Về một phương pháp nâng cao chất lượng xử lý tín hiệu ứng dụng trong các hệ thống điều khiển công nghiệp

iii L I CAM ĐOAN Tôi cam đoan rằng nội dung của luận án này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi.. Những đóng góp trong luận án là kết quả nghiên cứu của tác giả đã được công bố trong cá

i

VIỆN NGHIÊN CỨU ĐIỆN TỬ, TIN HỌC, TỰ ĐỘNG HÓA

ii

VIỆN NGHIÊN CỨU ĐIỆN TỬ, TIN HỌC, TỰ ĐỘNG HÓA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS Nguyễn Thế Truyện

2 TS Phạm Văn Bình

HÀ NỘI – 2012

iii

L I CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng nội dung của luận án này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi Tất cả những tham khảo từ các nghiên cứu liên quan đều được nêu nguồn gốc một cách rõ ràng Những đóng góp trong luận án là kết quả nghiên cứu của tác giả đã được công bố trong các bài báo của tác giả ở phần sau của luận án và chưa được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào khác

T N N

Nghiên cứu sinh

Trần Th oà

có những điều ki n nghiên cứu tốt nhất đ hoàn thành luận án này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới T Nguy n Thế Truy n - i n trưởng i n nghiên cứu i n tử, Tin học, T động hoá; Thầy

đã dày công, t o mọi điều ki n và dành nhiều thời gian tâm sức hướng d n

ch bảo rất c th chi tiết cho tôi từ những bước đi đầu tiên tiếp cận con đường và phương pháp nghiên cứu khoa học, gi p cho tôi vững tin đ hoàn thành luận án này Tôi c ng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới T

h m n ình - Trưởng ộ môn ch và ử l t n hi u i học ách hoa à Nội là người Thầy rất tâm huyết đã tận tình hướng d n động viên

kh ch l dành nhiều thời gian trao đổi và đ nh hướng cho tôi trong quá trình

th c hi n luận án

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS uân Thi u iảng viên ộ môn Thuật i n tử Trường i ọc iao Thông ận Tải à Nội, PGS-TSKH Nguy n ồng ội ô tuyến đi n tử i t Nam đã nhi t tình gi p đ , s n sàng trao đổi, chia s những kiến thức kinh nghi m qu báu động viên khuyến kh ch gi p tôi thêm t tin trong quá trình làm và hoàn thi n luận án của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn an iám i u các Thầy ô giáo các b n đồng nghi p Trường i học Thái ình, các đồng nghi p trong hoa thuật và ông ngh của Trường nơi tôi công tác và gắn bó gần mười n m qua

đã nhi t tình gi p đ t o điều ki n về m t thời gian và chia s công vi c giúp tôi hoàn thành luận án

v

uối cùng tôi xin gửi tấm lòng ân tình tới đ i ia đình của tôi, người chồng thương yêu của tôi và những người thân b n bè luôn bên c nh động viên, truyền nhi t huyết đ tôi vượt qua khó kh n và hoàn thành tốt luận án này

vi

MỤC LỤC

T N

L O N iii

ƠN iv

vi

N T T N T T T ix

N N x

N N xi

Ở Ầ 1

T nh cấp thiết của luận án 1

2 M c đ ch nghiên cứu 2

3 ối tượng và ph m vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Nội dung nghiên cứu 3

ngh a khoa học và th c ti n của luận án 3

7 Kết cấu của luận án 3

Chương 1 PHƯƠN N T N N N

T N N T ON T N

N N N 5

1.1 ô hình h thống điều khi n công nghi p tổng quát 5

1.2 S tác động của nhi u vào h thống điều khi n công nghi p 7

2 ô hình nhi u và một số khái ni m 7

2.2 c t nh tần số của nhi u 8

1.3 Phương pháp khử nhi u t n hi u dùng biến đổi av l t 10

Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 13

Quan đi m nghiên cứu 13

vii

2 hử nhi u bằng phương pháp ngư ng av l t 14

3 ác công trình nghiên cứu tương t 19

1.5 Những vấn đề đ t ra của luận án 23

iến đổi av l t rời r c d ch không đổi (TIDWT) 26

T nh chất tương quan của các h số biến đổi av l t d ch không đổi 30

àm t tương quan của các h số biến đổi av l t tr c giao 30

2 số t tương quan d ch của các biến đổi av l t tr c giao 33

3 ấu tr c tương quan của T T 38

Chương 2 NGƯ N T N N N

TIDWT TRONG KH N T N 43

2 Tổng quan về luật c c ti u hoá tốc độ phát hi n l i 43

2.1.1 Giới thi u 43

2 .2 ánh giá các thủ t c 45

2 .3 ác giải thuật nghiên cứu ứng d ng xử l t n hi u của 46

2.2 Ngư ng th ch nghi av l t min 47

2.2.1 Ngư ng đều cho T 47

2.2.2 Ngư ng cho những biến đổi không tr c giao 48

2.3 ề xuất ngư ng th ch nghi min sử d ng T T 50

2.3 uật ngư ng th ch nghi min 50

2.3.2 Ngư ng th ch nghi av l t min được đề xuất 52

2.3.3 T động xác đ nh h số a trong hàm ngư ng được đề xuất 53

Chương 3 T N N Q N 59

3 c tiêu, phương pháp mô phỏng khử nhi u t n hi u 60

3.2 ô phỏng thử nghi m với các t n hi u chuẩn trong atlab 66

3.2 ô phỏng các t n hi u có N thấp Nhi u lớn) 66

3.2.2 ô phỏng các t n hi u có N cao Nhi u b ) 70

3.2.3 o sánh khử nhi u với các ngư ng bằng av l t mẹ khác 75

3.2.4 So sánh với các phương pháp khử nhi u av l t khác 77

3.3 ột số kết quả xử l t n hi u th c 80

viii

3.3 thống ứng d ng trong khai thác hầm lò của VIELINA 80

3.3.2Khử nhi u t n hi u kh mê tan hầm lò (CH4) 84

3.3.3 hử nhi u t n hi u Nhi t độ độ ẩm Nhà trồng 97

3 ánh giá ảnh hưởng của các tham số trong hàm ngư ng được đề xuất 101 N N Ị N N N ÊN T THEO 105

N T N N T 106

T T O 107

Tài li u tiếng i t 107

Tài li u tiếng nh 107

ix

DANH MỤC CÁC THUẬT NG , CÁC CH VIẾT T T

tù/sè

FMRI Functional Magnetic Resonance Imaging nh cộng hưởng từ

FPGA Field Programmable Gate Array ảng cổng có th lập trình

trường

ITIDWT Inverse Translation Invariant DWT iến đổi ngược av l t rời r c

d ch không đổi

SCADA Supervisory Control And Data

Acquisiton

Thu nhận dữ li u và điều khi n giám sát

TIWT Translation Invariant Wavelet Transform iến đổi av l t d ch không đổi

không đổi

x

DANH MỤC B NG BI U

ảng 3 – ảng so sánh kết quả khử nhi u các t n hi u có N thấp 70

ảng 3.2 – ảng so sánh kết quả khử nhi u các t n hi u có N cao 74

ảng 3.3 - ết quả mô phỏng khử nhi u 76

ảng 3 – o sánh hi u quả khử nhi u của các phương pháp khác nhau 79

(d a vào N đ t được so với N ban đầu 12.2290 dB) 79

ảng 3.5 – Dữ li u trước và sau khi khử nhi u thu được trong PTN 93

xi

DANH MỤC H NH V

ình – thống điều khi n công nghi p cấu tr c vào ra phân tán 6

ình 1.2 – c t nh phổ của các nguồn nhi u 9

ình 2.1- iải thuật t động xác đ nh h số trong hàm ngư ng

thích nghi minFDR 54

ình 2.2 - ác kết quả tìm h số a khi khử nhi u t n hi u oppl r 56

ình 2.3 - ác kết quả tìm h số a khi khử nhi u t n hi u kh êtan 57

Hình 3.1 Sơ đồ mô phỏng khử nhi u bằng ngư ng th ch nghi av l t 62

Hình 3.2 - Lưu đồ khử nhi u t n hi u bằng ngư ng th ch nghi min 65

Hình 3.3 - ác kết quả khử nhi u t n hi u oppl r 66

Hình 3.4 - ác kết quả khử nhi u t n hi u avi in 67

Hình 3.5 - ác kết quả khử nhi u t n hi u umps 68

Hình 3.6 - ác kết quả khử nhi u t n hi u locks 69

Hình 3.7 - ác kết quả khử nhi u t n hi u oppl r 71

Hình 3.8 - ác kết quả khử nhi u t n hi u avi in 72

Hình 3.9 - ác kết quả khử nhi u t n hi u umps 73

Hình 3.10 - ác kết quả khử nhi u t n hi u locks 74

Hình 3.11 - hử nhi u t n hi u oppl r với hàm av l t mẹ b8 75

Hình 3.12 - hử nhi u t n hi u oppl r với hàm av l t mẹ ym8 76

t n hi u oppl r với av l t mẹ khác nhau 76

Hình 3.13 - T n hi u khử nhi u ngư ng mềm uristic 77

Hình 3.14 - T n hi u khử nhi u ngư ng mềm 77

Hình 3.15 - T n hi u khử nhi u ngư ng inimax ngư ng cố đ nh 77

Hình 3.16 - Tín hi u khử nhi u inimax ngư ng nhiều lần 78

Hình 3.17 - T n hi u khử nhi u ngư ng cố đ nh 78

Hình 3.18 - T n hi u khử nhi u T ngư ng phương sai đều 78

Hình 3.19 - T n hi u khử nhi u ngư ng min 78

xii

Hình 3.20 - T n hi u khử nhi u ngư ng th ch nghi min 78

Hình 3.21- Sơ đồ tổng th h thống ph c v an toàn lao động

trong khai thác hầm lò do N chế t o 81

Hình 3.22 - Sơ đồ khối đầu đo kh O 83

Hình3.23 - Lưu đồ thuật toán vi c xử l số li u trong đầu đo 83

Hình 3.24 – Sơ đồ thiết b th c hi n lấy m u xử l trong TN 86

ình 3.2 – ình ảnh thiết b thử nghi m đo đ c 4 trong PTN 87

Hình 3.26 - ình ảnh v tr ch p được gắn trên m ch 88

ình 3.2 - ấy m u và khử nhi u t n hi u kh êtan có N thấp 89

ình 3.2 – ấy m u và khử nhi u t n hi u kh êtan có N cao 91

ình 3.2 - ấy m u kh từ vi xử l cộng nhi u và khử tr c tuyến 92

ình 3.3 - ấy m u kh từ vi xử l cộng nhi u và khử tr c tuyến 92

ình 3.3 – ấy m u kh từ vi xử l đã b ảnh hưởng do nhi u từ

động cơ qu t gió 96

ình 3.32– ấy m u kh từ đã b ảnh hưởng do nhi u từ máy phát tần số 97

ình 3.33 – ấy m u và khử nhi u t n hi u nhi t độ nhà trồng 99

ình 3.3 – ấy m u và khử nhi u t n hi u độ ẩm nhà trồng 100

ình 3.35- ết quả khử nhi u t n hi u oppl r đầy đủ tham số ngư ng 102

1

MỞ Đ U

1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA LUẬN ÁN

ôi trường công nghi p là môi trường làm vi c rất khắc nghi t về các điều ki n nhi t độ độ ẩm rung chuy n kh b i nổ … đ c bi t là có nhiều nguồn phát sinh nhi u nên đòi hỏi thiết b không ch đảm bảo tiêu chuẩn an toàn lao động mà còn phải đảm bảo làm vi c ổn đ nh tin cậy o đó vi c xử

l đ thu nhận được các t n hi u một cách ch nh xác trung th c là yêu cầu bức thiết đối với tất cả các thiết b đi n tử c ng như các h thống điều khi n công nghi p Như vậy nghiên cứu các phương pháp khử nhi u xử l tốt t n

hi u trong các h thống điều khi n công nghi p là vi c làm có ngh a khoa học th c ti n và cần thiết

ã có nhiều phương pháp khử nhi u được đề xuất với nhiều công c khác nhau và đều đ t được những kết quả nhất đ nh iến đổi av l t là một công c m nh được ứng d ng rộng rãi, trong đó các nhà khoa học đã đề xuất những thuật toán mới với các luật ngư ng giá tr ngư ng và hàm ngư ng mới gi p cải thi n đáng k chất lượng xử l t n hi u trong các h thống đo lường công nghi p

iến đổi av l t có th áp d ng được cho nhiều lo i t n hi u đ c bi t là các t n hi u không dừng không tuần hoàn Nhiều ứng d ng biến đổi av l t

đã có kết quả tốt hơn hẳn biến đổi ouri r như: phân t ch phổ n n t n hi u

khử nhi u … hương pháp ngư ng av l t (

người quan tâm ã có nhiều công trình nghiên cứu về phương pháp ngư ng

av l t công bố và ứng d ng c th trong các gói phần mềm c ng như phần cứng trong các thiết b đo lường và truyền t n hi u M i một nghiên cứu về

2

phương pháp ngư ng av l t đều khai thác một đ c t nh nào đó của biến đổi

av l t và nhi u giải quyết được một số yêu cầu k thuật c th

- Nghiên cứu k thuật xử l t n hi u dùng biến đổi av l t, đ c bi t sử

d ng phương pháp ngư ng av l t trên cơ sở T T đ khử nhi u t n hi u

đo lường

- Nghiên cứu tìm giá tr ngư ng av l t mới có luật ngư ng với mức nhi u ph thuộc vào t nh chất tương quan của nhi u và th ch nghi hơn với môi trường nhi u công nghi p

- Thử nghi m ứng d ng kết quả nghiên cứu đ khử nhi u trong các h thống đo lường truyền thông, h thống điều khi n công nghi p … nhằm nâng cao độ ch nh xác độ tin cậy của t n hi u đo lường trong các thiết b công nghi p

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

a) Đối tượng nghi n cứu

N í ệ ệ ố k ể ô ệ

b) Phạm i nghi n cứu

N ứ , k u cho tín

ệ ủ ệ ố SCADA ô ô ệ

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

ử d ng l thuyết xác suất, toán học giải t ch biến đổi av l t) đ xác

đ nh các tham số thống kê của nhi u phân t ch và xây d ng mô hình t n hi u

đo lường của h thống điều khi n công nghi p có tác động của nhi u đ tìm

3

kiếm các giải pháp khử nhi u hi u quả ô phỏng khử nhi u bằng phần mềm atlab đồng thời thử nghi m khử nhi u trên một số t n hi u th c tế

5 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu ứng d ng biến đổi av l t đ phân t ch t n hi u và phương pháp ngư ng av l t nhằm khử nhi u cho các t n hi u đo lường trong h thống điều khi n công nghi p

- Nghiên cứu những đ c t nh thống kê của nhi u có liên quan đến các phương pháp biến đổi av l t cần ứng d ng

- Nghiên cứu luật c c ti u hoá tốc độ phát hi n l i min đưa ra mức ngư ng và luật ngư ng mới nâng cao hi u quả khử nhi u mở rộng vùng ứng

d ng khử nhi u của phương pháp ngư ng av l t

- ác đ nh s tồn t i và các t nh chất t tương quan của các h số biến đổi av l t làm cơ sở đ xác đ nh các tham số nhi u trong giá tr ngư ng đề xuất ô phỏng chứng minh giá tr ngư ng th ch nghi dùng luật min ph thuộc phương sai hợp biến của nhi u tương quan và không tương quan

NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TI N CỦA LUẬN ÁN

iến đổi av l t là một công c m nh được ứng d ng rộng rãi trong nhiều l nh v c trên toàn thế giới trong đó phương pháp ngư ng biến đổi av l t là một vấn đề được nhiều nhà khoa học nghiên cứu phát tri n o đó kết quả nghiên cứu của luận án s góp phần làm phong ph hơn kiến thức về khử nhi u cho t n hi u đo lường nói chung và khử nhi u ứng

d ng biến đổi av l t nói riêng ề th c tế kết quả của luận án có th ứng d ng đ nâng cao chất lượng xử l t n hi u đo lường t o ra s làm vi c ổn đ nh tin cậy của các h thống điều khi n trong các môi trường công nghi p có nhiều nguồn nhi u phức t p Thuật toán xử l mức ngư ng đề xuất được nh ng vào phần mềm của vi xử l trong đầu đo s nâng cao độ tin cậy của t n hi u đo được

7 KẾT CẤU CỦA LUẬN ÁN

uận án bao gồm 3 chương với nội dung tóm tắt như sau :

4

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP KHỬ NHI U TÍN HIỆU SỬ DỤNG BIẾN Đ I WAVELET VÀ ỨNG DỤNG T ONG CÁC HỆ THỐNG ĐI U KHI N CÔNG NGHIỆP

Nghiên cứu đ c đi m tần số của các lo i nhi u trong môi trường công nghi p Xác đ nh v tr xử l nhi u trong h thống lo i nhi u, mô hình thống kê của nhi u, các quan đi m khử nhi u trên cơ sở biến đổi

av l t Từ đó đề xuất l a chọn công c xử l nhi u phù hợp với yêu cầu c

th đ t ra

Nghiên cứu ứng d ng phương pháp phân t ch t n hi u bằng biến đổi

av l t d ch không đổi (TIDWT) thông qua biến đổi av l t tr c giao (DWT) Phân tích mối liên h giữa các đ c t nh thống kê của nhi u với t nh tương quan của các h số biến đổi av l t ác đ nh các tham số nhi u qua cấu tr c tương quan của các h số biến đổi av l t

Chương 2: NGƯ NG THÍCH NGHI min D SỬ DỤNG TID T T ONG KHỬ NHI U TÍN HIỆU

Tổng quan về luật c c ti u hoá tốc độ phát hi n l i các ứng d ng và các giải thuật xử l t n hi u của luật min ây d ng ngư ng th ch nghi

av l t dùng luật min trên cơ sở T T xác đ nh ngư ng chung cho nhi u ng u nhiên không tương quan và tương quan sau biến đổi av l t

Chương 3: THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU U KHỬ NHI U

ề xuất phương pháp th c hi n Mô phỏng khử nhi u và khử nhi u t n

hi u th c tế bằng ngư ng th ch nghi av l t min nhằm ki m chứng l i l thuyết o sánh các kết quả khử nhi u đ t được với phương pháp min gốc và các phương pháp ngư ng khác

ậ : Tóm tắt kết quả ch nh của luận án những đóng góp mới

ứ ể ủ ậ

1.1 Mô hình hệ thống điều khiển công nghiệp tổng quát

Dưới đây là một mô hình điều khi n công nghi p hi n nay sử d ng bus trường th c hi n cấu tr c vào ra phân tán với các thiết b trường thông minh

hử nhi u bằng ngư ng av l t có th được t ch hợp ở các cảm biến -

s nsor) ở cấp chấp hành đảm nhận vi c xử l t n hi u trước khi truyền lên cấp điều khi n

6

ình 1.1 – thống điều khi n công nghi p cấu tr c vào ra phân tán

MT : áy t nh giám sát T : áy t nh điều khi n I/O : Input/Output S : Sensor A : Actuator

Với các t n hi u từ sau đầu đo truyền về Trung tâm có nhiều d ng khác nhau có th là d ng t n hi u số d ng tần số d ng dòng đi n… tuỳ thuộc hãng sản xuất i d ng t n hi u được truyền từ sau đầu đo về trung tâm đều có cách chống nhi u riêng v d dữ li u truyền d ng số thì được chống nhi u bằng cách mã hoá dữ li u d ng tần số thì dùng các bộ lọc…

Trong khuôn khổ của uận án tác giả tập trung x m x t xử l t n hi u

từ s nsor đưa vào đầu đo đây là t n hi u thô d ng tương t và nó ch u ảnh hưởng nhiều của nhi u nên cần có bi n pháp xử l đ chống nhi u phù hợp đ lấy ra được t n hi u mang thông tin ch nh xác về thông số cần đo gi p cho h thống làm vi c tin cậy ổn đ nh – đây ch nh là l do l a chọn đề tài T i đầu

7

đo t n hi u từ s nsor được đưa vào khuếch đ i số hóa và khử nhi u đ xử l lấy giá tr đo đưa ra hi n th và truyền về Trung tâm Như vậy nhi u được xử

l ở t i đầu đo ch là nhi u tác động vào h thống thông qua s nsor, m ch

khuếch đ i và m ch nên có th coi nhi u ở đây ch là (các

m ch khuếch đ i hi n đều sử d ng các linh ki n chất lượng tốt: có độ

ổn đ nh cao tiêu th t n ng lượng … nên khả n ng chống nhi u tốt)

1.2 S tác đ ng c a nhiễu o hệ thống điều khiển công nghiệp

Trong bất cứ h thống điều khi n công nghi p nào c ng không tránh khỏi các tác động làm sai l ch tín hi u của nhi u Vi c bảo toàn dữ li u tránh các tác động của nhi u là một trong những vấn đề quan trọng trong bất cứ một

ả ệ ố ấ â í í

ệ

1.2.1 Mô hình nhiễu m t số khái niệm

ô hình toán học của nhi u thường có 2 d ng là nhi u nhân và nhi u cộng

cần phải được thường xuyên quan tâm khử nó một cách hi u quả D

ậ , ả xem xét ô ố k ủ

ể k ô

Giải thuật khử nhi u thường bắt đầu từ mô hình tổng của t n hi u rời r c

s gồm N đi m dữ li u và nhi u  như sau:

ctơ x là t n hi u vào nhi u là v ctơ các biến ng u nhiên  và s là tín

hi u s ch N là độ dài của các v ctơ này

iả thiết nhi u có giá tr trung bình bằng  = ) ma trận hợp biến của s là [2]:

Q = E[( - E)( - E) T ] = E T

(1.2) ường ch o của ma trận là phương sai của nhi u:

i 2 = Ei 2 (1.3)Trường hợp ma trận là ma trận ch o có ij = 0 khi i  j thì nhi u được gọi là nhi u trắng không tương quan Nếu tất cả các đi m dữ li u có mật độ xác suất như nhau thì phân bố là phân bố đồng nhất phương sai s là hằng số

ình 1.2 – c t nh phổ của các nguồn nhi u

hân lo i sơ bộ các nguồn nhi u thành các lo i nhi u như sau:

- Nhi u có tần số xác đ nh như nhi u nguồn cấp z cùng các thành phần hài nhi u vùng tần số cao radio truyền hình nhi u tán x ánh sáng las r trong thiết b quang

- Nhi u dải rộng ho c nhi u trắng trải đều trên một dải tần số rộng có

th t ng lên từ nhiều nguồn nhi u pha trộn đều, k cả các dao động nhi t trong thiết b

Tần số(Hz)

T p âm bắn và t p âm nhi t

ức nhi u trắng Nhi u 1/ f

Nhi u nguồn đi n

Nhi u adio Nhi u hồ quang Nhi u truyền hình rađa

ung động cơ kh iến đổi nhi t độ

10

- Nhi u chớp ho c nhi u sinh ra bởi công ngh bán d n) là nhi u dải rộng nằm ở khu v c tần số thấp t ng khi tần số giảm Nhi u này có th quan sát được nhưng tùy thuộc vào h thống

Trong các lo i nhi u k trên nhi u có tần số cố đ nh có th khử được tri t đ bằng các phương pháp truyền thống c tiêu nghiên cứu là khử các

lo i nhi u và nhi u trắng

1.3 Phương pháp khử nhiễu tín hiệu d ng biến đổi a t

ra đời và phát tri n của các phương pháp biến đổi t n hi u luôn gắn liền với những yêu cầu cấp thiết trong xử l t n hi u, trong k thuật m ch và những vấn đề k thuật có liên quan hân t ch đánh giá ch nh xác và khử nhi u hi u quả cho các t n hi u đo lường là yêu cầu k thuật cần thiết đối với các h thống điều khi n công nghi p ác yếu tố quyết đ nh gồm: t số t n

hi u trên nhi u (SNR) thiết b đường truyền các phương pháp mã hoá và điều chế T số t n hi u trên nhi u luôn là một ch tiêu rất quan trọng nhất là đối với các h thống làm vi c trong các môi trường công nghi p Nâng cao

N nhờ các ph p khử nhi u là một trong các phương pháp th c hi n hi u quả nhất

o t nh chất khai tri n tức thời của av l t nên biến đổi av l t (WT) được ứng d ng rất rộng rãi và hi u quả trong xử l t n hi u xử l ảnh …[27]

ác t n hi u và hình ảnh đo lường th o dõi phân t ch các hi n tượng t nhiên các đ c t nh và những biến cố k thuật … nói chung là không dừng

T cho thông tin đầy đủ và ch nh xác về thời gian và tần số của t n hi u trong các trường hợp như vậy T có th nhận biết và tách ra được những

đi m bất thường trong t n hi u T còn có th sử d ng đ tách hướng t n hi u [38] d đoán thời gian liên t c của t n hi u [11] nhận d ng h phi tuyến [3], phân giải t n hi u [4] nhận d ng nhi u ng u nhiên [96] …

ó một số phương pháp biến đổi av l t chủ yếu như: biến đổi liên t c CWT [75], [97], [91] …; biến đổi rời r c T [21], [22], [70], [75], [76],

11

…; biến đổi d ch không đổi T T [23], [35], [55], [93] …; biến đổi gói T [60], [62] …

1.3.1 Biến đổi a t i n tục

T n hi u T là hàm hai biến  và s tương ứng là các tham số d ch và t

l àm khai tri n (t) gọi là av l t mẹ các hàm av l t con được sinh ra





, 1 (1.5) hai tri n av l t được th c hi n bằng cách nhân t n hi u với các hàm

av l t T th c hi n biến đổi liên t c ở mọi t l và d ch trơn trên toàn

l và các v tr đ tiến hành t nh toán ơn nữa nếu vi c t nh toán được tiến hành t i các t l và các v tr trên cơ sở lu thừa cơ số 2 thì kết quả thu được

s hi u quả và ch nh xác hơn rất nhiều Quá trình chọn các t l và các v tr

đ t nh toán như trên t o thành lưới nh nguyên dyadic) ột phân t ch như trên hoàn toàn có th th c hi n được nhờ biến đổi av l t rời r c T) o

đó vi c t nh toán biến đổi T th c chất là s rời r c hoá biến đổi av l t liên t c T); vi c rời r c hoá T sử d ng các hàm cơ sở tr c giao [20], [40][41]:

φ(x) 2 h φ(2x k)

Z k

kφ(2x k)g

T được th c hi n bằng các bộ lọc thông thấp h, thông cao g, tách

dải tần số ở các vùng tần số thấp th o từng mức phân giải kết hợp phân chia khi biến đổi thuận nội suy khi biến đổi ngược [22], [68], [75] …

ác hàm av l t trong T là hàm rời r c th o thời gian dãn th o số

nguyên không âm và d ch rời r c Q ậ ợ ủ

DW DW ,

k ô d , ứ í ỏ

1.3.3 Các oại biến đổi a t khác

- T có biến đổi thuận và ngược th o các hàm av l t là các cơ sở

tr c giao riêng gọi là T lư ng tr c giao thuộc lo i biến đổi không tr c giao

- iến đổi av l t d ch không đổi T T gồm hai lo i: biến đổi liên t c

T T và biến đổi rời r c T T

iến đổi av l t d ch không đổi rời r c T T là T d ch vòng ho c không phân chia sử d ng các hàm cơ sở [19], [20], [36], [65] :

k)) (x φ(2 2 (x)

k

T T không tr c giao có dư

- iến đổi gói av l t T th c hi n bằng các bộ lọc thông thấp h, thông cao g như T nhưng tách dải tần số ở cả vùng tần số thấp và tần số

cao [60] T c ng có th sử d ng phân chia ho c không phân chia trong trường hợp biến đổi gói av l t d ch không đổi [33]

13

Th c tế T bi u di n t n hi u thưa thông qua các h số avelet Do bước phân chia sau m i lần lọc mà một phần các h số av l t b mất đi ơn nữa các h số av l t còn ph thuộc nhiều vào v tr lấy m u ph trong lưới lấy m u nên ch cần d ch nhỏ trên t n hi u có th gây ra những thay đổi lớn các h số av l t làm thay đổi phân bố n ng lượng ở những t l khác nhau iều này làm cho d ng của t n hi u tái t o b thay đổi sinh ra những dao động giả t o T T khắc ph c được nhược đi m này Trong một số ứng d ng c

th có th kết hợp sử d ng cả T và T T th o từng mức phân giải [26]

hử nhi u t n hi u cho các thiết b và các h thống đi n tử với m c đ ch

là khôi ph c các t n hi u gốc một cách trung th c từ các dữ li u có nhi u ấn

đề luôn đ t ra đối với các phương pháp khử nhi u là lo i bỏ nhi u tốt nhưng

v n phải bảo toàn được t n hi u P IDW â í í ệ

k ô â ấ í ệ DW ứ

í ấ CW T T s được chọn làm cơ sở toán học cho

nghiên cứu ứng d ng của luận án

1.4 Tình hình nghi n cứu trong ngo i nước

1.4.1 uan điểm nghi n cứu

uận án chủ yếu tập trung vào khai thác các đ c t nh lọc truyền thống

th o phương pháp biến đổi av l t ột số nghiên cứu d a vào các đ c t nh thống kê của các biến ng u nhiên x t t n hi u và nhi u như các quá trình

ng u nhiên qua các đ c t nh thống kê hương pháp khử nhi u phi tuyến trên

cơ sở các av l t c ng đã được nghiên cứu và ứng d ng rất nhiều nhất là khi

xử l các t n hi u nhỏ trong các môi trường nhi u phức t p Nhiều nghiên cứu

đã sử d ng và xây d ng nên các quy luật t n hi u và nhi u mang t nh tổng quát và đ c thù sau đó áp d ng giải thuật ngư ng đ h n chế các thành phần

nhi u ậ ẽ â ể ệ k

í ệ âm

* Phương pháp ngưỡng wavelet

14

hương pháp ngư ng av l t th c hi n qua ba bước ch nh sau đây:

- ước một là biến đổi thuận hay còn gọi là phân t ch) av l t đ có được các h số biến đổi av l t

- ước hai là xác đ nh giá tr ngư ng và sử d ng hàm ngư ng đ lược bỏ các h số nhi u

- ước ba là biến đổi ngược hay còn gọi là tổng hợp) av l t đ khôi

ph c t n hi u

ả ba bước đều quan trọng trong quá trình xử l t n hi u Tính chính

ậ â í , í ệ ũ ệ ả k

ụ ấ

Ngoài ra còn có những hướng nghiên cứu khác như [39] khử nhi u

av l t sử d ng cây arkov ẩn mô hình hoá s ph thuộc các h số av l t liền kề bằng cây arkov ẩn và sai số trung bình bình phương c c ti u cho ước lượng n n nhi u ác phương pháp ngư ng còn hội t về mô hình thống

kê của các h số av l t đối với một lớp t n hi u nào đó đ chọn giá tr ngư ng [10]

hần lớn các công trình nghiên cứu l thuyết c ng như th c nghi m và các ứng d ng th c tế đều tập trung khai thác và phát tri n phương pháp ngư ng av l t onoho và Johnston đã chứng minh một số l thuyết quan trọng về phương pháp ngư ng av l t trong [45], [46], [47], [48], [49], và chứng tỏ được rằng: phương pháp ngư ng av l t tối ưu trong vi c giảm

thi u l i tốc độ xử l nhanh D ậ é ệ d

ể k í ệ

1.4.2 Khử nhiễu bằng phương pháp ngưỡng a t

* Biến đổi wavelet của tín hiệu có nhiễu

o t nh tuyến t nh của biến đổi av l t mà khai tri n av l t của t n

hi u .1) như sau:

15

w = v + ; w = Wx; v = Ws; = W (1.9) trong đó là ma trận biến đổi thuận av l t

dàng thấy rằng ma trận hợp biến của nhi u:

S = E T = WQW T (1.10) Nếu là tr c giao và Q th o .4) thì S = 2 iều này có ngh a là:

B ủ ắ ũ ắ

hai tri n av l t cho các h số nhỏ mang thông tin về nhi u và các h

số có giá tr tuy t đối lớn l i mang thông tin của t n hi u nhiều hơn [45], [48] … nên có th sử d ng thuật ngư ng đ h n chế các h số mang nhi u tái

t o được t n hi u gốc bằng biến đổi ngược av l t

* Phương pháp khử nhiễu bằng ngưỡng wavelet

ước đầu tiên trong khử nhi u là chọn av l t cho biến đổi thuận và ngược theo các thuộc t nh cơ bản sau:

- Tốc độ hội t về của các hàm wavelet và hàm t l  khi thời gian t và tần số  không xác đ nh ngh a là xác đ nh được số lượng các v tr của cả thời gian và tần số

- Tính đối xứng: tránh méo pha trong xử l hình ảnh

- ố các đi m tri t tiêu của hàm av l t và hàm t l  nếu nó tồn t i): Dùng cho các m c đ ch n n

- Tính đều đ n: t được các yếu tố đ c trưng của đối tượng, như tính trơn trong các t n hi u ho c của hình ảnh tái t o và cho các hàm ước lượng trong phân t ch hồi quy phi tuyến

- hả n ng biến đổi liên t c rời r c và cho ph p th c hi n thuật toán nhanh

Tu vào m c đ ch ứng d ng đ l a chọn av l t phù hợp Trong k thuật khử nhi u t n hi u vi c chọn av l t mẹ d a vào mức độ tương quan giữa các biến ng u nhiên được đề cập ở m c luận án)

16

au khi biến đổi thuận av l t đ có được các h số th c hi n giải

thuật ngư ng đ có được các giá tr ước lượng wˆ :

)ˆ/(ˆ

ˆ  w 

ho c: wˆ (w), (1.12) trong đó  là giá tr ngư ng  ) là hàm ngư ng và ˆ là ước lượng của

độ l ch chuẩn  nhi u ác bi n pháp khử nhi u khác nhau ở vi c chọn (.),

ˆ và  àm ngư ng s quyết đ nh vi c áp d ng ngư ng đối với t n hi u như thế nào ước lượng nhi u quyết đ nh mức nhi u và giá tr ngư ng được xác

Ngư ng Trimm d c ng là s kết hợp giữa 2 ngư ng cứng và mềm độ cong

d ng t n hi u thu được nhỏ hơn so với ngư ng nửa mềm

Ước lượng nhiễu

Ước lượng nhi u xác đ nh mức nhi u trong hàm ngư ng ức nhi u trong hàm ngư ng thường được xác đ nh th o đ c t nh phân bố của nhi u [17] Trong nhiều đề tài nghiên cứu trước đây nhi u thường được ước lượng

từ dữ li u quan sát Trong một số ứng d ng c th thì  có th được chọn th o kinh nghi m th c tế

Luật ngưỡng

uật ngư ng đ xác đ nh các giá tr ngư ng  iá tr ngư ng ph thuộc vào dữ li u phân t ch vào mức phân giải và cả hàm ngư ng uật ngư ng được xây d ng trong điều ki n quy chuẩn  =1

 Luật ngưỡng đều

17

uật ngư ng đều là ngư ng toàn c c Nhi u có phân bố chuẩn giá tr trung bình bằng không phương sai bằng một iá tr ngư ng:

 2logN , (1.13)

N là độ dài t n hi u Ước lượng áp d ng công thức (1.11)

Ngư ng đều lo i bỏ các h số nhi u đồng thời c ng làm mất đi một số h

số t n hi u gốc nên đã vi ph m luật lôgarit trong đánh giá l i trung bình bình phương ết quả ước lượng t n hi u l i b thiên l ch nhiều hàm ước lượng có những biến đổi đáng k o i ngư ng này thường được dùng đ khử nhi u trắng auss

 Luật đỉnh

uật ngư ng toàn c c độc lập với hàm ngư ng

Cho p là t số các h số lớn nhất được giữ ngư ng  là tập số thứ -p của phân bố th c nghi m các giá tr tuy t đối của các h số av l t

Ước lượng được áp d ng th o công thức (1.12)

iá tr ngư ng được t o ra bằng cách xác đ nh tham số p cho ngư ng

c c bộ và ngư ng cho các mức đa phân dải ph thuộc mức và ph thuộc b ng con Nhược đi m của phương pháp là cần phải điều ch nh tham số p đ th ch nghi với dữ li u o i ngư ng này thường được sử d ng đ khử các lo i nhi u trắng auss nhi u đốm

 Luật SU E

ác giá tr ngư ng được t o ra bằng cách c c ti u hoá ước lượng sai số không thiên l ch tùy thuộc hàm ngư ng và mức đa phân giải Ngư ng được xác đ nh th o mức phân giải l ho c th o các b ng con trong t n hi u 2 chiều:

) , ( min

18

hương pháp này khắc ph c được nhược đi m của ngư ng đều nhưng l i

bỏ qua các l i trong ước lượng độ l ch chuẩn của nhi u ước lượng không thiên l ch) o i ngư ng này thường được sử d ng đ khử các lo i nhi u trắng auss nhi u đốm nhi u muối và h t tiêu nhi u oisson

 là phương sai của dữ li u có nhi u Nl là số các

h số av l t n ở mức phân giải l hi ˆ2 ˆx2 thì ngư ng l = max(wn) và tất cả các h số ở mức l s bằng không Ước lượng th o công thức 1.12)

uật inimax th c hi n th o giá tr c c đ i ay s

Ngư ng ph thuộc phương sai t n hi u ở các mức phân giải khác nhau phương sai nhi u không đổi nên tác d ng khử nhi u ch làm trơn t n hi u nhưng hi u quả khử nhi u v n thấp o i ngư ng này c ng thường được sử

d ng đ khử các lo i nhi u trắng auss nhi u đốm nhi u muối và h t tiêu nhi u oisson

 Luật c c tiểu hoá tốc đ phát hiện ỗi

uật c c ti u hoá tốc độ phát hi n l i xác đ nh ngư ng toàn c c

uật này giữ giá tr kỳ vọng của t số các h số chứa các l i trong tái t o dưới một t số q cho trước

ho N h số av l t wn trước hết t nh các giá tr p:

19

)]

ˆ/(1[

p n   (1.17) trong đó  ) là hàm phân bố t ch lu của phân bố chuẩn và ˆ là ước lượng độ l ch chuẩn của nhi u au đó phân cấp các giá tr pn:

) (

) 2 ( ) 1

p    (1.18) bắt đầu với n = ho ch số m lớn hơn n đ :

q N

n n

p( ) (1.19) ngư ng được xác đ nh như sau:



 (1.20) Ước lượng được t nh th o công thức 1.12) uật ngư ng này được sử

d ng đ khử các lo i nhi u: Gauss nhi u đốm nhi u muối và h t tiêu nhi u Poisson

hử nhi u càng tối ưu nếu các tham số càng th ch ứng với các lo i

nhi u N ậ , , ữ ố ản

â ậ , ứ

ố ố í ứ

1.4.3 Các công trình nghi n cứu tương t

hương pháp khử nhi u bằng ngư ng av l t được ứng d ng sớm nhất

và được tri n khai rộng rãi trong nhiều l nh v c

- D.L Donoho và I.M Johnstone [45], [48], [49] đã sử d ng T đ biến đổi các t n hi u có nhi u ước lượng t n hi u có ch trên nền nhi u trắng auss th o luật ngư ng đều gọi là isushrink Ưu đi m của phương pháp là không ph thuộc vào vi c chọn av l t ho c mức phân giải trong cây av l t

mà ch ph thuộc vào k ch thước m u dữ li u đã cho ột nhược đi m của phương pháp là các h số biến đổi không phải là các đương lượng d ch vòng

20

nên khi d ch vòng chuẩn thời gian bằng một lượng nào đó s không d ch vòng các h số T bằng đ ng lượng đó iều này làm giảm đáng k chất lượng khử nhi u

hắc ph c nhược đi m này onoho và oi man n m đã đề xuất

k thuật xoắn vòng [36] và sau đó là ang [65] sử d ng T T tưởng khử nhi u qua d ch xoắn vòng là áp d ng khử nhi u đều đối với tất cả các phiên bản d ch vòng có th của t n hi u và lấy trung bình kết quả ác kết quả của phương pháp này đã khôi ph c được t n hi u gốc trơn hơn giảm được những dao động giả t o sinh ra trong quá trình biến đổi [43], [50], [51], [55], [66], Những vấn đề l thuyết và ứng d ng th o hướng này v n đang được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm phát tri n [32]

hương pháp isushrink [45], [57], [87], [88] … d th c hi n d th ch ứng th o các giai đo n t n hi u với xác suất cao và có th tái t o t n hi u gốc tương đối trơn Nhưng phương pháp ch th c hi n với một bậc cân bằng giữa những phân bố vi sai và thiên l ch trong khi bình phương thiên l ch l i có bậc cao hơn biên độ vi sai o ngư ng đều lo i bỏ các h số nhi u đồng thời

c ng làm mất đi một số h số t n hi u gốc nên đã vi ph m luật lôgarit trong đánh giá l i trung bình bình phương ết quả ước lượng t n hi u l i b thiên

l ch nhiều hàm ước lượng có những biến đổi đáng k

- hương pháp inimax [59], [61], [79] … th o tiêu chuẩn minimax, khử nhi u bằng ngư ng có độ l ch chuẩn ph thuộc mức phân giải hương pháp này đã khắc ph c được một số nhược đi m của isushrink nhưng do ngư ng thiết kế không liên t c nên t nh trơn của t n hi u hồi ph c còn h n chế

- hương pháp lockshrink [30], [56], [86] th c hi n ngư ng th o các khối có độ th ch ứng cao về không gian các ước lượng th c hi n tối ưu trong các giai đo n biến đổi của nhiều các lớp hàm trơn không đều Blockshrink được ai [28] n m ai [29] n m all [56] n m và ai [30]

- hương pháp khử nhi u bằng ước lượng độ dài mô tả c c ti u [34], [37], [39], [62], [63], [99] … th c hi n qua các họ cơ sở tr c giao cấu tr c bằng các gói av l t ho c các cơ sở cosin c c bộ họn cơ sở tốt nhất d a vào tiêu chuẩn l i tái t o t n hi u là c c ti u ết quả được đánh giá bằng giá

tr sai số trung bình bình phương ột số nghiên cứu sử d ng phương pháp biến đổi gói av l t sau đó kết hợp đ c t nh thống kê và giải thuật ngư ng

th c hi n khử nhi u bằng cách chọn cây bi u di n các gói av l t tối ưu có giá thông tin thấp nhất [34], [37], [46] … hương pháp có độ phức t p t nh toán cao tốc độ xử l thấp

- ử d ng mô hình tuyến t nh hoá từng phần phương pháp hồi quy không tham số Trên cơ sở T và giải thuật ngư ng [31] có th khắc ph c được t nh quá trơn của giải thuật ngư ng thông thường nhưng do sử d ng

T nên v n b mất mát một số chi tiết t n hi u gốc sau khi tái t o

22

- ết hợp thuật ngư ng và lượng tử hoá [8], [54], [55], lược bỏ các h số

th o mức ngư ng 2 logN  với  là bước lượng tử i u quả khử nhi u cao hơn ngư ng đều nhưng l i ph thuộc vào bước lượng tử và giải thuật khá phức t p bao gồm cả biến đổi t n hi u và mã hoá ntropi

- hử nhi u qua bi u di n c c đ i av l t [1], [69] giữ được các giá tr biên rìa và các giá tr c c đ i t n hi u nhưng v n trên cơ sở ngư ng đều toàn

c c hi u quả khử nhi u chưa cao

ác nghiên cứu khác: ứng d ng phương pháp ngư ng đều [9], [67], [98]; ngư ng ph thuộc mức phân giải [14]; phương pháp ước lượng độ dài mô tả

c c ti u [16]; phương pháp thống kê [7]; kết hợp phương pháp ngư ng và thống kê khử nhi u không auss [12], [13], [15]; khử nhi u qua phân t ch phổ [24]; khử nhi u ngư ng kết hợp dấu hi u nhận d ng nhi u [25]; khử nhi u bằng lọc phi tuyến av l t [97],

Những ứng d ng th c tế áp d ng trong nhiều l nh v c như: khử nhi u cho h thống đo lường nhiều kênh, ứng d ng khử nhi u th ch ứng nhanh cho các môi trường không dừng như khử nhi u phổ âm thanh, ứng d ng khử nhi u gói av l t trong phân t ch phổ thiên v n ứng d ng khử nhi u và t ng tương phản cho ảnh cộng hưởng từ, khử nhi u t n hi u đi n tim, đi n não, khử nhi u thiết b đo trọng l c bằng ngư ng cứng, tách l i cơ kh , khử nhi u t n

hi u siêu âm Doppler, sử d ng ph p biến đổi av l t rời r c tr c giao và ngư ng mềm phi tuyến đối với các h số av l t chi tiết với mức ngư ng

) log(

Nhìn chung các đề tài nghiên cứu khử nhi u bằng phương pháp ngư ng

đã có những thay đổi xung quanh giá tr ngư ng ho c hàm ngư ng th o các quan đi m khác nhau bổ sung cho những l thuyết khử nhi u mới ho c cho

23

những ứng d ng th c tế c th Trong một số trường hợp ứng d ng c th tham số phương sai được chọn th o giá tr th c nghi m chưa có được phương pháp t nh tổng quát iá tr ngư ng đã mềm d o hơn bằng cách phân khối

ho c th o mức phân giải nhưng v n chưa sát với các đ c t nh của nhi u

ức độ tương quan giữa các biến ng u nhiên x và y là các tập rời r c các

m u: x = {x1 … xn} và y = {y1 … yn} có th được đánh giá qua h số tương quan tuyến t nh r [13]:

x

y y x x r

2

2 ( ))

(

))(

y là các giá tr trung bình m u tương ứng của x và y

Trong trường hợp tổng quát khi giá tr trung bình của tập x khác không

thì có th t nh tập mới x - xˆ với xˆ là trung bình m u của x i giá tr xi

được thay bằng ui Tương t đối với tập y, m i giá tr yi thay bằng vi iến

mới s=uv trong đó tập s ={u1v1 … unvn} có trung bình m u là h số tương quan dấu:

(

k m

n n n

24

trong đó n là số m u ử d ng phương pháp xấp x tirling có th viết:

k m

n n



)1(2),

) , (

T n hi u tổng hợp .1) với giả thiết không có tương quan giữa t n hi u

có ích s và nhi u tương quan ch o có giá tr trung bình:

).()

Như vậy nhi u có th làm thay đổi giá tr trung bình của tương quan

ch o ức độ ảnh hưởng của nhi u được phản ánh trong phương sai

Tập dữ li u  có th được coi như chu i th o thời gian t o ra từ quá trình ng u nhiên(t) Tương quan giữa các m u của  được mô tả qua hàm

t tương quan a ) của quá trình (t) Hàm a() ph thuộc vào các quá trình tương quan giữa các tập dữ li u

Trường hợp  t) là nhi u trắng các m u  đều không tương quan với giá tr  bất kỳ  > 0) Khi T= t (Tlà t l thời gian tương quan) với t là khoảng thời gian lấy m u thì a  > ) = Nhi u này gọi là nhi u không tương quan ác quá trình tương quan có th có các t l thời gian tương quan khác nhau

Như vậy đối với nhi u không tương quan hàm t tương quan thoả mãn:

a(0) = 1, a( > 0) = 0 (1.27)

ới nhi u tương quan mọi m u của mà có   T đều không tương quan:

Nhi u là tương quan thì tương quan giữa các h số j được bi u di n

bằng ma trận hợp biến M k ch thước m x n:

( ),( )

),

ác thành phần của M được xác đ nh từ các hàm t tương quan của

nhi u hi j là phân bố chuẩn thì tương quan tổng cộng  c ng là phân bố chuẩn có phương sai:

n

M m

1 1

c

2

1   (1.32)

1.6 Biến đổi a t rời rạc d ch không đổi (TIDWT)

T phân t ch v ctơ xRN thông qua ph p biến đổi hình chóp cho ma trận vuông tr c giao N x N biến đổi ngược cho ma trận T iải thuật hình chóp bao gồm cả lấy m u xuống ở từng t l

27

ột đi m bất lợi của biến đổi av l t tr c giao kinh đi n là không d ch

bất biến Nếu t nh tất cả các bản d ch của biến đổi tr c giao và lấy trung bình

các d ch thì kết quả là một biến đổi không tr c giao chứa thông tin dư

Thông tin dư trong kết quả th hi n qua các giá tr chiếu dư t n hi u h

d ch đi h [4 ] được đ nh ngh a như sau [19]:

Q S [f]

Q

[f]dh S

P S [f]

P

h

j h j

j R

h

j h j

j R

j j

f(x) [f](y)

Q

(x-y))dx Φ(

f(x) [f](y)

P

j -

j j

R

j -

j j

R

22

22

(1.34)

trong đó  (.)và  (.) là các hàm t tương quan của  và 

Trong đó các giá tr chiếu P R j [f] và Q R j [f] là d ch không đổi ngh a là

δ)](y) [f(

Q

δ) [f](y P

δ)](y) [f(

P

j R

j R

j R

j R

(1.35) Hàm f  L2 ) được bi u di n như sau:

f P [f] Q [f]

j m

m R

Khi khai tri n av l t tr c giao hàm được xác đ nh từ các giá tr chiếu

P j f và Q m f lên các không gian con tr c giao:

m j

f Q f

P

f (1.37)

Từ bi u thức .3 ) và .3 ) đồng thời ckn r và O.Wells [ ] [2 ]

đã chứng minh được rằng T có sai số giữa hàm f với giá tr chiếu dư lớn

hơn so với sai số trong biến đổi liên t c d ch không đổi T T và T T

T T không th c hi n lấy m u xuống ở m i t l mà t nh toán tất cả các h số d ch vì vậy giữ l i tất cả các h số av l t và các h số t l ở các t

l thô [19]

) , , ( 1( ) ( )

)

N j

j

c c

2 )

(

1

l j l k Z l l

(

1

l j l k Z l l

T L

T

L ( R , , R , S )

Như vậy ma trận L không phải là ma trận tr c giao như khai tri n

av l t rời r c thông thường nữa

Th o l thuyết ma trận [80] tồn t i ma trận đảo oor -Penrose:

W L t ( W L T W L )1W L T (1.41) thoả mãn: W L t W L  I

WL gồm tất cả các d ch của ma trận h số biến đổi av l t rời r c nên

d ng hi n của ma trận t

L

W s là: