định lý hội tụ martingale dưới và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

U, lì là các hàm tập cộng tính ơ-hữu hạn trên Ở... và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các đại lượng ngẫu nhiên X, X2,..... 1.2.3 Cac tính chất của kỳ vọng có điều k

Chuong 1 KIEN THUC CHUAN BI

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử (Q, Ở) là không gian đo U, lì là các hàm tập cộng tính ơ-hữu hạn

trên Ở Ta nói U liên tục tuyệt đối đối với i nếu VA © G ma (A) = 0, thi (A) =0 Ký hiệu: <g pu

112 Ví dụ

Giả sử (Q, Z, P) là không gian xác suất G C F, = P là độ đo xác suất

X :9 — R là biến ngẫu nhiên khả tich va E|X| < 00

Với mọi A € ở đặt (A) = ƒXdụu (1)

A Khi đó, nếu (A) = 0 thì (4) = 0 Tức là, <g pe

Nếu có X thì ta xác định được thoả mãn (1) Ngược lại, có 1 thì ta xác định được X thoả mãn (1) Đó chính là nội dung định lý Radon-Nikodym

1.1.3 Định lý Radon-Nikodym

Giả sử (Q, Ở) là không gian đo 1 là hàm tập ơ-cộng tính trên Ở, 1 la dé do

trên Ở \\ <g 1 Khi đó tôn tại duy nhất hàm Q-đo được khả tích X : © — R

1.2 KY VONG CO DIEU KIEN

e Nếu X,Y là các đại lượng ngẫu nhiên đã cho trên (O, Z, P) và G 1a o-dai

số sinh bởi Y, thì E(X | đ) được ký hiệu là E(X | Y) và được gọi là kỳ vọng

điều kiện của đại lượng ngẫu nhiên X đối với đại lượng ngẫu nhiên Y

e Nếu X\, Xa, ,là các đại lượng ngẫu nhiên xác định trên (Q, Z7, P) và đ

là ơ-đại số sinh bởi chúng thì E(X | đ) được ký hiệu là E(X | Xị, X›, )

e Nếu X = lạ, A€ đ thì E(X | đ) được ký hiệu là P(A | đ) và được gọi

là xác suất điều kiện của biến cố A đối với ơ-đại số đ E(I | Xì, Xa, .) được

ký hiệu là P(A | X:, Xa, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A

đối với các đại lượng ngẫu nhiên X, X2,

1.2.3 Cac tính chất của kỳ vọng có điều kiện

Giả sử (O, Z7, P) là không gian xác suất, các đại lượng ngẫu nhiên đều có

kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích) và đ C Z Khi đó ta có các tính chất sau:

Tính chat 1 Néu E|X| < 00 thi ton tai duy nhất Y = R(X/6)

Ching minh Xét ham tap v : GR cho bdi cong thttc

(A) = | xae v6i moi A € G (1.1)

‘4

Do E|X| < 00 suy ra v <g P Theo dinh ly Radon-Nikodym suy ra tén tai

duy nhất đại lượng ngẫu nhiên Y là G-do dugc sao cho

Chứng mình Ta có Y —= c là ;-đo được Mặt khác với mọi A € G,

Jre= [em= [xe

Chứng mình Đạt Z = E(X/G), T = E(Y/G), khi dé Z,T la G-do duoc

Hơn nữa với mọi A € Ớ, ta có

Jze= [xae> |ye= [Tá

Chứng mình Dat Z = E(X/G), T = E(Y/G) khi đó Z,T 1a G-do dugc

do dé aZ + bT ciing la G-do dugc Mat khac, véi moi A € Ở ta có

Vay E(aX + bY/G) = aE(X/G) + bE(Y/G)

Tinh chat 5 Néu X và Ở độc lập, thì

Mặt khác, với moi A € G, tacé X va Ly doc lap, do dé

/ XdP = J XI4dP = E(X14) = E(X)E(1a)

= EXP(A) =P(A)EX (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra

/ YdP = | XdP, hay E(X/G) =

A

Tính chất 7 Néu X la G-do duoc thi E(X/G) = X

Chứng mình Theo giả thiết ta có Y = X 1a G-do duoc

Tinh chat 8 (Tinh chat hit) Néu Gy C Go thì

E(X/G,) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi]

Chứng mình Đặt E(X/G,) = Y, E(X/Ge) = Z Khi dé, Y = E(Y/G2)

va Y = E(Z/G,) That vay, taco Y = E(X/đi) suy ra Y là đ¡-đo được Do

Ới C Ởa nên Y là Go-do được

Theo dinh nghia ky vong c6 diéu kién thi Y = E(Z/G;)

Vay

E(X/6i) = E[E(X/G1)/G2] = E[E(X/G2)/Gi]

Tính chất 9 Nếu E|XY| < œ, E|Y| < œ, Y là đ-đo được thì

E(XY/G) = YE(X/6) (x)

Chứng mình Ta có Y.E(X/) là đ-đo được Trước hết ta chứng minh đẳng

thức (*) đúng với Y = l¡\, với mọi A € G

Thật vậy, với mọi 4/ € Ở từ Y = l¡ ta có

/ YE(X/G) = J I4E(X/G)dP = / E(X/G)dP

Vậy theo định nghĩa kỳ vọng có điều kiên ta có: E(XY/đ) = YE(X/), tức

là (+) đúng với Y = Lụ Từ đó suy ra (+) đúng với các hàm đơn giản Bây giờ

Chitng minh That vay, vi œ là hàm lôi nên ¿ liên tục có đạo hàm phải, và

đạo hàm trái tại mọi điểm Do đó ¿(X) cũng là đại lượng ngẫu nhiên, ngoài

ra voi Zo € R tuy ¥ ta cd

p(x) > (#o) + ( — #o)k(œo), œ€_TR, (1.7)

ở đây #(zo) có thể lấy là đạo hàm phải hoặc trái của ý tại 20

Thay x boi X, z bởi E(X | đ) vào (1.7) ta có

#(X) > v[E(X | ở)} + k[E(X | đ)||X — E(X | 9)] (1.8)

Lấy kỳ vọng có điều kiện (1.8) ta có

E[¿z(X) | đ] > E[z[E(X | 9)] | 9]

+#|[E(X | đ)|[E(X | đ) - E(E(X | đ) | 6)]

Từ tính chất 7, suy ra

Elz(X) | đ] > y[E(X | ở)

Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi

1) Nếu dãy X„ † X (h c c) và tôn tại n € N sao cho R(X„) < © thì

E(X;„/) † E(X/6)(h.c.c)

1) Nếu dấy X„ | X (h c c) và tôn tạin C Ñ sao cho B(X„) < oo thì Chứng minh Ta chứng minh cho tính chất thứ nhất Giả sử tồn tại nọ để

EX,,, < 00 Khi dé, ta có 0 < X„; + Xn, | X + Xn, Theo dinh ly Lebesgue

về hội tụ đơn điệu, ta có

im E[(Xn + Xnq)/G]aP = lim [ec + Xn.)/GldP

=lim | (X, + X7,)dP = ime, + Xn, )dP = J + X„„)đdP

Từ đó, kết hợp với tính chất tuyến tính của tích phân ta có

hpmR(x,/6)aP= [x= [(x/90a, với mọi A € Ở

Vậy

lim E(X,/9) = E(X/Q) (h.c.c)

Trường hợp còn lại, ta chứng minh tương tự

Bồ đề Fatou Giả sứ tôn tại Y khả tích, khi đó

U Nếu X„ < Y (h c e) với mọi n0 > 1 thì

E(lim X;,/G) < limE(X,,/G) (h.c.c)

ii) Nếu X„ > Y (h c c) thì

limE(X„/ở) < E(lim X„/ở) (h.e.e)

Chứng minh hai tính chất này tương tự như chứng minh định lý hội tụ đơn điệu

B-Levi.

1.3 KHÁI NIỆM TƯƠNG THÍCH VÀ ĐỐI XÚNG

Giả sử (O, 7, P) là không gian xác suất, Ø là ơ-đại số con của Z và X là

đại lượng ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằng X tương thích với Ở nếu X là đ- đo được Trong trường hợp đó ta viết:

Xeg

Ky hiéu o(X) = X~1(B), trong đó Ö là ø-đại số Borel của R R6 rang, X € G

khi va chi khi

o(X) CG

Cho trước dãy ngẫu nhién {X;,i © N} Ky hiéu o({X;,i © N}) la o-

đại số con bé nhất của Z chứa tất cả các ơ- đại số øơ(X;),¡ € Ñ Ta gọi

ơ({X;,¡ € Ñ}) là ơ- đại số sinh ra từ {X;,7 € Ñ}

FC Fi, k <i, Vk,i EN

Chang han, {o<;,i € N} 1A day khong giam Ta lu y rang o<; gém cdc biến cố quan sát được tính đến thời điểm 7

Rõ ràng, dãy dự báo được là dãy tương thích Ta luôn có {X;,ø«;,¿ € Ñ}

là dãy tương thích Người ta thường gọi ø<; là ơ-đại số tự nhiên của dãy

{X;,¡ € Ñ} Nó gồm tất cả những biến cố liên quan đến quá khứ (trước 7), và

hiện tại (tại 7) của dãy.

13.2 Định nghĩa

¿) Một dãy ngẫu nhiên tương thích {Y;, 7;,¡ € NÑ} được gọi là đối xứng nếu

P((Yi, Yist, -; Yiem) € 4 | Fi-a]

=P|(—Y¡, —Yiu, 1 -Yiem) € A| Fe] (hc),

với tất cả các tập Borel (m + 1)- chiếu A, và mọi mm > 0, i > 1

ii) Một dãy ngẫu nhiên tương thích {Y;, 7¡,¡ C Ñ} được gọi là đối xứng yếu nếu tôn tại số nguyên M > 1 nào đó

» E[Y7I(Yi| < M) | Z¡ 1] hội tụ hậu chắc chắn,

i=1

voi méim > M

1.4 THOI DIEM MARKOV VA THO! DIEM DUNG

Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:

e (Q,F,P) la khong gian xác suất với Z chứa tất cả các tập con của tập

có xác suất 0 Trong trường hợp này, ta nói (O, Z7, P) là không gian xác suất

Gid sit tT: Q —— ÑU {oo} là đại lượng ngẫu nhiên (có thể lấy giá tri oo)

Ta nói rằng T là thời điểm Markov đối với {7;,¡ € Ñ}, nến

{2:7(0)=i}C7;, Wen

Nếu thêm vào đó P(T < œ) = 1, thì T được gọi là thời điểm dừng

Ký hiệu Z7; là lớp gồm tất cả các tập con A của © sao cho

AE Fee,

va AN (7 <i) € F;

Nhu vay, F, g6m các biến cố quan sát được tính đến thời điểm 7

Dé dàng chứng minh rằng Z7; là ø-đại số con của ø-đại số F

e Giả sử A € F,, va A° =) \ A Ta thay

ASN (7 <i) =ON(7 <t)\AN(7 <i) =(7TK<n)\AN(T <i) ECF,

Ví dụ 2 Giả sử {X;,¡ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, và Ø là tập

Borel cua R Dat:

Ví dụ 3 Giả sử { X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên, va {B;},i =

1,2, la day tap Boerl cla R Dat 7) = Tz,;

min{i >7:X;€ Bo} Néu we U{X; € Bo} N{n < ow}

co trong trường hợp ngược lại

7; được định nghĩa tương tự Khi đó, (7;,¿ € Ñ) là dãy các thời điểm Markov

đối với {ơ<¿,¡ € Ñ}

Chứng minh đối với 72 suy ra từ

{7a < i} = {n < i} N U {Xx € By}

k>Tt

1.4.4 Các tính chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tính chất 1 Giả sử 7 là thời điển Markov đối voi {F;,i € N} Khi đó,

Tinh chat 2 Néw 7, 7 la cdc thoi diéu Markov doi voi {F;,i € N}, thi T| A 72 = min(71,72),71 V 72 = max(71,72), va T1 + Ta là các thời điểm

Markov déi voi {F;,i € N}

Tính chất 4 Nếi 7 là các thời diém Markov déi voi {F;,i € N}, thì

T € 7, Nếu T và ơ là các thời điểm Markov déi véi {F;,i € N} sao cho P(r < øơ) = 1, thì 7; C 7z

Chứng mình Thật vậy, giả sử A = {r < k} Để chứng minh 7 € 7; ta phải chỉ ra A € Z;, hoặc tưong đương 41 {7 < i} € 7¡ và A € 7 Ta có

A=t{r<k}cZ,c Z

Mặt khác, ta có

{7 <k}nf{r <¡} ={r =¡A k} € ZTịy C 7i

Bây giờ giả sử A C {w: 0 < oo} va A © F, Khi dé, do P(r <0) = 1, và

o-dai s6 F; day du, hai tap:

AnN{a <i}; AN{r <i}{o < i}

Chi sai khác nhau một tập có độ đo không Tập thứ hai thuộc vào Z„, nên

AN {o <i} € Fi, tite la, A € F,

Tinh chat 5 Néu 71, 7, la cdc thoi diém Markov doi voi {F;,i € N},

va T= inf Tr, thi

Fr =(\Fn- k

Chứng mình Thật vậy, theo tính chất 4, ta có:

k

Mat khac, néu A € (| F,,, thi k

Aanfr<#= An({Jf% < #) =|J(an1s <¡}) eZ

Đo đó A € 7; Suy ra

k

Từ (1.9) và (1.10) ta có điều phải chứng minh

Tính chất 6 Nếu 7, ø là các thời điển Markov đối với {Z;,¡ € Ñ}, thì

Tính chất 7 Nếu {X;, 7;,¡ € Ñ} là đấy tương thích và T là thời điểm

Markov đối với {7¡,¡ € Ñ}, thi

- — J ÄX;()(0) nếu w € {r(w) < oo}

Xr:9 — Ñ, Xz(@) = { 0 nếu w € {T(w) = oo}

là đo được đối với 7; tức là, X,„ € 7;

Chứng mình Thật vậy, với mọi Ð € B(R) ta có

Giả sử (Q, F, P) là không gian xác suất {7;,¡ € Ñ} là dãy tăng các ơ-đại

số con của 7, khi đó dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} gọi là:

i) {X;, Fi, i € Ñ} là dãy tuong thich, nghia la: X; € 7;¡ với mỗi ¡ € Ñ

ii) E|X,| <00, ViEN

iii’) Vik <i, i,k EN

E(X; | Fr) < Xp, (h.c.c)

e Martingale du6i, néu:

i) {X;,7;,¡ © N} la day tuong thich, nghia la: X; € 7;¡ với mỗi ¡ € N

ii) E|X;| < 00, ViEN

iii”) Voik <i, i,k eN

E(X; | Fr) > Xk, (h.c.c)

e Hiéu martingale, néu:

¡) {X¡,Z¡,¡ € Ñ} là dấy tương thích, nghĩa là: X; € 7; với mỗi ¡ € Ñ

ñ) BỊX:|< so, Vi€N

iii”) Voik<i, i.kEN

E(X; | Fi.) =0, (h.c.c)

e Phép bién déi martingale Cho {Y;,F,,i € N} la mét hiéu mar-

tingale va V; la F;-do duoc voi méi i € Ñ Khi đó {1„,n € Ñ}, xác định bởi

Tn = >- ViY;, được gọi là một biến đổi martingale va {V;,i © N} duoc goi la i=0

đấy biến đổi

1.5.2 Cac vi du

Vi du 1 Giả sử {X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với

EX; = 0,¡ € Ñ Khi đó dãy tổng riêng

Sn = Xụ + + Ấ„

la day martingale doi v6i F,, = ơ(Xụ, , X„)

Thật vậy, do S„ ¡ là Z„_¡-đo được và tính độc lập của X„ với F,_1, ta c6:

E(S; | Z2 1) = E(S„ 1 + Xp, | Z2 1) = Sra + EX, = Sy-1-

Vi du 2 Giả sử {X;,¿ € Ñ} là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với

EX; = 1,;€ Ñ Khi đó các tích riêng

Sp = I Xi k=0

la day martingale doi v6i F;, = 0 (Xo, ., Xn)

Thật vậy, tương tự trên ta có:

E(S, | Fn-1) = E(S»_-1.Xn | Z2_1) = Sn-1-EXn — Đn—]-

Vi du 3 Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên nào đó có E|X| < œ va {Z¡,¡ € Ñ} là day o-dai số con không giảm của Z7 Khi đó, dãy

X; =E(X | Fi)

la day martingale đối với 7;,¡ € Ñ

Thật vậy, vì 7; ¡ C Z7; ta có:

Xi = E(X | Fin) = E(E(X | Fi) | Fi-1) = E(% | Fi-1)

1.53 Các tinh chat cua martingale

Tính chất 1 Néu day {X;,F;,i © N} la martingale thi (EX;) la day

khong doi

Chứng mình Thật vậy, với k < ¡ ta có:

EX, = E(EX; | F,) = EX,.

Tinh chat 2 Néu day {X;, F;,i € N} là matingale dưới, thì hàm trung

binh EX; khéng giam theo ¡ € Ñ

Chứng mình Thật vậy, với k < ¡ ta có

EX; < E(EX; | Z,) = EX,

Tính chat 3 Gia si day {X;, F;,i € N} la martingale (martingale duoi),

và 7 là thời điểm dừng Khi đó dãy "ngất" tại thời điểm T, tức là,

Xipiar — XpAr = Lprsn} (Xin — Xi),

do đó

E(Xistar — Xinz | Fi) = Tsay (Xia — Xj) | Fi) =0 (20) (h.c.c)

Tinh chất 4 Nếu đấy {X;, 7¡,¡ € Ñ} là hiéu martingale thì dấy {S„ =

Tinh chat 5 Gid si X = {X;,F;,i = 0,1, , N} la martingale trén,

và T, ơ là hai thời điểm Markov (đối với {Z;,¡ = 0, 1, , N}) sao cho P{T <

N} =P{øơ < N} = 1 Khi đó

X„>E(X;|Zs) ({r > ơ} P— hầu chắc chắn), (1.15)

tức là

P{œ¿ €{rz >ø}: X„ < E(X,|Z„)}= 0,

hoặc tương đương

X;Az > E(X; | Zs) (P— hầu chắc chắn.) (1.16)

Chứng mình Thật vậy, đầu tiên ta chú ý rằng

E|X,|= >> J |X;|ldP= 3` / |Xn|dP < 3 `E|X;| < s,

tức là E|X;| < œo Tiếp theo ta chú ý rằng

Œr>ø}=|Jz=i?ntz>1 o=[Jfz =1

Vì thế ta xét tập {ơ = 7} và chứng tỏ rằng (1.15) đúng đối với

œ€{‡ơ=i}ñ{r >ø} ={ơø=¡}ñn{r >?}

Trên tập này X„ = X;, nên theo tính chất thời điểm dừng ta có

E(X; | F,) = E(X,F;) ({o =i}, P — hau chic chan)

chi can chi ra rang trén tap {0 = i} N {7 > i}

X; > E(X, | F;) P— hau chac chắn

trong đó bất đẳng thức sau cùng được thực hiện là do: {X;, Z;,¡ = 0,1, , N}

là martingale trên, nên trên tập

{fo=i}N{r >i EF,

ta CÓ

X; > E(Xi41 | Fi), (P — hau chic chan)

hoặc tương đương

[xo > [ern | Z;)dP = xua VAE Fi

Chuong 2

DINH LY HOI TU MARTINGALE DUGOI VA UNG DUNG

2.1 BAO TOAN CAU TRUC MARTINGALE VA MARTINGALE DUOI

24.1 Định lý

() Nếu dấy {X¡, 7;,¡ € Ñ} là martingale và vy la ham lôi, liên tục với

|Ey(X;)| < 00, thì dãy {¿(X;) 7¡,¡ € Ñ} là martingale dưới

(ii) Nếu dấy {X;, 7;,¡ C Ñ} là martingale dưới và @ là hàm lôi, liên tục,

không giảm với |@(X;)| < œ, thì dãy {¿(X;).7¡,.¡ € Ñ} là martingale

đưới

Chứng mình () Để chứng mình {¿(X;), 7;,¿ € Ñ} là martingale dưới ta thử các điều kiện:

® ¿@(X;j)C 7, ViCNÑ

e El¿(X;)|< œ VieÑ

e Với ¡ —= I,2, Ta cần chứng minh:

Ely(Xi) | Fi] 2 e(Xi-1) (h.c.c)

Thật vậy, theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có

Elz(X;) | #1] > #[E(Xi¬ | Z#2)]| (hec.c) (2.1)

Theo giả thiết thì {X;, Z;,7 € Ñ} là martingale nên,

Vay (i) dugc chitng minh

(¡) Để chứng minh {¿(X;), Z¡,¿ € Ñ} là martingale dưới ta thử các điều

kiện:

e ¿@(X;)C 7, ViCN

e El¿(X;)|< VieN

e Với — 1,2, Ta cần chứng minh:

Ely(Xi) | Fina] 2 e(Xi-1) (h.ec)

Thật vậy, theo tính chất kỳ vọng có điều kiện ta có

Ely(Xi) | Fi-a] 2 [ECG | Fi-a)] (h.e.c) (2.3)

Theo gia thiét thi {X;, F;,i € N} 1a martingale dưới nên,

Ely(Xi) | Fina] 2 e(Xi-1) (h.ec)

Vay (ii) duoc chitng minh O

2.1.2 Hệ quả

(i) Cho p > 1 Nếu dãy {X;, 7;,¡ € Ñ} là martingale với

E|X;|? < co,i EN, thi day {|X;|?, F;,1 © N} la martingale dui

(ii) Néu day {X;,F;,i © N} la martingale du6éi thi ddy {X;*, F;,i € N}

(i) Néu day {X;,F;,i © N} la martingale, và T là thời điểm dừng thi day

{X7 = Xinz, Ff, 1 © N} cling la martingale

q1) Nếu dấy {X;, 7;,¡ € Ñ} là martingale dưới, và T là thời điểm dừng thì dãy {XƑ = X;¿;, 77,¡ € Ñ} cũng là martingale dưới

Vay (i) duoc chứng minh

(¡) Để chứng minh X7 = {X;¿;,Z7,¡ € ÑHà martingale dưới ta thử các điều kiện:

e XƒC7/, VEN

e E|X?|<œ Vi€N

Thật vậy, đặt Yn = Xn — Xn- 1 véin > 1 va Xo = 0

Ta 6 |X7| = | > Yalirzal < | > Ynl S > [Yn] < 00 n= n=l n=1

Suy ra E].X7| <E(S |Yn|) = DEW = » BỊ, — Än-I| < %