động học ngưng tụ của polariton trong khuôn khổ phương trình boltzmann master

Khi tương với photon, nhảy lên trạng thái lượng tử hơn và khi trở về trạng thái thấp, lại phát ra photon trưng tính đó trong bán dẫn hay trưng quang-điện bán dẫn đó.. Tiếp đến là những n

TrườngĐại Khoa TựNhiên

Luận văn này hoàn thành tại Phòng Vật lý Lý thuyết,

Viện Vật lý Thành phố Hồ Chí Minh

Lời đầu tiên, php em gửi lời ơn thành

đếnthầyTrầnThoạiDuyBảovà thầyCaoHuyThiệnvì nhữngtình

và sựquan tâm biệt thầy đến tình hình

tập em trong suốt ba năm vừa qua, và sự định hướng

em về đường phía

Tựnhiênđãgiảngdạy, truyềnđạtkiến em, biệtlà

thầy trong bộ môn Vật lý Lý thuyết đã luôn động viên em theo

đường Vật lý

Trong thời gian tậpvà làm luận văn tại PhòngVật lý Lý

thuyết, em đã nhận sự dẫn tận tình thầy Hồ Trung

Dũng, anh Đoàn Trí Dũng, Huỳnh Thanh Trần Minh

Hiến về kiến mới trong lĩnh nghiên này

thành luận văn này

Tp HồChíMinhtháng04năm2010

Nguyễn Duy Vỹ

Lời ơn i

1.1 Sơ về polariton 4

1.2 Photon trong vi 5

1.3 trong giếng lượng tử 6

1.4 polariton 7

Chương 2 động polariton trong vi bán dẫn 10 2.1 Tương polariton-phonon 10

2.2 Tương polariton-polariton 12

2.3 Phương trình động .12

2.3.1 Phần tương giữa phonon và polariton 13

2.3.2 Phần tương giữa polariton-polariton 18

2.3.3 số hạng bơm và rã 19

Chương 3 Thống kê ngưng t polariton 20 3.1 Tóm phương trình Boltzmann .20

3.2 Tương quan mật độ-mật độ và hàm kếthợp hai .21

3.3 Phương trình Master 21

3.4 thông số 22

3.5 Bơm liên 23

3.6 Bơm xung 26

Danh tr×nh gi¶ 31

Hình 1.1: Một vi điển hình 4

Hình 1.2: đường tán polariton nhánh trên và nhánh dưới 9

Hình 3.1: Giản đồ ba phương trình Master 22

Hình 3.2: Nồng độ ngưng t polariton theo nồng độtoàn phần 23

Hình 3.3: Diễn tiến W n theo t với hai độ bơm 23

Hình 3.4: Diễn tiến g 2 (0) với hai nồng độ toàn phần 24

Hình 3.5: Hàm kết hợp hai g 2 (0) theo độ bơm P/P th từ [13℄ và từ lời theo thời gian 25

Hình 3.6 (và 3.7): Hàm phân bố W n khi bơm dưới ngưỡng 0.9P th (và trên ngưỡng 2.5P th) ở 50 ps 26

Hình 3.8: Số lấp đầy ngưng t trung bình từ phương trình Boltzmann và từ phương trình Master 27

Hình 3.9: Phân bố suất W n ở 127 ps và 150 ps P = 3P th 27

Hình 3.10: Hàm kết hợp hai g (2) (0, t) nhiều độbơm 28

Hình 3.11: Hàm kết hợp hai lấy trung bình theo thời gian g 2 (0) độ bơm nhau, so sánh với kết quả dừng [13℄ 28

Hình 3.12: Kết quả nghiệm g2(0) nhóm Yamamoto [6℄ 29

Ngày nay ta thểthấy thiết bị bán dẫn tạovà sửdng

rộngrãitrong sống.Cốtlõi nhữngthiếtbịnàylànhữngtếbàobán dẫn

hoạtđộngdưới tương vớiđiện từtrường Vàkhoa vềquang-bán

dẫn đã phát triển rất mạnh mẽtrong thời gian qua với hàng trămbài báo đăng

trên tạp khoa thế giới Trong thiết bị bán dẫn đó, hạt

bản như điện tử, lỗ trống và giả hạtnhư polariton bẫy (giam

thể hiện, khai để ứng dng vào tế

lên vùng dẫn đồng thời để lại một lỗ trống dưới vùng dẫn Dưới dng

Coulomb, điện tử-lỗ trống này liên kết nhau và hình thành

một giả hạt gọi là Trong giới hạn nồng độ thấp, những như

vậy liên kết với nhau tương đối bền và khi khảo sát thểxem gần đúng như

một nguyêntử Hidro

Khinồng độhạt lỗtrống) tănglên, tương giữa

như vậytrở nên yếuvà liênkếtgiữa trở nênkhông rõ ràng

dễ dàng bứt khỏi lỗ trống ban đầu và liên kết với lỗ trống và php gần

đúng như vậykhông sử dng nữa, ở đây ta xtnồng độ thấp

Khi tương với photon, nhảy lên trạng thái lượng tử

hơn và khi trở về trạng thái thấp, lại phát ra photon trưng

tính đó trong bán dẫn hay trưng quang-điện

bán dẫn đó

Trạng thái vàphoton đó gọilà polariton, và

đểquan sát rõ nt điểm photon đó, nóphải biệt đáng kể

so với photon vào Để làm điều này, bằng nào đó, ngườita

photon phát ra phản xạ trở lại hệ, kết hợp với rồi lại phát ra , như

vậy đến khi biệt ấy đủ lớn để ghi nhận Ngoài ra

giam nhốt đểnằm định trong hệđó Một vi mô sửdng

đểgiamnhững hạtvừanêu là vi mô- - baogồm nhữnggương

phản xạ Bragg và mộthay nhiều giếng lượng tử

Polariton trong vi mô gọilà polariton (MCP) Quá

trình động MCP quan tâm nghiên rất nhiều trong gần hai

thập niên qua với hy vọng thể một thể ngưng t Bose-Einstein

(Bose-Einstein - BEC) php phát xạ ánh sángkết hợp, đó là

nguồn laze trông đợi - laze polariton

Lý thuyết về polariton ra đời từ những năm 1950s [1 ℄ nhưng phải đến

năm 1992, khi thí nghiệm nhóm thấy sựghp mạnh

giữa hưởng và mode bị giam giữ thì quá trình nghiên

mới tiến hànhmạnhmẽtrở lại quansát thấy tánxạ

- polariton nhóm Savvidis [4℄ năm 2000 đã mở ra một hướng

nghiên mới Biểu hiện kiểu boson polariton tìm thấy trong thí

nghiệm Baumberg [5℄ và sự đã gợi ra nhiều khả năng

một thế hệ những thiết bị quang - điện tử, laze polariton Tiếp đến là những

nóvới phonon âm, phonon âm,phonon quang và hạttải

Do thời gian hồi polariton về trạng thái bản hơn so với

thời gian sống polariton, nên polariton hầu hết tập trung ở trạng

thái sóng ~k nào đó lớn hơn 0 (hiệu ứng Tuy nhiên, trongmộtsốđiều kiện nhất định, hiệu ứng này thể bị phávỡ, polariton trở về

tập trung yếu ở trạng thái bản; ngườita hi vọng xạ từ polariton

này sẽ là một ánh sáng kết hợp, đây là nguồn laserngưỡng thấp và không đòi

hỏi điều kiện đảo nồng độ như laser thông thường

Nhiều hiệntượngđã khảosát và tiênđoánđã minh trong

MC's; ở nhiệt độ đủ thấp và độ bơm đủ mạnh, người ta thu sự

ngưng t về trạng thái bản đi với tính mới, giúp khẳng định

tính ngưng t vĩ mô hạt này Một trong những điểm quan trọng mà

người ta quan tâm là tính kết hợp xạ đó Hàm kết hợp nhất

(không gian) đã thẩm định trong thí nghiệm hai khe [12 ℄ Hàm kết hợp

hai nhómYamamoto[6℄ đo năm2002đã thấy khuynhhướng

kết hợp xạ, tuy nhiên vẫn nhiều vấnđề giải đáp tiết

hơn

Nhóm giả T.D Doan [13℄ đã khảo sát tính kết hợp polarriton

ngưng t trong sở phương trình Boltzmann-Master bằng lời giải dừng

và đã thấy một sự phù hợp định tính với kết quả nghiệm Chúng tôi

đã tiến hành giải hệ phương trình Boltzmann bán điển đó trường hợp

bơm liên và thu kết quả khớp với nhómtrên Để thểmô tả tốt hơn

nghiệm, tôi sử dng bơm xung và thu một hàm kết hợp

hai giảm xuống khi nồng độ hạt vượt qua giá trịngưỡng, giá trị nó không

là 1 như lý thuyết, nhưng lại thấy phù hợp với nghiệmhơn

Luận văn sẽ trình bày lại phần từ mô hình lý thuyết đến

phương pháp giải sốvàdừng lạiở kếtquả thu giải tiếtkết

quả và đưa ra định hướng là vượt quá khả năng luận vănnày

Luận văn gồm 3 hai đầu trình bày lý thuyết polariton và

tương yếu dùng để khảo sát quá trình động

nó trong bán dẫn, trình bày khảo sát hàm kết hợp

hai polariton thông qua phương trình Master và kếtquả thu

1.1 Sơ về polariton

Như đãnóiở phần giới thiệu, sựghp mode quang trongvi

(MC) và trong giếng lượng tử đã tạo ra giả hạt polariton Do

khối lượng hiệu dng rất nhỏ (nhỏ hơn khoảng bốn so với khối lượng

thông thường) nên nó là ứng viên tốt sự ngưng t Bose-Einstein

Vi php hình thành polariton đó là hệ gồm một hay nhiều giếng

lượngtử kẹptrong gương phảnxạBragg Bềdày trung tâm

bằng một số nguyên lần nửa sóng ánh sáng tại tần số hưởng

trong giếng giếng đặt tại đỉnh bó sóng để sự ghp

mạnh nhất giữa photon và

0246810

Hình1.1:Mộtvi điểnhình

Polariton Hopfield và tiên đoán về mặt lý thuyết vào

thập niên 50 thế kỉ và nghiên rộng rãi trong vật

liệu khối, màng mỏng, giếng lượng tử, trong sợi và trong lượng tử Nó

thể xem là một ảo truyền đi trong tinh thể bằng

một quá trình hấp th và phát xạ photon Nhưng

polariton là trạng tháiriêng hệ,khi polariton thì hệkhông

photon và nữa.

1.2 Photon trong vi

Để tạo ra sóng phản xạ hưởng với sóng vào, hộp

hưởng Fabry-Perot làm sao bề dày bằng số nguyên lần 1/2

Nghiệm (1.3) viết dưới dạng

A(r, t) = u q (r)e −iω q t

với r = (z, x, y) = (z, r k ) và q = (q z , q x , q y ) = q(q z , q k ) nên thế A(r, t) ở(1.6) thể khai triển ra là

Ta biết rằng hàm sóng hóa biểu diễn thông qua đa

Laguerre giao[21℄(trang180 10), trongtrườnghợphai

ρ = 2r (n + 1 2 )a 0

Trạng thái 1s n = 1, m = 0 thì hàm sóng là

f 1,0 (r) = 2a −3/2 0 e −r/a 0 , (1.13)nhânthêm với hàm bao điện tử và lỗ trống ta thu hàm sóng

1

a 2d 0

e αr , ξ(z) =

1.4 polariton

Sau đây ta sẽ đưa ra Hamiltonian polariton trong thông qua

hạt thành là photon và tương giữa Hamiltonian tương

như đã đề đây, định nghĩa là

H I =

Z

d 3 r ˆ ψ † (r, t)[er]E(r, t) ˆ ψ(r, t). (1.15)Dùng hàm để khai triển toán tử trường

Z

d 3 rξ λ ∗ (z)ξ λ ′ (z)e i(k ′ k −k k +q k )r k ω λ ∗ (0, r)erω λ ′ (0, r)E(q k , z, t),

trong đó ta đãdùng biến đổi Fourier trườngđiện

E(r, t) = P

q k E(z, q k , t)e iq k r k

phân trênthành phân trên ô đơn vị và tổng trên tất ô đơn

vị, thay r bởir u + r L là tổng tọa độtrong ô đơn vị và ô đơn

vị trong tinh thể Giả sử phân trên ô đơn vị giá trịnhư nhauvà sự

thay đổi hàm ξλ(z), E(r, t) trên ô đơn vị là không đáng kể, ta

H = X

q

¯hΩ q k a † q k a q k (1.24)

bằng đặt a q k = x q k B q k + c q k b q k, tathu phổ nănglượng polaritonlà

1.1651.1701.1751.1801.185

QW exciton

(mexc ~ 10-1

me)

Microcavity photon

(mph ~ 10-5

me)

)

Hình1.2:đường tán polaritonnhánhtrênvànhánhdưới

Động Polariton trong vi bán dẫn

Trong khảo sát động polariton, ta dùng hai loại tương là

polariton-phonon(p-ph)vàpolariton-polariton (p-p) Hamiltonian toànphầnsẽ

dạng:

H tot = H polariton + H phonon + H polariton−phonon + H polariton−polariton

2.1 Tương polariton-phonon

Khi xt tương giữa polariton và phonon ta dùng thành phần

trong trạng tháitrộn Tương này xt thôngqua thếbiến dạng

U(re ,rh ) = a e ∆(re ) + a h ∆(rh )

với a e , a h lần lượt là thế biến dạng điện tử và lỗ trống ∆(r e ), ∆(r h )

là độ tương đối tinh thể tại vị trí điện tử và lỗ trống đó,

(2.1)

với bq, b † −q

là toán tử sinh-hủy phonon với sóng q; V, ̺, u lần lượt

là thể giếng, mật độ khối lượng tinh thể và vận truyền âm trong tinh

h

 X

Ta thay vào dạng tường minh đại lượng trong biểu trên

re/h → (r e/h , z e/h ),q→ (q, q z ), (2.3)

e r/a 2d 0

a 2d 0

và ngầm hiểu k, k ′ là k k , k k ′ là trong mặt phẳng giếng - mặt phẳng

√ S

s

2 π e

re−rh a2d 0

s

2 π e

re−rh a2d 0

a 2d 0

re−rh a2d 0

a 2d 0

e ik reme+rhmh me+mh

√ S

s

2 π e

re−rh a2d 0

a 2d 0

2 π

e 2

re−rh a2d 0

a 2d 0

2 π

e 2

re−rh a2d 0

a 2d 0

4 ]

−3/2 + a h [1 + b

2 h

2.2 Tương polariton-polariton

polariton tương với nhau thông qua thành phần

Hamiltonian tương biểu diễn thông qua toán tử sinh-hủy polariton là

+ 1 4S

X

k,k ′ ,q

V (k, k ′ , q)a † k+q a † k ′ −q a k ′ a k

Ta dùng phương trình Heisenberg để xt diễn tiến nồng độ polariton theo

thời gian Toán tử số hạtf k = a † k a k thỏa

nênkhi lấytổng sẽ bằng0 Sốhạngthứhaido toán tửlà loại nên

bằng 0 Số hạng thứ ba là phần tương giữa phonon và polariton

thứ tư là tương polariton-polariton mà ta sẽ lần lượt tính sau đây

2.3.1 Phần tương phonon-polariton

Phần này trình bày tương đối tiết vì tính toán nó thể

áp dng vào phần sau Trong (2.13)

[a † k ′ a k ′ −q , a † k a k ] = −δ k,k ′ a † k a k ′ −q + δ k,k ′ −q a † k ′ a k

thay vào biểu trên, rút gọn thì

[H p−ph , f k ] =

 X

Vậy, ta 4 số hạng 3 toán tử và để tính số hạng này, ta lại sử dng

= i

¯h

 X

ω q ′ ,q ′ z

= i

¯h

 X

ω q ′ ,q ′ z

Nghiệm phương trình toán tử dạng A = ieA + Γ(t) ˙ là

A(t) = A(t 0 )e ie(t−t 0 ) +

suy ra f k (τ ) = f k (t) và G(k, −q, q z ) không ph τ, vậy thì thể đưa

số hạng ấy ra khỏi dấu phân, t 0 → −∞, ta

ha † k+q a k b q,q z i = i

¯h G(k, −q, q z )  f k f k+q N q − f k+q (f k + 1)(N q + 1)  ì

ìZ −∞ t dτ ei(e k+q −e k −ω q,qz +iδ)(t−τ). (2.25)

Đổi dấu q → −q trong số hạng thứ 3 và thứ 4 là (2.32) và (2.33) Để ýhàm D(e) (2.32)

D (2.32) = D(e k − e k−q − ω q,q z ) (q → −q) : D (2.32) = D(e k − e k+q − ω −q,q z ) = D(−[e k+q − e k + ω q,q z ])

Vậy, phần gắn với hàm δ (2.31) và (2.32) giống nhau phần trị

P thì triệt tiêu nhau và tương tự (2.30) và (2.33) Vậy (2.15) là

với Hamiltonian toàn phần là H tot = H p + H ph + H p−ph + H p−p Ta suy ra:

trong không gian xung lượng, vị

trí này đủ để tránh hiệu ứng trộn lẫn-bốn sóng và đủ thấp để

polariton thể hồi về trạng thái bản sau một số kênh tán xạ nhất

Nguồn quá trình rã tựphát polaritonđến từ haihạt thành phần:

sựmấtmátphoton qua gương phản xạvà sựrã không phát xạ

Do đó, thời gian sống polariton định qua thời gian sống τx

Thống kê ngưng t polariton

nghiên đã thấyrằng, tương polariton-polariton đãảnhhưởng

đáng kể lên tính thống kê ngưng t hệ Tính tương quan dị thường giữa

polariton ngưng t và polariton đã gây ra nhiễu trong

trạng thái ngưng t, và làm hàm tương quan hai không đạt tính

kết hợp hoàn toàn như ta mong đợi ở lazer

Về mặtlý thuyết, động hàm hai đã nhóm

và Quattraponi [14 ℄ nghiên với động mật độ, trong đó hệ

luận ma trận mật độ đã sử dng Laussy [9℄ sự đã dùng

phương trình Master và bổ giữa số lấp đầy trạng thái bản và

trạngthái đểmôtả sự t tựphát hàmkếthợp hai Trong

tính toán họ, họ dùng tương polariton-phonon Họ dùng một

khí nhiệt với mật độ 10

để làm tương thêm vào,

để tăng quá trình hồi Trong bài mình, tôi dùng kết

quả phương trình Boltzmann bao gồm tương polariton-phonon và

polariton-polariton để khảo sát động ngưng t

3.1 Tóm phương trình Boltzmann

Chúng ta viếtlại phương trình Boltzmann bán điển để khảo sát động

ngưngt polaritontrongđóphânbố trạngtháithấpnhất~k = 0

viết riêng ra để dễ tính toán Ta dùng mật độ hai n0 = fk=0/S = f0/S.Phương trình (2.45) viết lại là [13℄

đi với phương trình này, tôi giải phương trình Master để

định thống kê ngưng t Trong trường hợp bơm liên khi đạt đến

trạng thái bằng, ta thể dùnghệ bằngvà thu nghiệm dừng

phương trình Master Trong trường hợp tổng quát, ta sẽ giải hai hệ

thống phương trình đó đồng thời để khảo sát tính kết hợp hệtheo thời

gian

3.2 Tương quan mật độ-mật độ và hàm kết hợp hai

Hàm tương quan hai độ I(t + τ ) ở thời điểm t + τ và I(t)

tại thời điểm tlà

g cl (2) (τ ) = hI(t + τ)I(t)i

hI(t + τ)ihI(t)i . (3.3)Cường độ ánh sáng laser polariton tỉ lệ thuận với phân bố trạng thái

Từ phương trình Boltzmann, ta mật độ ngưng t trung bình hn 0 (t)i =

hb† 0(t)b0(t)i và động tán xạ invà out trạng thái bản

với W n (t) là suất để tìm thấy ở thời điểm t n hạt ở trạng thái ngưng t,

và giả sử là suất này ph vào hai n − 1 và n + 1 kế

G n = R n in (n + 1) và D n = R out n n tương ứng là tỉ lệ sinh và rã như trên hình(3.1)

0 − E x

0 =0 meV, τ x = 10 ps, τ c =

4 ps, S = 100 àm2 (hay 10−6 −2)

3.5 Bơm liên

109

1010

101110

-310-210-1100101102103104

trình Boltzmann, sau khoảng thời

giantừ mộtđến vàinanogiây, tasẽ

0.000.010.02

cnb

ằn

Giải phương trình Master tôi thấy rằng thống kê ngưng t hệ

lập với điều kiện đầu Chúng tôi dùng phân bố ban đầu điển hình với

W 0 (t = 0) = 1 và W n6=0 (t = 0) = 0

Trên hình 3.3 tôi vẽ phân bố thống kê polariton ngưng t tại

thời điểm 100, 200, 300 ps, và hệđạt đến trạng thái bằngnhằm

thấy diễn tiến phân bố đó theo thời gian

Khi bằng,dướingưỡng,từ hình3.3a,ta thểthấyrằngphân bố một

đỉnh ở n=0, tươngứng với trạngthái không ngưng t, hf 0 i =0 Trên ngưỡng,phân bố suất trênhình 3.3b thấy một đỉnh nhọn ở n ≃ hf 0 i, phù hợpvới giá trị trung bình nồng độ ngưng t ở nồng độ này, n tot = 5ì10 10

Master (3.7) rất khó giải và

tốnrấtnhiềuthờigian Nhóm

giả T.D Doan [13℄ đã

dùng lời giải dừng để giải

quyết vấn đề này Trong đó vế phải phương trình Master (3.7) bằng

0 và nhận nghiệm dừng bằng dùng hệ truy hồi bắt đầu từ giá

trị nhất không W n, là mọiW n 0 = 0 khi n 0 ≥ N + 1

Trong tính toán, tôi giải phương trình Master ph thời gian

bằng phương pháp Runge-Kutta để so sánh, tôi vẽ kết quả nhóm

đó và hai điểm mà tôi từ lời giải ph thời gian trên hình

3.5 Ta thấy rằng giải theo thời gian trênphù hợp với [13 ℄