PHƯƠNG PHÁP SỐ HÓA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR

HOÀNG THN MINH THẢO PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TO

HOÀNG THN MINH THẢO

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

VỚI CÁC XẤP XỈ TAYLOR

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số : 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TÔ ANH DŨNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán – Tin học cùng các cán bộ công nhân viên khác thuộc Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian theo học tại trường Đặc biệt, tôi vô cùng cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Bác Văn, TS.Dương Tôn Đảm đã tận tâm trong giảng dạy, kiến thức mà tôi tiếp thu được từ các thầy là nền tảng quan trọng giúp tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ ở đây lòng biết ơn đối với Ban Giám hiệu Trường Đại học

Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, các đồng nghiệp công tác tại Khoa Khoa học Cơ bản, các anh Dương Ngọc Hảo, Phạm Duy Khánh và các bạn lớp Cao học Xác suất Thống kê K17, sự giúp đỡ, động viên quí báu cùng những điều kiện thuận lợi mà Ban Giám hiệu và các anh chị dành cho tôi đã giúp tôi hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng kính yêu vô hạn đến song thân của tôi, những người luôn luôn kiên nhẫn, không bao giờ nề hà gian lao, khó nhọc để sinh thành, nuôi dưỡng, dạy bảo tôi một cách tốt nhất

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2010 Tác giả luận văn

Hoàng Thị Minh Thảo

Lời nói đầu

Phương trình vi phân ngẫu nhiên có nguồn gốc phát sinh từ mô hình toán của các hệ thống vật lý có nhiễu bản chất và tính không ổn định Tiếp đó, các mô hình toán có liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên tương tự như thế trở nên phổ dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng dụng như sinh học, dịch tễ học, cơ học, kinh tế học và tài chính, v.v… Tuy nhiên, hầu hết các phương trình vi phân ngẫu nhiên phát sinh từ thực tế nghiên cứu của các ngành khoa học ứng dụng lại không thể được giải một cách chính xác Do đó, xây dựng phương pháp để xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên một cách hiệu quả với sự trợ giúp của máy điện toán trở thành vấn đề rất quan trọng Đến nay, một phần trọng yếu của vấn đề vừa nêu đã được giải quyết và kết quả chính là các sơ đồ số cho phép xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi giới thiệu một số sơ đồ số được xây dựng trên cơ sở khai triển Ito-Taylor (còn gọi là khai triển Taylor ngẫu nhiên) của quá trình ngẫu nhiên Ito, các sơ đồ số này cho phép tìm xấp xỉ Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Ito Luận văn gồm có 4 chương:

Chương 1 trình bày một số khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất sẽ được

đề cập đến nhiều lần trong nội dung các chương tiếp theo của luận văn

Chương 2 trình bày một số kiến thức quan trọng làm cơ sở cho việc nghiên

cứu phương pháp số giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) bao gồm quá trình Wiener, tích phân Wiener, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) và nghiệm của nó

Chương 3 trình bày các khái niệm liên quan đến khai triển Ito-Taylor cho hàm

đủ trơn của quá trình Ito như tích phân Ito lặp, công thức khai triển

Ito-Taylor Khai triển Ito-Taylor được ví như chiếc chìa khóa mở cánh cửa dẫn tới các sơ đồ số xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

Chương 4 trình bày các sơ đồ số cho phép tìm xấp xỉ rời rạc thời gian của quá

trình ngẫu nhiên Ito thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) Các sơ đồ số này được xây dựng trên cơ sở giản lược khai triển Ito-Taylor của quá trình ngẫu nhiên Ito, chỉ giữ lại một số lượng thích hợp những số hạng đầu trong khai triển Các xấp xỉ cho bởi các sơ

đồ số này được gọi là xấp xỉ Taylor và được chia thành hai loại là xấp xỉ Taylor mạnh và xấp xỉ Taylor yếu

Mục lục Trang

Lời cảm ơn

Lời nói đầu

Mục lục

Bảng kí hiệu

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

§1.1 Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.1 σ-đại số

Định nghĩa 1.1.2 Độ đo xác suất

Định nghĩa 1.1.3 Không gian xác suất

§1.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.2.5 Kỳ vọng có điều kiện

§1.3 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3.1 Hội tụ hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.3.2 Hội tụ bình phương trung bình

Định nghĩa 1.3.3 Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.3.4 Hội tụ căn bản

Định nghĩa 1.3.5 Hội tụ yếu

Định lý giới hạn trung tâm

§1.4 Vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.1 Vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.4.3 Hàm đặc trưng của vector ngẫu nhiên

1

2

4

9

10

10

10

10

10

11

11

11

11

11

11

12

12

12

12

12

13

13

13

13

13

13

Định nghĩa 1.4.4 Các biến ngẫu nhiên độc lập

Chương 2 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

§2.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.2 Quá trình Gauss

Định nghĩa 2.1.3 Quá trình số gia độc lập

Định nghĩa 2.1.4 Quá trình Wiener

Định nghĩa 2.1.5 Quá trình Wiener

Định nghĩa 2.1.6 Quá trình Wiener tiêu chuNn

Định nghĩa 2.1.7 Bộ lọc và martingale

Định nghĩa 2.1.8 Thời điểm dừng

Ví dụ 2.1.1

Ví dụ 2.1.2

Ví dụ 2.1.3

Ví dụ 2.1.4

§2.2 Tích phân Wiener

Định nghĩa 2.2.1 Hàm đơn giản trên [0, ]T

Định nghĩa 2.2.2 Tích phân Wiener của hàm đơn giản

Định nghĩa 2.2.3 Tích phân Wiener

Ví dụ 2.2.1

Ví dụ 2.2.2

§2.3 Tích phân Ito

2.3.1 Tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT

Ví dụ 2.3.1

2.3.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT

2.3.3 Tích phân Ito nhiều chiều

13

14

14

14

14

14

14

15

15

15

16

16

17

17

17

18

18

18

19

20

20

21

21

23

24

25

§2.4 Quá trình Ito

2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều

Định nghĩa 2.4.1

Định lý 2.4.1 Công thức Ito 1-chiều

Ví dụ 2.4.1.1

Ví dụ 2.4.1.2

Ví dụ 2.4.1.3

2.4.2 Quá trình Ito nhiều chiều

Định nghĩa 2.4.2

Định lý 2.4.2 Công thức Ito nhiều chiều

Ví dụ 2.4.2

§2.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito)

Định nghĩa 2.5.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1-chiều

Định nghĩa 2.5.2 Nghiệm mạnh

Định nghĩa 2.5.3 Nghiệm yếu

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Định nghĩa 2.5.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên nhiều chiều

Ví dụ 2.5.1

Ví dụ 2.5.2

Chương 3 KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR

§3.1 Giới thiệu

3.1.1 Khai triển Taylor tất định

3.1.2 Xây dựng khai triển Ito-Taylor cho quá trình Ito 1-chiều

§3.2 Tích phân Ito lặp

3.2.1 Đa-chỉ số

Ví dụ 3.2.1

3.2.2 Tích phân Ito lặp

26

26

26

26

26

28

28

29

29

30

30

32

32

32

32

33

33

34

34

36

36

36

37

40

40

40

41

Ví dụ 3.2.2.1 .

Ví dụ 3.2.2.2

3.2.3 Quan hệ giữa các tích phân Ito lặp

Ví dụ 3.2.3.1

Ví dụ 3.2.3.2

§3.3 Khai triển Ito-Taylor

3.3.1 Hàm hệ số Ito

Ví dụ 3.3.1.1

Ví dụ 3.3.1.2

3.3.2 Tập có thứ bậc và tập phần dư

Ví dụ 3.3.2.1

Ví dụ 3.3.2.2

3.3.3 Khai triển Ito-Taylor

Ví dụ 3.3.3.1

Ví dụ 3.3.3.2

Ví dụ 3.3.3.3

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN

§4.1 Một số khái niệm

4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian

4.1.2 Hội tụ mạnh

4.1.3 Hội tụ yếu

4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số được trình bày trong chương 4

§4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh

4.2.1 Sơ đồ Euler-Maruyama

Ví dụ 4.2.1.1

Ví dụ 4.2.1.2

4.2.2 Sơ đồ Milstein

42

42

42

45

45

47

47

47

48

49

49

49

49

51

52

53

54

54

54

54

55

55

57

57

58

59

59

Ví dụ 4.2.2.1 .

Ví dụ 4.2.2.2

4.2.3 Sơ dồ Taylor mạnh bậc 1.5

Ví dụ 4.2.3.1

Ví dụ 4.2.3.2

§4.3 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor yếu

4.3.1 Sơ đồ Euler yếu

Ví dụ 4.3.1

4.3.2 Sơ đồ Taylor yếu bậc 2.0

Ví dụ 4.3.2

4.3.3 Sơ đồ Taylor yếu bậc 3.0

Ví dụ 4.3.3

§4.4 Sai số tuyệt đối và sai số trung bình

4.4.1 Sai số tuyệt đối

4.4.2 Sai số trung bình

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục MATLAB CODE

61

62

62

66

67

69

69

70

70

73

74

75

77

77

78

81

82

83

không gian Euclide d-chiều

không gian Euclide 1-chiều, tập số thực

tập A chứa trong tập B phần bù của tập B trong tập A

không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích

hàm chỉ tiêu của tập A

hầu chắc chắn giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

§1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

Cho tập hợp Ω ≠ ∅ , đặt P( )Ω là tập hợp tất cả các tập con của Ω

Định nghĩa 1.1.1 Lớp A⊂P( )Ω được gọi là một σ-đại số nếu:

n n

a) Ω là tập hợp bất kỳ (khác ∅), được gọi là không gian các biến cố sơ cấp;

b) A là σ-đại số các tập con của Ω;

c) P là độ đo xác suất σ-cộng tính trên A (gọi tắt là xác suất trên A)

§1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.2.1 Biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P) là ánh xạ sao cho:

1

X− B = ω∈Ω X ω ∈B ∈A , B ∀ ∈B (B là σ-đại số Borel trên R) (1.2.1)

Định nghĩa 1.2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định trên

không gian xác suất (Ω,A,P) là hàm số

Định nghĩa 1.2.4 Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

(Ω,A,P) và A ∈ A sao cho P( ) 0A > thì kỳ vọng của X với điều kiện A là

Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và F là một σ-đại số con của A

a) Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X ≥ đối với 0 F là biến ngẫu nhiên suy rộng không âm E X( F):Ω →[0,∞] sao cho:

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho hầu chắc chắn ta có

minE X + ,E X −  < ∞

 F F  , khi đó kỳ vọng có điều kiện của X đối với F

được xác định bởi E X( F)=E X( + F)−E X( − F) (1.2.7)

§1.3 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên ( )X n cùng xác định trên không gian xác suất cố định (Ω,A,P)

Định nghĩa 1.3.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n được gọi là hội tụ h.c.c đến biến ngẫu nhiên X khi

Định nghĩa 1.3.2 (Hội tụ bình phương trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n

được gọi là hội tụ bình phương trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi

Định nghĩa 1.3.3 (Hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên ( )X n được gọi là hội

tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi

Sự hội tụ theo phân phối

Định nghĩa 1.3.4 Dãy hàm phân phối ( )F X n xác định trên R được gọi là hội tụ căn bản đến hàm phân phối F khi X

Định nghĩa 1.3.5 Dãy hàm phân phối ( )F X n được gọi là hội tụ yếu đến hàm phân phối F (trong X d

Định lý giới hạn trung tâm

Giả sử ( )X n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn Đặt m=EX1,σ2 =VarX1, khi đó với mọi a b, ∈R ta có :

x n

k n

§1.4 VECTOR NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.4.1 X =(X1, ,X d) là một vector ngẫu nhiên d chiều khi mỗi thành phần X k (k=1, , )d là một biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω,A,P)

Định nghĩa 1.4.2 Hàm phân phối của vector ngẫu nhiên X (hay hàm phân phối

đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1, ,X d ) được cho bởi

x x x x

d d

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

§2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 2.1.1 Xét tập hợp vô hạn T ⊂ R , một quá trình ngẫu nhiên là một họ các biến ngẫu nhiên { }X t t T

∈ xác định trên không gian xác suất (Ω,A,P)

Chú ý : Có thể xem một quá trình ngẫu nhiên như một hàm hai biến : xX T Ω → R

mà với mỗi t cố định thuộc T ta có một biến ngẫu nhiên X t( ,ω), và với mỗi ω cố định thuộc Ω ta có một hàm X t( ,ω) mà đồ thị của nó theo t được gọi là một quỹ

đạo (hay một đường mẫu) của X t

Định nghĩa 2.1.2 Quá trình ngẫu nhiên { }X t t T∈ được gọi là quá trình Gauss khi phân phối của vector ngẫu nhiên (X t1, ,X t n) là Gauss với mọi tập con hữu hạn

{1, , n}

I = t t ⊂ T

Đặc biệt, nếu m t( )=EX t =const và R t s( ), =cov(X X t, s)=R t( − với mọi s),

t s T ∈ thì { }X t t T∈ được gọi là quá trình Gauss dừng

Định nghĩa 2.1.3 Quá trình ngẫu nhiên { } (X t t T∈ T ⊂ R là quá trình số gia độc lập )

khi các số gia của nó trên các khoảng thời gian rời nhau là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là với mỗi phân hoạch hữu hạn t0 < < <t1 t n (t k∈T k, =0,1, ,n) các số gia

− − là các biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 2.1.4 Quá trình ngẫu nhiên { }W t t∈ ∞[0, ) được gọi là quá trình Wiener khi :

iii) Biến ngẫu nhiên W t −W s, 0≤ ≤ có phân phối chu#n với kỳ vọng 0 và s t

phương sai (t−s);

iv) Hầu hết các quỹ đạo của { }W t t∈ ∞[0, ) là hàm liên tục

Định nghĩa 2.1.5 (tương đương với định nghĩa 2.1.4) Quá trình ngẫu nhiên

{ }W t t∈ ∞[0, ) được gọi là quá trình Wiener với tham số phương sai σ2khi { }W t t∈ ∞[0, ) là quá trình Gauss thỏa mãn E W( )t =0 và R t s( ), =E W W( t s)=σ2min , ,( )t s ∀t s, ≥ 0

Định nghĩa 2.1.6 Quá trình Wiener tiêu chu#n là quá trình Wiener với tham số

phương sai σ2 = 1

Đặc điểm quỹ đạo của quá trình Wiener : Xét W t là một quỹ đạo (tương ứng với một ω cố định thuộc Ω) của quá trình Wiener, ta có :

i) W t liên tục h.c.c;

ii) W t không đơn điệu trên bất kỳ đoạn [ , ] [0, )a b ⊂ ∞ nào;

iii) W t không khả vi tại bất kỳ điểm nào

Chú ý : Quá trình Wiener có đạo hàm suy rộng là nhiễu trắng - thường được ký

hiệu bởi W• t - là quá trình Gauss dừng có hàm tương quan R t s( ), =δ(t− , trong s)

Định nghĩa 2.1.7 Xét không gian xác suất (Ω,A,P) và tập hợp T ⊂ R

a) Họ các σ-đại số At ⊂A (t∈T) được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau:

• Nếu A∈A và P( ) 0 A = thì A∈A 0 (2.1.4)

b) Quá trình ngẫu nhiên { }X t t T∈ được gọi là tương thích với họ { }At t T∈ nếu

• Họ { }At ∈ không giảm

• X là t A -đo được, t T t ∀ ∈

c) Cho quá trình ngẫu nhiên { }X t t T∈ tương thích với bộ lọc { }At t T∈ và thỏa

mãn các điều kiện sau:

{ω τ ω: ( )≤ ∈t} At, ∀ ∈t T (2.1.7)

Ví dụ 2.1.1

Chúng ta xét một ví dụ đơn giản về việc mô phỏng quỹ đạo của quá trình Wiener W t với t∈[0,T]

Phân hoạch [0,T thành N đoạn con bằng nhau: ] 0= < <t0 t1 L<t N−1<t N =T ,

mỗi đoạn con như vậy đều có độ dài dt T

N

= Đặt W t( )j =W j( ) với mỗi t j = jdt (j=0,1, ,N)

Dựa vào đặc điểm của quá trình Wiener ta chọn W( )0 = và 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5

0 0.5 1

t W(t)

Ví dụ 2.1.2

Trên không gian xác suất (Ω,A,P) cho quá trình ngẫu nhiên X ={X t t, ∈T}

Với mỗi t T∈ và B là σ-đại số Borel của R ta có σ-đại số σ( )X t =X t− 1( )B

Ký hiệu σ( {X t t, ∈T} )là σ-đại số con bé nhất của A chứa tất cả các σ-đại số ( )X t ,t T

σ ∈ và gọi σ( {X t t, ∈T} ) là σ-đại số sinh bởi X

độc lập với các số gia X t −X s (s< nên t) X t−X s độc lập với As, hơn nữa, X s

là As-đo được Vì vậy

k A k

Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên [0,T] thì S là không gian tuyến tính

đồng thời là tập trù mật trong không gian Hilbert L2( [0,T] )

Định nghĩa 2.2.2 Với f ∈ và có dạng (2.2.3) thì tích phân Wiener của f trên S

[0,T] được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( 1 )

1 0 0

Hơn nữa, với 0 s t T≤ ≤ ≤ ta có ( ) ( ) ( )

Tích phân (2.2.4) có các tính chất cơ bản sau: ([5])

(i) I f( )là biến ngẫu nhiên có phân phối chuNn với kỳ vọng bằng 0 và

phương sai bằng 2

0 ( )

T

∫(ii) I S: →L2( )Ω là ánh xạ tuyến tính, tức là

Vậy {I f( )n } là dãy Cauchy trong L2( )Ω (là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn

theo nghĩa bình phương trung bình ( )

0 0

n j

n n

n

n j

§2.3 TÍCH PHÂN ITO

Cho không gian xác suất (Ω,A,P) và số T không âm

Giả sử đã cho họ không giảm các σ-đại số At ⊂A(t∈[0,T] ) và quá trình Wiener

{ }W t t∈[0,T] tương thích với họ { }At sao cho số gia W u−W u t ( > sau thời điểm t t)độc lập với σ-đại số At

Ký hiệu NT là lớp các hàm ngẫu nhiên f : 0,[ T] x Ω → R thỏa mãn:

• f t ( , ω ) là hàm đo được (theo hai biến);

• f t là tương thích đối với At (nghĩa là, f t là At-đo được);

λ là biến ngẫu nhiên A0-đo được,

k k k

A = t t + k= n− và IA là hàm chỉ tiêu của tập A

Định nghĩa 2.3.1 Với ϕ∈ N là hàm sơ cấp có dạng (2.3.1), tích phân Ito của T ϕ

được định nghĩa bởi:

( ) ( ) ( ) ( 1 )

1 0 0

Đẳng cự Ito đối với hàm sơ cấp :

a) Với g∈ NT bị chặn và g( )⋅,ω liên tục với mỗi ω thì tồn tại dãy hàm

sơ cấp ϕn∈ NT sao cho ( )2

0

T n

b) Với h∈ NT bị chặn thì tồn tại dãy hàm g n∈ N bị chặn và T g n( )⋅,ω

liên tục với mỗi ω sao cho ( )2

0

T n

T n

Định nghĩa 2.3.2 Tích phân Ito của f ∈ N được định nghĩa bởi: T

2

0 0

0 1 0

2

1 0

1

j

j j

j

j j

t t

j t t n

j

j t n

j j j

Khi làm mịn phân hoạch thì 2

0

0

2 2

n

n j T

2.3.3 Tích phân Ito nhiều chiều

Vector ngẫu nhiên ( 1, , n)

X =∫bdW là vector cột m-chiều có thành phần thứ i là

1 0

1, ,

T n

t k

=

§2.4 QUÁ TRÌNH ITO

2.4.1 Quá trình Ito 1-chiều

Giả sử trên không gian xác suất (Ω,A,P) đã cho { }At t∈[0,T] là họ các σ-đại số con của A và quá trình Wiener {W t t, ∈[0,T] } thỏa mãn các điều kiện sau:

thì Y là quá trình Ito và t

2 2 2

1 2

2

2 2

1

( )2

Sau đây là một số ví dụ áp dụng công thức Ito 1-chiều

Ví dụ 2.4.1.1 (Làm lại ví dụ 2.3.1 bằng cách dùng công thức Ito 1-chiều)

Y =g t W = với W t là quá trình Wiener tiêu chuNn có W0 = 0

Hiển nhiên dW t =0dt+1dW t, do đó công thức Ito 1-chiều cho ta :

2

0 2 0

12

12

T T

t t T

Ví dụ 2.4.1.2

Cho f t( ) là hàm số thực chỉ phụ thuộc biến t và có biến phân bị chặn trên

[0,T ] (tức là tồn tại hằng số C sao cho với mọi phân hoạch

Cho W t là quá trình Wiener có W0 = 0

Hiển nhiên dW t =0dt+1dW t, do đó công thức Ito 1-chiều cho ta :

U t x x f ds

 ∫  và cũng đặt Y t =U t X( , t) thì

ta nhận được: dY t = f Y dW t t t

2.4.2 Quá trình Ito nhiều chiều

Giả sử trên không gian xác suất (Ω,A,P) đã cho { }At t∈[0,T] là họ các σ-đại số con của A và quá trình Wiener n-chiều ( 1, , n)

n ij

Định lý 2.4.2 (Công thức Ito nhiều chiều) Nếu X là quá trình Ito n-chiều dạng t

∂ ∂

∂+

2

1 2

1 1 1 1

0 0

§2.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN (ITO)

Định nghĩa 2.5.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) 1-chiều có dạng

b t x ≡b x ) thì ta nói phương trình (2.5.1) có tính ôtônôm

Định nghĩa 2.5.2 Với các yếu tố cho trước:

(1) (Ω,A,P) là không gian xác suất cơ bản;

(2) {At,t∈[0,T] } là họ các σ-đại số con đầy đủ của A;

(3) Quá trình Wiener {W t t, ∈[0,T] } sao cho {W t,At,t∈[0,T] } lập thành martingale

thì nghiệm mạnh của phương trình (2.5.1) là quá trình ngẫu nhiên liên tục

{X t t, ∈ 0,T } tương thích với {At,t∈[0,T] } sao cho

0

2 0

P | ( , ( )) | 1

| ( , ( )) |

T

t T

t

a t X dt

ω ω

Định nghĩa 2.5.3 Khi các yếu tố (1),(2),(3) trong định nghĩa 2.5.2 không được cho

trước thì phương trình hình thức dX t =adt+bdW t (với a t x( ) ( ), ,b t x là các hàm ,

cho trước) được gọi là có nghiệm yếu {X t%t, ∈[0,T] } nếu tìm được:

i) (Ω % % , ,PA %) là không gian xác suất;

ii) {A%t,t∈[0,T] } là họ các σ-đại số con đầy đủ của % A ;

iii) Quá trình Wiener {W t%t, ∈[0,T] } sao cho {W% At, %t,t∈[0,T] } lập thành

martingale

iv) {X t%t, ∈[0,T] } là quá trình ngẫu nhiên liên tục tương thích với

{A%t,t∈ 0,T } sao cho dX%t =adt+bdW%t

Điều kiện ban đầu của nghiệm yếu là hàm phân phối xác suất F cho trước Khi

đó, ta phải tìm nghiệm yếu sao cho X% có hàm phân phối bằng F 0

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử T > và 0 a : 0, [ T ] x R → R , : 0, b [ T ] x R → R là các hàm đo được thỏa:

trong đó C,D là các hằng số dương nào đó

Giả sử Z là biến ngẫu nhiên độc lập với

0

t t

Phương trình vi phân ngẫu nhiên (Ito) vector d-chiều có dạng:

cos 1 cos 0 1 cos

t

W X

CHƯƠNG 3: KHAI TRIỂN ITO-TAYLOR

Bằng phương pháp tương tự như trên ta xây dựng được khai triển Taylor tổng quát của f X ( )t với f x ( ) là hàm số (r+ lần khả vi liên tục trên 1) R như sau :

3.1.2 Xây dựng khai triển Ito-Taylor cho quá trình Ito 1-chiều

Xét quá trình Ito 1-chiều

0

2 2

t

t t