thuật toán xấp xỉ giải một lớp bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên

Với định hướng như vậy, dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn và tiếp xúc với các công trình khoa học về tối ưu hoá ngẫu nhiên, tôi lựa chọn đề tài: "Thuật toán sắp xỉ giải một lớp bà

Mở đầu các 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Một số van đề cơ bản của lý thuyết xác suất 7

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 7

1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 10

1.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê_ 12

1.2.1 Mẫu và các cách xác định mẫu 12

1.2.2 Dặc trưng mẫu c2: 12 1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên 14

1.3 Dài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên_ 16

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn 16

1.3.2 Một số tính chất và hướng tiếp cận giải 18

Chương 2 Thuật toán xấp xỉ giải một lớp bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20

2.1 Mô hình bài toán 2n nha 20 2.1.1 Bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn 20

2.1.2 Thiết lập mô hình toán học_ 22

2.2 Một số kỹ thuật cơ bẳn_ 23

2.2.1 Các giả thiết và ký hiệu 23

2.2.2 Nhát cắt và thuật toán tính toán cắt 24

2.3 Thuật toán xấp xỉ giải bài toán (ASLP) 29

2.3.1 Thuật toán lấy mẫu xấp xỉ ngoài 29

2.3.2 Thuật toán N-mẫu xấp xỈ ngoài 30

MỞ ĐẦU

Lý thuyết tối ưu là một trong những bộ môn có nhiều ứng dụng trong

thực tế Tuy nhiên, nhiều nội dung lý thuyết chỉ mới đề cập đến các bài

toán dạng tất định (với thông tin về dữ liệu đầy đủ) Nhiều bài toán trong

điều khiển tối ứu lại có thông tin phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên Khi đó

ta có bài toán tối tu ngẫu nhiên Song song với Lý thuyết giải tích ngẫu

nhiên, Lý thuyết xác suất ngẫu nhiên, bộ môn Tối tru ngẫu nhiên cũng đã

được quan tâm nghiên cứu nhiều

Trong nghiên cứu hiện nay về tối ưu ngẫu nhiên, có hai hướng cơ bản

Đó là hướng nghiên cứu lý thuyết và hướng nghiên cứu ứng dụng Là một giáo viên Phổ thông trung học và là học viên cao học, đang tập dượt nghiên cứu khoa học, tôi chọn hướng thứ hai: Thử fờm một ứng đụng thực tế trong

những điều hiểu biết đã được học

Với định hướng như vậy, dưới sự giúp đỡ của giáo viên hướng dẫn và

tiếp xúc với các công trình khoa học về tối ưu hoá ngẫu nhiên, tôi lựa chọn

đề tài: "Thuật toán sắp xỉ giải một lớp bài toán đều tư tài chánh ngẫu nhiên "

Nhiệm vụ mà chúng tôi cần thực hiện trong suốt quá trình nghiên cứu

làm luận văn tốt nghiệp này là tìm hiểu bài toán thực tế về một lớp bài toán đầu tư tài chính Từ đó ứng dụng một số kết quả của các tác giả Z

L Chen va W B Powell [5], A B Philpott va Z Guan [7] lam co sd ly

luận nghiên cứu bài toán thực tế đặt ra

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các

vấn đề về lý thuyết xác suất - thống kê và phương pháp thử ngẫu nhiên,

về lý thuyết quy hoạch tuyến tính và bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu

Chương 2: Thuật toán xấp xỉ giải một lớp bài toán đầu tư tài chính

ngẫu nhiên nhiều giai đoạn Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi trình bày lớp bài toán đầu tư tài chính ngẫu nhiên

cần nghiên cứu Trên cơ sở đó nghiên cứu mô hình tổng quát của nó Từ

đó, trình bày các thuật toán giải bài toán đặt ra

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS T8 Trần Xuân Sinh Tác giả xin bày tỏ

lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác

giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Nhãn dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô giáo trong Hội

đồng chấm luận văn, Khoa Toán, Phòng Sau Đại học, Trường Đại học

Vinh Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Trường Trung học

phổ thông Anh Sơn II về sự giúp đỡ, tạo điều kiện cho chúng tôi học tập,

công tác trong thời gian qua

Cũng nhân dịp này, cho phép chúng tôi nói lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè, đã quan tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những sai sót

Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

KIEN THỨC CHUAN BI

1.1 Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của lý thuyết xác suất nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu của đề tài

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Để có khái niệm về xác suất, tuỳ theo yêu cầu và mức độ nghiên cứu

khác nhau, ở đây chúng tôi trình bày ba cách định nghĩa như sau:

Trước hết chúng ta hình thành khái niệm phép thử ngẫu nhiên và không

gian biến cố sơ cấp Để nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta

cần tiến hành các phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một hành

động mà kết quả của nó là ngẫu nhiên, không dự báo trước được Khi đó

tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử ngẫu nhiên được gọi

là không gian các biến cố sơ cấp và được ký hiệu bởi chữ © Mỗi phần tử

ằ € © được gọi là một biến cố sơ cấp (BCSC)

1.1.1.1 Định nghĩa theo tần suất của một biến cố Giả sử phép

thử G có thể lặp đi lặp lại ø lần độc lập nhau 4 là một biến cố của G

Giả sử trong ø lần thử như vậy, 4 xuất hiện k„(.4) lần Khi đó tỉ số

1.1.1.2 Định nghĩa theo hình học Cho không gian biến cố sơ cấp

© của phóp thử ngẫu nhiên Œ có vô só BCSC có cùng khả năng xuất hiện

va Q dude biéu dién béi mot tap do dude Hg Khi do néu bién c6 A được biểu diễn bởi một tập đo được Hy (k¥ hiéu 1a do do H,) thi số

độ đo Hà

— độ đo Họ được gọi là zác suất của biến cố A

P(A)

1.1.1.3 Dinh nghia theo tién dé Các định nghĩa xác suất nêu trên rất tiện lợi trong việc giải một số lớp bài toán ứng dụng cụ thể Tuy nhiên,

để có tính khái quát và chặt chẽ toán học, người ta xây dựng khái niệm

xác suất bằng một hệ tiên đề thông qua các khái niệm ø-đại số và không

gian đo như sau:

Cho O là một tập tuỳ ý khác rỗng, Z là một ơ-đại số các tập con của

Ó, khi đó (O 7) là một không gian đo Một ánh xạ

Khi cho Q ¥ 0, F 1a mot o-dai số các tập con của 1, P 1a dé do xéc

suat trén F Ta dude b6 ba (Q, F,P) goi la khéng gian xác suất

Tap Q goi lA khong gian bién cé so cap

Méi A € F goi 1A một biến có

Cho không gian xác suất (O, Z7, P) và biến c6 A Khi d6 gid tri P(A)

được gọi là zác suất của biến cố A

Hai biến cố A và Ð được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A).P(B).

+ (B6 dé Borel-Cantelli) Gid sit (An) la day cac bién cé Khi dé

1) Nếu 3) P(Aa) < œ thì P(limsup Aa) = 0;

ii) Néu 30%, P(An) = 00 va (An) déc lap thi P(limsup A,) = 1

lim sup A, = f1 U Ak

n=l k=n Gia sit (2, F) 1A mot khong gian do, R = [—o0; too]

Hàm thực X = X(œ) xác định trên © lấy giá trị trên R gọi là hàm

Z - đo được hoặc gọi là bến ngẫu nhiên suy rộng nêu

thì X được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại lượng ngẫu nhiên

Hàm ¿ : (R*, 6(R*)) —: (B Ø(R)) được gọi là hàm Borel, nếu nó là hàm Z(") - đo được, nghĩa là

@~!(B) e B(E")

với mỗi B € B(R")

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P), nhận giá trị trên

R Hàm số Ƒy (+) —= P[X < z], (+ € R) được gọi là bừm phân phối của biến ngẫu nhiên X

1.1.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.2.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

a) Định nghĩa Giả sử X : (O, Z,P) — (R,) là đại lượng ngẫu nhiên Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo lP (nếu tồn tại) được gọi là

ky vong X va ky hiệu là EX

b) Cac tinh chat

1 Nếu X >0 thì EX >0

2 Néu X =C thi EX = C, véi C 1A hang sé

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi hằng số À, ta có E(AX) = AEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X +Y) = EX +EY

¬" So cape, néu X rdi rac, va P(X = xz) = pr

pe +p(z)dz, nếu X liên tục, có hàm mật do 1a p(x)

6 (Định lý P Levy về sự hội tụ đơn điện) Nếu X„ † ÄX (ương ứng X„ | X) va ton tai n đểEXj < œ (tương ứng EX; < œ) thà EXạ † EX (tương ting EX, | EX)

7 (Bo dé Fatou) Néu X, > Y,Vn >1 va EY > —o0 thi

ElimX, < limEX;,, Nếu X„ < Y,Vn > 1 tà EY < œ thà

ElimX„ > limEX„,

Nếu |X„| < Y,Vn > 1 va EY <0 thi

ElimX, < limEX, < imEX, < ElimX„

8 (Dinh ly Lebesgue vé su hoi tu bi chan) Néw |X,| < Y,Vn > 1, EY <

oo va X, — X thi X kha tich, E|X, — X| — 0 va EX, - EX,n — oc.

9 Nếu @ là hàm lồi, X va @(X) khá tích thì E(e(X)) > @(EX)

10 Nếu X vai Y déc lap thi E(XY) = EX.EY

1.1.2.2 Phương sai của biến ngẫu nhiên

a) Định nghĩa Phương sưi của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là DX

(hay var X) 1a một số được xác định bởi

DX =R(X_—EX)?

khi đó

Dx S2 y(øx — EX)?p,, nếu X rời rạc, và P(X = z;) = Ðạ,

JŠ(œ—EX)?p(+)dz nếu X liên tục, có hàm mật độ là ø(z+) b) Các tính chất

1 DX >0,DX =0 khi va chi khi X = EX — hằng số h.c.c

2 Với mợi hằng số À thà D(XX) = A*DX

3 DX = EX? — (EX)?

4 Nếu X,Y độc lập thi D(X $Y) — DX + DY

5 Véi moi hang s6 \, ta c6 E(X — A)? > E(X —EX)? Dau bang ray ra

khi va chi khi EX = X

1.1.3.3 Moment của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó số

mr = EX*

(nếu tồn tại) được gọi là mmomen‡ cấp k của X, còn số

a, = E(X —EX)*

(nếu tồn tại) được gọi là mmomem‡ trưng tâm cấp k của X

Nhận xét Từ khái niệm moment cấp k của biến ngẫu nhiên X, cho ta thấy moment cấp 1 chính là kỳ vọng và moment trung tâm cấp 2 chính là

phương sai của X.

1.2 Một số vấn đề cơ bản về lý thuyết thống kê

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ

bản của lý thuyết thống kê trên cơ sở đã biết các khái niệm về xác suất ở

o Khi chọn mẫu, nếu phần tử đã chọn loại ra khỏi tổng thể, đối với mỗi lần chọn tiếp theo thì gọi là xấu không hoàn lại Nếu phần tử đã chọn trả lại tổng thể, rồi mới chọn phần tử tiếp theo thì gọi là zmấu có hoàn lại

o Mau được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nó được chọn một cách nào đó

để bảo đảm tính khách quan, ngẫu nhiên

o JKhi tổng thể có kích thước lớn thì ta không phân biệt mẫu không hoàn

lại và mẫu có hoàn lại

o6 Ta gọi mẫu định tính là mẫu mà ta quan tâm đến các phần tử của nó

có một tính chất A nào đó hay không

© Ta gọi mẫu định lượng là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử trong mẫu, chẳng hạn như chiều dài, khối lượng

hiệu X;.i = 1, ,n la két qua quan sát lần thứ ¡ về X Khi đó ta được

(XI X› , Xa) là mẫu ngẫu nhiên Đồng thời trưng bình mẫu được xác

3 Với mọi hằng số À ta có (AX) = \X

4 Véi2 bién quan sét X,Y thi (X EY) =XHY

5 Nếu X,Y là 2 bién quan sat déc lap thi XY = XY

c) Kỳ vọng và phương sai mẫu

có phân phối xấp xỉ (0,1), hay là X có phân phối xấp xỉ

Từ mẫu ngẫu nhiên (X;, , X;) có được từ biến ngẫu nhiên X, ta xây

dựng biến ngẫu nhiên rời rạc X” nhận ø giá trị mẫu với xác suất đều bằng

1/n, tức là P(X = X;) = 1/n Khi đó ta có hàm phân phối thực nghiệm (hay gọi là hàm phân phối mẫu

F(x) = P(X' < +)

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên X” được gọi là các số đặc trưng mẫu

o Dinh nghia Ky vong mau chia X” được xác định theo công thức

Mọi hằng số À, ta có s”(A.X) = A?.s?(X)

Nếu X,Y độc lập thì s°(X +Y) = s?(X) + s(Y)

1.2.3 Phương pháp thử ngẫu nhiên

Phương pháp thử ngẫu nhiên (hay còn gọi là phương pháp Monte Carlo)

là phương pháp số giải các bài toán bằng cách mô hình hoá các đại lượng ngẫu nhiên Về mặt nội dung, phương pháp này liên quan tới tư tưởng xây

dựng một quá trình ngẫu nhiên giả tạo có tất cả những đặc tính cần thiết

của hệ thống cần nghiên cứu Phương pháp thử ngẫu nhiên có thể áp dụng

được ở mọi nơi, miễn là ở đó bài toán cho phép mô tả bằng toàn thể hay

một phần của lý thuyết xác suất, dù rằng bài toán đó có thể đã có nội dung tiền định chặt chẽ

Các bộ phận cấu thành của phương pháp là:

- Xây dựng các mô hình xác suất của các quá trình thực tiễn cần nghiên cứu;

- Mô hình hoá các đặc trưng ngẫu nhiên với luật phân phối cho trước;

- Giải các bài toán của lý thuyết ước lượng thống kê

Giá trị thực tiễn của phương pháp thử ngẫu nhiên là nó thay những

phép thử bởi các kết quả tính toán dựa trên các đại lượng ngẫu nhiên Bởi vậy, có thể xây dựng được các đặc trưng cần thiết của quá trình cần

nghiên cứu, mà không cần dùng các phương pháp mô tả sự thay đổi của

quá trình đã cho Bài toán cơ bản của phương pháp thử ngẫu nhiên là xác định xác suất của các sự kiện bất kỳ và các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên qua kết quả của các phép thử lặp đi lặp lại nhiều lần

Cơ sở của lược đồ chung về phương pháp thử ngẫu nhiên là định lý giới hạn trung tâm Theo định lý đó thì có thể coi mọi đại lượng „ chưa biết như là kỳ vọng toán học của một đại lượng ngẫu nhiên nào đó, tức là E£ = m, với phương sai Dé = ø” Từ định lý giới hạn trung tâm ta có hệ thức

Pl Iw &;— J mị < 2} 0,907, VN trong đó é;, (7 = 1,2,, ), là các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên é nhận được ở mỗi một trong N phép thử

lIệ thức đó xác định số chưa biết zø và đồng thời đánh giá được sai

số Từ hệ thức đó suy ra rằng khi tăng số phép thử thì độ chính xác của

nghiệm tăng lên

Như vậy, thực chất của phương pháp thử ngẫu nhiên là chương trình

để tiến hành phép thử ngẫu nhiên và thực hiện một cách ngẫu nhiên Tuy

nhiên, trong thực tế thường dùng một cơ chế tiêu chuẩn để sản sinh ra các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối đều trên một miền nào đó Có thể nhận

được số ngẫu nhiên ở phương pháp thử ngẫu nhiên theo một trong những

phương pháp đã biết

Nhược điểm quan trọng của phương pháp thử ngẫu nhiên là để nhận được các đặc trưng của quá trình nghiên cứu với độ chính xác cho trước

thì cần quá nhiều phép thử Chẳng hạn, với độ chính xác z > 0 cho trước,

để nhận được giá trị trung bình # của đại lượng ngẫu nhiên £, thì cần phải

tiến hành số phép thử là N = ape trong đó 2£ là phương sai của £ Như

vậy với D£ — 0.01 và z = 0,001 thì = 40.000 phép thử Mỗi phép thử,

độ phức tạp tính toán của thuật toán phụ thuộc độ dài dữ liệu, tức là phụ

thuộc số biến ø của bài toán

Vì vậy, phương pháp thử ngẫu nhiên mà chúng ta nêu sau đây để giải

bài toán quy hoạch thường cũng chỉ áp dụng được với các bài toán có số

ấn không lớn lắm (số ẩn + không lớn hơn 30)

1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên

Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên là bài toán quy hoạch tuyến

tính với thông tin về dữ liệu không đầy đủ, phụ thuộc vào đại lượng ngẫu

nhiên Trong mục này, chúng tôi mô tả khái quát các bài toán có liên quan

dẫn đến bài toán đề tài đã nêu

1.3.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát có thể đưa về dạng

với điều kiện

œ>0,

Bài toán quy hoạch tuyến tính nêu trên, nếu có các phần tử của ma

trận 4,b,c xác định ngẫu nhiên thì được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên (Stochastic Linear Programs) Để nghiên cứu bài toán quy

hoạch tuyến tính ngẫu nhiên, tuỳ theo yêu cầu thực tế mà có nhiều cách

tiếp cận khác nhau Thông thường, người ta xét tới các lớp bài toán: Quy

hoạch tuyến tính ngẫu nhiên một giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên hai giai đoạn: Quy hoạch tuyến tính ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Ỏ giai đoạn thứ nhất, với dữ liệu ban đầu đã biết nào đó, người ta giải

bài toán và tìm được phương án tối u Sang giai đoạn thứ hai, do tác động của đại lượng ngẫu nhiên nên cần điều chỉnh lại phương án và phương án

tối ưu bằng việc thêm biến phạt và vectơ phạt Từ đó ta cần giải bài toán

quy hoạch tuyến tính 2 giai đoạn có dạng ở giai đoạn thứ hai là

tương ứng là các biến của giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai; D là ma

trận cấp zm (thông thường có thể lấy ma trận đơn vị); = (1,a, -;/m);

Dụ thể hiện độ lệch giữa Az với b và q = (ại,q g„) gọi 1A vecto phat

bởi tác động của đại lượng ngẫu nhién w

Giai đoạn thứ nhất, biến z cho nghiệm thu được trên cơ sở thông tin có được từ thực nghiệm.

Giai doan thit hai, bién y cho nghiệm thu được khi hiệu chỉnh nghiệm

sd b6 x ca giai doan thứ nhất với thông tin xác định

Do vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính đã nêu, tương đương với việc giải bài toán

trong đó Y là không gian các hàm đo được

1.3.2 Một số tính chất và phương pháp tiếp cận giải

1.3.2.1 Định lý Hàm số Q(%,ú'), được xác định bởi x € R" vaw €

©; Q(%,6) nhận các giá trị trơng [—oe, Lo] là hàm lỗi theo biến z, lay vdi moiw EQ

Chitng minh Xem [3]

1.3.2.2 Hé qua Ham muc tiéu

g(a) =e + Excl Q(a.0)]

của bài toán quụ hoạch tuyến tính ngẫu nhién hai giai doan la ham loi

1.3.2.3 Phương pháp tiếp cận giải

Để giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, chủ yếu người ta chuyển bài toán về bài toán tương đương dạng tất định Từ đó sử dụng các phương pháp thường dùng hiện nay để giải bài toán tất định Nếu sử dụng phương pháp đơn hình sẽ gặp nhiều khó khăn vì tính đặc thù của từng bài toán

Do vậy, người ta thường dùng các phương pháp xấp xỉ Chẳng hạn phương

pháp thử ngẫu nhiên, phương pháp cắt, phương pháp cắt kết hợp thử ngẫu

nhiên,

Về phương pháp thử ngẫu nhiên, chúng tôi đã trình bày trong mục 1.2.3 Sau đây chúng tôi nêu ý tưởng của phương pháp cắt Di vào kỹ thuật cắt trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày chỉ tiết trong chương 2

Nếu từ bài toán quy hoạch tuyến tính đã cho, với tập phương án M, ta

bổ sung thêm điều kiện

n

j=l

sao cho tập phương án M’ cia bai toán mới là tập con thuc su cia M,

nghĩa là A/' C A/, thì ta nói bất đẳng thức (*) là một nhát cắt đối với bài

toán quy hoạch tuyến tính đã cho

Phương pháp dùng nhát cắt để thu hẹp tập phương án là một trong

những phương pháp thường dùng khi đi tìm thuật toán giải cho từng lóp bài toán riêng biệt Chẳng hạn [3]: Cac nhat cit Gomory, nhát cắt tọa độ,

trong việc giải lớp bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.