Đề tài Một số hàm đặt biệt và ứng dụng trong vật lý

Một trong những kiến thức quan trọng của Toán cho vật lý là các hàm đặc biệt, gồm các hàm như: hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm cầu, hàm siêu bội, hàm Mawtheu...Bằng các phương pháp gi

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HOC CAN THO Ee

Trinh Thi Ngoc Gia

Trang 2

= \ 0°

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Trần Minh Quý đã hướng dẫn tận tình giúp tôi hoàn thành

tốt luận văn đúng thời hạn

Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Thúy Hằng và cô

Trịnh Thị Ngọc Gia đã đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được

hoàn chỉnh

Đồng thời cũng rất biết ơn thầy cô trong bộ môn Sư

Phạm Vật lý và thư viện khoa Sư Phạm đã tạo mọi điều kiện

thuận lợi cho tôi trong lúc thực hiện dé tai nay

Mặc dù có nhiều cô gắng nhưng bài luận văn của tôi van

không tránh khỏi những sai sót, mong được sự chỉ dẫn thêm

của thầy cô và sự góp ý của các bạn để luận văn được hoàn

thiện hơn

Kính chúc thầy cô và các bạn sức khỏe và thành đạt

Cần Thơ, ngày 4 thang 5 nim 2011

Sinh viên

Đỗ Minh Xuân

Trang 3

và từ đó rút ra các thông số cần thiết cho khoa học, kỹ thuật Chính vì vậy, việc nghiên

cứu Vật lý lý thuyết luôn giữ vai trò quan trọng Trong đó môn Toán cho Vật lý là môn cơ sở, là chìa khóa mở cánh cửa vào lĩnh vực Vật lý lý thuyết

Một trong những kiến thức quan trọng của Toán cho vật lý là các hàm đặc biệt, gồm các hàm như: hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm cầu, hàm siêu bội, hàm

Mawtheu Bằng các phương pháp giải khác nhau như phương pháp tách bién Fourier, phương pháp chuỗi lũy thừa, bằng các hệ thức truy toán và hàm sinh mà ta có thể biểu diễn các hàm đặc biệt từ dạng này sang dạng khác

Các hàm đặc biệt thường được sử dụng để giải các bài toán về sự rung động, sự truyền nhiệt, sự dẫn điện, bài toán Dirichlet trong quả cầu

Chính vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: “ Äộr số hàm đặc biệt và ứng dụng

trong vat lf” dé có cơ hội tìm hiểu kỹ hơn về những đặc điểm, tính chất của các loại hàm và ứng dụng của chúng trong vật lý

IH Mục đích của đề tài

- _ Tìm hiểu cách thiết lập các phương trình Bessel, Legendre, hàm cầu

- Tim hiểu tính chất của các hàm trên

- _ Nghiên cứu một số ứng dụng của chúng trong Vật lý

HI Các phương pháp thực hiện đề tài

Nghiên cứu tài liệu có liên quan kết hợp với sự chỉ bảo của Giáo viên hướng dẫn

Trang 4

Tìm hiểu các tài liệu, để tài có liên quan

Lập đề cương chỉ tiết thông qua giáo viên hướng dẫn

Viết nội dung, tiếp thu ý kiến và chỉnh sửa

Viết tóm tắt đề tài

Báo cáo, hoàn chỉnh luận văn.

Trang 5

MỤC LỤC

WC BR

CHUONG I HAM BESSEL 0.0 essecssssesssssssseessseesssessneessscesnecesscesncesscesuecsseeesneesuneessecesess 1 1.1 Phuong trinh Bessel

1.1.1 Thiết lập phương trinh Bessel

1.1.2 Phuong trình Bessel có tham sỐ -2- 2 ©£+2+++E£EE£2EE£EEEtEESEEtrEerrkerree 3 cu: na 4 1.2.1Ham Bessel loai I

1.2.2 Ham Bessel loai II

1.3 Một vài tính chất của hàm Bessel

1.3.2 Tính chất trực giao cua ham Bessel

1.3.3 Ham Bessel hang ban nguyén

1.4 Mot vai tng dung

1.4.1 Sự rung của mảng fTÒI - ¿tk kh HH TH TT nh HH Hà rệt 17

1.4.2 Truyền nhiệt trong thanh hình trụ dài vô hạn - ¿- «55c *+£+vcsersx 24

CHƯƠNG II HÀM LEGENDRE

2.1 Đa thức Legendre

2.1.1 Thiết lập phương trình Legendre - 2-2 52 £++£E+£+EE+£EE+EEt2EErzrxrrxerrk 27 2.1.2 Nghiệm của phương trình Legenidre - -¿- ¿2c 6+ +t£+E£vEe+exsexseesresxes 29 2.1.3 Đa thức Legendre liên đới

2.2 Một vài tính chất của đa thức Legendre

2.2.1 Tính trực giao của đa thức Leg€nndie óc tt SE rieriee 33

2.2.2 Hàm sinh của P,(x) .c: 25: 21222222 22122111111111111111111121111111 1e 36

2.3.1 Bài toán Dirichlet trong quả CẦU 0c c1 H21 1211211211211 1 1 1 tre 37 2.3.2 Phương trinh Schrodinger cho nguyén tir Hydro và cac ion déng dang Hydro 38

9:00/9)1€0)08-7.9 09100057 44

3.1 Thiết lập phương trình hàm cầUu - ¿- 2 + ©2££+E£EEt2EE£EEESEE2EE21227122Excrrrrrk 44

3.2 Tính chất trực giao của hàm cầu 2 + ©2k++E£EEt2EEEEEE2E121121171.21x 2 xe 46 3.3 Ứng dụng - c2 k 2E92112E12112111211211T11 T1 T11 111 11110221111 1errre 48

3.3.1 Cho hình cầu bán kính a đặt vào tâm hình cầu một hệ toạ độ cầu z,Ø,ø , xét

hai bài toán DirIChÍ€(: 6 cà kề 1S TH HT HT HH HT HH Hit 48 3.3.2 Dao động riêng của hình CẦU 0c HH2 1211211211211 211011 1 1n te ec 49

Trang 6

NOI DUNG

CHUONG I HAM BESSEL

1.1 Phương trình Bessel

1.1.1 Thiết lập phương trình Bessel

Xét dao động của một màng tròn Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q trên mặt phẳng x, y có tâm ở gốc toạ độ Nếu ta dùng toạ độ cực thì phương trình đường tròn biên của màng là r = g

Độ lệch của một điểm của màng u là hàm z,ø,/ :

x7” rở\ ô} rˆ\ôp?

Do đó phương trình dao động tự do của màng trong toạ độ cực có dạng

» af 1 at ") 1 (ô”w u„y—đ |=—|r—|*:|= =0

rar ôn} r’\ao

Trang 8

Chia hai về cho v? ta được:

Phương trình (1.6) được gọi là phương trình Bessel No 1a một phương trình vi

phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổi Nghiệm của nó được gọi là ham Bessel

Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các

miễn hình trụ, vì vậy nó còn có tên gọi là HÀM TRỤ

1.1.2 Phương trình Bessel có tham số

Giả sử hàm y(x) là một nghiệm nào đó của phương trình

2

Một số hàm đặc biệt và ứng dụng trong Vật lý Trang 3

Trang 9

GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân

Vậy nếu hàm y(x) là nghiệm của phương trình (1.6) thì hàm y=y(%) là nghiệm của phương trình:

xìy +xy +|A'x? -k?Ìy =0

Và phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel có tham số Â

1.2 Hàm Bessel

1.2.1 Hàm Bessel loại I

Ta tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel

xy txy + (22x? "` =0

Ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng chuỗi luỹ thừa

yes + = < ( )X ân + Sau ma )

= Yolp - 1)a„ x22 + 2p Sa, manh? + Y aymÍm _ y2

m=0 m=1 m=2

Thay (1.10), (1.11), (1.12) vao (1.9) ta duge:

p(p— a,x" + 2p Sa, mx" P + Ya, m(m -I)x”°

Trang 10

Chon ap co dang a, = Tes 1)

Trong đó F(&) là hàm Gama xác định đối với mọi gia tri k co dang

Ta có thể viết (# + 1)(& + 2) (k + m)F(Œ +1) =Tữn +&+1)

Do đó biểu thức (1.17) được viết

Một số hàm đặc biệt và ứng dụng trong Vật lý Trang Š

Trang 11

GVHD: Th.S Trén Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân

Nghiệm này được gọi là ham Bessel loai 1 hang k

Néu thay & = 0 ta được ham Bessel loai | hang 0

Jey = Yo" mIT{m +1) m=0

Néu thay k = /, ta dugc ham Bessel loai 1 hang 1

Trang 12

* Chon p =-k ta có thé tìm nghiệm riêng thứ 2 của phương trình Bessel

Vì phương trình Bessel chỉ chứa #ˆ nên nó không thay đổi khi & = -& Do đó trong biểu thức (1.18) thay & = - k ta nhận được nghiệm thứ 2 của phương trình Bessel là:

V(x) = CJ, (x) + CJ_, (x)

* Nếu k là một số nguyên dương ø thì ham J;(x) va J;(x) 1a phụ thuộc tuyến

tính Thật vậy, khi & = øò thì với m = 0, 1, 2, n-1 đại lượng (m-k+7) nhận các giá trị nguyên âm hay bằng 0 Đối với các giá trị này T(w—&+1)=œ Điều này được

ro =O ~~

suy ra từ công thức: r k+l

T(-k)= TC#+D ; ) Lx Như vậy, ø hạng tử đầu tién khai trién J,(x) = 0 Do đó

Vậy nếu k là số nguyên dương ø thì nghiệm I,(x) và J.,(x) là phụ thuộc tuyến tính

1.2.2 Ham Bessel loại II

Do khi k là số nguyên đương thì J¿(x) và Jz() là phụ thuộc tuyến tính Vì vậy

ta xây dựng một nghiệm tổng quát của phương trình:

Trang 13

xy +xy +|A?x' ~k?)y =0 (1.20) được dùng cho mọi giá trị k

Nghiệm đó có thế được dùng như sau:

Y,(x) = lim, (x) = lim J,09.cosdz)— J.,(x)

kon kon sin(kZ)

Quy tac L’Hospital cho ta

Trang 14

Ÿ; (x)

D6 thi ham Bessel loai II

1.3 Một vài tinh chat cia ham Bessel

1.3.1 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel

Ham Bessel loai I J,(x) c6 tinh chất truy hồi sau:

Trang 15

Trang 16

Công thức (1.24) đã được chứng minh

1.3.2 Tính chất trực giao của hàm Bessel

Giả sử ,H;,;, „ là các nghiệm dương của phương trình J¿(x) = 0 Trong

giao trên đoạn [0,Z] Hay nói cách khác, cac ham J, C *) lập thành một họ trực giao

với trọng số x trên đoạn |0,/]

Trang 17

Bay gid ta lay phuong trinh (1.29) nhan vi J;(p2x) và phương trình (1.30) nhân với

Jp 1x) rồi trừ hai về phương trình cho nhau, ta thu được:

= ara (+) Xa: (ma)

Lấy tích phân từ 0 —› " phương trình trên ta được:

Trang 18

Do = *, trong do y,,u, 1a hai nghiém duong khac nhau của phương trình J„(x) = 0

Giả sử p =+ với là nghiệm dương của phương trình jJ;(x) = 0

Trong phương trình (1.31) thay p; =p cho p; -> p và xem p; là biến số ta có

Khi p, > p vé phải có đạng bất định 5 Áp dụng quy tắc LHopital ta có:

lim Epd, (Pal )Js (Ph)

Trang 19

Xét phương trình x”y +xy' se -[*+ ib =0 Đây là phương trình Bessel

hạng [« + 5); tức là phương trình Bessel hạng bán nguyên Nó còn có nghiệm riêng là hàm Bessel hạng bán nguyên

Trang 20

Nghiệm này có thể được biểu diễn bởi một hàm sơ cấp có dạng

J.,0)= ` cos(x) + N(x)sin(x)] với M(x), N(x) la cdc da thite cia +

Trang 21

Trang 22

Điều kiện biên ¿(a,ø,:) = 0

Bài tốn cĩ hai điều kiện:

- Ham u(q,9,¢) can phải là hàm tuần hồn củà voi chu ky 27

- Ham u(q,9,¢) phải hữu hạn tại mọi điểm của màng, nhất là tại r = 0

Bằng phương pháp tách biến Fourier, ta đặt: z(q.ø,/) = Tứ)VŒ,ø)

Phương trình (1.35) được viết đưới dạng:

Trang 23

Điều kiện tuần hoàn (1.41) đòi hỏi k phải nguyên & = 0, 1, 2,

Phương trình (1.42) có thê viết dưới dang

aR Rt) + ee) ) ar)? 2 ]R@9 =0 aR(r 2 y2

Đây là phương trình Bessel tham SỐ Â hang k

Nghiệm tổng quát của phương trình này là

R,(r) =D, J, (Ar) + E,Y,(Ar)

Theo điều kiện (1.43) ta có:

Trang 24

Suy ra trị riêng là: Â„ = tr

Tương ứng với mỗi trị riêng, ta có hàm riêng:

Trang 25

Trang 27

Các hệ sô M,„,w,„,v„„ được xác định bởi các hệ số 44,„, 8,„,C,„và D,„ kn?

Dao động của màng tròn là tập hợp vô hạn các dao động có tần số:

Khi k=0, n=1 ta có âm cơ bản với tần số thấp nhất

Từ (1.49) ta có nhận xét: trong trường hợp dao động của màng tròn, sóng đứng

của các tần số khác nhau có các đường nút (tức là tập hợp các điểm đứng yên), đường

nút đơn giản được xác định bởi phương trình:

Phương trình (1.51) xác định k đường kính của màng:

Sau đây ta xét trường hợp dao động của mang đối xứng tròn:

Xét dao động của màng hình tròn đối xứng tròn (chắng hạn như mặt trống), bán

kính R, tâm ở gốc toạ độ có biên gắn chặt và độ dịch chuyên ban dau 1a f(r), tốc độ ban dau 1a g(r)

Phương trình dao động của màng tròn trong toạ độ cực:

Trang 28

ot tna Seat LSE or’ ror r @p (1.52)

Điều kiện biên: «{R,t)=0, t>0

Điều kiện ban đầu:

- Với n = 1: không có đường nút, rung động này mọi điểm cùng dịch chuyên lên

hoặc dịch chuyên xuống

Trang 29

wee Ras? (ul') 3 CR

1.4.2 Truyền nhiệt trong thanh hình trụ dài vô hạn

Xét bài toán truyền nhiệt trong một thanh hình trụ dài vô hạn co ban kính rọ (0<z<z,0<@<2z) nếu nhiệt độ ban đầu có dạng uÌ_„= ƒữ,@) va bề mặt hình trụ

luôn duy trì nhiệt độ bằng 0

Trong toạ độ cực: A=l2[(,2),1 €

rôr\( or) r° ap?

Do đó phương trình (1.61) được viết lại dưới dang:

Điêu kiện biên: ø

Trang 30

Ngoài ra bài toán còn có hai điều kiện đòi hỏi:

u(r,@,f) <œ u(r, + 2z,t) = u(r,ø,!)

Ta giải phương trình (1.54) bằng phương pháp tách biến Fourirer bằng cách đặt

Thay (1.58) vào (1.57) ta được:

ries Rt A[rR ‘(r) hae _

r Rr)

Day la ham Bessel tham số A hang k

Nghiệm tổng quát của né 1a: R(r) = CJ, (Ar) + CY, (Ar)

Goi uw") 1a cdc khong điểm của hàm Bessel tham số 2 hạng k

Dựa vào điều kiện ban đầu ta có phương trình trị riêng:

Trang 31

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.55) có dang:

u(r,@,) “Sea 4 cos(kø) + B,, slo “ji

Nhân hai về (1.59) với cos(/p) rồi lấy tich phan theog từ 0 —› 2z :

II [oa “lA, cos(kp) + B,, sin(kg)} cos(/ø)d@ = fn r,p)cos(Ip)dp

TH

2z

= | /Wr,ø)cos|lø)dø

=F(r) Voi e, = pt =0) a(k #0)

Trong biểu thức trên ta thấy (A,,¢,) 1a hé sd

Khai triển của chuỗi Fourier - Bessel theo hàm F(r) đo đó:

Trang 32

Ain E tn =m nu(u ụ oli

Trang 33

CHƯƠNG II HÀM LEGENDRE

x=rsinOcos@

Trong toạ độ cầu ta có: 4 y = rsin Øsinø

z=rcos0

Phương trình Laplaxo trong toạ độ cầu có dạng:

ah * ao 2h90 | sang sọc =0 or or) sin 00 90} sin’ 0 dg" (2.1)

Ta dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của (2.1)

Một nghiệm bắt kỳ của phương trình này =zÍ(z,0,p) phải là một hàm tuần

He „228, + 1 c sin 0 280 +, ofp 2m, + 1 & sin 9% — ” _q@ | \cos(ng)

2| or or sinØ 9Ø 00 | Ôr or sin@ 00 99 sinˆ0

+ ye (+ ar } sin0 60 [si 2] sin? 0 p, |inine —|rˆ—"l+ — 0—=—|-

n=l

=0

Từ đó ta thấy các hệ số œ„ 8, cũng thoả phương trình:

or or) sind 00 909} sin @

Với V =V(r,0) (khi n= 0 ta có phuong trinh déi voia,)

Tìm nghiệm phương trình (2.2) bằng phương pháp tách biến:

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	4,13 MB