điều kiện đại số ma trận đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên itô tuyến tính luận văn thạc sĩ toán học

15 1.3 Tính ổn định tiệm cân với xác suất một của hệ phương trình ngẫu nhiên ltô tuyến tính .... 18 ĐIỀU KIỆN ĐẠI SỐ MA TRẬN ĐỐI VỚI TÍNH ỒN ĐỊNH TIỆM CẬN 2.1 Các khái niệm và tính chất

Mổđầu .Ặ ee 2 MOT SỐ KIÊN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ON DINH CUA HE

1.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn dịnh 4 1.2 Tinh 6n dinh tiệm cận của một số dạng hệ phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất 9

1.21 Tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi

phân tuyến tính thuần nhất 9

1.2.2 Bây giờ ta xét tính ổn dịnh tiệm cận của hệ vi

phân không dưa dược về dạng Cauchy 15 1.3 Tính ổn định tiệm cân với xác suất một của hệ phương

trình ngẫu nhiên ltô tuyến tính 18 ĐIỀU KIỆN ĐẠI SỐ MA TRẬN ĐỐI VỚI TÍNH ỒN ĐỊNH TIỆM CẬN

2.1 Các khái niệm và tính chất ổn định tiệm cận của hệ tất

định với tham số, 26

2.2 Tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ vi phân

ngẫu nhiên Itô tuyến tính chứa tham số / 29 2.3 Diéu kiện đại số ma trận dối với hệ vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính tổng quát 32

Tài liệu tham khảo 2.0.0.0 00000000008 40

Mở đầu

Dể nghiên cứu quá trình hoạt động của một hệ thống (dù là hệ

thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống kinh tế-xã hội ) chúng ta có

thể biểu diễn hoạt động của nó dưới dạng một phương trình hoặc một

hệ phương trình vi phân Tuy nhiên trong thực tế, mỗi một hoạt động, ngoài các yêu tố chính tác động tạo ra các hoạt động đó, nó còn chịu

sự chi phối của một số yếu tố ngẫu nhiên khác nữa Hơn thế, trong quá

trình tạo ra các sản phẩm, các hoạt động nói trên còn tạo ra một số

sản phẩm phụ đi kèm làm cho quá trình hoạt động bị suy biến chút ít

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với

xác suất một của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính suy biến có dạng sau:

DydX* = (An XE + AisY°) đt + À 2 (BÌXỀ + BỊ,YÊ) duy,

trong đó > 0 bé tuỳ ý là hệ số suy biến, X*(?) € R", Y*(t) € R”,

DỊ, D là các ma trận hằng không suy biến, Bi = BK (e), i,j = 1,2,

là các ma trận hằng phụ thuộc vào tham số gây nhiễu e w = w(t) = (wi(t), we(t), - , w,(t)) 1A qua trinh Wiener ding r chiéu, BE (0) =0 Việc nghiên cứu tính ổn định của hệ vi phân nói riêng và lý thuyết

ổn định nói chung, đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và nghiên cứu như: R 2 Hasminskij, Yu A Mitropol'skij, D G

Korenevskij và Peter E Kloeden Dựa vào các kết quả đã có và bằng

cách sử dụng phương pháp hàm Liapunov luận văn đã đưa ra một số điều kiện để hệ nói trên ổn dịnh tiệm cận với xác suất một trong trường

hợp ma trận B bất kì và trường hợp B không suy biến

Luận văn gồm hai chương

Chương I Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính

"Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về lý thuyết ổn định và một số tính chất cơ bản của một số hệ phương trình vi phân,

vi phan ngẫu nhiên

Chương II Diều kiện đại số ma trận dối với tính ổn định tiệm cận với

xác suất một

Chương 2 là kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi đưa ra và chứng minh một số điều kiện đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính nói trên và tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân tất

định tương ứng

Luận văn được thực hiện tại trường Dai hoc Vinh dưới sự hướng dẫn

trực tiếp của PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Văn Quang, TS Nguyén Trung Hoa, PGS TS Tran Xuan Sinh, các thầy giáo phản biện cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tao sau Đại học và các bạn trong lớp cao học 12 Toán đã thường xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hà Tĩnh, trường THPT Trần Phú Hà Tĩnh đã tạo diều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân

đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khoá học

Vinh, tháng 12 năm 2006

Tác giả

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản và một số ví

dụ về lí thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân Dồng thời đưa ra

và mở rộng một số kết quả về tiêu chuẩn ổn định của R Z Has`minskij,

Yu A Mitropol’skij va D G Korenevskij

1.1 Các khái niệm cơ bản của lí thuyết ổn định

Xét hệ phương trình vi phân tất định sau

SE = fi(:9: ca) G= Ln), (1.1)

trong dé t 1a mot bién doc lap yi(t), yo(t), -, yn(t) 1A cc ham can tim, ƒ; là các hàm xác định trong ban tru

T=Y,x Dy, Y;* = (to; 00),

véi D, 1 mot tap md trong R” va to 1A mot hing sd, c6 thé bing —oo

Để ngắn ngọn ta có thể viết (1) dưới dạng

dY |

ở đây ta giả thiết rằng hàm véctd F(t, Y) trong mién T liên tục theo #

và có các đạo hàm riêng cấp 1 theo các biến yy, ›, , „ liên tục Định nghĩa 1.1 (2Ì) Nghiệm Z = Z(f), (a<f< œ) của hệ vi phân (1.2) được gọi là ổn định theo Liapunou khi t — 00 (hay ổn định), nêu Ve > 0 Va fạ € (a;o), tồn tại ô(e,fạ) > Ö sao cho tất cả các nghiệm Y(f) = Y của hệ (1.2) (bao gồm cả nghiệm Z() ) xác dịnh trong khoảng (fo; o) thoả mãn:

I|¥ (to) — 2(to)|| < 6

Thì ta có

Y(t) — Z(t)|| <e Vt > to

Nói cách khác, nghiệm Z(t) 6n dinh, néu cc nghiém Y(t) kha gan với nó ở thời diém ban dau ty bat ki sé hoan toan nim trong ống e nhỏ tùy ý được dựng quanh nghiệm Z(t)

Nhận xét 1.1 Trường hợp đặc biệt F(t,0) =0 nghiém Z(t) =0(a<

t < œ) ổn định nếu uới tợi e > 0 tồn tại ỗ = ð(e,fạ) sao cho bất dẳng thúc

IY (to) || < 6 Keo theo bất đẳng thúc

|Y(0|l<s kh¿ tạ <t < ©

Ví dụ 1 Xét hệ vi phan:

dy † Y2

8/2 —,

Dễ thấy (z¡(): zz(f)) = (0;0) là một nghiệm của hệ Bây giờ ta sẽ

chứng minh nghiệm này ổn định theo Liapunov

"Thật vậy ta có nghiệm tổng quát của hệ là

(y(t), yo(t)) = (Acos(t — a), —Asin(t — a)), trong đó A va œ là các hằng số tùy ý Với fạ = 0, khi đó với mọi e ta chọn ở = e ta có, nếu

|(ui(0) 2(0)) — (21(0), 22(0))I = I1@1(0), y2(0)) |] = [Al < 6

suy ra

lu), volt) — (2x4), 22(t)) I = In (4), v(t) = [A] < 6 =e

Vậy theo Nhận xét 1.1 nghiệm không của hệ dã cho ổn định theo Lia- punov

Định nghĩa 1.2 ([2]) Nghiém Z = Z(t) (a < t < ©) của hệ (1.2) dược gọi là không ổn định theo Liapunoo, nếu với e > 0, fạ € (ø; œ) nào

đó và ổ > 0 tồn tại nghiệm Y2(f) (ft nhất một nghiệm ) và thời điểm

ty = t1(0) > to sao cho

[¥i(to) — Z(to)|| <6 va |IYs(n) — Z(0)||><:

Nhận xét 1.2 Trường hợp nếu F(t,0) = 0 thì nghiệm Z(t) =

0 (a<t <0) không ổn định, nếu tới e > 0, fạ € (a;o©) nao dé va

5 > 0 tôn tại nghiệm Y3(f) (ñt nhất một nghiệm) va thời điểm †\ > to

sao cho

I|¥5(to)|| < ổ sà |[Ys(i)|| > <:

Định nghĩa 1.3 ([2]) Nghiém Z = Z(t) (a<t < oo) cia hé (1.2)

được gọi là ổn định tiệm cận theo Liapunov khi † — oo nếu:

(1U Nó ổn định theo Liapunov và

(2) Với mọi fạ € (a;œ) tồn tai A = A(to) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) (to <t < 00) thoa man điều kiện

|| ¥ (to) — Z(to) |< A

thi

lim || Y(t) — Z(t) ||=0

too

Nhận xét 1.3 Trường hợp đặc biệt, F(t,0) = nghiệm tầm thường

Z(t) =0 ổn định tiệm cận, nếu nó ốn dinh va

mY() =0 #hi |Y(o)||< A —00

Vi du 2 Xét hé phuong trinh vi phan sau:

A

a= —2y1 It Ù2

2 _ _3

Dé thay (2:(t); zo(t)) = (0;0) 1A mot nghiệm của hệ phương trình

da cho Ta sé chttng minh nghiém nay 6n dinh tiém cận Thật vậy, với

to =0 dat y,(0) =a va yo(0) = b, dễ thấy nghiệm của phương trình c6 dang (yi(t); yo(t)) = (ae-*; be **) Voi moi e > 0 chọn ð = e khi đó nếu

ll(¡ (0): 2(0)) — (zi(0): z2(0))||= Va? + b2 < ổ

thì

Mn); volt) — (a); 2) = Wn); yot))|I

< Vet <b=€e Vt > 0, vậy nghiệm không của hệ ổn dinh theo Liapunov Hơn nữa ta có

jim \|(y.(t); yo(t)) || = jim Va2e~1! + b2e~8! = 0

Theo Nhận xét 1.3 nghiệm không của hệ ổn dịnh tiệm cận

Bây giờ chúng ta xét hệ phương trình vi phân

n

% ~ 2900) + f(t) (j=1,n), (1.3)

trong đó các hệ số a;z(£) và các số hạng tự do ƒ;(?) liên tục trong khoảng (a; œ), ở đây ø có thể là một số hoặc —oœ

Ta viết phương trình (1.3) dưới dạng ma trận _ vectơ như sau:

= = A(t)Y + F(t), (1.4)

trong d6 ma tran A(t) va vecto F(t) lién tuc trong khoang (a; 00)

Hệ phương trình thuần nhất tương ứng với hệ (1.4) là:

Tà có các khái niệm sau dây:

Định nghĩa 1.4 ({2|) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) dược gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm Y = Y(f) của nó tương

ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi £ — oo

Nhận xét 1.4 Các nghiệm của hệ ơi phân tuyến tính hoặc dồng thời cùng ổn định hoặc đồng thời cùng không ổn định

Định nghĩa 1.5 ([2]) Hệ vi phân tuyến tính (1.4) dược gọi là ổn định tiệm cận nêu tất cả các nghiém Y(t) ổn dịnh tiệm cận khi # — œ Định lí 1.1 (2|) Điều kiện cần oà đủ để hệ ui phân tuyến tính (1.4)

ổn định uới số hạng tự do bất kà F() là nghiệm tầm thường

Yo=0 (ty <t<00, ty € (a;00)) của hệ thuần nhất tương ứng (1.5) ổn định

Định lí 1.2 (2|) Hệ ơi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiêm cận khi nà chỉ khi nghiệm tầm thường Yọ = 0 của hệ thuần nhất tương ứng (1.5)

ổn định tiệm cận khi t > oo

Vậy theo các kết quả trên, để nghiên cứu tính ổn định (ốn định tiệm

cận) của hệ vi phân tuyến tính ta chỉ cần nghiên cứu tính ổn định (tương ứng 6n đỉnh tiệm cận) của nghiệm tầm thường của hệ vi phân

tuyến tính thuần nhất tương ứng Sau đây là một số tính chất về tính

2 * Ă ^ 2 ~ £ ^ ^ £ ⁄ ^ 4

ồn định tiệm cận của một số dạng hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.2 Tính ổn định tiệm cận của một số dạng hệ

phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

1.2.1 Tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân

tuyến tính thuần nhất

trong đó A = [a] là ma tran hing cap (n x n)

Dinh lí 1.3 ([2]) Hệ vi phân tuyến tính thuan nhat (1.6) vdi ma tran hang A 6n dinh khi va chi khi tắt cả các nghiệm đặc trưng À¡ = A;(4) của A đều có các phần thực không đương, tức là

Red(A) <0 (0=1m)

va các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không đều có ude co ban đơn

Định lí 1.4 ([2]) Hệ ơi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ới ma trận

hằng A ổn định tiệm cận khi oà chỉ khi ma trận A ổn định, tức là

ReA,(A)<0— (=1mn)

Chứng mình Diều kiện đủ Giả sử ÀI, -, X„ (m < n) là tất cả các nghiệm đặc trưng cua A va Red; < 0 (7 = 1, - ,m) Mặt khác mỗi nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.6) có dạng

ổn định tiệm cận

Điều kiện cần Giả sử hệ (1.6) ổn định tiệm cận Khi đó hệ nay sẽ

ổn định theo Liapunov khi £ — oo nén theo Dịnh lí 1.3 ta có

Rer; <0(j =1, - ,m)

Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm dac trung A, = 7G, (1 < k <m) sao cho

Rer;, = 0

Khi dó nghiệm của hệ (1.6) có dạng

Z =e! C = (cosGyt + isinB,).C, trong dé C 1a vectơ cột khác không Vì vậy ta có

Định nghĩa 1.7 (2Ì) Hàm V(, X) dược gọi là zác định đương (các định âm) trong Zạ nếu tồn tại hàm œ(X) € C(||X||< h) sao cho V(t, X) >w(X)>0 (tương ứng V(,X) <œ(X)<0) với ||X||#0

Định nghĩa 1.8 ((2]) Ham V(t, X) được gọi là hàm có giới hạn 0ô cùng bé bậc cao khi X —› 0 nêu với mọi fạ > ø nào đó ta có V(, X) — 0 trên [fạ,oo) khi X — 0, tức là với mọi e > 0 tồn tại ổ = ổ(e) > 0 sao cho

IV(.X)|<e

khi ||X|| < ð và £ € [fạ; ©)

Để giải các bài toán về lí thuyết ổn định ta cũng cần chú ý một khái

niệm quan trọng sau đây

Cho hệ phương trình vi phân

Định lí 1.5 (Dịnh lí thứ hai Liapunov)(|2]) Giá sử hệ (1.7) tồn tại một ham sác định dương V(t,X) € (Tạ) có giới hạn uô cùng bé bậc cao khi X — 0 va có dạo hàm theo t rác dinh am V(t, X) trong nghĩa của

hệ đó Khi đó nghiệm tầm thường của hệ ổn định tiệm cận khi t — co

Từ định lí trên ta suy ra một hệ quả quan trọng cho hệ (1.6)

Hệ quả 1.1 ([2]) Đối với hệ (1.6), nếu tồn tại một hàm sác định đương V{(t,Y) € cl? (T) C6 gidi han v6 cting bé bậc cao khi Y > 0

va r <0 trong nghia ctia hé (1.6) thi nghiém Y = 0 ctia hé dé on

dinh tiém can khit — oo

Dựa vào Hệ quả 1 ta đưa ra các tính chất về điều kiện đại số ma trận để nghiệm không của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) ổn

định tiệm cận theo Liapunov

Định lí 1.6 ([2]) Nghiệm không của hệ (1.6) là ổn định tiệm cận theo Liapunov néu ton tai ma tran đối rứng, xác định đương H thoả mãn phương trình

Chứng trinh Giả sử tồn tại ma trận đối xứng, xác định dương H là

nghiệm của phương trình Liapunov (1.8) ta xét hàm số

vì TH+ HA=-ŒG_ là ma trận xác định âm, do đó WEY) <0 Theo

Hệ quả 1.1 nghiệm không của hệ (1.6) ổn định tiệm cận L]

Định lí 1.7 (Định lí thứ 3 Liapunov)(|2]) — Giả sử hệ (1.7) tồn tại ham V(t, X) € Crx (Tp) có giới hạn ô cùng bé bậc cao khi X — 0 tà

có đạo hàm có dấu xác định V(t, X) theo † trong nghĩa của hệ Nếu tới

mot ty > a nado dé trong lan can bat ki ||X|| < A < h < H tôn tai diém (to, Xp) sao cho dau ctia hàm V(t, X) trừng tới dấu của dạo hàm Ví(t,X), tức là sao cho

V (to, Xo).V (to, Xo) > 0 thà nghiệm tầm thường X = 0 của hệ (1.7) không on dinh theo Liapunov khit — oo

Hé qua 1.2 ([2]) Déi vdi hé (1.6) néu ton tai mot ham V(t,Y) €

Cy (10) có giới hạn v6 cting bé bac cao khi Y — 0 va c6 dao ham cé dấu xác định V(t, Y) theo † trong nghĩa của hé Néu vdi mét to > a nao

d6 trong lan can bat ki \|Y || < A <h < H tồn tại điểm (to, Yo) sao cho déu ctia ham V(t, Y) tring uới dấu của dạo hàm V(t, Y), ttéc là sao cho

V(to, Yo)-V (to, Yo) > 0 thà nghiệm tầm thường Y = 0 ctia hé (1.6) khong on dinh theo Liapunov khit — oo

Từ hệ quả trên ta có định lí sau

Định lí 1.8 ([5]) Nếu ma trận A 6n dinh (Hurwitz) tic la Red;(A) <

0, j=1,n_ thà tồn tại duy nhất ma tran đối rứng vác dinh duong Ho

là nghiệm của phương trành Liapunou

ATH) +HA=-G

trong đó Œ là ma trận đối xứng xác định duong tiy 4, cap n x n Với các kết quả trên ta có thể chứng minh dược một định lí dóng vai trò rất quan trọng đối với lí thuyết ổn định và ứng dụng

Dinh lí 1.9 Ma trận A xác định âm khi oà chỉ khi A là ma trận ổn định, túc là ReA;(A) < 0

Ý nghĩa của dịnh lí này là chuyển diều kiện ma trận xác dịnh âm thành điều kiện ma trận ổn định (Hurwitz) từ đó sử dụng phần mềm máy tính để kiểm tra tinh Hurwitz cia ma trận suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân

Chứng mình Xét hệ phương trình

dX (t) = AX(t)dt

Trước hết theo Dịnh lí 1.4 thì hệ trên ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

ma trận 4 ổn dịnh

Điều kiện cần Chọn hàm V = XTX khi đó V là hàm xác định dương,

có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X — 0

Mặt khác đạo hàm của V theo t trong nghĩa của hệ trên là

Điều kiện di Giả sử ma trận A 6n định theo Định lí 1.8 tồn tại một

ma trận !ĩạ đối xứng, xác định dương sao cho ma trận AT ạ+ HạA đối xứng, xác định âm, tức là

XT(ATH) + HoA)X <0 VX ER"

& XTATH)X +XTHAX <0 VX ER", X40

& (XTH)AX)? + XTH)AX <0 =VX 40

Suy ra A la ma tran xaéc dinh 4m

1.2.2 Bay giờ ta xét tính ổn định tiệm cận của hệ vi phân

không đưa được về dạng Cauchy

Từ những kết quả của hệ phương trình vi phân thuần nhất (1.6) ta có

các khẳng định sau về sự ổn định tiệm cận của hệ (1.9)

Nhận xét 1.5 Nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận khi va chỉ khi ma tran D“!A ổn dinh (Hurwitz)

Vì hệ (1.9) tương dương với hệ (1.10) nên ta cũng dé dàng suy ra

được định lí sau

Định li 1.10 ([2]) Néu ton tai mot ham s6 V(X, t) xác định đương có

giới hạn 0ô cùng bé bac cao khi X — 0 sao cho dao ham ctia V theo t trong nghĩa của hệ (1.9) âm thà nghiệm không của hệ đó ốn định tiệm

can

Bổ đề 1 (4l) Nếu nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiêm cận thi ton tai duy nhất một ma trận H đối xứng, tác định dương là nghiệm của phương trình ma trận Liapunou

tới Œ là ma trận đối rứng xác định dương tùy y, cap n x n

Chứng mình Điều kiện cần: Giả sử nghiệm không của hệ (1.9) ổn định

tiệm cận khi đó theo Dịnh lí 1.8 tồn tại duy nhất một ma trận Ủụ đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình

(D1A)*Hụ + HọD~}A = —G

e© AT(Dˆ'JTHụ + HạD"1A = ~G

Đặt W = (D!)THụẹD — Dễ dàng kiểm tra !ï là ma trận đối xứng, xác

định dương và H là nghiệm của phương trình

ATHD+ DTHA = -Œ,

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhat cia H, that vay

Điều kiện đủ: Xét hàm

Ví,X) = XTDTHDX,

khi đó V(t,X) là hàm có giới hạn vô cùng bé khi X — 0 và xác định dương Mặt khác

<0

sử dụng phần mềm máy tính, kiểm tra va tim

Dể thuận lợi cho việc

miền ổn định tiệm cận của hệ (1.9) Ta có một điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận thông qua định lí sau

Định lí 1.12 Nghiệm không của hệ (1.9) ổn định tiệm cận néu ma

tran ATD + DTA ốn định

Chiing minh Chon ham Liapunov cé dang V = XTDTDX

Khi đó ta có dạo hàm của hàm V theo t trong nghĩa của hệ (1.9) là

(1.9) ổn định tiệm cận

Sau đây chúng ta xét hệ phương trình vi phân tuyến tính bị gây nhiễu bởi một quá trình ngẫu nhiên W©iner

17

1.3 Tính ổn định tiệm cân với xác suất một của

hệ phương trình ngẫu nhiên Itô tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính

dX*(t) = AX*(t)dt + B(e) X°(1)du, (1.11)

(Xf(0) = Xo, t 2 0), (1.12)

trong đó X*(f) € R”, A, B(e) 1a céc ma tran hang cép n x n, B= P(e) là hệ số gây nhiễu phụ thuộc vào tham số gây nhiễu e va (0) =

0 w(t) la qué trinh Wiener

Hệ phương trình (1.11) có hệ phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là hệ (1.6)

Định nghĩa 1.10 ({9]) Nghiệm không của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính (1.11) được gọi là ổn định theo Liapunou tới xác suất một nêu Ve > 0, Vfạ > 0 ta có

lim Pf sup || Y(t) ||>e | Y(0) = 1 =0

fọ—>œ t>to

Định nghĩa 1.11 ([7]) Nghiệm không của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính (1.11) được gọi là én định tiệm cận theo Liapunou tới xác suất một nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:

(i) N6 ổn định theo Liapunov với xác suất một;

(ii) Tén tai 6 > 0 sao cho

fo tty

at lim sup || Y(¢) ||]=0 | Y(0) = yo, || yo ||< 3} = 1

Định lí 1.13 (Ghie man)( [5]) Nếu tồn tại một hàm xác định đương (hàm Liapunov) V(X*) sao cho E {2G _.} < 0 trong nghĩa của

hệ (1.11) thì nghiệm không của hệ đó on dinh tiém can theo Liapunov uới xác suất một

Bây giờ chúng ta quan tâm dến các trường hợp của ma trận B(e) của tham số gây nhiễu là bất kì hay không suy biến

Trường hợp ma trận B là bất kì:

Ta xét hàm số có dạng toàn phương sau

V(X°) = (X?)f®HạX°, trong đó Họ là nghiệm của phương trình Liapunov (1.8), dễ thấy V(XÊ)

là hàm xác định dương Mặt khác đạo hàm của V theo t trong nghĩa của hệ (1.11) là

+HụP) di

dV(X:(

SE jo dt Xe=X } = XT(ATHụ + HụA + BHụB)X

Kì vọng trên âm nếu ma tran A? Hy) + HọA + BTHụB là xác định âm

từ đó ta có kết luận sau

Định lí 1.14 (Định lí diều kiện đủ) Giả sử ma trận A ổn định thì nghiệm không của hệ (1.11) là ổn định tiệm cận theo Liapuno0 tới xác suất một nếu 1na trận ATHụ + HụA + BTHụB xác định am, trong dé

Họ là nghiệm của phương trình Liapunov (1.8)

Từ kết quả của định lí trên ta có thể đưa ra điều kiện cần và đủ

đối với tính ổn định tiệm cận với xác suất một của hệ (1.11) thông qua

định lí tiếp theo

Định lí 1.15 (Định lí điều kiện cần và đủ ) Giả sử ma trận A ổn định,

điều kien can va đủ để nghiêm không của hệ (1.11) ổn định tiệm cận theo Liapunov tới xác suất một là tồn tại ma trận đối rứng, xác định dương H nghiêm của phương trình ma trận đại số

ATH+ HA+ BDTHD = -Œ,

trong đó GŒ là ma trận đối xứng xác định dương tùy J, cấp n xn

Dinh lí 1.16 Giả sử ma trận A ổn định thà nghiệm không của hệ (1.11) on định tiệm cận oới xác suất một nếu rma trận AT + A + BTB

suất một

Trường hơp ma trận B không suy biến:

Điều kiện ổn định tiệm cận trong Định lí 1.14 và Định lí 1.15 sẽ trở

nên đơn giản hơn nếu thêm giả thiết ma trận của tham số gây nhiễu là không suy biến