định lí kall và ứng dụng trong nghiên cứu quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn luận văn thạc sĩ toán học

Bài toán quy hoạch tuyến tính với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên.. Các hướng tiếp cận nhằm tìm lời giải cho bài toán quy hoạch tuy

1.2.3 Phương pháp dơn hình 13 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên 13 1.2.1 Bài toán cc cece cece tenet eee ee 13 1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhién 2 giai doan 14

1.3 Một số khái niệm cơ bản của xác suất 16

"Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nghiên cứu của nhà toán học

Nga, Viện sĩ L.V Kantorovich, về bài toán kế hoạch hoá sản xuất, công bồ

năm 1938 Vào những năm 40 của thế kỷ 20, hàng loạt các kết quả nghiên cứu và ứng dụng được công bố Đặc biệt năm 1947, Dantzig, nhà toán học

Mỹ, công bố phương pháp đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Năm 1952, phương pháp đơn hình đã được chạy trên máy tính điện tử ở

Mỹ Về cơ bản, bài toán quy hoạch tuyến tính với dữ liệu tất định có thể xem được nghiên cứu trọn vẹn cả về lý thuyết lẫn thực hành

Tuy nhiên, dữ liệu của bài toán quy hoạch tuyến tính, xuất phát từ thực tiễn và áp dụng vào thực tiễn, thường phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính với sự tham gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Các hướng tiếp cận nhằm tìm lời giải cho bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên đã và đang được các nhà khoa học trên thế giới quan tâm Việc nghiên cứu lớp bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhằm phát hiện những tính chất của nó và tìm ra thuật toán giải đang là vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa

học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn

Gần đây một số công trình của các nhà toán học nghiên cứu các hướng tiếp cận giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên đã thu được những kết quả quan trong (chang han: Leen Stougie, Peter Kall, Xin Chen, .)

M6

khi tiếp cận với một số kết quả đã có, chúng tôi thấy có những mối liên hệ

công trình được tiếp cận theo các hướng đặc thù riêng Tuy nhiên,

gần gũi, bổ trợ được cho nhau Với thời gian và mức độ cho phép, chúng tôi cố gắng xem xét nội dung có liên quan đến công trình của Peter Kall,

đó là định lý Kall, với một số công trình khác của Xin Chen, Melvyn Sim

Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài "Định lý Kall và ứng dụng trong nghiên cứu quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn".

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày

sơ lược lý thuyết quy hoạch tuyến tính và bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên Đồng thời để làm công cụ nghiên cứu cho đề tài, chúng tôi nêu một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất

Chương 2: Định lý Kall và ứng dụng Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hết chúng tôi phát biểu và chứng minh

hoàn chỉnh định lý Kall (mà trong tài liệu chúng tôi có được việc phát biểu

và chứng mỉnh còn nhiều thiếu sót) Sau đó, sử dụng định lý Kall, nghiên cứu hai mô hình thực tế, đó là bài toán "lưu chuyển hàng" mà trong [1]

đã trình bày và bài toán "Lập kế hoạch sản xuất" mà trong [7] đã nêu ra làm ví dụ

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học

của PGS TS Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy dối với tác giả trong suốt thời gian

học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS TS Nguyễn Văn

Quang, PGS TS Phan Dức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, các thầy cô

giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Toán, khoa Sau Dại học Dồng thời,

tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè, đã quan tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vinh, thang 12 ném 2008

Tac gia

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng

Chú ý rằng bài toán (1.1) có thể chuyển về một trong hai dạng bài toán

đơn giản như sau:

Ham ƒ(z) trong bài toán đã nêu được gọi là hừm rmục tiêu Các điều

kiện của bài toán gọi là điều kiện buộc Điểm z = (z;) thoả mãn điều kiện buộc gọi là phương án Phương ấn z làm cực trị hàm mục tiêu dược gọi là

phương án tối tu hoặc là nghiệm của bài toán.

1.1.2 Một số tính chất chung

Sau dây chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh một số định lý diễn hình,

các định lý khác có thể thấy trong các tài liệu tham khảo

1.1.2.1 Định lý Tập hợp tất cả các phương án của một bài toán quy hoạch tuyến tính là một tập lồi

Chứng mình Ta xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng

n

min {> eye;

j=l » đj#j S bị, ? = 1,2, ,1 với điêu kiện 4 7=1

t) >0,xzŒ) >0,0<a<1

suy ra

at > 0, (— œ)z2) >0

Do cách xác định z thi x > 0

Vay x lA phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính, hay tập các

phương án là tập lồi Đó là điều phải chứng minh ñ

1.1.2.2 Định lý Nếu hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch tuyến tính

bị chặn dudi (vdi bai todn min f(x) va bi chan trén vdi bai todn max f (x))

trên tập phương án khác rỗng thà tồn tại phương án tối tưu

Chứng minh Trước hết, ta viết các bất dẳng thức xác dịnh trên tập hợp

phương án Ù dưới dạng như sau:

i=1

Chứng minh sẽ tiến hành bằng qui nạp theo số chiều + của không gian IR" Đối với JR! (trường hợp một chiều) tập hợp chấp nhận dược Ð có thể là một điểm, hoặc là một đoạn thẳng, hoặc nửa đường thang va dinh ly hoan

toan ding

Giả sử rằng dinh ly dang déi véi R!,R?, ,.R*-! ta chitmg minh dinh

lý đúng với IR*

Vì L;ƒ\D c R*'!, (¡ = 1,s) thì theo giả thiết qui nạp với bất kì

¿, (= 1,s) tìm được z;€ L¡ƒ}D, sao cho

é, mi) = cet, éc, x)

Từ định nghĩa của T suy ra tồn tại z* € T sao cho

(e,z*) = min | (c,2;) = "` Ác,z) = min (c, 2)

Ta còn phai chttng minh rằng

éc, z = min (c, 2) = min {e, z)

Muốn vay chỉ cần chứng tỏ rằng đối với điểm bất kì z € D tồn tại điểm

biên z“ € T sao cho

(c,2") < (c,z)

Xét diém F = z—Àe,AÀ > 0 Vì z là điểm trong của D nénF = x— rc €

D it ra 1a đối với A đủ nhỏ Theo giả thiét (c,Z) bi chặn dưới nên

min{(c,x) — Allell"} = (ex) — d'llell’, (*)

trong đó cực tiểu lấy theo giới nội À sao cho

A c€{A:0<A< S0 “nai: z— Ae€ DỊ.

Ro rang la 2’ = x — Ac ET That vay, néu 2’ 1a diém trong cia D thi tim được À“ > À7 > 0 sao cho # — À“e € D Nhưng khi đó

(c,x) — A"“Ie|lỦ < (—e,z)— X'Icll:

Điều này trái với (*) Vậy

z € T và (e,z) < (ce, x)

Dinh ly da dược chứng mình xong oO

Tính chất được nêu ở định lý 1.1.2.2 chỉ đúng với bài toán quy hoạch tuyến tính Có thể dưa ra ví dụ cho thấy khi hàm mục tiêu không tuyến tính thì định lý không còn đúng Chẳng hạn bài toán

1.1.2.3 Dinh lý Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối

tu thì tồn tại một phương án cực biên tối uu

Chứng mưnh Ký hiệu D là tập phương án của bài toán Xét hàm mục

f(x) = So ejay

j=l

Gia st 2 1a phuong dn téi ưu Khi đó

F(a) < f(a), Var € D

Nếu z) là điểm cực biên thì định lý dược chứng minh

Ngược lại, giả sử +0) không phải là điểm cực biên Ký hiệu các điểm cực biên của tập lỗi đa điện D là z0), z2), +) Khi đó theo kết quả của giải

Mat khác, do ƒ(z) tuyến tính nên ta có

Ale) = Sr aif le) + ofr) i=1 j=l

Néu moi p; =0,j =1, ,8 thi chon

f(a) = min f(a)

1<i<p

Do ƒ(z) tuyến tính nên dễ dàng nhận dược phuong an cyte bién 2 1a

phương án tối ưu

Nếu tồn tại ø; > 0, khi đó ƒŒØ)) > 0, với mọi ø; > 0, (vì giả sử ngược

lai f(r) < 0 thi ƒ(z)) —› —œ mâu thuẫn với giả thiết +) là phương

Tit dé cho thay f(a) = f(x)

Dinh lý dược chứng minh Oo

1.1.2.4 Dinh ly Phuong dn x la cuc bién khi va chỉ khi tương ứng tới toa dé x; > 0 la hé vecta {A;} độc lập tuyến tính (Trong đó A; = (aj) la

0ectở cột thú j của ma trận A = (aij))

Chú ý rằng từ định lý 1.1.2.4 cho ta thấy số phương án cực biên của bài

toán quy hoạch tuyến tính là hữu hạn và mỗi phương án cực biên có thể cho tương ứng với một hệ cơ sở, ta thường gọi là cơ sở liên kết với phương

án cực biên.

1.1.2.5 Dinh ly Néu ham muc tiéu dat gid tri cuc tiéu tai hai diém khác nhau của tập lồi D thà nó sẽ đạt giá trị cực tiểu tại những điểm là tổ

hợp lồi của các điểm dó

1.1.3 Phương pháp giải bài toán: phương pháp đơn hình

Đường lối chung: Phương pháp đơn hành dựa trên hai nhận xét sau:

- Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì ít nhất

một dỉnh của D là phương án tối ưu

- Tap phương án D có một số hữu hạn dỉnh (diểm cực biên)

Như vậy tồn tại một thuật toán hữu hạn, thuật toán gồm ba giai đoạn:

Giai doạn 1: Tìm một phương án cực biên (một dỉnh) xuất phát

Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án mới

Nếu điều kiện tối ưu được thoả mãn thì phương án đó là phương án tối

ưu cần tìm

Giai đoạn 3: Nếu ngược lại, ta xây dựng phương ấn cực biên mới sao cho

giá trị hàm mục tiêu giảm dần (với bài toán min ƒ(2)) Trở lại giai doan 2

Ta thực hiện một dãy các vòng lặp như vậy cho đến khi nhận được câu

trả lời có hay không có phương án tối ưu thì dừng

Như vậy, phương pháp đơn hình thực chất là đi kiểm tra giá trị hàm

mục tiêu trên hữu hạn các đỉnh (phương án cực biên) Dể thuật toán sớm

kết thúc thì phải tìm cách xây dựng dược dãy các phương án cực biên tốt dần (giá trị hàm mục tiêu giảm dần) Dó cũng chính là phương pháp hay dùng trong lý thuyết quy hoạch, được gọi là phương pháp tạt

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

trong đó +” là chuyển vị của z,

c= (eị CQ Cn) ,b — (bị bạ mm bn) ,A — (ij) mxn-

Bài toán quy hoạch tuyến tính trên có các phan ttt cia ma tran A, b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Để nghiên cứu bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu

cầu thực tế của bài toán mà có nhiều cách tiếp cận khác nhau Thông

thường, người ta xét tới các lớp bài toán:

1.2.1.1 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn Đó là lớp bài

toán dược giải với thông tin về dữ liệu ban dầu xác dịnh nào đó Trên cơ

sở phương án tối ưu đã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng ngẫu nhiên,

người ta sử dụng các phương pháp trực tiếp (chẳng hạn phương pháp quy hoạch tham số, phương pháp tái tối ưu .) điều chỉnh phương án tối ưu để

cho phù hợp với thực tế

1.2.1.2 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai doạn Đó là lớp bài

toán được giải ở giai đoạn một, với thông tin về dữ liệu ban dầu xác định

nào đó

Trên cơ sở phương án tối ưu dã giải, khi chịu ảnh hưởng của đại lượng

ngẫu nhiên, người ta điều chỉnh lại phương án tối ưu để cho phù hợp với

thực tế thông qua gi4¿ đoạn hai, bằng việc tìm lượng "phạt" bé nhất có thể, do độ lệch tạo nên từ giai đoạn một Giai đoạn hai cần dến việc xử lý

đữ liệu thông qua khái niệm kỳ vọng toán

1.2.1.3 Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai doạn Đó là lớp bài

toán được giải ở giai đoạn một, với thông tin về dữ liệu ban đầu xác định nào đó Sau đó được điều chỉnh phương án tối ưu theo nhiều giai đoạn tiếp

theo, tuỳ thuộc vào ảnh hưởng của dại lượng ngẫu nhiên

1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn

Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn có dạng là

với điều kiện

Ham Q(z, Z) dược gọi là hàm hiệu chỉnh, với Z € IR" là vectơ ngẫu nhiên, E(Q(z,Z)) biểu diễn kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Q(x, 2); vectd x va y

tương ứng là biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma

trận cấp m x rm (thông thường có thé lay ma tran don vị): = (0i m)T;

Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (@i, ,g„) thường gọi la vectd phạt bởi tác động của dại lượng ngẫu nhiên Z

Giai đoạn thứ nhất biến z là nghiệm thu được trên cơ sở thông tin có được từ thực nghiệm

Giai đoạn thứ hai biến ÿ là nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm sơ

bộ z của giai đoạn 1 với những thông tin đúng đắn, tức là Z nhận giá trị thực

Do đó bài toán tương đương với

min{cfz + E(q’y(2))}

Au <b T(2)a + Dy(Z) = h(2) với điều kiện z>0

y(2) 2 0

y(.) € Y — Không gian các hàm do được

1.2.2.1 Các định nghĩa liên quan bài toán quy hoạch tuyến tính

ngẫu nhiên hai giai đoạn

Định nghĩa hiệu chỉnh đầy đủ Bài toán (1.4) dược gọi là hiệu chỉnh

đầy đủ nêu với bất cứ z € {a : Ax = b,x > 0} thì Z(Q(z,Z)) < œ

Nhận xét Bài toán hiệu chỉnh dầy đủ đảm bảo bài toán giai doạn thứ

2 luôn thực hiện được với bất cứ phương án # nào của giai doạn thứ nhất Định nghĩa hiệu chỉnh hợp lý Ma trận A trong bài toán (1.4) được gọi là hiệu chỉnh hop lý nêu Q(z,Z) < œ, tức là với mọi £ € R™ tồn tại y€Y CR”, y>0 sao cho Ay =t

1.2.2.2 Nhận xét Bài toán hiệu chỉnh đầy đủ là hiệu chỉnh hợp lý

Định nghĩa hiệu chỉnh nửa hợp lý Ma trận A trong bài toán (1.4) được gọi là hiệu chỉnh nửa hợp lý nếu tồn tại r với r¡ > 0, Vi € T sao cho

Ar =0

1.2.2.3 Mệnh đề Hiệu chỉnh hợp lú là hiệu chỉnh nửa hợp lý

Chứng mình Giả sử A là ma trận thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý Với vectơ

v > 0 nao dé thoa man Av = to, tp € R”

Khi đó do A thoả mãn hiệu chỉnh hợp lý nên theo định nghĩa tồn tại vectd u € Y,u > 0 sao cho Au = —to

R6 rang néu dat r = u+v thir là một vectơ thoả mãn r; > 0, V¿ € 7 và

A3) A,BeE A, > AUBEA, (hoic ANBE A)

e Lớp ZC 7(©) dược gọi là ø- đạ¿ số nếu nó là dại số và ngoài ra

1.3.1.2 Không gian đo Cặp (O,Z) dược gọi là một không gian đo,

trong đó © # bất kỳ, Z là một ø- đại số các tập con của ©

Toàn bộ Q được gọi là biến có chắc chắn Tập Ú gọi là biến cố không

AecZ A gọi là biến có đối của biến cỗ A Nếu AnB = 0 thì ta nói A va

B là các biến cố xưng khắc

1.3.1.3 Độ đo xác suất Hàm tập P xác định trên đại số 4 được gọi

là độ đo xác suất ø-cộng tính nêu

Pl) P(A) >0,AEA,

P2) P(O) =1,

P3) nếu 4; € 4,¿ = 1,2, ,.4;fn14; = 0,¡ # 7U; 4; e A thi

P( Ua) = > P(A), i=1 i=1

1.3.1.4 Biến ngẫu nhiên

Giả sử (Ó,.Z) 1a khong gian do, R = [—90; too]

Ham thuc X = X(w) xdc dinh trén 2 lay gid tri trên R gọi là ham F-do

được hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng nêu

1.3.1.5 Ham Borel

Ham ¢ : (R”,B(R")) ¬ (R,Ø(R)) dược gọi là hàm Borel, néu no 1a ö(R") - do dược, nghĩa là ¿~!(B) € 8(R"), với mdi B € B(R)

1.3.1.6 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O,Z, P) nhận giá trị trên

R Ham số Ƒx(z) = P[X < z], (x € R) dược gọi là hàm phân phối của

biến ngẫu nhiên X

1.3.1.7 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

e Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản xác dịnh trên (O,Z, P), có nghĩa

X= > xpla,

k=l

với zy, € R, Ay € F, (k = 1,2, ,n) va Ap Ay = ñ(k # 1) thì kỳ ọng của

X, ky hiéu la EX được định nghĩa như sau

1.3.2 Một số tính chất của biến ngẫu nhiên

1.3.2.1 Dinh lý G¡á sử X: O —IR Khi đó các mệnh đề sau là tương

đương:

a) X là biến ngẫu nhiên,

b) {w: XW) <a} €F uới mỗi + ER

c) {w: X(w) < e} © F v6i moi x ER

d) {w:a< X(w) <b} © F tới a < b bat ky

1.3.2.2 Dinh ly Gid sử Ấy, , X„ là các biến ngẫu nhiên cùng vac dinh trén (Q,F) va @(H tạ) là ham Đorel giá trị thực Khi đó Y =

p(X), ., Xn) cũng là biến ngẫu nhiên

1.3.2.3 Hệ quả Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên Khi đó

X+Y; X.Y; min(X,Y); max(X,Y);

hữu han trén Q Khi dé

sup X,, inf Xn, lim sup X„, lim inf X„

là các biến ngẫu nhiên Đặc biệt nếu lm X„ = X hữu hạn thì X cũng là biến ngẫu nhiên

1.3.2.5 Bất đẳng thức Cauchy - Buniakowski Cho p > 0, ký hiệu Z? = /Z?(0, Z7, P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên (Q,F, P)) sao cho E|X|? < co Khi X € £?,p > 0, ta ký hiệu

IX II, = (EIXI)'”

Nó dược gọi là bậc p của X

Bất đẳng thức sau đây được gọi là bát đẳng thúc Cauchụ - Buniakouski

EIXY| < |X|›.Y

Chương 2 DINH LY KALL VA UNG DUNG

TRONG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

NGAU NHIEN 2 GIAI DOAN

2.1 Dinh ly Kall

2.1.1 Giới thiệu Định ly Kall được tác giả Bùi Minh Trí trình bay

trong cuốn sách "Quy hoạch toán học" [ð], là một trong bộ sách dược viết

nhân kỷ niệm 50 năm thành lập trường Dại học Bách khoa Hà Nội, do

NXB Khoa học Kỹ thuật ấn hành, 2005 Khi chúng tôi tiếp cận định lý,

thấy nội dung có nhiều thú vị Sau một thời gian nghiên cứu, chúng tôi đã

chứng minh hoàn chỉnh định lý Kall Dồng thời qua nghiên cứu, chúng tôi

đã vận dụng nó cải tiến một số chứng minh trong một số kết quả khác về

lý thuyết quy hoạch ngẫu nhiên đã được công bồ

Cho hệ phương trình Az = ở, trong đó A = (œ;),b = (b;),X = (z;) là

cdc ma tran cap mx n,1 x m,1 xn Ky hiéu A; 1a vecto cot thtt 7 cla ma tran A Gia stt A c6é hang m, không mất tính tổng quát có thể coi zm cột

dau, hé Aj, Ao, ., 4„„, độc lập tuyến tính, lập nên hệ cơ sở

ở đâu A¡ là cột thú j (j = 1,2 ,n) của ma trận A = (aj)

Chứng mình Điều kiện cần Với b nào đó, thì nó được biểu diễn duy

nhất qua cơ sở dạng

m

j=l