Khóa luận tốt nghiệp phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử

Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo -

Trang 1

Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học

2.Mục đích nghiên CỨU - 5 tt St TH nghiệt 4

3.Nhiệm vụ nghiÊn CỨU 5 + 1xx vn nh nh ren 4

4.Đối tượng nghiên cứu ¿-¿++++++SEEEtEEEEtEEketrrxrerrrrrrrerrrke 4

5.Phương pháp nghiÊn CỨU - - 5 tk xxx krkskeekrrkrrereerke 4

NO1 CUI on 5

Chương 1: Chuẩn hoá hầm sóng ¿- 22 5¿©++£++2E++x+vrxeerxesrxeee 5

Ben 7a AA4Ÿ444 5

In 6 Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử «« 11

4.1.CƠ Sở lý thUYẾT 2-22 ©2Sc SEESEEECEEEEEE1122112112711 2111 26

Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyên động 34

5.1.1.Phương trình SchrOdInØ€T 5 S+x++x+x£sxseeseeexeeeeee 34

5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản 5-©ccccccccrerrrcee 35

5.2.Bai n 36

408i 0117 43

I )8)Lì0i)i8 4.1 SPPa 44

Trang 2

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ

Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa đã tận tình hướng

dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để để tài được đầy đủ và hoàn

thiện hơn

Một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Sinh viên thực hiện

Trương Thu Liên

Trang 3

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của

TS Trần Thái Hoa

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương pháp giải một

số dạng bài tập cơ học lượng tử” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Sinh viên thực hiện:

Trương Thu Liên

Trang 4

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại

học đó là môn cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào

đầu những năm 30 của thể kỷ XX Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa

dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về

chúng thì lại khá phức tạp Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập

cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực

Từ những đặc điểm nêu trên tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số dạng

bài tập cơ học lượng tử” để làm luận văn tốt nghiệp của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài tập cơ học lượng tử cơ bản

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của cơ học lượng tử

4.Đối tượng nghiên cứu

Bài tập cơ học lượng tử

5.Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp toán học

Trang 5

Nội dung

Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng

1.1.Cơ sở lý thuyết

Xét không gian F(q) các hàm số liên tục của các biến q Các hàm

@(q) được chuẩn hoá về đơn vị mà tích phân sau hội tụ:

[Io(a)[da =N (hữu hạn) (1)

thi ham 9'(q) =9) được chuẩn hoá về đơn vị Việc nhân hàm ọ với

IN được gọi là phép chuân hoá hàm ọ về đơn vị Hàm đã được chuân hoá

theo (1) có thể sai khác nhau một thừa số có modul bằng don vi

Trường hợp: [le(a)Jf4a — thì các hàm của không gian này không

được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng chỉ số f:9, <F(q) trong đó f trải từ f,—>œ một cách liên tục Ta gọi các ham

; €F(q) là hàm ứng với phô liên tục Và khi đó @, được chuẩn hoá về hàm

delta: 6

Với hàm delta một biến được định nghĩa như sau:

Ham ồ có nhiều biểu diễn tường minh Một trong các biểu diễn như thé

được viết dưới dạng: (x)= x Ỉ exp{iqx}dq = điều kiện chuẩn hoá hàm ọ,

Tt —œ

về hàm ö như sau: Íøœ:(a)e,()dq =6(f -f')

Trang 6

Ham w(x) ứng với phô rời rạc cho nên ta chuan hod ham w(x) về đơn vị:

Tức là fu (x)y(x)dx <1 [Aver dx =1 đặt 2a=œ

Trang 7

Trang 8

=A”h Í=eitn p=] (*) ~p)= | ~|=A?.2.hð(p—p' nhồ(p — P`)

Từ điều kiện chuẩn hoá (3) ta có: A”.2n#ð(p, —p, )=Š(P, —P, }

> 9, = Aexp|#(p.i4 py J+ p,k)(xi+ yj+ 3)

= Aetp| (sp +yp, + m.)| với r={x,y,z!

Do p là thực và (“<p<+©) nên @„ tương ứng với phố liên tục, vì

vậy chuẩn hoá về ö - hàm có dạng:

js(Delf=al6-B) —®

Xá fo, (F}o,(ar~ favexn{ + (p-p')| a

Trang 9

Bài 1.2/Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mô tả

bang ham song: w(r) = Ae® Trong đó a là bán kính quỹ đạo Bo thir nhat, A:

hệ số chuân hoá Hãy chuẩn hoá hàm sóng trên

vi=e *>v= e?

2

Trang 10

Trang 11

-Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chương 2: Tìm hàm riêng và

trị riêng của các toán tử

2.1.Cơ sở lý thuyết

Phương trình Fx = fx (*) khéng thoa man voi Vx eX va Vf eT ma

chỉ với f nào đó và một lớp x nao do (*) goi 1a phương trình cho giá trị

riêng (hoặc trị riêng) và vectơ riêng của toán tử F

Với: f là giá trị riêng;

x là vectơ riêng

Phương trình cho trị riêng và vectơ riêng của một ma trận vuông cấp p:

an ai; ap a, a,

ay, 3; 3zp || 3z =f a,

đại ay» anp a, a,

A) -a; + (A,, -f)a, + + A245 = 0

Aya + Apa, + + (A, -f)a, = 0

Dé tim trị riêng và vectơ riêng của ma trận A ta tiến hành giải phương

Trong trường _, phương trình (2) có p nghiệm: fj,f;, f, f,„ thay

f, vào (1) ta sẽ tìm được vectơ riêng (x), ứng với trị riêng Ï,

2.2.Bài tập

Bai 2.1.Tim ham riéng va trị riêng của toán tử p, = trong lớp hàm

Xx

bién thực x, liên tục, đơn trị và hữu hạn trong toàn không gian

— 11 —

Trang 12

Lấy tích phân hai về phương trình (2) ta được:

Iny(x)= Pex +lnA=w(x)= Acxp| t,x}

Suy ra tính chất của w(x):

(+)Là hàm liên tục Vpc hay vì là hàm sơ cấp

(+)Là hàm đơn trị vì là hàm mũ với Vp,

(+)Xét tính hữu hạn:

Dat: p, =a+if thi ta có:

w(x)= Acxp| tox} = Aexp{ Laxferp{-Px}

Néu p+0-rerp|-Px} ya khi x—>+œ Nên để w(x) hữu hạn thì

1

w(x)= Jas9|nP2| với (=<p<+œ)

— 12 —

Trang 13

Bài 2.2.Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử sau:

ô L.=-iñ——

(a)L, =1 2o

2 2 2

(b)T =1; = trong d6 I=const (I: mô men quán tính và T là

2I 21 6p hàm toán tử động năng của Rotato phẳng)

Lời giải (a)Lx = “ne

Trang 14

Nghiệm w(o) có dạng: w(o) =Ae"*

Từ điều kiện đơn giá: w(o) = (+ 2n) ta có

Ac? = A e797) os elk?" <1 hay k =0;+1;+2;

Vậy hàm riêng và trị riêng của T có dạng:

Trang 15

Do ¢,,c, lA các hằng số tích phân bat kỳ nên ta có thế đặt:

c, =Acos@ vac, =Asing => w(x) = Asin(kx + 9)

u(x)=0 tức là xác suất tìm thấy hạt bằng không nén w(x)=0 khi x <0 hay

x>a

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta có:

X =0—>ự(0)=Asinp=0—>@=0

x=a —>w(a)= Asin(ka +@)= Asinka =0—ka =nn,(n =0;41;42; )

Khi n=0 thi y(x)=Otrong bang 0<x<a, tức là xác suất tìm thấy hạt ở mọi điểm trong giếng thế bằng 0 Điều này mâu thuẫn với đầu bài toán

là hạt ở trong giếng thé Vậy ứng với ø =0 bị loại trừ

— Nang luong cua hat trong giếng thé bị lượng tử hoá, nó có phô giá đoạn, tỉ

lệ với bình phương số lượng tử n

Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:

y,(x)=Asin—(n =1,2,3 ;0<x <a)

a

- 15

Trang 16

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

va(x)=[2sin™ (0 =1,2,3 ;0< x<a)

a a Bài 2.4.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 2:

Lời giải

Ta có phương trình đặc trưng là:

>A có hai giá trị riéng f, =1 va f, =—1

—f\a, -ia, =—a, —ia, =0

Voi f, =1 tacé hé phuong trinh: 4

Đặt a, =B—>a, =iB— vectơ riêng ứng với trị riêng f =—I là: (x)_ =o }

Bài 2.5.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 3:

0 -l

Trang 17

I-f io det(A-If)=0©| 0 1-f -1 /=0

(I-f)a, + la; + Oa, = 0 [a+ia,=0

Oa, + (-f)ja — la, = 0C©‡a,-a;=0

ia, + Oa, — (I+f)a, = 0 |ia-a;=0

Dat a, =a >a, =A; a, =a

Theo điều kiện chuẩn hoá ta có: 3œ =l= œ= + >x= BOB ss

Bài 2.6.Tìm các trị riêng của toán tử I7 tương ứng với hàm riêng:

Y(9,¢) =A {cos8 + 2sinOcos@}, A =const

Loi giai

Trong toa d6 cầu toán tử bình phương momen xung:

— 17 —

Trang 18

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Trang 19

Chương 3: Tìm xác suất 3.1.Cơ sở lý thuyết

Nếu hệ lượng tử nào có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi các

hàm sóng w,„u \„ thì nó cũng có thé ở trong các trạng thái được mô tả

Xác suất để khi đo, chúng ta tìm thấy giá trị toạ độ của các hạt của hệ

Trang 20

Bài 3.1.Chuyển động của một hạt có thể được mô tả bởi các hàm sóng:

w,(x)=A, sin (0<x<a;n=1,2, )

a

(a)Tinh mat d6 xdc xuất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm ở trạng

thái được mô tả bởi số lượng tử n=3?

(b)Tính xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái mô tả bởi số lượng tử n =I trong

trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n=3 là:

Trang 21

Bài 3.2.Tìm xác suất để đo được giá trị p, của xung lượng (tương ứng với

toán tử p, = “He ) một hạt lượng tử ở trạng thái:

Trang 22

Trang 23

Vậy xác suất để đo được giá trị p, của xung lượng một hạt lượng tử ở

trang thai y,(x) 1a w(p,):

wíp.)=|C, "ma ew sø|Tzm ||

Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá tri p xác định của xung lượng của một

hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng v(t) xác định nào đó

V; (r) = Toa a] 6 bai tap 2.1

w(r) = ÍC,v;dp từ đây rút ra:C, = fv (r)y(r)ar

¬

= Bay [wf)se| iPr dr

= xác suất đo được giá trị p của xung lượng ở trạng thái v(r) la:

Ju( exp! Forfa

Bài 3.4.Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mô tả bởi

Trang 24

>C =——— | y(r exp |i prbav leo;

Nếu chọn trục Oz trùng với phương p thì trong toạ độ cầu ta có:

pr = prcos6; dV =r’drsin 6déde

>C.= Tear Ju(exn{ Foe} av

= Al dof r? expt} fexp {reo ofsin 0dOdr

Trang 25

Trang 26

Có thể biểu diễn hàm F qua hàm ự:

F=[y*Fydg={y,Fy} Khi ự đã chuẩn hoá

Trang 27

Chứng tỏ hàm w(x) chưa được chuẩn hoá, do vậy khi tính trị trung

bình của các đại lượng vật lý ta cần áp dụng công thức:

Trang 28

Fenn on Poo

_ mo" i [tne

Trang 29

Va tich phan: Ỉ e ”“dx= fe >p= 3 fimo

a

Bài 4.2.Tính các giá trị trung bình: x, x, P Pp u, T, E của dao động tử điều

hoà một chiều trong trạng thái: W, (x)

Trang 30

Và: oH (2)H,,(2)<6 (Se 7H, (E (É)= vil) ve a6)

Ave =_ hh ¿2 '#w,(§)w,(§) h TW, (6),

Trang 31

Trang 32

Trang 33

Trang 34

Chương 5: Giải phương trình Schrodinger

cho một số chuyển động 5.1.Cơ sở lý thuyết

5.1.1.Phuong trinh Schrodinger

Cho một hạt chuyền động trong trường có thế năng không phụ thuộc rõ vào thời gian:

Còn nếu u(r) =u(x) thì (2) được viết cho trường hợp một chiều:

Trang 35

-Trương Thu Liên K29B - Vật lý Khố luận tốt nghiệp đại học

5.1.2.Các bài tốn một chiều đơn giản

(a)Hạt chuyển động trong giếng thế sâu vơ hạn

Hệ số phản xạ bởi hàng rào thế: R =|Ạ”

Hệ số truyền qua hàng rào thế Q = ID =Q, exp {2 J2m(uạ BE]

Với Q khi u=u(x)= Q=Q, exp ~2'{ Pm(u(x)—B)ex 0 k k ) 0 h 4

£,=2n+l=e= —E, =lo[n+2 ]n=b2 )

— 35 —

Trang 36

Bài 5.1.Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một

trường thế ba chiều (Giả thiết các chiều độc lập nhau):

Vi chuyén động theo các chiều độc lập với nhau, cho nên có thể đặt

w(x.,y,z)=w(x)w(y)w(z) và E=E,+E,+E; và thế vào phương trình Schrodinger ở trên ta được:

— 36 —

Trang 37

?? Ø Ø Ø

sẽ ẽẽ

Chia cả hai về cho /(x)w(y)w(z) ta được:

Tấn MC) Lancy) | Ị |- me P20) Lis u(y)

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	4,29 MB