sáng kiến kinh nghiệm phát huy trí lực học sinh trong giải toán bất đẳng thức và cực trị

Một bài toán thờng có nhiều cách giải, mỗi bài toán nằm trong mỗi dạng toán khác nhau, nó đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó

Phần I: Phần mở đầu

I.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khoá mở cửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác Song toán học mà chúng ta đã,

đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhng nó cũng đã góp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm nh Lí học, Hoá học, thiên văn học và Tin học

Ngay từ thời kì tiền của loài ngời, toán học đã hình thành từ những vật cụ thể để đi đến phép đếm rồi so sánh Trải qua qú trình lao động sáng tạo con ngời không những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ra những quy luật của các con số, phép toán, công thức toán học và cả những chân lý

Ngày nay bộ môn Toán chiếm một u thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học, học tập, nó đòi hỏi ở ngời thầy giáo một sự lao dộng nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp để dạy các em học sinh học và giải các bài toán, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của ngời thầy giáo dạy Toán

Ai cũng biết rằng muốn giải toán phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, gải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để

tự tìm ra đáp sốcủa chúng Nh nhà tâm lí học, toán học cổ Xô Clat đã nói

“Những hiểu biết mà ta thu đợc một cách không khó khăn thì sẽ không lâu bền, chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngoài) những gì mà ta tìm hiểu đợc cũng giống nh cây cối chỉ sự dụng thứ nớc do rễ của chúng hút đợc từ trong lòng đất” (Đối thoại toán học) Để đạt đợc nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậy ngời thầy dạy toán, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trong nhiều tình huống khác nhau Một bài toán thờng có nhiều cách giải, mỗi bài toán nằm trong mỗi dạng toán khác nhau, nó đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đã học trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài toán nào vào vấn đề nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài toán đợc gặp ở hai hoặc nhiều vấn đề khác nhau

Trong chơng trình phổ thông cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đa dạng, phong phú và không ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn Trong khuôn khổ của đề tài này, xin nêu một số phơng pháp đề cập đến giải toán về “Bất đẳng thức và cực trị” Phải nói rằng các loại toán này là khó, đa dạng mặc dù trong

ch-ơng trình cấp 2 (từ lớp 8 - 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắc khi đứng trớc loại toán này

I.2 Mục đích nghiên cứu

- Nhằm nâng cao chất lợng học tập bộ môn đại số nói chung Rèn luyện khả năng t duy, giúp học sinh có những hứng thú toán học, khắc phục tình tạng thụ

động, dập khuôn, máy móc trong quá trình giải bài tập Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức - bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của một số dạng toán thờng gặp

I.3 Thời gian, địa điểm

I.3.1 Thời gian

- Thời gian để tôi nghiên cứu đề tài là 2 năm

I.3.2 Địa điểm

- Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủ trờng THCS Mạo Khê II - Đông Triều - Quảng Ninh

I.4 Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn

Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới những học sinh có năng khiếu, ham học tập, thì đòi hỏi ngời thầy đặc biệt quan tâm, giúp đỡ các em về phơng pháp giải toán Cũng các loại bài tập này hiện nay hay

đợc đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên, cũng có thể nói rằng loại toán bất đẳng thức - cực trị không chỉ ở trong bộ môn đại số và cả trong hình học, không những trong lý thuyết toán, mà có thể áp dụng trong thực tiễn

Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, yêu cầu của toán học, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giải toán “Bất đẳng thức - cực trị” ở lớp 8 - 9

Phần II: Phần nội dung

II.1 Ch ơng 1 : Tổng quan

Nắm đợc định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

đại số, các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức thờng dùng Nêu một số ví dụ

áp dụng bất đẳng thức Một số dạng toán cực trị và phơng pháp giải chúng

II.2 Ch ơng 2 : Nội dung vấn đề nghiên cứu

II.2.1 Bất đẳng thức

Ta đều biết để so sánh hai số a, b  R chỉ có thể xảy ra ba trờng hợp:

a > b  a - b > 0

a < b  a - b < 0

a = b  a - b = 0

Từ đó mở rộng ra bất đẳng thức là một hệ thức có một trong các dạng: A>B hoặc A < B trong đó A, B là các biểu thức đại số chứa các biến số hay các

số Cần lu ý cho học sinh là khi nói về một bất đẳng thức mà không nói rõ gì hơn thì đó là một bất đẳng thức đúng

Trong khi học trong chơng trình thì học sinh phải nắm thật vững, cơ bản

và sâu sắc về định nghĩa bất đẳng thức, cùng với các tính chất và phơng pháp chứng minh

II.2.1.1 Định nghĩa: a, b bất kỳ  R: a > b  a - b > 0

a < b  a - b < 0 hoặc A > B  A - B > 0 A - B là những biểu thức chứa chữ v biến số

A < B  A - B < 0

Đó là cơ sở quan trọng và thờng lấy đó để chứng minh nhiều bài toán về bất

đẳng thức

Trong quá trình giải các bài tập không đơn thuần chỉ là chứng minh những bất đẳng thức đúng mà thông thờng ta gặp các bài toán dạng:

A  B  A - B  0

A  B  A - B  0

Trong trờng hợp “”; “” thì sau khi đã chứng minh đợc bất đẳng thức

đúng phải chỉ ra đợc các yếu tố nào (quan hệ) giữa các chữ có trong bất đẳng thức với nhau hoặc quan hệ với một hằng số, tham số nào đó

Ví dụ x2  0 với x thì dấu bằng xảy ra khi x =0

Hay đẳng thức quen thuộc (a - b)2  0 thì dấu “=” xảy ra khi a - b = 0 hay a = b

Với x2 + y2

 0  x, y  R thì dấu “=” xảy ra khi x = y = 0

Nh vậy trong khi giải các bài toán về bất đẳng thức thì việc tìm điều kiện

để dấu “=” xảy ra lại là một vấn đề không đơn giản, nó là một bài toán nhỏ nằm trong một bài toán lớn (sẽ đợc diễn giải đối với từng loại bài trong các ví dụ sau)

II.2.1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức số

Vì bài toán về bất đẳng thức thờng đa dạng, phức tạp mới chỉ có định nghĩa thì cha thể giải hết đợc các bài tập Nh vậy cần nắm vững những tính chất sau:

II.2.1.2.1 a > b  a + m > b+ m  a, b, m

II.2.1.2.2 a > b  am > bm nếu m > 0

am < bm nếu m < 0

II.2.1.2.3 a > b và b > c => a > c

II.2.1.2.4 a > b và c > d => a + c> b + c

II.2.1.2.5 a > b và ab > 0 =>

b a

1 1



II.2.1.2.6 a > b > 0 và c > d > 0 => ac > bd

II.2.1.2.7 a > b  0 và m  Z+ => am > bm

II.2.1.2.8 a > b  0 và n  Z+ => n a  n b

Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhận vấn đề này song các tính chất trên không có tính chất hai chiều

Trong khi giải bài tập đòi hỏi việc biến đổi đồng nhất hay tơng đơng là vô cùng quan trọng, nó đòi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản nh chứng minh và công nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự t duy để giải các bài toán khó

Ví dụ: Trong khi giải các bài toán ta có thể lấy những bất đẳng thức đáng nhớ nh: (ab)2

 0 (a + b - c + d +)2

 0 Tổng quát hoá (a  b + +)2k  0

Hoặc  ai mà ai là những số dơng => ai  0

Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặc các tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác

II.2.1.3 Các ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức th ờng dùng.

II.2.1.3.1 Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét:

A - B nếu A - B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng

Nếu A - B < 0 thì bất đẳng thức sai

II.2.1.3.2 Dùng phép biến đổi tơng đơng (có nhiều cách biến đổi) chẳng

hạn chứng minh A > B ta biến A -> M; B -> N rồi so sánh M với N:

M > N => A > B

Hoặc biến đổi tơng đơng dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

II.2.1.3.3 Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết nh các hằng đẳng

thức đã nói ở (2)

II.2.1.3.4 Dùng phép làm trội: thờng chứng minh với bất đẳng thức là

một dãy số Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theo một quy luật nhất định để tính đợc giá trị tổng gồm nhiều hạng tử

Giả sử: M1 + M2 + M3 + +Mn > P

Khi đó ta tính 



i k i

M

1

;

II.2.1.3.5 Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B

ta giả sử A  B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết

Ví dụ: Chứng mih: a b ab

2 2 2

Giả sử: 2 0

2

2 2 2

2













ab b a ab b a

0 )





Vậy a b ab

2

2 2

II.2.1.3.6 Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học)

II.2.1.3.7 Dùng phối hợp các phơng pháp trên một cách hợp lí và lôgic.

Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp Thông thờng những bài toán vận dụng phơng pháp dùng định nghĩa, phép biến

đổi tơng đơng phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơn hoặc kết hợp các phơng pháp

Bài toán về bất đẳng thức thờng là cho dới dạng khi biết một số điều kiện nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ở đại

số song có cả ở trong hình học cũng thờng gặp

Việc giải bài toán về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đơng nhiên ngoài kiến thức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng một cách đúng

đắn trong trờng hợp nào cho phù hợp Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khi giải đỡ dài dòng và tránh đợc những sai lầm góp phần cho sự t duy, sáng tạo một cách chắc chắn

II.2.1.4 Thực tiễn trong giải toán và h ớng dẫn (các ví dụ)

II.2.1.4.1 Chứng minh rằng a > b > 0 thì a 2 > b2

Dùng định nghĩa để chứng minh:

Xét a2 - b2 = (a - b) (a + b)

Vì a > b => a - b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0

=> (a - b) (a + b) > 0

 a2 - b 2 > 0  a2 > b2

Nh vậy trên cơ sở điều phải chứng minh dùng định nghĩa và kết hợp điều kiện cho biết để lí luận điều phải chứng minh

Nếu ta thay đổi điều kiện ngợc lại nh sau:

Nếu a > 0, b > 0 => a > b

a2 > b2

ở đây nếu dùng định nghĩa việc chứng minh  xét a - b đến đây ta không thể biến đổi tiếp đợc, vì vậy ta khai thác điều kiện ta có:

Vì a2 > b2  a2 - b2 > 0

 (a - b) (a + b) > 0

Đến đây học sinh phải nắm đợc việc xét tích m.n > 0  m, n cùng dấu để vận dụng vào bài toán

Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a -b) (a + b) > 0

=> a - b > 0  a > b

Trong những bớc đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viên thờng xuyên cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi sau khi

đã chứng minh đợc thì công nhận chúng để vận dụng vào các bài toán phức tạp hơn

II.2.1.4.2 Chứng minh (a + b)2

 4ab Khi nào thì dấu bằng xảy ra? Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 - 4ab

 a2 + b2 - 2ab = (a - b)2

 0

=> Dấu bằng xảy ra khi a - b = 0  a = b

II.2.1.4.3 Cho a, b không âm Chứng minh

ab b a



 2 Với điều kiện của bài toán a  0, b  0 nên ta có thể vận dụng: a = ( a

)2; b = ( b )2

Dùng phép biến đổi tơng đơng ta có:

ab b

a







ab b a

Xét vế trái: VT 

2

2 ab

b

a 

a + b - 2 ab = ( a - b )2  0

nên => điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Thông qua bài toán này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm)

Có thể giới thiệu công thức (định lí CôSi)

Với 3 số không âm: a, b, c

Ta luôn có a + b + c  33 abc

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Tổng quát a1 + a2 + +an  nn

n

a a

a1 2 với các ai (i =i, n) không âm Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng đợc định lí Côsi và với các số không âm

* Chứng minh bất đẳng thức:

(a +b + c) (

c b a

1 1 1



 )  9 với a, b, c > 0

Cách 1: Xét (a +b + c) (

c b a

1 1 1



b

c a

c c

b a

b c

a b a

c

a a

c b

c c

b a

b b

a











Từ bất đẳng thứ đúng: (a - b)2

 0 ta có: a2 + b2  2ab

Do a, b > 0 nên a.b > 0 ta có:

2 )

a

b b a

Tơng tự: (  )  2

b

c c

b

c

a a

c b

c c

b a

b b

a









2 )

c

a a c

Hay (a +b + c) (

c b a

1 1 1



 )  9 Cách 2: Vận dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số không âm:

Ta có: a +b + c  33 abc

3 1 3 1 1

1

abc c

b

a  

=> (a +b + c) (

c b a

1 1 1



 )  9 3

abc abc = 9

Rõ ràng vận dụng định lí Côsi giải ngắn gọn hớn và cũng không phức tạp

Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài toán sau:









z x z

y z y

x

với x, y, z  0 Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y

Rõ ràng a,b, c > 0









y x x z z y

) (xyz



2

9 1 1

1









z z x x y y

2

9 1 1

















y x

z x

z

y z

y x

2

3 3 2

9



















y x

z x z

y z y x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z

II.2.1.4.4 Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì - 2 xy 2

Đối với bài toán này ta không thể dùng trớc định nghĩa hay biến đổi, áp dụng các bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó

Từ: x2 + y2 = 1 (*) và từ (x - y)2

 0

Ta có: x2 + y2  2xy => 2xy  1 (**)

Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2

 2  (x + y)2  2 | x + y|  2 hay - 2 xy 2

Dấu bằng xảy ra  x = y =

2

2 hoặc x = y =

-2 2

* Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a4 +b4  2

Xét a4 +b4 - 2

Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = 2 nên ta có thể đặt:

a = 1 + m

b = 1 - m

Có: a4 +b4 - 2 = (1 +m)4 + (1 - m)4 - 2

= 1 + 4m + 6m2 + 4m3 + m4 + 1 - 4m +6m2 - 4m3 + m4 - 2

= 12m2 + 2m4  0 vì m2  0 ; m4  0

Vậy từ đó => a4 +b4

 2 Dấu “=”  a = b = 1 hoặc a = b = -1 nhng vì a + b = 2 => a = b = -1 (loại)

II.2.1.4.5 Cho 4 số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)2  (a2 + c2) (b2 + d2) (1)

Dùng phép biến đổi tơng đơng:

Từ (1)  a2b2 + 2abcd + c2d2

 a2b2 +a2d2 +c2b2 +c2d2

 a2d2 - 2adbc + b2c2

 0

 (ad - bc)2  0 Đây là hằng đẳng thức luôn đúng với  a, b, c, d  R Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ad - bc = 0  ad = bc

hay  nào để k =

d

c b

a

 Trên đây cũng chính là bất đẳng thức Bunhiacopski

Từ đó đối với học sinh khá giỏi có thể đa ra trờng hợp tổng quát mà không

đòi hỏi phải chứng minh vì việc chứng minh rất phức tạp đối với học sinh cấp 2 mà chỉ yêu cầu nhìn nhận đúng và sử dụng đến bất đẳng thức

Cho 2n số a1, a2, an  R và b1, b2, bn  R

Khi đó ta có (a1b1 + +anbn)2  ( a2

1 + + a2

n ) ( b2

1 + + b2

n )

b

a b

a b

a

n

n









2

2 1 1

Vận dụng kết quả bài toán 4.3.1 trên đa ra bài toán:

Cho 4x - 6y = 1 Chứng minh rằng 4x2 + 9y2



8 1

Thật vậy từ giả thiết: 4x - 6y = 1  2.2x + (-2).3y = 1

Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = -2; d = 3y

Ta có [2.2x + (-2).3y]2  [22 + (-2)2][(2x)2 + (3y)2]

1  8 (4x2+ 9y2)  4x2 +9y2 

8 1

3

2 2













y x

=> x =

8

1 10

2

 ; y = -

12

1 24

2





Vậy dấu “=” xảy ra khi x =

8

1

; y =

-12 1

II.2.1.4.6 Loại toán dùng phơng pháp làm trội

Chứng minh bất đẳng thức:

8

5 2000

1 1999

1

1003

1 1002

1 1001

1













Rõ ràng vế trái gồm tổng của 1000 phân số và nhóm thứ nhất

1250

1

1003

1 1002

1 1001

1







250 hạng tử

Vì

1250

1

1002

1 1001

1





5

1 1250

250

 Tơng tự nhóm thứ hai:

Nhóm thứ ba:

7

1 1750

250 1750

1

1503

1 1502

1 1501

1













Nhóm thứ t:

8

1 2000

250 2000

1

1753

1 1752

1 1751

1













Vậy :

8

5 8

1 7

1 6

1 5

1 2000

1

1002

1 1001

1

















II.2.1.4.7 Loại chứng minh bằng quy nạp

Với những số nguyên dơng n nào thì bất đẳng thức sau đúng: 2n > n2

Dùng phơng pháp quy nạp:

Dùng phép thử: Với n = 1 : 2 > 1 đúng

Với n = 2 : 22 = 22 không đúng

6

1 1500

250 1500

1

1253

1 1252

1

1251

1













Với n = 3, 4 bất đẳng thức không đúng Với n = 5 : 25 > 52 đúng

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k  Z; k  5)

2k > k2

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 nghĩa là:

2k+1 > (k +1)2

Thật vậy  2k + 2k - (k2 + 2k + 1)

 (2k - k2) + [2k - [2k + 1]

Vì 2k > k2 (đúng điều giả sử trên)

Vì k  5 => 2k > 2k+ 1 Do vậy bất đẳng thức đúng với n = 1 và n  5

* Cho An = 1 +

1 2

1

3

1 2

1







Chứng minh bất đẳng thức: n A n n

2 Trong một số phơng pháp trên trong các bài toán đã trình bày qua các ví

dụ thì các phơng pháp làm trội, phơng pháp quy nạp là gặp khó khăn đối với các

em bởi lẽ phơng pháp này ít đợc đề cập trong trờng phổ thông (loại trừ trờng chuyên, lớp chọn) Do đó cần hớng dẫn chi tiết cho từng đối tợng học sinh cũng không nêu ra nhiều mà cần tập trung cho những phơng pháp thông thờng Kết thúc phần này đợc nêu một số bài toán chứng minh bất đẳng thức trong tam giác

II.2.1.4.8 Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh bất

đẳng thức: a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2+ 4abc > a3 + b3 + c3

Đây là một bài toán khó đối với học sinh nhng có thể thấy đợc rằng a, b, c hiển nhiên là những số dơng và phải thấy đợc quan hệ các cạnh trong một tam giác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8)

Trớc hết ta có nhận xét:

c(a - b)2 + 4abc = c[(a - b)2 + 4ab]= c(a + b)2

Bất đẳng thức  a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2+ 4abc - a3 - b3 - c3 > 0

 [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b 3] + [ c(a - b)2- c3 ] > 0  a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b 2] + c[(a - b)2- c2 ] > 0

 a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c- a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)> 0

 a (a +b - c)(b - c - a) - b(a + b - c)(c - a + b) + (c(a+b - c) (a + b+c) > 0

 (a + b - c) (ab - ac- a2 - bc + ab - b2 + ac + ab + c2) > 0

 (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) > 0

(a + b - c)[c - (a -b)2] > 0

(a + b - c)(c + a - b)(c + b - a) > 0