Xác định khuynh của quá trình bằng xấp xỉ wavelet luận văn thạc sĩ toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌCVINH Trương Thị Ngọc MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN CHO MANG CAC BIEN NGAU NHIÊN Luận van thạc sĩ Toán học Chuyên ngònh: Lý thuyết xác suất - Thống kê Toán học Mã số: 60.46.15

TRƯỜNG ĐẠI HỌCVINH

Trương Thị Ngọc

MỘT SỐ LUẬT YẾU SỐ LỚN

CHO MANG CAC BIEN NGAU NHIÊN

Luận van thạc sĩ Toán học Chuyên ngònh: Lý thuyết xác suất - Thống kê Toán học

Mã số: 60.46.15

Người hướng dẫn: PGS TS NGUYEN VAN QUANG

Vinh - 2012

MỤC LỤC

Những kí hiệu dùng trong luận văn

1 Kiến thức chuẩn bị

II Các khá nệm .ẶẶẶẶ Ặ

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

112 Hàm phân phối

1.13 Các loại biến ngẫu nhiên

1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.15 Các dạng hộitụ

1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên

1.17 Kỳ vọng có điều kiện

I.1.8 Martingale .ẶẶẶ.Ặ 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan .-

1.2.1 Bất đẳng thứ Markov

1.2.2 Các bất đẳng thức moment

1⁄23 Bất đẳng thức Bukholder

1.2.4 Bất đẳng thứ Davs

2_ Một số luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên 2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên

2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội

2.3 Luật yếu số lớn cho mảng khả tích đều

2.4 Luật yếu số lớn cho mảng đôi một không tương quan

Kết luận

Tài liệu tham khảo

16

16

17

23

28

30 31

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất là bộ môn toán nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên,

ra đời vào nửa cuối thế kỉ thứ 17 ở Pháp Mặc dù ra đời muộn nhưng nó

đã phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống con người Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lí thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của

lí thuyết xác suất là các luật số lớn” Luật số lớn được xem là một trong ba viên ngọc quý của lí thuyết xác suất Luật yếu số lớn cho tổng các biến ngẫu

nhiên cùng phân phối có thể tổng quát theo nhiều cách khác nhau Mục đích

của luận văn này là thiết lập một số điều kiện hội tụ bị chặn điển hình và cung cấp một số luật yếu số lớn tương đối tổng quát cho mảng các biến ngẫu nhiên

Luan van g6m hai chương

Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm

biến ngẫu nhiên, hàm phân phối, các dạng hội tụ, kỳ vọng có điều kiện và một số bất đẳng thức liên quan

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này bao gồm các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên, luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên và các kết quả liên quan

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn trực

tiếp của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự quan tâm và nhiệt tình hướng dẫn mà thầy đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn PGS.TS Trân Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD & ĐT Hà Tĩnh, Ban Giám hiệu trường THPT Hà Huy Tập, các đồng nghiệp trường THPT Hà Huy Tập, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả

trong quá trình học tập và nghiên cứu

Vinh, thang 10 nam 2012

Tac gia

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ñ Tập hợp các số nguyên dương

R Tập hợp các số thực

B(R) ø-đại số các tập con Borel của R

(O,7Z,P) Không gian xác suất cơ bản

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các khái niệm

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất (©, Z, P), đ là ø- đại số con của ơ- đại số Z Khi đó ánh xạ X: Q —> IR được gọi là biến ngẫu nhiên Ở-

đo được nếu nó là ánh xạ đ/B(R) đo được, tức là với mọi ö € Z(R) thi X"!(Pb)cú

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X

được gọi một cách đơn giản là biến ngâu nhiên Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản

Ví dụ 1.1

Giả sử A € 7 Dat

1 néuw€ A, Taw) = {0 néuw ¢ A

Khi đó 7x là biến ngẫu nhiên đơn giản

Thật vậy, với mọi € Ø(R) thì Ø C R nên

Ú nếu0£ H.lợ”

4, nếu0€ D,1lợ”

A, nud ¢ BEB

Q, néeu0E BL1 EB

Tir dé I;'(B) € F voi mọi B € B(R)

Suy ra I, 1a mot bién ngau nhién

I,'(B) =

Ánh xa 4 x4c dinh nhw trén duoc goi 1a ham chi tiêu của A.

1.1.2 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.2 Giả sử (O, Z P) là một không gian xác suất; X: () —>› IR

là biến ngẫu nhiên khi đó, hàm số

Fx(œ) = P(X < z) = P(œ: X(œ) < 2) được gọi là hàm phân phối của X

1.1.3 Các loại biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.3 Một biến ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn hoặc đếm được giá trị

Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất cả các giá trị có thể có của

nó có thể được liệt kê bằng một dãy hữu hạn hay vô hạn z¡, #s #3, #„

Tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu là

Bảng phân phối Khi nghiên cứu về biến ngẫu nhiên rời rạc X, ta cần biết tất cả các giá trị của nó cùng với các xác suất tương ứng Các thông tin này được xác định tiện lợi trong một bảng gọi là bởng phân phối

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị #¡, #s, , #„ạ, VỚI các xác suất tương ứng là P(X = z¡) = ¡, (¡ = 1,2,3, ,n )

Px(B) — So pi Fy (x) = »

Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu hàm phân phối (+) của nó là hàm liên tục và tồn tại hàm số (z) sao cho

Tính chất Từ định nghĩa, suy ra

1 Với mọi ø, thỏa mãn —œ < ø < b < +00 tacé

b P(a< X <b)= [ooae

2 f plade =1

—%

3 p(œ) = F'(a) tai moi diém z+ ma p(x) liên tục

1.1.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.5 Giả sử X : (©, 7, P) — (R, 8(R)) là biến ngẫu nhiên Khi

đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo PP (nếu tồn tại) được gọi là &ỳ vọng của X và ký hiệu EX

Vậy

EX = Í XdP

JQ

Nếu tôn tại E|X|? < œ (p > 0) thì ta nói X khở tích bậc p

Đặc biệt, nếu IE|X| < œ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản X = )”?; ø;1¿, thì

n

EX := 0 ajP(Ai)

i=l Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các biến ngẫu nhiên đơn giản (X„,? > 1)

Khi đó

EX := lim EX,

Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X” — X~;

voi X* = max(X,0) > 0, X~ = max(—X,0) > 0

Khi đó: EX := EX” — IEX~ (nếu có nghĩa)

Kỳ vọng có các tính chất sau đây

1 Néu X > O thi EX > 0

2 Néu X = C thi EX =C

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C € R tacé E(CX) = CEX

4, Néu ton tai EX va EY thi E-Y +Y) =EX +EY

5

SS wip; nếu X rời rạc nhận các giá tri x1, x2

EX = 4 voi P(X = #¡) = pị

Se zp(z)dz nếu X liên tục có hàm mật độ (+)

Tổng quát: Nếu f : R > R 1a ham do duoc va Y = f(X) thi

SO f(xi)pi nếu X rời rạc nhận các giá trị #, #3

SLX fle)p(w)de nếu X liên tục có ham mat do P(.r)

6 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |X;,| < Y,EY < œ và

X, — X thì X khả tích, E|X; — X| —› 0 và EX; —> EX (khi n» —> oœc)

Ý nghĩa: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình theo xác suất của biến ngẫu nhiên đó Trong trường hợp X nhận các giá trị với xác suất như nhau thì kỳ vọng chính là trung bình cộng của nó

Định nghĩa 1.6 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số

DX :— E(X — EX)? (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X

Vậy

S)(z¡ — EX)*p; nếu X rời rạc và P(X = z;) = pj

mm (es, —EX)*p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ là p(x) Phương sai có các tính chất cơ bản sau đây

1 DX —EX? - (EX)?

2.DX >0

3 DX =0 X = EX -= hằng số h.c.c

4 D(CX) =C?DX.

Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội f¿ với xác suất 1;

Hội tụ theo trung bình cấp p còn được gọi là hội fu trong Ly

Do đó X„ ^› X khi ø — oc Đó là điều cần chứng minh

1.1.6 Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.8 Họ các biến ngẫu nhiên (X;);¿; được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu họ ơ- đại số (ơ(X;));e; độc lập (độc lập đôi một)

Tính chất: Nếu X và Y' là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(XY) = EXEY D(X £Y) = DX + DY

Tổng quái: Nếu X), X›, X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(X,X X,) = EX)EX) EXy

Nếu X;:, X›, X„ là các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì

D(X, + Xp + + Xp) = D(X) + D(X) + + D(X,).

ul 1.1.7 Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.9 Giả sử (Q.7 P) là không gian xác suất, X: (@ —> IR là biến ngẫu nhiên và đ là ø- đại số con của Z Khi đó biến ngẫu nhiên Y gọi

là kỳ vọng có điều kiện của X đối với ơ- đại số Ở nếu

(i) Y 1a bién ngẫu nhiên đ— đo được;

1 Néu Y là biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z,P) và đ là ơ- đại số

con của Z sao cho Y là biến ngẫu nhiên đ— đo được, thì ta viết Y € G

2 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên da cho trén (Q, F, P) va G 1a o- dai

số sinh bởi Y, thì E( X|đ) được ký hiệu là E(X|Y ) và được gọi là kỳ vọng điêu kiện của biến ngẫu nhiên X đối với biến ngẫu nhiên Y

3 Nếu Xị X¿ , là các biến ngẫu nhiên xác định trên (O, Z, P)và đ là

ơ- đại số sinh bởi chúng thì I#(X|đ) được ký hiệu là E(X|X¡, X›, )

4 Nếu X = l¡, 4€ ở thì I#(X|đ) được ký hiệu là P(4|đ) và được gọi

là xác suất điều kiện của biến cố A đối với ơ- đại số đ E(LẠ|X: X: ) được ký hiệu là P(A|X;, X›, ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến

cố A đối với biến ngẫu nhiên X), X¿,

Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện

I1 Nếu E|X| < œ thì tồn tại duy nhất Y = E(X|đ) (h.c.c.)

2 Nếu X = c (hằng số) thì

E(X|G) =E(clG)=c (h.cc.)

3 Nếu X > Y (ñ.c.c) thì

E(X|đ) > E(Y |đ) (h.c.c.).

4 Với mọi hằng số «ø, Ð ta có:

BE(aX + bY|đ) = aE(X|đ) + ĐE(Y|0) — (h.c‹.)

5 Nếu X và G độc lập thì E(X|đ) = EX

6 E[E(X|G) =EX (h.e‹c)

7 Nếu X là biến ngẫu nhiên G— do dugc thi E(X|G) = X — (h.c.c.)

8 Néu E|XY| < 00, E|X| < 00, X € G thi

E(XY|6đ) = XE(Y|đ) (h.c.c.)

1.1.8 Martingale

Giả sử (X„,n € N) 1a day bién ngau nhién, (F,,,n € N) 1a day tang cdc o-

đại số con clia o- dai s6 F : Fy C Fi C Fa C Z„ C Z Khi đó, nếu

Xn € Fy (Vn € N) thi day (Xn, Fn,n € N) được gọi là đấy phù hợp Định nghĩa 1.10 Gia su (Q, F, P) 1a khong gian xác suất, (X„.nø € Ñ) là dãy biến ngẫu nhiên, (Z„,» € Ñ) là dãy tăng các ơ- đại số Khi đó dãy

(Xn, Fn, n € Ñ) được gọi là

e martingale nếu

(t) (Xn, Fn n € Ñ) là dãy phù hợp

(it) E|X,| < 00, Vn EN

(iit) V6im <n, mneN

E(Xa|#„) = X„ — h.cc

e Hiéu martingale néu

(i) (Xn, Fn, n € N) 1a day phi hop

(it) E|X,| < 00, Yn EN

(ii’) V6im <n, m,n EN

13 1.2 Mot sé bat dang thitc lién quan

(1.2.1) là tâm thường nếu ||X ||›||Y ||› — 0

Vậy có thể giả thiết ||X ||›||Y ||› > 0

Thay a, b trong bất đẳng thức sơ cấp

2|ab| < aŸ + b

bởi ri, và ty, tương ứng, sau đó lấy kỳ vọng hai vế ta có

2E xem? <2 (nag) + Gyp <E +E 5) =2

Giả sử X,Y € £r,z > 0 Khi đó

E|X +Y' < Œ(EIXI' + ElY|’)

trong đó Œ = max(1, 27~!) chỉ phụ thuộc vào r

Chứng minh Từ bất đẳng thức sơ cấp

(œ + b)” < (a" + 6") max(1,27—)) v6ia>0,b>0,r > 0

Thay a bởi X, b bởi Y sau đó lấy kỳ vọng hai vế sẽ được điều cần chứng

Dat f* = sup, [fal va S(f) = (> X?)!

Khi đó tồn tại hai số dương C, D sao cho

ŒI|50)II: < l/"li < ÐII50)NL-

Ching minh

Chuong 2

MOT SO LUAT YEU SO LON

CHO MANG CAC BIEN NGAU NHIEN

2.1 Các dạng bị làm trội của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1 Cho {k,;n > 1} 1a day số nguyên dương thỏa mãn

lim k, = oo Mảng biến ngẫu nhiên {Y;;; 1 < ¡ < k;.ø > 1} được gọi là

NOX

(a) Bi chan mạnh bởi biến ngẫu nhiên Y nếu

|Yz;| < Y (h.c.c) đối với mọi ¿ và m:

(b) Bi chan mạnh theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tồn tại

+ > 0 sao cho

Kn

El So ¥nil < yY (h.c.c) véi moi n

i=l

(c) Bị chặn yếu bởi biến ngẫu nhiên Y nếu

P(|Y2¿| > ø) < P(Y > ø) với mọi > 0 và với mọi ¡ va n

(d) Bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro bởi biến ngẫu nhiên Y nếu tôn tại y > 0

sao cho

Kn

~YOPUYnl > y) < YP(Y > y) với mọi y > 0 và với mọi n

_=

(e) Khả tích đều nếu

lim sup E|Y2;|I{|Yz¿| > a} = 0

Hạn]

17 2.2 Quan hệ giữa các dạng bị làm trội

Mệnh đề 2.1 Mội máng biến ngẫu nhiên {Yj¡; 1 < ¡ < bạ,n > 1} bị chặn mạnh thì bị chặn yếu

Chứng mình

Mảng biến ngẫu nhiên {Y?„¿; 1 < ¡ < k„,n > 1} bị chặn mạnh nên |Y;;| < Y,

VỚI MỌI ¿ Và ?

Do d6 P(|Yni| > y) < P(Y > y), moi > 0 và mọi i, n

Suy ra {Y2; 1 < ¡ < ky n > 1} bị chặn yếu oO

Ménh dé 2.2 Mang bién ngẫu nhiên {Y„:L < ¡ < k„,n > L} bị chặn

mạnh thì bị chặn mạnh theo nghĩa Cesàro

Suy ra {Yni; L <i < ky,n > 1} bi chan mạnh theo nghĩa Cesàro Đó là

Ménh dé 2.3 Mang bién ngdu nhién {Yni31 <i < kn,n > 1} bi chan yéu

thì bị chặn yếu theo nghĩa Cesàro

Chứng mình

Mảng biến ngẫu nhiên {Y,;;1 <i < k;,?z > 1} bị chặn yếu nên

P(JYi¿| > y) < P(Y > y), moi y > 0 va moi 7, n

Do đó

kn

SE PUYnil > w) < knP(Y > 9)

i=l Suy ra tồn tại y = 1 sao cho

Ching minh

Mảng biến ngẫu nhiên {Y?;: l <i < k»,m > 1} khả tích đều nên

lim sup E[Y2;|H{|Yz| > a} = 0