Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH LÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỌI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XA ANH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHE AN - 20

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH

LÊ HOÀI THANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỌI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

VÀO KHÔNG GIAN XA ANH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHE AN - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HOC VINH

LÊ HOÀI THANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYÉT SO

MA SO: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học TS: MAI VĂN TƯ

NGHE AN - 2012

MỤC LỤC

Trang

DANH MỤC KÍ HIỆU

8981962710117 1 Chung 1 :M6t s6 kién thite co DAI csssssssssssessessecstssscssssscsscssceseesscssees 5 1.1 Một số khai niém vé duéng cong chinh hinh ceecceessseeesssseessseeessseeees 5

1.2 Cac ham co ban cua ly thuyét Nevanlinna- Cartan - 6 Chương 2: Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh

Hình JD ỨC 5 < << 2 9 TH TH 00 12

2.1 Các bổ đề và khái niệm .-2- 22 ©2s+2E122E22212211271127122112211 221221 12 2.2Chứng minh định lý 2 Ï.6 2-22 2+©5+22++2Ex+2E+eEE++rxrzrxerxrzrxrsrxree 20 KẾTLUẬN 25c St 221 1 E12E11111112111111111 1111111111111 1EcExce 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 2-5 tt 3 1E EEEE2E1EE7111211111 1111110 28

DANH MỤC KÍ HIỆU

là trường đóng đại số với đặc số 0

P“(W) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường W

n,ữ.D) là số không điểm của Qof trong đĩa |z|<r, kể cả bội

n}'(r,D) la sỐ các không điểm của Qof trong dia |z|<r, bội cắt cụt bởi một số

nguyên dương M

ổ,(Ð)_ là số khuyết

ổ/'(Ð) là sỐ khuyết cắt cụt của dirong cong f két hợp với siêu mặt D, trong do

M là một số nguyên đương

LOI NOI DAU

Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna được đánh giá như là một trong những

thành tựu sâu sắc và dep dé của toán học trong thế kỷ XX Được hình thành từ

những năm đầu của thế kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những công

trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực

khác nhau của toán học Lý thuyết phân bồ giá trị và sự tổng quát hoá Định lý cơ bản của đại số, chính xác hơn đó lý thuyết nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình trên C Trung tâm lý thuyết là hai định lý co bản Dinh lý cơ bản thứ

nhất, một cách viết khác của công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ giữa hàm đặc trưng 7,() của hàm phân hình / với hàm đặc trưng 7,(r,a) cua ham

Định lý cơ bản thứ hai thể hiện những kết quả đẹp và sâu sắc nhất của lý

đa tạp trên W Đầu tiên phải kế tới những công trình của H.Cartan công bố vào năm 1933 Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ

chỉnh hình và nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết đó trong các lĩnh vực khác

nhau của toán học phát triển mạnh mẽ và thu hút được sự quan tâm của nhiều

nhà toán học trên thế giới.

Về đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính /ƒ:C-› P”“(C) và „siêu

minh: Với mỗi z >0, với mỗi z>0 đủ lớn năm ngoài một tập có độ đo Lebesgue

hữu hạn

(@-n-1-£}Ƒ,(r)< » Nr(Œr,H,)+0()

i

Két qua trén cua H Cartan là một dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt

cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P”(C) không suy biến tuyến tính kết hợp với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Công trình này của ông được đánh giá hết sức quan trọng, nó mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lý

thuyết phân bố giá trị là nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình mà

ngày nay gọi là “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan” Các kết quả nghiên cứu của các nhà toán học về lý thuyết này trong thời gian gần đây tập trung vào hai vấn

đề:

1 Xây dựng các dạng Định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu là các siêu mặt

cố định hoặc đi động, bằng các thiết lập quan hệ giữa các hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm được hay hàm đếm bội cắt cụt

Từ đó suy ra các kết quả về quan hệ sỐ khuyết

2 Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna- Cartan trong các van dé khác nhau của toán học, chắng hạn, nghiên cứu sự suy biến của các

đường cong đại số, xây dựng các tập xác định duy nhất cho ánh xạ phân hình, Một ứng dụng quan trọng của Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt trong lý

thuyết Nevanlinna -Cartan là nghiên cứu sự xác định của ánh xạ phân hình thông qua ảnh ngược của một hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề này cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L

Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, A Boutabaa, W Cherry, M Ru va nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứng

minh: Hai ham phan hình phức khác hằng /, ø thỏa mãn ƒ`@)=g '(4)3 Ì=12, 5

thi f = g Nam 1975 H Fujimoto mo rong két qua nay cua Nevanlinna cho

ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức, cho thấy tồn tại các tập xác định duy nhất kể cả bội gồm 3ø+2 siêu phẳng ở vị trí tổng quát cho họ các ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Năm1983, L.Smeley chứng minh một

kết quả về sự xác định duy nhất của ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính bởi ảnh ngược của một họ hữu hạn các siêu phẳng, vân đề đó được H Fujjmoto

nghiên cứu lại năm 1998 Năm 2006, G Dethloff và T V Tan xem xét vấn dé tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động Năm 2002 và 2003, V H An và Ð

Q Manh đưa ra một số điều kiện đại số của tập hợp xác định điều kiện duy nhất không kế bội cho các ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet trong trường hợp siêu phẳng có định Năm 2008, bằng việc sử dụng định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình của An-

Phuong, Dulock và Ru đã chứng minh định lý duy nhất cho đường cong chỉnh hình trong trường hợp siêu mặt Thời gian gần đây các nhà toán học tập trung

vào việc nghiên cứu các vân đề: Tìm các đặc trưng của tập xác định duy nhất và

các dạng tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thê Chú ý rằng, hầu hết

những chứng minh của các kết quả về tập xác định duy nhất đều dựa vào dạng

Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt

Sự lựa chọn đề tài: “Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong

chỉnh hình vào không gian xạ ảnh” của tác giả luận văn cũng nhằm tiếp tục tim hiểu lý thuyết Nevanlinna-Cartan.

Luận văn trình bày một số dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho

đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương:

Chương I1: Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến hàm chỉnh

hình trong lý thuyết phân bó giá trị Nevanlinna- Cartan

Chương 2: Tìm hiểu Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường

cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 là một dạng định lý cơ bản thứ hai

với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P“(C) kết hợp với các siêu mặt cô định ở vị trí tổng quát trong P“(C), cho thấy một quan hệ giữa hàm đặc

trưng 7/0) của đường cong chỉnh hình ƒ:C—› P”(C) với các hàm đếm bội cắt cụt N7 ,D), trong đó chúng tôi chỉ ra một cách tường minh chỉ số bội cắt cụt

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, đưới sự hướng dẫn của

TS Mai Văn Tư Nhân địp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn

Tư đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu cũng như quá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã có gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn

đọc đề luận văn được hoàn thiện hơn

vinh, tháng 9 năm 2012

tác giả

CHƯƠNG 1 MOT SO KIEN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm chỉnh hình /:C->C, điểm z„eC được gọi là không điểm bội k

cua f néu ton tại một ham chỉnh hình A(z) kh6ng triét tiéu trong mét lan can U của z, sao cho trong lan can U dé ham f duoc biểu diễn dưới dạng

ƒ(z) =(z~zu)` (2)

Nghia la f(z,) = f/(Z)) =.= fo '(z)) = 0 va f(z) #0 VOI ze C, ta ki hiéu:

k nếu z là không điểm bội # của /,

Một ánh xạ chỉnh hình từ C vào P“(C) hay còn gọi là đường cong chỉnh

hình trong không gian xạ anh P"(C) được định nghĩa là ánh xạ:

f=(f,3 " :/,):C Pˆ(€)

Z>(/,(): /

„())

Trong đó, /,,0 < j < m, là các hàm nguyên trên C Nếu đ,,j=o, n, là các đa thức thì ƒ được gọi là đường cong đại số

1.1.2 Định nghĩa

Đường cong chỉnh hình /:C-›P“(C) được gọi là sưy biến tuyến tính nêu ảnh của / chứa trong một da tạp tuyến tính thực sự nào đó của không gian xạ ảnh P”(C) Đường cong / được gọi là sy biến đại số nêu ảnh của / chứa trong

một đa tạp con đại số thực sự nào đó của P”(C)

1.1.3 Định nghĩa

Cho đường cong chỉnh hình ƒ =( /,):C->P”(Q_ trong đó /¿ /, là các

hàm nguyên, không có không điểm chung trên C Ta gọi ánh xạ

ý =Œn /,):C—>C”"\{0} là một biểu diễn tối giản của ƒ

Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa, chúng tôi sử dụng để chứng minh hai đường cong chỉnh hình đồng nhất bằng nhau

ƒ:C->P"(C) và các biểu diễn tối giản (7 /,) của /

1.2 Các hám cơ bản của lý thuyết Nevanlinna - Cartan

1.2.1 Định nghĩa Hàm 7, => fi f(re”)|| dO

Z 0

Được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan ( hay hàm độ cao Cartan) của /, trongđó |ƒ/(z)|= max | /2(2)|, cà Jf)

Giả sử D là một siêu mặt (có định) bậc Z trong P”(C), xác định bởi đa thức

thuần nhất 9

1.2.2 Định 2 inh nghia Ham m ,(r,D) =m (r,Q) = 5 flog jown(re" nghĩa Hà _ 11/0

0

Được gọi là hàm xáp xỉ của / kết hợp với siêu mặt D

Ki hiéu n,(r,D) là số không điểm cia Qof trong dia |z|<r, kể cả bội, n(r,D) là số các không điểm của Øoƒ trong dia |z| <r, bội cắt cụt bởi một số nguyên dương 1⁄ Nghĩa là

1.2.3 Dinh nghia Ham

N,(r,D) = N,(r,Q) = "n,(t,D)—n,(0,D POP arn (0,D)lo8r

Được gọi là hàm đếm bội cắt cụt bởi M của đường cong ƒ kết hợp với siêu

mặt D Số M trong ki hiéu N"(r,D) dug goi la chỉ số bội cat cụi Trường hợp

đặc biệt, nếu M =I, ta viết Nạ(r,D) thay cho N}(r,D) va goi la ham dém không

kể bội

Với mỗi số nguyên dương #, kí hiệu a,(z,D,<£) là số các không điểm có

bội nhỏ hơn hay bằng # của Qo/ trong đĩa |z|<r và n„ứ,D,>k)là số không điểm có bội ít nhất bằng ¿+1 của @o/ trong đĩa |z|<r Các ham đếm được định nghĩa như sau:

trong trường hợp ngược lại Bổ dé sau sẽ cho một số tính chất của các hàm đếm

J

k+l

Chú y rang N!.,,(r,D) chỉ đếm tại các không điểm bội > £+1 cla Qof, nén

A Nˆ.ứ,D)+ N} „ứ,D)< bal Nj <,(1,D) + AN}, ,(7,D)

10

Giá sử ƒ =(f /,):C—>P”(O là đường cong chỉnh hình khác hang, khi

dé N, (7,0) <T,(r) +00) Voi mdi j=04, n trong db N, (r.0) la ham dém

được tại các không điểm của hàm -

Giả sử /:C->P”(C) là đường cong chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc

d trong P"(C) xác định bởi các đa thức thuần nhất 9

1.2.6 Định nghĩa Số

8;(Ð)=ä,(@)=I-limsup 79 ⁄ ⁄ me aT,(r) ?

Được gọi /à số khuyết va sé

Nứ,O 6" (D)=6"(Q)=1-limsup——,, ; (D)=ở, (Ø=1~lim P Trụ) ©

Được gọi /à số khuyết bội cắt cụt của đường cong ƒ kết hợp với siêu mặt

#:C—>P"(C), trong đó A⁄ là một số nguyên dương

Dễ thấy rằng, với mỗi đường cong chỉnh hình /:C —› P”(C), ta luôn có 0<6,(D)< 6" (D)<1

Với mọi số nguyên đương và siêu mặt D

1.2.7 Định lý.( Định lý cơ bản thứ nhất với lý thuyết Nevanlinna)

Gia sit f:C>P"(C), là một đường cong chỉnh hình và là một siêu mặt bậc d trong P'(C) Nếu ƒ(C) d D thì với mỗi số thực đương r, fq có

m,(r,D)+N,(r,D) =dT,(r) +00),

trong đó 0() là một hằng số độc lập với z

Kí hiệu (z, z„) là hệ tọa độ thuần nhất trong P“(C) Cho đa tạp đại SỐ xa ảnh x có số chiều bằng k, (k <n), va một họ gom q Siêu mặt

11

D = {Q, D} trong P"(C) Trong dé D, xac định bởi đa thức thuần nhất Ø,trong C[zụ, z,], j = 1,2 4 Với số nguyên dương X >+, ta định nghĩa khái niệm họ các siêu mặt ở vị trí tổng quát như sau:

1.2.8 Định nghĩa

Họ D các siêu mặt trong P“(C) được gọi là ở vị /rí N- tổng quát đối với

da tap X nêu ạ> N +1và với mọi cách chọn w +1 siêu mặt D,,, D,„,, trong họ

D, ta luôn có

{xe X| (3) = = đ„,.¡(x) = 0} # ó

Đặc biệt nếu NV =K, ta noi họ các siêu mặt D ở vị trí tổng quát đối với X Nếu W@=K =n, ta nói họ D ở vị trí tổng quát ( đối với P“(C)).

12

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THƯ HAI VỚI BỘI CÁT CỤT CHO ĐƯỜNG

CONG CHỈNH HÌNH PHỨC

Trước khi phát biểu và chứng mỉnh kết quả chính, chúng tôi trình bày một

số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh Cho z là một số nguyên đương, kí hiệu Ƒ„ là không gian các đa thức thuần nhất, bậc ø trong C[z„ z,]

2.1 Các bố đề và khái niệm

2.1.1 Bố đề

Giá sử g, g, là các đa thức thuần nhất trong C[z, z,], xác định một

da tap con trong Pˆ(C) có số chiều bằng 0 Khi đó, với mỗi

Cho hai ø - bộ các số tự nhiên ( 7i» Jims Ci ses i, ) „ ta nội

(7 Fim) > Ci sees „) nếu và chỉ nếu tồn tại øe {I »} sao cho jy, =i, VOI moi/<b va j, >i,

Với định nghĩa trên, chúng ta xây dựng được một quan hệ thứ tự trong N”, thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển của các mø- bộ các 86 tự nhiên Với một z- bộ

(Œ)=(/ i„) các số tự nhiên ta kí hiệu oi) =i

j=l

Gia sit g,, g,€C[z, z,], la các đa thức thuần nhất bậc Z, định nghĩa

một đa tạp con trong P”(C) các số chiều 0, ta xây dựng một lọc của ƒ„,(ø > nđ)

dựa trên các đa thức z, g„ như sau: Kí hiệu: