƯƠNG 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ

CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

3.1 Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số

3.1.1 Định nghĩa đạo hàm cấp phân số

Theo định nghĩa đạo hàm cấp phân số p bởi Riemann-Liouville với xa b, 

t p t k p

Định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Caputo:

Thành phần đạo hàm cấp phân số đươc xấp xỉ như sau:

1 0

3.1.2.2 Xấp xỉ theo đạo hàm cấp hai

Thành phần đạo hàm cấp phân số đươc xấp xỉ như sau:

n n

Hình 3.1 Xấp xỉ tích phân bằng công thức hình thang

3.1.2.3 Xấp xỉ theo số điểm Gauss

Việc xấp xỉ theo số điểm Gauss có lợi thế là thời gian tính toán cỡ  n tuy nhiên việc xấp xỉ này là kém chính xác hơn các phương pháp khác

Xấp xỉ thành phần đạo hàm cấp phân số

   

   

01

p C

t

p p

2

t

p p

Việc sử dụng định nghĩa Riemann-Liouville trong trường hợp 1 p2đòi hỏi phải sử lý điều kiện đầu

n n

p p

I x  t   d được xấp xỉ bằng công thức hình thanh, tương tự như mục (3.1.2)

Một cách khác ta cũng có thể sử dụng sai phân tiến để xấp xỉ như sau:

D x t D  x t  được tính như đối với trường hợp 0 p1

Hoặc xấp xỉ theo tác giả E.Sousa [10], như sau:

2 1

,

0 1

0

12

21

23

k

k

x j

p p

p j

Kết quả thu được bằng các cách xấp xỉ khác nhau:

- Kết quả sử dụng sai phân với đạo hàm cấp một, và đạo hàm cấp hai

Với điều kiện đầu cần thỏa mãn là: x 0 0, x 0 0

3.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân cấp phân số

Xét phương trình dao động có dạng tổng quát như sau:

Xấp xỉ x x  theo công thức Newmark n, n

Theo công thức xấp xỉ Newmark

 1 1 1 2 1 1 1 2

Tính được x n , rồi ta tính được x x  như sau: n, n

( ) ( )1

( ) ( ) ( , , )( , , )

i p

x t v t

c x k

y là điểm Gauss phụ thuộc vào số điểm Gauss dùng để xấp xỉ

Và việc giải hệ phương trình vi phân (3.46) có thể được thực hiện bằng phương pháp Runge-Kutta như mục 3.25

3.2.5 Phương pháp Runge-Kutta

Đối với các hệ cơ học dao động cấp phân số nhiều bậc tự do ta có thể đưa được về dạng hệ phương trình

vi phân cấp một như đã được trình bày cụ thể mục 2.4, và (3.34) Hệ phương trình chung đưa được về là:

Kết quả thu được:

Hình 4.1 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.1

Ví dụ 4.2: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

Kết quả thu được:

Hình 4.2 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.2

Ví dụ 4.3: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

2

111

1

p p

Kết quả thu được:

Hình 4.3 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.3

Ví dụ 4.4: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

1

1

p p

Kết quả thu được:

Hình 4.4 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.4

Ví dụ 4.5: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

1

,1

Kết quả thu được:

Hình 4.5 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.5

Ví dụ 4.6: Cho hệ chịu kích động dao động điều hòa như sau:

Kết quả thu được:

Hình 4.6 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.6

Ví dụ 4.7: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

Kết quả thu được:

Hình 4.7 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.7

Ví dụ 4.8: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

2

1

sin( ),1

1

1

p p

Kết quả thu được:

Hình 4.8 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.8

Ví dụ 4.9: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

1

1

p p

Kết quả thu được:

Hình 4.9 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.9

Ví dụ 4.10: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

1

sin( ),1

Kết quả thu được:

Hình 4.10 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.10

Ví dụ 4.11: Cho hệ dao động bậc ba như sau:

       1,5

Kết quả thu được:

Hình 4.4 Dịch chuyển và gia tốc của VD4.11

Ví dụ 4.12: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

 

2 2

3 1

1

10.277( ); 0.020( ); 4620( / )0.005( ); 5020( / ); 1.10(0) 0; (0) 1.08( / )

Kết quả thu được :

Hình 4.12 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.12

Ví dụ 4.13: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

 

2 2

3 1

, (0) 0, (0) 1.08( / )1

10.277( ); 0.020( ); 4620( / ); 0.005( ); 5020( / ); 1.10

Hình 4.13 Dịch chuyển và gia tốc của VD4.13

Ví dụ 4.14: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

2

3 1

, (0) 0, (0) 1.08( / )1

0.277( ); 0.020( ); 4620( / ); 0.005( ); 5020( / ); 1.10

x q

Hình 4.14 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.14

Ví dụ 4.15: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

 3 

3 1

Hình 4.15 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.15 4.2 Tính toán hệ dao động hai bậc tự do

Ví dụ 2.16: Cho hệ có phương trình dao động như sau:

Điều kiện đầu: x0 0 ;T x5 0T

Kết quả thu được:

Hình 4.16 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.16

Ví dụ 2.17: Cho hệ phương trình dao động như sau:

Điều kiện đầu: x0 0 ;T x5 0T

Kết quả thu được:

Hình 4.17 Dịch chuyển và gia tốc của VD 4.17

Ghi chú:

- Ở các ví dụ trên, kí hiệu  t có giá trị ngược dấu với gia tốc, hay  t  a t 