định lí helly cho các tập b lồi luận văn thạc sĩ toán học

Một số kiến thức bổ sung Trong chương này chúng tôi trình bày lại những định nghĩa và tính chất quan trọng của tập lồi.. 7áp ð-li Trong chương này chúng tôi trình bày lại những định nghĩ

BO GIAO DUC VA DAO TAO

Trường Đại Học Vinh

1.1 Định nghĩa và ví dụ cà 7 1.2 Một số tính chất cccccŸcŸ c2 8

CHƯƠNG 2 TẬP ð-LỔI -c 2c 2c sy

2.1 Định nghĩa và ví dụ cày 2.2 Mot s6 tinh chat

CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÍ HELLY - 3.1 Định lí Helly cho các tập lồi cà 3.2 Định lí Helly cho các tập ỏ-lồi

3.3 Một số ví dụ ứng dụng của Định lí Helly cho các tập lồi 29 3.4 Một số ví dụ ứng dụng của Định lí Helly cho các tập ð-lồi : 37 KẾT LUẬN HT TH nh kh nh nen 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO .c 33

Mo dau

Tập lồi là một khái niệm xuất hiện từ lâu trong nhiều nghành Toán học,

nó được nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu, đó là: E Buchman and

F A Valentine, V L Klee, C Carathéodery Đặc biệt là nhà Toán học

E Helly Định lý Helly cho các tập lồi đã có nhiều ứng dụng, trong đó có việc giải một số bài toán phổ thông (xem [/1])

Tuy nhiên, trong thực tế chúng ta thường gặp những tập không đủ "mịn" như tập lồi, nhưng lại có một số tính chất như tập lồi Đó là: Tập +-lồi ngoài (Do GS-TSKH Hoàng Xuân Phú đưa ra năm 1999) Nhiều tính chất của tập +-lồổi ngoài được tìm ra (Xem [8J) Một trường hợp đặc biệt của tập +-lôi ngoài đó là tập ö-lồi được xét trong [4] Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu những tính chất đặc trưng của tập d-lồi, dựa trên tính chất của các tập lôi Ngoài ra luận văn còn phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập ô-lôi, dựa vào kết quả nghiên cứu trong [2] và [5]

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Một số kiến thức bổ sung

Trong chương này chúng tôi trình bày lại những định nghĩa và tính chất quan trọng của tập lồi Đây là cơ sở để nghiên cứu một số tính chất của tập d-lôi

Chương 2 7áp ð-li

Trong chương này chúng tôi trình bày lại những định nghĩa và tính chất quan trọng của tập ỏ-lồi, dựa trên những tính chất đặc trưng của tập lồi, những tính chất có được do đặc tính riêng của tập ỏ-ÌÔi

Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày lại định nghĩa và đưa ra các ví dụ về tập ô-lồi

Trong mục 2.2 chúng tôi trình bày lại một số tính chất của tập ð-lồi

Đưa ra được một số nhận xét và phản ví dụ để làm rõ được mối quan hệ giữa tập lôi và tập ô-lồi

Chương 3 Định lý Helly

Trong chương này chúng tôi trình bày lại chứng minh Định lý Helly cho các tập lôi Ngoài ra chúng tôi còn phát biểu và chứng minh Định lý Helly cho các tập d-lồi, dựa vào kết quả trong [2] và [5]

Chúng tôi trình bày lại một số ví dụ ứng dụng của Định lý Helly cho các tập lôi và đưa ra một số ví dụ ứng dụng trực tiếp Dinh ly Helly cho các tập -lồi

Luận văn được hòan thành dưới sự hướng dẫn của TS Phan Thành An Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình, chu đáo và đầy trách nhiệm của Thầy

Tác giả xin cảm ơn sự chỉ bảo, dạy dỗ nhiệt tình và khoa học của các Thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Vĩnh, đặc biệt là PGS-TS Nguyễn Hữu Quang, TS Phạm Ngọc Bội, TS Nguyễn Duy Bình đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong thời gian học tập và đào tạo tại trường

Tác giả xin cảm ơn Th.s Phạm Hải Châu đã giúp đỡ trong thời gian tác giả làm luận văn để luận văn đạt kết quả cao hơn

Tác giả xin chan thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học của mình

Xin chan thanh cam on!

Vinh, thang 12 năm 2006

Tác giả

Chuong 1

MOT SO KIEN THUC BO SUNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại định nghĩa về tập lồi và nón lồi Đưa ra ví dụ về tập lồi, đồng thời hệ thống một số tính chất quan trọng của tập lồi và nón lồi, làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau

Giả sử zọo,#¡ € R”, À € |0 1], ký hiệu:

Chú ý: Theo định nghĩa, tập được xem là tập lồi

7

1.1.2 Ví dụ Giả sử z ¢ R",r € Rt thé thi B(x, r) va B(x,r) 1a cdc tập lồi Ngoài ra các hình tam giác, hình thoi, hinh vuong trong R? 1A cdc tap lôi

1.1.3 Định nghĩa (Xem /7J) Tập ⁄ C ]R” được gọi là nón có đỉnh tại 0, nếu:

+ được gọi là nón có đỉnh tại +, nếu /#£ — z là nón có đỉnh tại za

1.1.4 Định nghĩa (Xem /7J) Nón £ có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu

1.2.2 Mệnh đề (Xem /7J) Giả sử Aƒ C ]R" lồi, zị,z», #„ € M_ Khi

đó, A/ chứa tất cả các tổ hợp lồi của #, #¿, , #„

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp

a) m = 2: v6i moi Ao, Ay > 0,Ao + At = 1,zo,# € M, theo Dinh nghĩa 1.1.1, ta có

AÀoZo + Ài#t € À1

8

b) Giả sử mệnh đề đúng với Vi < k, ta ching minh ménh dé d6 ciing dting voi m = k + 1, nghĩa là

l1—À¡‡i =Ài + +À¿, >0

Bởi vì

À;

em nên theo giả thiết quy nạp, ta có

a) Hệ điểm {zo, z¡, , #„ } độc lập affine khi va chi khi với ¿ € {1, ,}

thì hệ {#o — #¿, #1 — 8, 8¿—1 — 8y #211 — Vi, ., Vm — ø¡} độc lap affine b) Trong R”, néum > n+ 1 thi hé {xo, 21, .,%m} phu thudc affine c) Hệ điểm {zọ, z¡, , z„ } độc lap affine khi va chỉ khi nếu Š” À;#; = 0

1.2.7 Dinh nghĩa (Xem [/3]) Tap M trong R” được gọi là /ổi ngặt nếu với mọi #, € ă,z # ,0 < À < 1 thì z := Àz + (1— À) € mtA

1.2.8 Chú ý Tính lồi ngặt phụ thuộc vào chuẩn đã cho trong IR” Chẳng

han ta xét trong R?,2 = (21,22), véi chuẩn Euclide: |z|| = v⁄#‡ + #§ thì hình tròn là tập lồi ngat, con v6i chuan |||] = max{|ay ||} thì hình tròn không phải là tap lồi ngặt

V6i méi x € R”, tập các điểm gần nhất của z đối với A1 được ký hiệu là:

Mựy:= 1, {` € AI: ` CAI : [+ — ÿ`| |lz — || = 1 inf Ile w||} xe

1.2.9 Dinh ly (Dinh ly Motzkin) (Xem [/3]) Cho A7 là tập đóng trong ïR" có hình cầu đóng (0, 1) lồi ngặt Khi đó A7 là lồi khi và chỉ khi với mỗi x € R”, Mz là tập chỉ có một phần tử

1.2.10 Mệnh đề (Xem (7J) _ Giả sử A/,(¿ c 7) là các tập lôi, với 7 là tập

1.2.12, Nhan xét (Xem [/3/)

a) convM la một tập lôi, đó là tập lôi nhỏ nhất chứa M

b) A1 là một tập lôi khi và chỉ khi MI = convM

c) convAJ là một tập lôi, đó là tập lôi đóng nhỏ nhất chứa M

1.2.13 Ménh dé (Xem [7]) Bao lôi đóng của A1 trùng với bao đóng của bao lôi À1, tức là:

c€önVA/ = convA/J Chứng minh Theo Mệnh 1.2.6 do convAƒ là tập lồi nên convA/ cũng là tập lôi Như vậy convA7 là tập lôi đóng chứa A7, từ Nhận xét 1.2.12 suy

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra €ðRVAƒ = convAf Oo

1.2.14 Ménh dé (Xem [7]) convM la tap hợp tất cả các tổ hợp lôi của

M

Chứng mình Gia sử Œ là tập tất cả các tổ hợp lồi của A⁄/ Vì convM là

tập lồi (Nhận xét 1.2.12) và ă C convA/ nên theo Nhận xét 1.2.2 suy ra

12

trong đó

a¡,bj¡ C A,Vi,j Cl

Shai =1, 9° 6) =1.0;,8; > 0 i,j € 1

iel jel Với Ö < À < 1, ta có

(1— À)z + À = }})(— À)œ;a + 3) Ađjb¿

Mà

Từ Mệnh đề 1.2.14 ta có ngay kết quả sau

1.2.15 Hệ quả Táp A1 là lôi khi và chỉ khi MI chứa tất cả các tổ hợp lôi của nó

1.2.16 Mệnh đề (Xem [12]) Bao lôi của tập mở là một tập mở

Để chứng minh Mệnh để 1.2.16 trước tiên ta chứng minh bổ đề sau 1.2.17 B6 dé (Xem J4J]) Nếu AI là tập lôi thì InLMT cũng là tập lôi

13

Chứng mình Lay x, € intM,x2 € M, hién nhién x2 € int Khi dé

ton tai lan cận U ctia x; sao cho U Cc M Dat

v= Ax, + (1 — À)#›¿, với 0 < À < 1

Ta có À/ + (1— À)z› là một lân cận của # và AU + (1 — Aja C M Suy

ra x € intA/ Do đó intA/ lôi

Ching minh Ménh dé 1.2.16 Gia sit M 1a tap mo, khi dé M = int,

+Ê = AordÐế + AigabÊ + + Au at

với a°# € AI, À;¿ >0(¿=0,1, ,&) và S)À;¿ = 1

¿=0

Do Ä⁄/ x [0 1| là tập compact nên tồn tại day con {k;} sao cho

À¡_,a = pa’

voia' € M, pw; >0(¢=0.1, ,k), Dw =1

i=0 Khi đó ta có

at pa? + puya! + + pa” € convM

1.2.19 Nhận xét Bao lôi của tập đóng chưa chắc là tập đóng ta xét vi

dụ sau

1.2.20 Ví dụ Trong IR? xét đường thẳng d và điểm a không thuộc d Bao lồi của d U {a} khong phai là tập đóng

1.2.21 Dinh ly (Dinh ly Caratheodory) (Xem [7]) Gid sit A CR” Khi

đó, mỗi điểm của tập convA1 là tổ hợp lôi của không quá n + 1 điểm khác nhan của AI

Chứng mình Xét tập hợp:

B=(1}xA=({(1.z):zcA4}cCRxR"

Ta có

convB = {1} x convA Giả sử kK; 1a non 16i sinh bởi B Khi đó

convB Cc Kp

Nếu (1,z) € conv? thì tồn tại z điểm (1,z¡), ,(1,#;) € và r số

Àt, , À„ VỚI r < m + 1 sao cho:

1.2.22 Ménh dé Xem [7] Gia str tap MZ C R” đóng, bị chặn Khiđó,

conv dong, tttc 1a:

Khi dé voi Vx € A, y € B,O<A<1, viz, y thudc tap 161 A U B nén ta

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta sẽ chứng minh Œ là tập lôi

chứa (4U PB) Hiển nhiên (4U B) C C, ta chứng minh Œ lồi Thật vậy, lấy u,v € Œ, giả sử

u = Ài#t + (L— À1)

v= Àz#› + (1 — Àz)1a

trong d6 21,22 € ,14,a € B và 0 < À¡,À›; < 1 Đặt

z:= Aut (1—A)v a) Néu A = 0 hoac \ = 1 thi z = v hoac z = u, nén hién nhiên z € Œ b) Nếu À¡ = 0 hoặc À¡ = 1 và À; = 0 hoặc À; = 1 thì ta có ngay z € 4

(1—A)(1—2)] [sa MHI N oa YL + XT=M)r(=Md= ae

= (a+8) (2501 + 5rr) +[1-(0+0)] [ata + Su]:

vi0 <a = <1.0<8—(1—d)\y < 1 Tathay

À-œ + 1—À-(

1-(a+ By" l-—a+ 8)

Do đó z € C Vay C là tập lồi

yo © B.

Chuong 2

TAP 6-LOI Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tập ỏ-lồi, trình bày lại định nghĩa và đưa ra các ví dụ về tập ỏ-lồi Hệ thống một số tính chất của tập 0-16i

Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sit M C R 1a tap 6-16i Lay hai diém x,y € M,d € [0,1] Gid st x < y; ay —@ < y— ay va dat:

b= 2(#A — #o}

3 Khi đó ta có

Vi M 1a 0-16i nén x, € M Vay A7 là tập lồi

2.2 MOT SO TINH CHAT

2.2.1 Mệnh đề ( Xem (4J) Giả sử Aƒ © R” 1a tap 0-léi va x,x, © M

Khi d6 néu Ja‘, a5 [C |za.#1]``M thì |lz, — z1|| < ổ o

Chứng mình — Giả sử ngược lại rằng: Với xo.zị € M va [2,2] C [vo,%1]\M ma || x’, — 2, || > 0 ta suy ngay || xo — 2 ||> ổ

Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa diamA/„ và độ thô ô của tập Aƒ 2.2.2 Mệnh đề (Xem J4) Giả sử A/ là tập khác rỗng và ổ-lồi trong R” với hình câu đóng (0, 1) là lồi ngặt thì điamA/„ < ở với mọi # € R”

Ching minh ˆ Giả sử ngược lại diamA„ > 6 Khi đó tôn tại #o, #ị € À/„

sao cho || ze — #¡ ||b ổ Vì A7 là tập ổ-lồi nên tôn z €]zo, #i[\A

Do tính lồi ngặt của (0, 1) nên ta có:

M := B(0.2)\{(wy) ER: @>y> 0h

thỏa mãn diamÄf„ < ở với mọi, x € R? Nhung M không phải là tập ỏ-lồi (chọn điểm (—1 3) và 6 -5) thì Định nghĩa 2.1.1 không đúng)

2.2.4 Hệ quả (Định lí Motzkin) (Xem J3J) Cho AT là tập lôi khác rỗng

trong IR“ có hình cầu đóng (0 1) lồi ngặt Khi đó với mỗi z € R", nếu tập A⁄„ khác rỗng thì A/,„ là tập chỉ có một phần tử

2.2.5 Mệnh đề (Xem [6]) Gia stt M C R” 1a 0-16i Néu x € convM va

Chứng minh mệnh đề 2.2.5 Theo Bồ đề 2.2.1 z € AM; với 2~! <n + 1<2.ViM CM C C Aƒ; nên tổn tại j € {1,2, i} sao cho

x € M; Ta chứng minh B(z, ue

a) Déi véi j = 1,2 € M, suy ra t6n tai a,b © M sao cho x € [a,b] Từ

)AM 4 @ bang quy nap theo j

tính ổ-lơi ctia M suy ra c6 x’ € [a,b] NM sao cho || a — 2” ||< 7 tức là

Ble, 3) OM 46

b) Gia sử định lý đúng với j = p— 1 Với p < ¡ ta chỉ ra rằng nếu z € ă,

thi B(x, 2°) AM 0 Gid site = (1 d)ay + Aøi,À € [0,1] 6 day

Theo (2.1) và (2.2) thi || « —a! ||< ¬ Tức là Đ(z, =) nAI#0 oO

2.2.7 Nhận xét Nếu M la tdp 6-ldi tht M la tap 6:-léi, voi moi 6: > 6 2.2.8 Ménh dé Xem [6] Néu M C R®” Ja ỏ-lồi, thế thì z¡, ,z„ € M

va

iN frecone (ar p.08 18% 1z} l|#i — «|| >ỏ

với mọi ? = 1.2, ,m va m > 2 suy ra tn tai A; > 0,7 = 1.2, ,m sao cho $y" Ai = 1 va 37 Nias € M

Chứng mình Ta chứng minh quy nap theo m

a) Với = 2 mệnh đề luơn đúng

b) Gia sit ménh đề đúng với — 1 Lấy z\, ,z„„ € ƒ sao cho

v6i moi? = 1.2, , m Ti d6 suy ra

Chuong 3 ĐỊNH LÍ HELLY

Trong chương này chúng tôi trình bày lại chứng minh Định lý Helly cho các tập lồi Dựa trên kết quả của tài liệu [2] và [5] chúng tôi phát biểu

và chứng minh Định lý Helly cho các tập ỏ-lồi Chúng tôi cũng trình bày lại một số ví dụ ứng dụng của Định lý Helly cho các tập lôi, đưa ra một

số ví dụ ứng dụng Định lý Helly cho các tập 6-16i

3.1 ĐỊNH LÍ HELLY CHO CÁC TAP LOI

3.1.1 Dinh li Helly (Xem [1/2] va [13J) Cho F` là họ hữu hạn các tập lôi trong IR" chứa ít nhất n + 1 phần tử Điêu kiện cân và đủ để mọi phần

tử bất kỳ thuộcEF` có điển chung là n + 1 phần tử bất kỳ thuộc F` có điển chung Nếu họ P` là họ tuỳ § thì phải giả thiết thêm mỗi phần tử của F là

compact

Chứng minh a) Xét trường hợp thứ nhất: F gồm có ? phần tử (m > +1)

Ta chứng minh quy nap theo m

+) V6i m = n + 1: hiển nhiên đúng

+) Giả sử định lý đúng đến r = k > ø-+ 1, ta chứng minh định lý cũng đúng với m =k +1 Ky hiéu ;,7 = 1, ,rm là các phần tử của F Ta cần chứng minh

sao cho

Do d6 trong cdc a;,7 = 1, ,k + 1 c6 ca gid tri 16n hon 0 va giá trị bé

thua 0 Không mất tính tổng quát, giả sử œi > 0, ,d; > Ö,đ¿¡i <

tổ hợp lồi của z¡, , z:, mà #, , z; thuộc tập lôi 2; ¡ (1 f1!-¡¡ Theo Mệnh đề 1.2.5 tổ hợp lôi của nó cũng thuộc #,,¡ (` f1 F;¡¡ Vì thế

y © Poi 0 Fey

Suy luận tương tự, khi 7 € {s + 1, ,& + 1} thì z; € Ứ1, , '>, tức là

a € FN Fs,

25