Tính điều khiển được của phương trình đạo hàm riêng

Không giống như trong lý thuyết điều khiển hữu hạn chiều, với các hệ vôhạn chiều có rất nhiều khái niệm về điều khiển được và quan sát được cáckhái niệm này là không tương đương.. Trạngt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lâm Quang Thiện

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lâm Quang Thiện

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG

TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống

Mã số: 60 46 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người Hướng Dẫn Khoa Học: GS TSKH Đỗ Công Khanh

Thành phố HỒ CHÍ MINH - 2010

Lời nói đầu

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực Toán học ứngdụng quan trọng Các khái niệm điều khiển được và quan sát được đã trởthành trung tâm của lý thuyết điều khiển bởi các công trình của R Kalmanvào những năm 1960 Rất nhanh sau đó, những công trình này được tổngquát hoá cho các hệ vô hạn chiều Những người đầu tiên đóng góp cho sựtổng quát hoá này ta có thể kể tới D.L Russell, H Fattorini, T Seidman vàJ.-L Lions Trong đó Lions đã tạo ra ảnh hưởng to lớn và sâu sắc thông quacuốn sách [13], cuốn sách này cho tới nay vẫn là nguồn cảm hứng chính chorất nhiều nhà nghiên cứu

Không giống như trong lý thuyết điều khiển hữu hạn chiều, với các hệ vôhạn chiều có rất nhiều khái niệm về điều khiển được và quan sát được (cáckhái niệm này là không tương đương) Trong đó khái niệm mạnh nhất đó

là điều khiển được chính xác và quan sát được chính xác Điều khiển đượcchính xác tại thời gian τ > 0 có nghĩa là trạng thái cuối cùng bất kỳ có thểđạt được từ trạng thái ban đầu zero, bằng một tín hiệu đầu vào thích hợptrên đoạn thời gian [0, τ ] Khái niệm đối ngẫu của điều khiển được chính xáctại τ là quan sát được chính xác tại thời gian τ Khái niệm này có nghĩa lànếu tín hiệu đầu vào là zero, thì trạng thái ban đầu có thể được phục hồimột cách liên tục từ tín hiệu đầu ra trên đoạn [0, τ ]

Sự phát triển trạng thái của rất nhiều hệ phương trình vi phân từng phầntuyến tính (PDE’s) có thể được biểu diễn bằng các nửa nhóm toán tử Trạngthái của những hệ như thế là một phần tử của không gian định chuẩn vôhạn chiều, khi đó hệ được gọi là "hệ tuyến tính vô hạn chiều"

Việc nghiên cứu các nửa nhóm toán tử là một lãnh vực phát triển của giảitích hàm, và nó vẫn còn đang tiếp tục phát triển (xem tài liệu tham khảo [4]).Những nghiên cứu về toán tử quan sát được và điều khiển được cho các nửanhóm đó thì mới đựơc bắt đầu gần đây Những toán tử này cần dùng để mô

tả sự tương tác của một hệ với thế giới xung quanh nó thông qua hàm đầuvào và đầu ra

Người nghiên cứu lãnh vực quan sát được và điều khiển được thường theo haihướng: giải tích hàm hoặc PDE Thời gian gần đây các nhà nghiên cứu đã cốgắng kết hợp hai hướng này lại (xem tài liệu tham khảo [21]) Sự kết hợp này

là cần thiết để tạo ra một hướng mới hiệu quả hơn Cụ thể thì phương pháp

giải tích hàm là quan trọng cho việc thiết lập các khái niệm một cách chínhxác và nghiên cứu sự liên kết giữa chúng Sau đó áp dụng những khái niệm

và kết quả này cho các hệ PDE’s Khi đó chúng ta sẽ gặp phải những khókhăn mới Để giải quyết những khó khăn này thì những kỹ thuật của giảitích toán học được dùng đến, ví dụ như: phương pháp nhân tử, ước lượngCarleman và giải tích Fourier không điều hoà

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Tính chính quy của biên 5

1.2 Công thức hàm Green 7

1.3 Không gian Sobolev 7

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 8

1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán tử 12

1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm 13

1.7 Toán tử chéo hoá được và nửa nhóm 13

1.8 Nhóm liên tục mạnh 14

1.9 Các không gian X1 và X−1 19

1.10 Toán tử dương 20

1.11 Dirichlet Laplacian 20

1.12 Toán tử phản liên hợp 21

1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được 22

2 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 25 2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 25

2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 29

3 Tính quan sát được 33 3.1 Một số khái niệm về tính quan sát được 33

3.2 Một số ví dụ dựa trên phương trình sóng một chiều 36

3.3 Điều kiện cần Hautus cho tính quan sát được chính xác 39

3.4 Điều kiện Hautus cho tính quan sát được chính xác với toán tử sinh phản liên hợp 43

3.5 Điều kiện phổ cho tính quan sát được chính xác với toán tử sinh phản liên hợp 46

4 Tính quan sát được chính xác trên biên cho phương trình

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm

Trong chương này ta trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích hàm.Mệnh đề sau là hệ quả của định lý đồ thị đóng:

Mệnh đề 1.0.1 Giả sử Z1, Z2 và Z3 là các không gian Hilbert, F ∈ L(Z1, Z3)

và G ∈ L(Z2, Z3) Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

1 Ran F ⊂ Ran G;

2 Tồn tại c > 0 sao cho

kF∗zkZ1 ≤ ckG∗zkZ2 ∀z ∈ Z3;

3 Tồn tại toán tử L ∈ L(Z1, Z2) sao cho F = GL

Trong hai Định nghĩa sau ta trình bày về tính chính quy của biên ∂Ω

Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω là tập con mở của Rn Biên ∂Ω là Lipschitz nếutồn tại L ≥ 0 (gọi là hằng số Lipschitz của ∂Ω) sao cho các tính chất sauthoả: với mọi x ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận V của x trong Rn và một hệ toạ

độ trực chuẩn ký hiệu là (y1, , yn) sao cho

1 V là hình chữ nhật trong hệ toạ độ mới,

V = {(y1, , yn)| − aj < yj < aj, 1 ≤ j ≤ n};

2 Tồn tại hàm Lipschitz ϕ với hằng số Lipschitz ≤ L xác định trên

Nếu D là tập mở trong Rn, f : D → C và m ∈ N, hàm f là thuộc lớp Cm, 1

nếu f thuộc lớp Cm và mọi đạo hàm từng phần của f có cấp m là liên tụcLipschitz Điều này tương đương với mọi đạo hàm của f có cấp ≤ m + 1 làthuộc L∞(D)

Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω là tập con mở của Rn và m ∈ Z+ Ta gọi ∂Ω làthuộc lớp Cm (tương ứng thuộc lớp Cm,1) nếu các tính chất trong định nghĩatrên thoả với ϕ thuộc lớp Cm (tương ứng thuộc lớp Cm,1) và chuẩn L∞ của

ϕ và m (tương ứng m + 1) đạo hàm đầu tiên là giới nội đều

Ví dụ, phần trong của một đa giác lồi trong R2 có biên Lipschitz, nhưngbiên của nó lại không thuộc lớp C1 Nếu Ω = {(x, y) ∈ R2| y > sin x} thì

∂Ω thuộc lớp Cm với mọi m, nhưng nếu ta thay sin x bằng sin(x2) thì ∂Ω làkhông Lipschitz

x

y

Ω

Hình 1.1 Tập Ω = {(x, y) ∈ R2| y > sin x}

Trong Định lý sau ta trình bày về công thức hàm Green.

Định lý 1.2.1 Cho Ω là tập con mở giới nội của Rn với biên Lipschitz ∂Ω,lấy f, g ∈ H1(Ω) và l ∈ {1, , n} Khi đó ta có

Với J là khoảng mở, U là không gian Hilbert, không gian Sobolev H1(J ; U )gồm những hàm liên tục tuyệt đối địa phương z : J → U sao cho dz

dt ∈

L2(J ; U ) Không gian H2(J ; U ) được định nghĩa tương tự, nhưng với yêu cầu

dt ∈ H1(J ; U ) Không gian H1

0(J ; U ) gồm những hàm trong H1(J ; U ) saocho nó biến mất tại những điểm cuối của J (chúng có giới hạn bằng 0 ở đây).Với khoảng J bất kỳ, C(J ; X) = C0(J ; X) gồm những hàm liên tục từ J vàoX; Cm(J ; X) (với m ∈ N) gồm những hàm từ J vào X khả vi m lần và cóđạo hàm cấp ≤ m thuộc C(J ; X) Những hàm trong Cm(J ; X) cũng đượcgọi là những hàm thuộc lớp Cm

Họ các toán tử (etA)t≥0 (với A là toán tử tuyến tính trên không gian véctơhữu hạn chiều) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hệ thống, bởi vì nó

mô tả sự phát triển của trạng thái của một hệ tuyến tính với sự vắng mặtcủa đầu vào Nếu chúng ta muốn nghiên cứu những hệ có không gian trạngthái là một không gian Hilbert, thì chúng ta cần sự tổng quát một cách tựnhiên của một họ như thế thành một họ các toán tử tác động lên không gianHilbert Những sự tổng quát khác nhau đều có thể, nhưng dường như kháiniệm về nửa nhóm liên tục mạnh là hợp lý hơn Lý thuyết về những nửanhóm như thế là một phần quan trọng của giải tích hàm

Định nghĩa 1.4.1 Một họ các toán tử T = (Tt)t≥0 của các toán tử trongL(X) là một nửa nhóm liên tục mạnh trên X nếu

1 T0 = I,

2 Tt+τ = TtTτ với mọi t, τ ≥ 0 (tính chất nửa nhóm),

3 lim

t→0, t>0Ttz = z, với mọi z ∈ X (tính liên tục mạnh)

Ý nghĩa trực giác của họ toán tử như trên là nó mô tả sự phát triển trạngthái của một quá trình theo cách sau: nếu z0 ∈ X là trạng thái ban đầu củaquá trình tại thời gian t = 0, thì trạng thái của nó tại thời gian t ≥ 0 làz(t) = Ttz0 Hơn nữa z(t + τ ) = Ttz(τ ), vì thế quá trình không thay đổi bảnchất của nó theo thời gian

Một lớp đơn giản của các nửa nhóm liên tục mạnh được cho như sau: đặt

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 9

Nhận thấy rằng dãy này hội tụ trong L(X) với mọi t ≥ 0 và hàm Tt là liêntục đều limt→0||Tt− I|| = 0 Từ (1.4) ta có

||etA|| ≤ et||A|| ∀t ≥ 0 (1.5)Biên tăng (growth bound) của nửa nhóm liên tục mạnh T là số ω0(T) đượcđịnh nghĩa bởi

ω0(T) = inf

t∈(0,∞)

1

t log ||Tt|| (1.6)Nhận thấy ω0(T) ∈ [−∞, ∞) Việc đặt tên là biên tăng (growth bound)được giải thích theo mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.4.2 Đặt T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với biên tăng

Chứng minh Cho z ∈ X Từ tính liên tục bên phải của hàm t 7→ Ttz tại

t = 0, suy ra rằng tồn tại một τ > 0 sao cho hàm này là giới nội trên [0, τ ].Theo tính chất nửa nhóm, hàm như vậy là giới nội trên [0, T ], với mọi T > 0

Áp dụng định lý giới nội đều, ta suy ra rằng hàm t 7→ ||Tt|| là giới nội với

Từ phần đầu của chứng minh này ta biết rằng p({t}) là giới nội trên Chiacho t và lấy lim sup, ta có

lim sup

t→∞

p(t)

t ≤ p(1)

Công thức tương tự (với chứng minh tương tự) thoả nếu ta thay p bằng pα,với pα(t) = p(αt), α ∈ (0, ∞) Từ đây ta có

với mọi t ≥ tω thoả với tω ≥ 0 nào đó Do đó ta có thể đặt Mω =supt∈[0, tω]||Tt||e−ωt

Chứng minh 3 Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng với mọi z0 ∈ X cho trước,hàm t 7→ ϕ(t, z0) là liên tục Tính liên tục theo hướng bên phải là rõ ràng Tachứng minh tính liên tục theo hướng bên trái Cho tn → t0 > 0 với tn < t0.Khi đó ||ϕ(tn, z) − ϕ(t0, z)|| = ||Tt n(I − Tt 0 −t n)z|| ≤ K||(I − Tt 0 −t n)z||, với

K là chặn trên cho Tt n Cuối cùng chúng ta chứng minh tính liên tục của ϕ.Lấy (tn, zn) → (t0, z0) ∈ [0, ∞) × X Khi đó

Tt nzn− Tt 0z0 = Tt n(zn− z0) + Tt nz0− Tt 0z0,suy ra

||ϕ(tn, zn) − ϕ(t0, z0)|| ≤ K||zn− z0|| + ||ϕ(tn, z0) − ϕ(t0, z0)||,với K là chặn trên nào đó của ||Tt n|| 

Định nghĩa 1.4.3 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với biên tăng

ω0(T) Nửa nhóm này được gọi là ổn định mũ nếu ω0(T) < 0

Định nghĩa 1.4.4 Toán tử tuyến tính A : D(A) → X được định nghĩa bởi

Az = lim

t→0, t>0

Ttz − z

t ∀z ∈ D(A),được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T

1.4 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh 11

Ví dụ nếu Tt = etA thì khi đó toán tử sinh là A

Mệnh đề 1.4.5 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh

A Khi đó với mọi z ∈ D(A) và t ≥ 0 ta có Ttz ∈ D(A) và

d

dtTtz = ATtz = TtAz (1.8)Chứng minh Nếu z ∈ D(A), t ≥ 0 và τ > 0, thì



Mệnh đề 1.4.6 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tử sinh

A Lấy z0 ∈ X và với mọi τ > 0 đặt

zτ = 1τ

τ

Z

0

Ttz0dt

Khi đó zτ ∈ D(A) và limτ →0zτ = z0

Chứng minh zτ → z0 (khi τ → 0) được suy ra từ tính liên tục của hàm

t 7→ Ttz0 (vì zτ là trung bình của hàm này trên [0, τ ]) Với mọi τ, h > 0,

1.5 Phổ và giải thức (resolvent) của một toán

Mệnh đề 1.5.2 Giả sử A : D(A) → X, D(A) ⊂ X và β ∈ ρ(A) Ký hiệu

rβ = k(βI − A)−1k Nếu s ∈ C sao cho |s − β| < 1

r β, thì s ∈ ρ(A) vàk(sI − A)−1k ≤ rβ

1 − |s − β|rβ· (1.10)Chú ý 1.5.3 Từ mệnh đề trên suy ra, với mọi A : D(A) → X, tập ρ(A)

là mở và do đó σ(A) là đóng Từ Mệnh đề trên ta cũng suy ra, với mọi

D(An) = {z ∈ D(A)| Az ∈ D(An−1)}

Mũ của A, An: D(An) → X được định nghĩa một cách tự nhiên

Xét toán tử An với n ∈ N Ta có nhận xét rằng, với mọi t ≥ 0, TtD(An) ⊂D(An) Giới thiệu không gian D(A∞) như sau:

1.6 Không gian con bất biến của nửa nhóm 13

Định nghĩa 1.6.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X, với toán tửsinh A V là không gian con của X Phần của A trong V , ký hiệu là AV,

là hạn chế của A lên miền

D(AV) = {z ∈ D(A) ∩ V | Az ∈ V }

V được gọi là bất biến đối với T nếu Ttz ∈ V với mọi z ∈ V và mọi t ≥ 0

Mệnh đề 1.7.1 Cho A : D(A) → X là chéo hoá được (φk) là một cơ sởRiesz gồm các véctơ riêng của A Lấy ( ˜φk) là dãy song trực giao với (φk) và

ký hiệu giá trị riêng ứng với véctơ riêng φk là λk Khi đó

D(A) =

(

z ∈ X

X

k∈N

(1 + |λk|2)|hz, ˜φki|2 < ∞

), (1.12)

1.8 Nhóm liên tục mạnh

Toán tử T ∈ L(X) được gọi là khả đảo trái nếu tồn tại T−1

left ∈ L(X) saocho T−1

leftT = I Điều này tương đương với tồn tại m > 0 sao cho

||T z|| ≥ m||z|| ∀z ∈ X

Với lý do này mà toán tử khả đảo trái cũng được gọi là toán tử giới nội dưới

T ∈ L(X) được gọi là khả đảo phải nếu tồn tại một toán tử T−1

right ∈ L(X)sao cho T T−1

right= I Điều này tương đương với Ran T = X (T là toàn ánh).

Định nghĩa 1.8.1 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X T được gọi làkhả đảo trái ( khả đảo phải) nếu với τ > 0 nào đó, Tτ là khả đảo trái (khảđảo phải) Nửa nhóm được gọi là khả đảo nếu nó vừa khả đảo trái và khảđảo phải

Mệnh đề 1.8.2 Cho T là nửa nhóm liên tục mạnh trên X

Nếu T là khả đảo phải thì Tt là khả đảo phải với mọi t > 0

Nếu T là khả đảo trái thì Tt là khả đảo trái với mọi t > 0

Chứng minh Lấy τ > 0 sao cho Tτ là toàn ánh Cho t > 0 và lấy n ∈ N saocho t ≤ nτ Khi đó Tnτ là toàn ánh Đặt  = nτ − t Khi đó từ Tnτ = TtT

ta thấy rằng Tt là toàn ánh

Lấy τ > 0 sao cho Tτ là giới nội dưới Cho t > 0 và lấy n ∈ N sao cho t ≤ nτ

Tnτ là giới nội dưới Đặt  = nτ − t Khi đó từ Tnτ = TTt ta thấy rằng Tt

Định nghĩa 1.8.3 Cho X là không gian Hilbert Họ T = (Tt)t∈R các toán

tử trong L(X) là nhóm liên tục mạnh trên X nếu nó có tính chất (1) và(3) trong Định nghĩa 1.4.1 và nó có tính chất nhóm Tt+τ = TtTτ với mọi

t, τ ∈ R

Toán tử sinh của nhóm được định nghĩa tương tự như toán tử sinh nửa nhóm

Một toán tử U ∈ L(X) được gọi là unita nếu U U∗ = U∗U = I Nửa nhómliên tục mạnh T trên X được gọi là unita nếu Tt là unita với mọi t > 0.Một nửa nhóm unita có thể mở rộng tới một nhóm, khi đó nhóm này đượcgọi là nhóm unita

1.8 Nhóm liên tục mạnh 15

Chú ý 1.8.4 Nếu trong X có một cơ sở trực chuẩn tạo ra bởi các véctơ riêngcủa A, thì T là unita nếu và chỉ nếu Re λ = 0 với mọi λ ∈ σ(A)

Ví dụ 1.8.5 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình

mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định 2 đầu mút và cóchiều dài π Mối liên hệ giữa nửa nhóm trong ví dụ này và phương trìnhsóng một chiều (hay phương trình của sợi dây) sẽ được giải thích trong Chú

Hình 1.3 Sợi dây đàn hồi được cố định hai đầu và có chiều dài π

Ký hiệu X = H10(0, π) × L2[0, π] là một không gian Hilbert với tích vô hướng

 f1

g1

, f2

hz, φni = 0 với mọi n ∈ Z∗, thì ta cũng có điều tương tự với z =  f

g

(ởđây chúng ta sử dụng φn = −φ−n) Từ đây suy ra rằng Rez và Imz là trựcgiao với φn, với mọi n ∈ Z∗ Vì

dx là hằng số Lập luận tương tự ta có d(Imf )

dx là hằng số Vì thế

f là hàm affine Vì f (0) = f (π) = 0, nên f = 0 Ta đã chỉ ra rằng z = 0, vìthế họ (φn)n∈Z∗ là cơ sở trực chuẩn trong X

Các véctơ φn từ 1.17 là các véctơ riêng của A và các giá trị riêng tương ứng

là λn = in, với n ∈ Z∗ Hơn nữa ta kiểm tra được là 0 ∈ ρ(A), vì thế A làchéo hoá được Theo Chú ý 1.8.4 toán tử A sinh ra một nhóm unita T trên

X Theo Mệnh đề 1.7.1 T được cho bởi

Tt

 fg

n∈Z ∗

eint in

 df

dx,

dϕndx

∂w

∂t(·, t)

,

1.8 Nhóm liên tục mạnh 17

Ta kiểm tra được rằng w thoả các điều kiện ở trên nếu và chỉ nếu z là liêntục với giá trị trong D(A) (gắn với chuẩn đồ thị), khả vi liên tục với giá trịtrong X và thoả hệ phương trình

˙z(t) = Az(t) ∀t ≥ 0, z(0) = f

g



·

Ví dụ 1.8.7 Trong ví dụ này ta xây dựng nửa nhóm ứng với hệ phương trình

mô tả sự dao động của một sợi dây đàn hồi được cố định tại đầu mút x = πtrong khi tại đầu mút x = 0 sợi dây được tự do di chuyển vuông góc với trụccủa sợi dây Chúng ta chỉ ra rằng nửa nhóm này có mối quan hệ với phươngtrình sợi dây như thế nào Vì vấn đề được xét trong ví dụ này tương tự nhưtrong ví dụ 1.8.5 và Chú ý 1.8.6, nên ta chỉ phát biểu các kết quả mà khôngchứng minh

Hình 1.4 Sợi dây đàn hồi được cố định một đầu mút x = π, trong khi đầu

mút còn lại di chuyển vuông góc với trục sợi dây

A fg

0 ∈ ρ(A), do đó A là chéo hoá được Sử dụng Chú ý 1.8.4 và Mệnh đề 1.7.1

ta có A sinh ra một nhóm unita T trên X, được cho bởi công thức sau

Tt

 fg

w(·, t)



∀ fg



∈ D(A)

kzk1 = k(βI − A)zk ∀z ∈ D(A)

là một không gian Hilbert,ký hiệu là X1 Chuẩn sinh ra như trên với β ∈ ρ(A)

là tương đương với chuẩn đồ thị Ánh xạ nhúng X1 ⊂ X là liên tục Nếu

L ∈ L(X) sao cho LD(A) ⊂ D(A), thì L ∈ L(X1)

Cho A như trong Mệnh đề 1.9.1, khi đó A∗ cũng có các tính chất tương tự

Vì thế ta định nghĩa Xd

1 = D(A∗) với chuẩnkzkd

1 = k(βI − A∗)zk ∀z ∈ D(A∗),với β ∈ ρ(A∗), hay tương đương với β ∈ ρ(A), và Xd

1 là một không gianHilbert

Mệnh đề 1.9.2 Cho A như trong Mệnh đề 1.9.1 và lấy β ∈ ρ(A) Ký hiệu

X−1 là sự mở rộng của X ứng với chuẩn

kzk−1 = k(βI − A)−1zk ∀z ∈ X (1.24)

Khi đó chuẩn có dạng trên ứng với các β ∈ ρ(A) khác nhau là tương đương(X−1 độc lập với sự lựa chọn của β) Hơn nữa X−1 là đối ngẫu của Xd

1 ứngvới không gian trụ X

Nếu L ∈ L(X) thoả L∗D(A∗) ⊂ D(A∗), khi đó L có mở rộng duy nhất tớitoán tử ˜L ∈ L(X−1)

1.12 Toán tử phản liên hợp 21

Không gian H−1(Ω) được định nghĩa là đối ngẫu của H1

0(Ω) ứng với khônggian trụ L2(Ω)

Mệnh đề 1.11.1 Toán tử A0 được định nghĩa như trên là dương chặt và

D(A01) = H10(Ω) (1.27)Nếu H = L2(Ω) thì khi đó các không gian H1, H−1 thoả điều sau

2 là đối ngẫu của

H1 ứng với không gian trụ H)

Định lý 1.11.2 Giả sử ∂Ω là thuộc lớp C2 Khi đó

D(A0) = H2(Ω) ∩ H10(Ω) (1.28)

Trong phần này chúng ta giới thiệu một lớp các toán tử phản liên hợp adjoint) phát sinh khi chúng ta tìm hiểu những hệ vi phân cấp 2 trong mộtkhông gian Hilbert có dạng sau

(skew-¨w(t) + A0w(t) = 0, với A0 > 0

Đặt z(t) =  w(t)

˙w(t)

Toán tử A được gọi là Phản liên hợp (skew-adjoint) nếu A∗ = −A (điềunày tương đương với iA là toán tử tự liên hợp) Nếu A∗ = −A thì σ(A) ⊂ iR

A là phản liên hợp nếu và chỉ nếu nó là toán tử sinh của một nhóm unita

Mệnh đề 1.12.1 Cho A0 : D(A0) → H là toán tử dương chặt trên khônggian Hilbert H Định nghĩa X = H1

2 × H, với tích vô hướng

 w1

v1

, w2

Xác định một không gian con trù mật trong X là D(A) = D(A0) × D(A

1 2

ψ



=

ψ

−A0ϕ

 (1.29)

Khi đó A là toán tử phản liên hợp (skew-adjoint) trên X và 0 ∈ ρ(A) Hơnnữa ta có

X1 = H1× H1

2, X−1 = H × H−1

2

Cho C ∈ L(X1, Y ) Chúng ta quan tâm tới hàm đầu ra y sinh bởi hệ sau



˙z(t) = Az(t), z(0) = z0,y(t) = Cz(t),

với z0 ∈ X1 và t ≥ 0 Bài toán giá trị ban đầu ˙z(t) = Az(t), z(0) = z0 cónghiệm duy nhất z(t) = Ttz0

Giới thiệu toán tử sau

1.13 Toán tử quan sát chấp nhận được 23

Định nghĩa 1.13.1 Toán tử C ∈ L(X1, Y ) được gọi là toán tử quan sátchấp nhận được của T nếu với τ > 0 nào đó, Ψτ có mở rộng liên tục trên X

Từ Định nghĩa trên ta có nhận xét, C ∈ L(X1, Y ) là toán tử quan sát chấpnhận được cho T nếu và chỉ nếu với τ > 0 nào đó, tồn tại hằng số Kτ ≥ 0sao cho

Định lý 1.13.2 Cho C ∈ L(X1, Y ) là toán tử quan sát chấp nhận được của

T và Ψ là ánh xạ đầu ra mở rộng của (A, C) Khi đó với mọi z0 ∈ X và mọi

s ∈ C thoả Re s > ω0(T), hàm t 7→ e−st(Ψz0)(t) là thuộc L1([0, ∞); Y ), vìthế phép biến đổi Laplace của Ψz0 tồn tại tại s Phép biến đổi Laplace nàyđược cho bởi

\(Ψz0)(s) = C(sI − A)−1z0.Hơn nữa, với mọi α > ω0(T), tồn tại Kα ≥ 0 sao cho

kC(sI − A)−1k ≤ √ Kα

Re s − α ∀s ∈ Cα (1.32)

Chương 2

Tính quan sát được và điều

khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều

cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều

Trong phần này trình bày các khái niệm cơ bản về tính quan sát được vàđiều khiển được cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều Phần này trình bày các hệ

có không gian đầu vào, không gian trạng thái và không gian đầu ra là hữuhạn chiều, nhưng cách trình bày có thể tổng quát lên cho các hệ vô hạn chiều

Cho U, X và Y là các không gian tích vô hướng hữu hạn chiều Ta ký hiệudim X = n Một hệ tuyến tính hữu hạn chiều bất biến với thời gian (LTI) Σvới không gian đầu vào U , không gian trạng thái X và không gian đầu ra Yđược mô tả bởi hệ phương trình



˙z(t) = Az(t) + Bu(t),y(t) = Cz(t) + Du(t), (2.1)với u(t) ∈ U , u là hàm đầu vào (hay tín hiệu vào) của Σ, z(t) ∈ X là trạngthái của hệ tại thời gian t, y(t) ∈ Y và y là hàm đầu ra (hay tín hiệu ra) của Σ

Hình 2.1 Hệ Σ với hàm đầu vào u và hàm đầu ra y

chiều 26Thông thường t được xét trong khoảng [0, ∞) Trong hệ Σ trên, A, B, C, D

là các toán tử tuyến tính sao cho A : X → X, B : U → X, C : X → Y và

D : U → Y Với hàm u liên tục và trạng thái ban đầu bất kì z(0), phươngtrình vi phân trong hệ Σ có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử A (hay hệ σ) là ổn định nếu limt→∞etA = 0

Ta nhận thấy A là ổn định nếu và chỉ nếu s0(A) = sup{Reλ| λ ∈ σ(A)} < 0

Vì thế A là ổn định nếu và chỉ nếu mọi giá trị riêng của nó là thuộc nửa mặtphẳng mở bên trái của C

Với u ∈ L2([0, ∞); U ) và τ ≥ 0, ta ký hiệu Pτu là hàm chặt cụt của

u trên đoạn [0, τ ] Ta giới thiệu hai họ toán tử phụ thuộc vào τ ≥ 0,

Ta ký hiệu Φdτ và Ψdτ là ánh xạ đầu vào và ánh xạ đầu ra của Σd

2.1 Tính quan sát được và điều khiển được cho hệ tuyến tính hữu

Tính quan sát được và tính điều khiển được là đối ngẫu với nhau, như trongMệnh đề sau và các Hệ quả của nó

Mệnh đề 2.1.3 Với mọi τ ≥ 0 ta có Φ∗τ = SτΨd

τ.Chứng minh Với mọi z0 ∈ X và u ∈ L2([0, ∞); U ) ta có

Từ đây suy ra điều cần chứng minh 

Hệ quả 2.1.4 Với mọi τ ≥ 0 ta có Ran Φτ = (Ker Ψd

τ)⊥.Chứng minh Sử dụng Mệnh đề trên ta có

(Ran Φτ)⊥= Ker Φ∗τ = Ker SτΨdτ

Vì Ker SτΨd

τ = Ker Ψd

τ, nên ta thu được (Ran Φτ)⊥ = Ker Ψd

τ Lấy phần bùtrực giao ta suy ra đẳng thức cần chứng minh 

Hệ quả 2.1.5 Ta có Ran Φτ = X nếu và chỉ nếu Ker Ψdτ = {0} Vì thế(A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu (A∗, B∗) là quan sát được

Điều này được suy ra từ Hệ quả 2.1.4

Đảo lại, giả sử rằng z0 ∈ X là thuộc vào vế phải Suy ra CAkz0 = 0 với

0 ≤ k ≤ n − 1 Theo Định lý Cayley-Hamilton thì Ak với k ≥ n là tổ hợptuyến tính của các matrận A với số mũ thấp hơn (với số mũ ≤ n − 1), nênsuy ra CAkz0 = 0 với mọi số nguyên k ≥ 0 Khai triển dãy Taylor củay(t) = CetAz0 ta suy ra y(t) = 0 với mọi t Do đó z0 ∈ Ker Ψτ thoả với mọi

Từ (2.5) suy ra Ker Ψτ là độc lập đối với τ Không gian này được gọi là khônggian không quan sát được của hệ Σ (hay cặp (A, C)) Từ (2.5) ta nhận thấyKer Ψτ là không gian con lớn nhất của X bất biến dưới toán tử A và chứatrong Ker C

Hệ quả sau được gọi là điều kiện hạng Kalman cho tính quan sát được

Hệ quả 2.1.7 cặp (A, C) là quan sát được nếu và chỉ nếu

CA2

2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 29

Tính phần bù trực giao ta thu được đẳng thức cần chứng minh 

Từ (2.7) ta rút ra kết luận Ran Φτ là độc lập đối với τ Không gian này đượcgọi là không gian điều khiển được của hệ Σ (hay của cặp (A, B)) Từ (2.7)

ta kết luận Ran Φτ là không gian con nhỏ nhất của X bất biến đối với toán

tử A và chứa trong Ran B

Hệ quả sau được gọi là điều kiện hạng Kalman cho tính điều khiển được

Hệ quả 2.1.9 Cặp (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu

rank [B AB A2B · · · An−1B] = n (2.8)

Vì matrận trong hệ quả trên có n dòng, nên điều kiện để miền ảnh của nó

là X sẽ tương đương với điều kiện rank của nó là n

hạn chiều

Trong phần này trình bày điều kiện Hautus cho tính điều khiển được và quansát được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều Những kết quả của phần này cóthể được tổng quát ra cho hệ vô hạn chiều

Cho U, X và Y là các không gian tích vô hướng hữu hạn chiều, dim X = n,

và Σ là hệ LTI (hệ tuyến tính bất biến đối với thời gian) có không gian đầuvào U , không gian trạng thái X và không gian đầu ra Y như trong (2.1).Mệnh đề sau được gọi là điều kiện Hautus cho tính quan sát được

Mệnh đề 2.2.1 Cặp (A, C) là quan sát được nếu và chỉ nếu

rank  A − λI

C



= n ∀λ ∈ σ(A)

 A − sIC



> 0 ∀s ∈ C

Giá trị riêng nhỏ nhất của matrận dương ở trên, ký hiệu là λ(s), là mộthàm liên tục theo biến s và lims→∞λ(s) = ∞ Vì thế, tồn tại k > 0 sao choλ(s) ≥ k2 với mọi s ∈ C Từ đó suy ra

(sI − A)∗(sI − A) + C∗C ≥ k2I ∀s ∈ C,

Từ bất đẳng thức trên suy ra (2.9) Ta quan tâm tới công thức (2.9) của điềukiện Hautus vì nó có thể tổng quát lên cho trường hợp vô hạn chiều

Mệnh đề 2.2.4 Cặp (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu

rank [A − λI B] = n ∀λ ∈ σ(A)

2.2 Điều kiện Hautus cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều 31

Chứng minh Theo Hệ quả 2.1.5, (A, B) là điều khiển được nếu và chỉ nếu(A∗, B∗) là quan sát được Theo Mệnh đề 2.2.1, thì (A∗, B∗) quan sát được

sẽ tương đương với

rank A∗− µI

B∗



= n ∀µ ∈ σ(A∗)

Với mọi matrận T ta có rank T = rank T∗, và µ ∈ σ(A∗) nếu và chỉ nếu

µ ∈ σ(A), từ đó ta thu được điều kiện phát biểu trong mệnh đề 

chiều 32

Tính quan sát điều< /h2>

khiển cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều

cho hệ tuyến tính hữu hạn chiều

Trong phần trình bày khái niệm tính quan sát v? ?điều khiển. .. 29

2.1 Tính quan sát điều khiển cho hệ tuyến tính hữu

Tính quan sát tính điều khiển đối ngẫu với nhau, trongMệnh đề sau Hệ

Mệnh... gian điều khiển hệ Σ (hay cặp (A, B)) Từ (2.7)

ta kết luận Ran Φτ không gian nhỏ X bất biến toán

tử A chứa Ran B

Hệ sau gọi điều kiện hạng Kalman cho tính điều khiển