môđun artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở

MỞ ĐÀU Cho R, m là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy nhất là m; 4 là một R®-môđun Artin, Ä⁄ là một R#-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d.. Cũng trong bài

MỞ ĐÀU

Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy

nhất là m; 4 là một R®-môđun Artin, Ä⁄ là một R#-môđun hữu hạn sinh với

chiều Krull dim M = d

Năm 2002, N T Cường và L T Nhàn [6] đã nghiên cứu tính chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Annz(0 :¿p)=p với mỗi iđêan nguyên tố p 5 Anns44

và họ gọi tính chất này là tính chat (*) Tinh chất (+) luôn đúng khi vành cơ

sở là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành # không đầy đủ, họ đã chỉ ra ví dụ về

sự tồn tại môđun Artin không thỏa mãn tính chất (+ ) Cũng trong bài báo nảy

họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một môđun Artin 4 thỏa mãn tính chất (*) là chiều Noether của 4 bằng chiều Krull của 4 Tính chất này ngày càng được quan tâm trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu han sinh

và cầu trúc của vành cơ sở

Năm 2007, N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [5] đã chỉ ra mối

liên hệ giữa tính chất (*) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng điều

địa phương cấp cao nhất #„ (Ä⁄) thỏa mãn tính chất (*) khi và chỉ khi vành

R/ Anng( HẠ (M)) là catenary Phát triển kết quả này , L T Nhàn và T.N An [9] đã nghiên cứu một lớp môđun rộng hơn, lớp môđun Artin tựa không trộn

lẫn Một R-môđun Artin 4 được gọi là tựa không trộn lẫn nếu dim#/p = dim#/ Ann, 4 với mọi peminAtt, 4 Trong [9], họ đã chỉ ra mối liên hệ

giữa tính catenary của vành, tính chất (*) và chiều của môđun Artin tựa

không trộn lẫn Ngoài ra cũng trong bài báo này L T Nhàn và T.N An đã đưa ra điều kiện cần và đủ đề môđun đối đồng điều địa phương 77; (Ä) với giá là iđêan cực đại thỏa mãn tính chất (*) thông qua tính catenary của vành

cơ sở và chiều của môđun #?„ (A⁄) Khi đó kết quả chính trong [5] trở thành

hệ quả của kết quả này

Nội dung chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo

[9] của L T Nhàn và T N An

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương

Trong chương nay, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số

giao hoán nhăm làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2 như: Iđêan nguyên tố, iđêan tối đại, iđêan nguyên tố liên kết, chiều Krull của vành và môđun, chiều Noether, Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh để nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần Sau

Chương 2 MÔĐUN ARTIN TỰA KHÔNG TRỘN LÀN VÀ TÍNH

CATENARY CỦA VÀNH CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả trong bài báo [9] của

Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An Cụ thể là chúng tôi sẽ trình bày những vấn đề sau

2.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn và tính catenary của vành cơ sở

2.2 Môẩun đối đồng điều địa phương và tính catenary của vành cơ sở

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình

của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc đến cô hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn

tan tinh, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực

hiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo thuộc Chuyên ngành Đại

số và Lý thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau Đại học — Trường Đại hoc Vinh — đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn khoa học

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu theo chương

trình liên kết đào tạo sau đại học giữa hai Trường Đại học Vĩnh và Đại học

Sai Gon

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong được sự chỉ bảo của quý thầy, cô và các bạn bè học viên

Tác giả Điêu Thị Thu Hương

CHƯƠNG 1 KIEN THUC CHUAN BI

Chương này sẽ trình bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán như: lđêan nguyên tổ và iđêan tối đại, iđêan nguyên tổ liên kết của môđun, phổ và giá của môđun, vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic, biểu diễn

thứ cấp, chiều Krull của vành và môđun, chiều Noether và hệ tham số của

môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, đối ngẫu Matlis, đồng cấu phẳng và một số bỏ đề sử dụng chứng minh ở Chương 2

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại

Iđêan p của vành # được gọi là /đêan nguyên tổ nếu p # R và Va.beR

mà abep thiaep hoac bep

lđêan m của vành # được gọi là idéan đối đại nễu m # R và m không

thực sự chứa trong một iđêan Q # R của #, nghĩa là nếu tồn tại iđêan Ø của vành # mà m Øc # thì Ó = m hoặc Ó = #

1.2 Phổ và giá của môđun

1.2.1 Phố của vành Kí hiệu SpecRR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành ® Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R

Với mỗi iđêan 7 của 8 ta kí hiệu VỢ)={pSpecR|p=1}

1.2.2 Giá của môđun

Tập con SuppÄ⁄ ={peSpeck|M, #0} của Spec# được gọi là giá của môđun M

Với mỗi x e M ta kí hiệu Ann,(x)={ae R|ax =0}

Amnr(M)={ac R|aM =0) ={ae R|ax=0,Vx c M}.

Ta có Ann,(x) va Ann,(1⁄) (hoặc Ann(x) và Ann(M) nếu không đề

ý đến vành #) là những iđêan của vành #, Amn,(x)được gọi là linh hóa we

của môđun 4⁄ Hơn nữa, nếu Ä⁄ là R-môđun hữu hạn sinh thì

SuppM = V(Ann,M)={peSpecR|Ann,M cp}

1.3 Idéan nguyén t6 lién két

1.3.1 Định nghĩa Cho A⁄ là một R-môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của R

là iđêan nguyên tô liên kết của M nếu tồn tại phần tử x e M, x # 0 sao cho

p=(0:, x)=Ann,(x)

Tap cac idéan nguyén tố liên kết của M được kí hiệu là AssgM (hoặc

Ass1⁄ nếu không đề ý đến vành ®)

AssM = {pe SpecR|p = Ann(x) voix € M}

1.3.2 Tính chất (ï) p là iđêan nguyên tố liên kết cua M khi va chỉ khi tồn tại mot médun con Q cua M sao cho O=R/p

() Gọi 3 = {Ann(+x)|xe A⁄Z} Khi đó nếu p là phan tir t6i dai cua thì p là iđêan nguyên tó liên kết của Ä

(iii) R 14 vanh Noether va M là Ñ-môđun Khi đó, AssM⁄ # & khi va chi khiM #0 Hon nita, néu M 1a R-médun Noether thi tập AssM là tập hữu hạn

(iv) Cho M 1a R-médun là môđun con cua M thi AssN Cc AssM

(v) Cho M là R-médun Khi 46, AssM cSuppM Néu peSuppM va

p t6i tiéu trong Supp theo quan hé bao ham thi pe AssM

1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m -adic

Vành # được gọi là vành địa phương nêu nó chỉ có duy nhất một iđêan tối đại.

Cho (,m) là một vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất m Ta xét

R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mí, với / = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tir tuy y re R gdm cac lop ghép r+m! voit = 0,1,2 Khi đó vành đẩy đủ theo tôpô m -adic của R ki hiệu bởi R được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một đấy Cawuechy trong ® là một dãy (z„) các phần tử của # sao cho với mọi / > 0, tồn tại số tự nhiên zy để z„—r„ em với mọi

h, m >ñnạ

Day („) được gọi là hội về dãy không nếu với mọi / > 0 tổn tại số tự

nhiên ø để 7+—=z„ em” với mọi 7 > nN

Hai dãy Cauchy (z„) và (s„) được gọi là hai dãy /zơng đương, kí hiệu là

(7, ) ~ (s„) nếu dãy (r, -s,) là dãy không Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy

Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng néu (7,) va (s,) là các day Cauchy thi cdc day (7,+5,), (7,5, ) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (x, +s,),

r,5,) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

đương của các dãy (¡„) và (s„) tức là nếu (z„)~(r,) và (s,)~(s;) thi

(,+s,)~(r;+s„) và (r„s„)~(r;s,) Vì thế R được trang bị hai phép toán

hai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, R lập thành một vành Mỗi phần tử re “ có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là z Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

ROR

rei

trong đó (z) là dãy mà tắt cả các phần tử của nó đều là z

Định nghĩa tương tự cho môđun 3⁄ với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{m'M} Khi đó M là một #-môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho

^

a =(a,,a,, )€ R, X=(X.,X;, )€ M Ta có ax =(a,X,,a,X,, )eM

1.5 Chiều Krull của vành và môđun

1.5.1 Định nghĩa Cho ®# là vành giao hoán Một dãy các iđêan nguyên tố của R: PạP, D; Đ P„ được gọi là một xích nguyên 16 có độ dài n

() Cho peSpec# Cận trên của tất ca các độ dài của các xích nguyên

tố với pạ=p được gọi là đồ cao của p, kí hiệu là ht(p) Nghĩa là,

ht(p) = sup {độ cao xích nguyên tố với Dạ =P}-

Cho 7 là một iđêan của # khi đó ta định nghĩa

ht(7) = inf{ht(p) |pSpecR,p 7}

(ii) Can trén của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong # được

gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR Ta cé

dim R =sup {ht(p) |pSpeck}

(iii) Cho M 1a mét R-médun Khi do dim(R/Ann,M) duge gọi là chiều Krull của médun M, ki hiéu 1a dim, M (hoac dim M néu ta khong dé y

đến vanh R)

Như vậy, dim# có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và dimM⁄ <dimR Chú ý rang dimM =dimM.

1.5.2 Định ly Cho R la vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đè sau tương đương:

(i) M là R-môäun có độ dài hữu hạn;

(ii) R/Ann,M la vanh Artin;

(iii) dim M = 0

1.6 Chiều Noether và hệ tham sé cia médun Artin

Cho A la mot R-médun Artin Khi đó chiều Krull của vành ÑRÑ/AnngA4 và

do đó là chiều Krull của R-môđun 4 được xác định như sau:

dim ®/Anng4 =max {dim R/p: p € Attg(A)}

Nam 1975, R N Robert đã giới thiệu một khái niệm chiều khác cho môđun

Artin mà sau đó vào năm 1990 được R Kirby đổi tên thành chiều Noether đề

tránh nhằm lẫn với khái niệm chiều Krull đã quen biết như đã nói trên đây 1.6.1 Định nghĩa Cho ÄZ là R-môđun Chiểu Noeiher của M, kí hiệu bởi N-

dimM, dugc định nghĩa như sau : Khi Ä⁄ = 0 ta đặt N-dim⁄ = —7 Cho một

số nguyên đ>0 ta đặt N -dimA⁄ = đ nếu N-dimM/< đ là sai và với mỗi

dãy tăng các môđun con Ä⁄¿ c M, c M, c của M, ton tại một số tự nhiên øạ

sao cho N-dim(M, ,/M,„)< d với mọi ứ >ứ

Nhu vay N-dim M = 0 khi và chỉ khi Ä⁄ #0 và A⁄ là Noether

1.6.2 Bỗ đề Véu 40 thì hàm độ dài ((0:,m") là một đa thức theo n khi n

đủ lớn (viết tắt n >0) và

N-dim, 4= deg/(0:, m")= inf{¿|3x,, x, em:/(0:„ (x, ,x,)) <œ}

Từ Bồ đề trên ta có khái niệm hệ tham số cho môđun Artin như sau:

Hệ (5-5 %,) gồm r phan tu cua m, tacd

N-dim,(0:, (x, , x„)/) > max {0.N-dim, A-r}

Hơn nữa nếu N-dim, 4=s thì tồn tại một hệ (x, x,) gồm s phần tử của m

sao cho (0:,(x,, x,)/)<œ Theo Tang và Zakeri năm 1994, hệ đó được gọi là hệ tham số của 4 Một hệ (x, ,x,) VỚI £<s, các phần tử của m được gọi là một phan hệ tham sé cha A néu ta c6 thé bé sung thém cac phan tử X,.¡› „x, em sao cho (x,, ,x,) là hệ tham số của 4 Một phần tử xem được

gọi là phẩn tử tham số của 4 nếu N-đìm,(0:„ x)=N-dim, 4-l

Chú ý rằng 4 có cấu trúc tự nhiên như một -môđun Với cấu trúc này, một tập con của 4 là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là R-médun con

của 44 Do đó, 4 là R-médun Artin va N-dim, A= N-dim, A Vi thé không

có bắt cứ sự nhằm lẫn nảo, ta có thể viết N-dim 4 thay cho N-dim, 4 hoặc

N-dim 4 R

1.6.3 Ménh dé Cho I la idéan của R sao cho

N-dim,(0:, 7) =N-dim, A-r

Khi đó tần tại một phan hệ tham số của A trong I co dé dai r, va moi phan hé

tham số của A trong I có độ dài r đều là phân hệ tham số tối đại cia A trong

1

1.7 Biểu diễn thứ cấp

Trong mục này ta trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật ngữ cua I G Macdonal

1.7.1 Dinh nghĩa (¡) R-môđun 40 được goi 1a thi cấp nếu với mọi reR,

phép nhân bởi z trên 4 hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh Trong trường hợp này Rad(Ann,4) = p là iđêan nguyên tố và ta gọi 4 là p-thứ cấp

(ii) Cho A là R-môđun Một biểu dién thứ cấp của 4 là một sự phân tích A=A+ +A, thanh tổng hữu hạn các môđun con p, thứ cấp A Néu A =0

10

hoặc 4 có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói 4 là biểu diễn được Biêu diễn thứ cấp này được gọi là /ới tiểu nếu các iđêan nguyên tố p, là đôi một phân biệt và không có hạng tử 4, nào thừa với mọi ¡ =/, ,n

1.7.2 Nhận xét (¡) Khái niệm môđun con nguyên sơ theo một nghĩa nào đó đối ngẫu với khái niệm môđun con thứ cấp

(ii) Néu M, va M> là các môđun con p-thứ cấp của M thì M, + M; cũng

là môđun con p-thứ cấp của M Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của A⁄ đều có thể quy về một biểu diễn tối tiêu

1.7.3 Mệnh đề Cho 4= A,+ +A,, trong đó 4, là p,-thit cap, i = 1,2, n

là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu của R-môđun A Khi đó tập {p, Ð,} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A

Tập {p, P,} xác định như trên được gọi là tập cdc idéan nguyên lô gan két cia A, va ki hiéu boi Att, A Các hạng tử 4,, ¡ = 7,2, ,m được gọi là thành phân thứ cấp cô lập Chú ý rằng các thành phần thứ cấp tối tiểu của 4

không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiêu của 4

1.7.4 Định lý Cho M là R-môấun Artin Khi đó M có biểu diễn thứ cấp tối

tiểu

1.7.5 Bỗ đề Tap tất cả các phân tử tối tiểu của Attz4 chính là tập các phân

tử tối tiểu của V(Ann, A) Đặc biệt

dim(# / Ann, A)=max {dim(R/p)|pe Att, 4}

1.7.6 Bỗ đề Att,A={POR|pe Att, A}

Tính chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Amna(0 :¿p)=p với mỗi iđêan nguyên tố p > Anngd (*)

11

được đưa ra và nghiên cứu bởi N T Cường và L T Nhàn [6] Họ gọi tính chất này là tính chất (*) Tính chất (*) luôn đúng khi vành cơ sở là đầy đủ theo tôpô m-adic

1.7.7 Bỗ đề Phát biểu sau đây là đúng:

(i) dim(R/ Ann, A)2N-dim, 4;

đi) Nếu A thỏa tính chat (*) thi dim(R/Ann.4)=N-dim, 4

Chung minh (i) Gia sts = dim(R/ Ann, A) (1)

Néu s =0 thi 4#0 và 4 là Noether Suy ra N-dim, 4 =0

Cho s>0, do đó tổn tại xem sao cho xế p với mọi peAtt,4 mà

dim(#/p)=s Theo Bồ đề 1.7.5, dim(R/Amn,.(0:, x))<s—1

Do đó, theo (1) ta có N-dim,(0:,x)<s—l Theo Bổ để 1.6.2, ta có N-dim, 4<s

(ii) Giả sử N-dim, 4=s Lấy (x,, x,) là một hệ tham số của 4 Đặt 1=(x, ,x,)R Suy ra #„(0:,7)<œ Do đó dim(R/ Ann,(0:„ 7))= 0

Thật vậy, Rad(Ann,(0:,7)) Rad(/+ Ann,4) Vì 4 thỏa mãn tính

chất (*) nên Ann, (0:,/)cAnn,(0:,p)= p với mọi iđêan nguyên tố

p2/+Ann,A4 Do dé Rad(Ann,(0:, /))=Rad(/ + Ann, A) Vi vay

O=dim(R/ Ann ,(0:, /))=dim(R/ (7+ Ann, 4)) 2 dim(R/ Ann, A)—s

Do do dim(R/ Ann, A)<s Suy ra dim(R/ Ann, A)<N-dim, A ma do (i) ta

có dim(R/ Ann, A)2N-dim, 4 Vay dim(R/ Ann, 4)=N-dim, A n 1.7.8 Nhận xét Chú ý với bất kỳ -môđun Artin 4 nào thỏa mãn tính chất (*) Do đó, theo Bổ đề 1.77 và Bổ đề 1.75 ta có, N-dim, 4 = dim(#/ Ann,4) Đặc biệt nếu 4z 0thì

12

N-dim 4= dim(ÂÑ/ Ann, 4)= max { dim(R /) : pe Att, 4}

Như vậy nếu 40 thỏa mãn tính chat (*) thi

N-dim4 = deg(¢,(0:, 4’)

= inf{>0:Sx,, ,x, em: (0: (xị, x,)) < œ}

=dim#/Ann,4

= max {dim(R/p) | pe Att, 4}

trong đó q là một iđêan m -nguyên sơ của #

1.7.9 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

()A thỏa mãn tính chat (* );

(ii) V(Anng A) = {POR| Pe V(Ann, A)}

1.8 Môđun đối đồng điều địa phương

1.8.1 Định nghĩa Giả thiết R là vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại

duy nhat cia R va M 14 R-médun hữu hạn sinh với chiều Krull dimM = d

Q) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A

Grothendick Cho 7 là một iđêan của ® Với mỗi R-môđun M, đặt

T,()= U(0:„ I")=|xeM |SneN,xI" =0} neN

Ta có I,(M) là một médun con ca M V6i moi R-đồng cấu /: Mí —>N, ta

có ƒ(ŒT,(M))c<T,(W) Do đó tồn tại

T,():T,(M)—>T,(N)

xÐ>T,()@)= /),VxeT,(M)

Khi đó E, là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R-

môđun vào phạm trù các #-môđun Ï, được gọi là hàm tử xoắn

13

Với mỗi số tự nhiên ¿, hàm tử dẫn xuất phải thứ ¡ của T, được kí hiệu

là H/ và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ ¡ với giá là 7

Với mỗi R-môđun Ä⁄, ta kí hiệu Hi (M) la ‘anh’ cua médun M qua tac

động bởi hàm tử 77/ Khi đó, 77/(M) được gọi là médun doi đồng điều địa phương thứ ¡ của môđun M với giá là J

(ii) Nguoi ta gọi H/(M) (với dimM = d) 1a médun doi đồng điều địa phương cấp cao nhất của môđun M

1.8.2 Định ly (i) Gia sw M la R-médun hitu han sinh Khi do R-médun

Hi (M)la Artin với mọi SỐ tự nhiên ỉ

(1) Giả sử M là R-môãun hữu hạn sinh, khác không, có chiéu Krull dimM = d Khi do, R-médun Hé(M) la Artin

1.8.3 Hé qua Cho peAssM với dimR/p= t Khi đó H.(M)z0 và

peAtt,H! (M)

1.8.4 Dinh ly Gid si M la R-médun hitu han sinh, chiều d Khi đó, H4(M)#0 va AttpH4(M)={peAss,M |dim(R/p)=d}

1.8.5 Dinh lý (Dinh ly chuyển cơ sở phang) Cho R’ la R-đại số phẳng và M

là R-môäun Khi đó, ta có R -đẳng cấu Hi(M)®, R'=Hi,(M®, R') voi

mọi ¡>0

1.9 Đối ngẫu Matlis

Kí hiệu #(®/m) là bao nội xạ của trường thang du R/m cua vành địa phương (K,m) Xét hàm tử (-)=Hom,(-,E(R/m)) từ phạm trù các R- môđun đến chính nó Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên 2(—) là hàm tử khớp

14

Ta goi ham tir D(—) là đối ngẫu Mailis Giả sử L là R-môđun, kí hiệu ? là

®-môđun đầy đủ của L theo tôpô m -adic

1.10 Đồng cấu phẳng

Giả sử /:R—>Š là đồng cấu vành Khi đó mỗi S-môđun L đều có cấu trúc là #-môđun, trong đó phép cộng đã có sẵn trong Z và tích vô hướng của phan tử e# với mỗi phần tử me được cho bởi tích ƒ(r)m Cấu trúc R-

médun 7 xác định như thé được gọi là cấu trúc R-môđun xác định bởi //

Một đồng cấu ƒ:R->s được gọi là đông cấu phẳng nếu S xét như R- môđun xác định bởi / là #-môđun phẳng, tức là với mỗi dãy khớp

0—>/'>LrLL">0

các R-môđun, dãy cảm sinh 0> L'@S > L@S > L"@S 0 1a khdp

Một đồng cấu /ý:R->s được gọi là đông cấu hoàn toàn phẳng nêu S xét như #-môđun xác định bởi / là R-môẩun hoàn toàn phẳng, tức là với mỗi dãy

0—>/'>L—L">0 các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh

15

CHƯƠNG 2 MODUN ARTIN TUA KHONG TRON LAN

VA TINH CATENARY CUA VANH CO SO

Trong chương này luôn giả thiết (®, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan tối đại duy nhất là m; 4 là một R-môđun Artin, Ä⁄ là một

R-môđun hữu hạn sinh với chiéu Krull dim M = d

Năm 2002, N T Cường và L T Nhàn [6] đã nghiên cứu tinh chất sau đây đối với một môđun Artin 4:

Anmnz(0 :¿p)=p với mỗi iđêan nguyên tố p > AnngdA

và họ gọi tính chất này là tính chat (*) Tính chất (* ) luôn đúng khi vành cơ

sở là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi vành # không đầy đủ, họ đã chỉ ra ví dụ về

sự tồn tại môđun Artin không thỏa mãn tính chat (+) Cũng trong bài báo này

họ đã chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một môđun Artin 4 thỏa mãn tính

chất (*) là chiều Noether của 4 bằng chiều Krull của 4 Tính chất này ngày càng được quan tâm trong việc nghiên cứu môđun Artin, môđun hữu hạn sinh

và cầu trúc của vành cơ sở

Năm 2007, N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [5] đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính chất (+) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá là iđêan cực đại và tính catenary của vành cơ sở: Môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất #„ (Ä⁄) thỏa mãn tính chất (*) khi và chỉ khi vành

R/ Anna( Hạ (M)) là catenary Phát triển kết quả này , L T Nhàn và T N An

[9] đã nghiên cứu một lớp môđun rộng hơn, lớp môđun Artin tựa không trộn lẫn Họ đã chỉ ra mối liên hệ giữa tính catenary của vành, tính chất (*) và