Định lý going up và định lý going down luận văn thạc sĩ toán học

Khi đĩ p là một iđêan nguyên tổ của A va idéan q được gọi là nằm trên ling ouer iđêan p.. Tà nĩi Dịnh lý Going ~ up đúng đối với ƒ nếu với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và E của A sao cho

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS LE THI HOAI THU

Nghé An - 2013

MỤC LỤC

Mục lục

Mở đầu

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Phé ctta vanh va tépé Zariski 2

1.2 Md réng va thu hep idéan 2 ee

1.4 Vanh va médun dia phuonghéa 2

1.6 Médun phang 2 Q Q Q Q Q Q Q Q v2 1.7 Mơđun hồn tồn phẳng .Ặ.Ặ 1.8 Vành địa phương day di theo top6 madic

2 Dinh ly Going — up và Dinh ly Going — down

2.1 Gidi thiéu vé Dinh ly Going - up va Dinh ly Going - down 2.2 Dinh ly Going — down va đồng cấu phẳng 2.3 Định lý Gọng - up và mở rộng nguyên 2.4 Định lý Gọing - down và mở rộng nguyên

Kết luận

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

Trong tồn bộ luận văn vành luơn được giả thiết là giao hốn, cĩ đơn

VỊ

Cho ƒ: A —>P là một đồng cấu vành Với mỗi iđêan nguyên tổ q của

Bb, dat p—=ƒT!{q) =qf14A Khi đĩ p là một iđêan nguyên tổ của A va idéan q được gọi là nằm trên (ling ouer) iđêan p Tà nĩi Dịnh lý Going

~ up đúng đối với ƒ nếu với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và E của A sao cho pC p và với iđêan nguyên tố bất kỳ q của nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tổ d của nằm trên E sao cho qC dđ Tương tự, ta nĩi Định

lý Gọng - down đúng đối với ƒ nếu với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và yp của A sao cho pC p và với iđêan nguyên tổ bất kỳ d của Ư nằm trên py, tồn tại một iđêan nguyên tổ q của Ư nằm trên psao cho qC đ Trong Đại

số giao hốn, hai định lý này thường được sử dụng khi mở rộng dãy các iđêan nguyên tổ lên các mở rộng nguyên Hay nĩi cách khác, chúng thường

được dùng để so sánh chiều của một đại số hữu hạn sinh trên một trường

với chiều của một vành con mà nĩ nguyên trên vành con đĩ

Dinh ly Going — up và Định lý Going - down đúng trong một số trường hợp như nguyên trên 4 hoặc ƒ là một đồng cấu phẳng Trong trường hợp nguyên trên A, Dinh ly Going — up được phát biểu dưới dạng: Giả

sử AC Ư là các vành, Ư nguyên trên A Cho bị C pạC C p„ là một day các iđêan nguyên tổ trong A và q¡ C qœ€ € g„(m < n) là một dãy các iđêan nguyên tổ trong Ư sao cho q,; NA =p; (1< i < m) Khi đĩ dãy qi C qœ€ C q„ cĩ thể mở rộng thành dãy q¡ C œC € q„ sao

cho œf1A =g; (1< ¡ < n) Định lý Going - down được phát biểu dưới dang: Giả sử 4 C_B là các miền nguyên, A4 đĩng nguyên, Ư nguyên trên

A, Cho pj D po D D p, lA một dãy các iđêan nguyên tổ trong A va

Œq œ2 2 q„,(m < n) là một dãy các iđêan nguyên té trong B sao cho œf14 =p; (1< i < m) Khi đĩ dãy q Đ q 2Ð 2 q„ cĩ thể mở rộng thành dãy qi 2 œ2 2 q„ sao cho qœ (1Á =g; với l < ¿ < n

Cĩ rất nhiều tài liệu đề cập đến Định lý Going - up và Định lý Gọng - down (chẳng hạn [3], [4], || [6] [7] ) Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo liên quan để tìm hiểu, tống hợp và từ đĩ trình bay lại về hai định lý nĩi trên

Ngồi phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luận

văn được trình bày trong hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong

chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm của Đại số nhằm mục

đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương

2 Ngồi ra chúng tơi cịn trích dẫn một số kết quả đã cĩ dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau Chương 2: Định

lý Gọng - up va Dinh lý Going - down Trong chương này chúng tõi trình bày về Dịnh lý Going - up và Định lý Going - down chủ yếu dựa vào [3]

và [6] Cụ thể là chúng tối sẽ trình bày những vấn đề sau:

2.1 Giới thiệu về Dịnh lý Going - up và Dinh ly Going - down; 2.2 Dinh ly Going — up, Dinh ly Going - down và đồng cấu phẳng: 2.3 Định lý Gọng - up và mở rộng nguyên;

2.4 Định lý Gọng - down và mở rộng nguyên

Luận văn được hồn thành tại Trường Dại học Vĩnh dưới sự hướng dẫn

của cõ giáo TS Lê Thị Hồi Thu Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cơ giáo TS Lê Thị Hồi Thu đã tận tình hướng dẫn, động viên

và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm

luận văn Tác giả cũng xin cảm ơn TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã cĩ nhiều

trao đổi và chỉ dẫn cho tác giả về luận văn

Nhãn dịp này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo

trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám

hiệu Trường Dại học Vinh đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả có một môi trường học tập tốt và hết sức thuận lợi

Nghệ An, tháng 08 năm 2013

Tác giả

CHƯNG 1

KIEN THUC CHUAN BI

Trong chương này chúng tối trình bày một số kiến thức về Dại số nhằm

mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương

2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau.Trong toàn bộ luận

văn, các vành được nhắc đến là vành giao hoán, có đơn vị 1 z0

1.1 Phổ của vành và tôpô Zariski

1.1.1 Định nghĩa Cho / là idéan thực sự của # Khi đó:

() Iđêan / được gọi là nguyên tố nếu với mọi +; € /đmà 2€ 7 kéo theo œ€ 7 hoặc € 1

(ii) Iđêan 7 được gọi là cực đại nếu không tồn tai idéan JAR mal AJ

on

(i) Cho I, J la cae idéan cia R Khi db VII) =VI A) =V (DWV)

va điều này đúng cho họ hữu hạn các iđêan

(ii) VSO) = NV G), vd S la tap chi 86 tiy ú

Jes Jes

(iii) VW) =V (VJ) khi oà chỉ khi VT — V7

(iv) VO) =Speck, V(R) =e

Như vậy các tập hợp dạng V(1) với 7 là iđêan của # thoả mãn các tiên

đề về họ tập đóng trong không gian töpõ Do đó Specf trở thành một không gian tôpõ với họ tập đóng là V(ƒ) trong đó ƒ là iđêan của Töpõ này được gọi là #ôpô Zariski Không gian tôpô Spe¿# được gọi là phổ của vành # Mỗi tập hợp V (7) được gọi là fập đại số xác định bởi J

Một không gian tôpô X được gọi là không gian Noether nếu mọi dãy giảm các tập đóng trong X đều dừng Chú ý rằng nếu # là vành Noether thi Sbec# là không gian tôpö Noether Cho ƒ : 4 —># là một đồng cấu vành Khi đó, với mỗi q © SpecB thi f~'(q) @SpecA Ánh xạ “ƒ : SbecB —> SbecA xác định bởi “ƒ(q) =ƒ~ (q) là liên tục

Một tập đóng trong một không gian tôpõ được gọi là bát khá guy nếu nó không thể biểu diễn thành hợp của hai tập con đóng thực sự Cho vành R

và #' là một tập con déng cia Y =SpecR Khi đó F 1a bat kha quy khi và chỉ khi =V(Đ) với một iđêan nguyên tố p nào đó Iđêan p là duy nhất

và được gọi là điểm tổng quát (generic point) của '

Trong một không gian tôpõ X, mỗi tập đóng Z đều có một phân tích duy nhất thành hợp của hữu hạn các tập đóng bất khả quy: Z =Z⁄4L⁄2L1 L„„

Zi GC Z¿ với ¡ Aj Cac tap dong Z; duge goi la cdc thanh phan bat kha quy

của Z

1.1.3 Mệnh dé Gia sit I la idéan thuc su ctia vanh R Khi dé V(1) có ít

nhất một phần tử cực tiểu theo quan hé bao ham.

Phần tử cực tiểu trong mệnh đề trên được gọi là idéan nguyên tố cực tiểu trên của Ï (a minimal prime over-ideal of !) hoặc iđêøn nguyên tô cực tiểu chứa 1

1.2 Mở rộng và thu hẹp iđêan

1.2.1 Định nghĩa Cho ƒ : # —>/ử là một đồng cấu vành

(i) Nếu / là một iđêan của vành /#, kí hiệu J“=ƒ~!{2) Khi đó J“ là một iđêan của, # và được goi lA thu hep cua idéan J trong vành # bởi đồng cấu ƒ

(ñ) Cho 7 là một iđêan của vành # Kí hiệu /°“=< ƒ(/) > là iđêan sinh bởi ƒŒ) Khi đó 7° là một iđêan của vành R’ va gọi là mở rộng của lđêan ƒ trong vành /# bởi đồng cấu ƒ

1.3.2 Ví dụ (1) Mỗi trường là một vành địa phương vì chỉ có duy nhất một iđêan cực đại là {0}

co -

(2) Vành các chuỗi lũy thừa hình thức A [[z]] = {Sona |ứ; ex} là,

=0

vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là <z>

1.4 Vành và môđun địa phương hóa

1.4.1 Định nghĩa Cho vành # và Š là một tập con của vành # Tập hợp

S được gọi là tập nhân đóng của vành R néu 1 €S và với mọi a,b ES thi

là tap thương của # x S theo quan hé tuong duong ~

Trên S~!# trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.), khi đó S~1R trở thành một vành và gọi là vanh các thương của, H theo tập nhân đóng S

Mỗi idéan của vành các thương S~! đều có dạng S”ÌƑ, trong đó ï là idéan cia vanh R Ta cé STE =S71R SINS Ad Do dé Sr l7 là iđêan

thực sự cia S~'R khi va chi khi / MS =¢

Cho p € SpecR Khi d6 S = R\p la một tập nhân đóng của vành R Vanh S~'R& trong trường hợp này là vành địa phương, kí hiệu là #y, với idéan cực đại duy nhat la pR, = {ø/s|ø €p.s € R\pÐ} nên được gọi là vanh địa phương hóa của vành F‡ tại iđêan nguyên tổ p

Cho M 1a mét R-médun Trên tích Đề-các M x Š ta xét quan hệ hai ngồi

(m,s)~ (m’, 8’) 33 ES :t(s’m — sm’) =0

Dễ thấy ~ là một quan hệ tuong duong trén M x S Khi dé M x S được chia thành các lớp tương đương Với mỗi phần tử (n,s) € M x S, ki hiéu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là

Trên S~!A/ trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) Khi đó S~!A

là một S~!-môđdun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng

®, với phần tử không là 0/1 =0a//s, Ws € 6

S5! cũng có cấu trúc là một Ñ-môđun với phép nhân với võ hướng xác định như sau:

rm/s =r/1im/s —=rm/3,

trong đồ r € l và m/s €S"1M.

Cho p € SpecR Khi d6 S = R\p la một tập nhân đóng của vành R Trong truéng hgp nay ta viét Ry thay cho S~1R va viét M, thay cho S~'M

Médun My, duge goi la médun dia phuong héa cia M tai idéan nguyén tổ

p

1.4.3 Mệnh dé Cho f : M —>N là một h-đồng cấu Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

() ƒ là đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cắn)

(ii) fy: Mp Np la đơn cấu (tương ứng toừn cấu hoặc đẳng cấu) uới mỗi idéan nguyén t6 p (trong d6 fy =S lf vdi S =R\p)

(iii) fin: Mm Nim la đơn cấu (tương ứng toàn cấu hoặc đẳng cấu) uới mỗi iđêœn cực đại tụ của uành H

1.4.4 Mệnh đề Cho A là sành, S là tập nhân đóng của A tà ƒ : A —> S-!A là ánh xạ tự nhiên Khi đó tới mỗi iđêan p của S~ÌA ta c6 p = S-!(-!(p)) Do ậy tương ứng p—> ƒT!(p) là một đơn ánh từ tập các iđêan S~1A đến tập các iđêan của A Hơn nữa, tương ứng này là một song ánh giữa tập các iđêan nguyên tô của S~1A tà tập các iđêan nguyên tô của

A không giao vii S

1.5 Môdun hữu hạn sinh

1.5.1 Định nghĩa Một R-môdun M dusc gọi là hữu hợn sinh nếu có một tập sinh gồm hữu hạn phần tử Nói cách khác, tồn tại các phần tử

#2, .,„ CM sao cho MỸ —r1#t +ra#a + r„a#„|r¿ G Rịi =1,n} 1.5.2 Mệnh đề Giả sử A, B, Ở là các uờnh giao hoán Nếu Ở là B-médun hitu han sinh tà B là A-môdun hữu hẹn sinh thi C la A-médun hitu han

sinh.

(i) S la R-médun phang

(ii) Sq la Raenr-médun phang, vdi moi idéan nguyén to q của S

(1) Sm là Ruevrmôđun phẳng, uới mọi iđênn cực đại m của S

1.7 Môđun hoàn toàn phẳng

1.7.1 Định nghĩa Cho A⁄ là một #-mõđun khác 0 Khi đó A được gọi

là môđun hoàn toàn phang néu M là möđun phẳng và với mọi R-môđun W

mà M@ ÑN —=0thì VN =O

R

1.7.2 Định nghĩa Một đồng cấu vành ƒ : R +S duge goi la đồng cấu hoừn toàn phẳng nêu S 1a R-môđun hoàn toàn phẳng

1.7.5 Hé qua Cho R, S la céc vanh địa phương tà ƒ : l —>S là một đồng cấu địa phương Khi đó S là R-môäun phẳng khi va chi khi S là R-médun hoàn toàn phẳng

1.8 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô aradic

Cho (mm) là một vành địa phương Tà xét J? như một vành tõpõ với

cơ sở lần cận của phần tử 0 là các iđêan mí, với —O, 1,2, Chú ý rằng

cơ sở lân cận của một phần tử tùy ýz € Ï gồm các lớp ghép r + trí với

¿ =0 1,2, Khi đó »ành đầu đủ theo tôpô tw«adie của l được kí hiệu bởi

ñ được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một day Cauchy trong f là một dãy (r„) các phan ttt cla KR sao cho với mọi f > Q tôn tại số tự nhiên nọ để 7„— r„„ Ent vai moi n,m > no Dãy (r„) được gọi là hội fụ vé đấy không nêu với mọi † > 0 tốn tại số tự nhiên no để z„— Ö=—=r„ CtÝ với mọi n > no

Hai dãy Cauchy (r„) và (s„) được gọi là hai dãy fương đương, kí hiệu

là (ra) ~ (s„) nếu dãy (r„— s„) là dãy không Khi đó quan hệ ~ trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta kí hiệu Ria tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu (r„) và (s„) là các day Cauchy thì các dãy (r„-Es„), (rzsa) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r„ -Es„),

(r„s„) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương

12

đương của các dãy (r„) và (s„), tức là nếu (r„) ~ (r,) va (Sn) ~ (8/,) thi (r„-Es„) ~ (11, +-sƒ,) và (r„s„) ~ (r{s/) Vì thế ƒ? được trang bị hai phép toán hai ngôi và đồng thời cùng với hai phép toàn này, R lap thanh một vành Méi phan tit r © R cé thé déng nhat vdi lép tuong duong cia day Cauchy ma tat cả các phần tử trong day déu lar Vi thé ta cé mét don cấu tự nhiên giữa các vành

ROR

r— (r),

trong đó (7) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r Đồng cấu tự nhiên này là một đồng cấu hoàn toàn phẳng

q được gọi là ndm trén (lying over) idéan p Dinh ly Gọng - up được gọi

là đúng đối với ƒ nếu thỏa mãn điều kiện sau:

(GU) Với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và tý của A sao cho pC E và với iđêan nguyên tỗ bất kỳ q của B nằm trên p, tồn tại một iđêan nguyên tố

d cia B nam trén p sao cho qc qd

Tương tự, Định lý Gọing - down được gọi là ding déi vdi f néu théa

mãn điều kiện sau:

(GD) Với hai iđêan nguyên tổ bất kỳ p và g của A sao cho pC p va vdi iđêan nguyên tổ bất kỳ d của Ư nằm trên g, tổn tại một iđêan nguyên tỗ

q của nằm trên psao cho qC đ

2.1.1 Bổ đề Diễu kiện (GD) tương đương với điều kiện sau: (GD) Với mỗi iđêan nguyên tơ p của A uà mỗi iđêan cực tiểu q của pB, ta c6 qNA =p Chứng mánh (GD) =-(GD)): Giả sử p là một iđêan nguyên tổ của A và q

là một iđêan nguyên tố cực tiểu của pØ, nghĩa là q là một iđêan nguyên tố