Định nghĩa và một số định lý về sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị ..... LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất thống kê là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học, nó
Trang 1MỤC LỤC
Trang
IN, OCOD 016 © 022022002 0 0 00g n n n n n b kk va 1
MỞ ĐẦU 000220212 ng ng ng nh kh vn kg 2
Chương 1 kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.2 Không gian các tập con của không gian Banach 5
1.3 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị đóng 10
Chương 2 Định nghĩa và một số định lý về sự hội tụ của dãy phần tử ngẫu nhiên đa trị 13
2.1 Các dạng hội tụ trong không gian các tập đóng 13
2.2 Các dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên đa trị 23
KẾT LUẬN 00200 HT kh na 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết xác suất thống kê là một trong những hướng nghiên cứu quan
trọng của Toán học, nó có nhiều ứng dụng trong thực tế Trong thời gian
gần đây, xác suất đa trị đã có bước phát triển mạnh mẽ, thu được nhiều ứng
dụng trên nhiều lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hóa và điều khiển, hình học
ngẫu nhiên, toán kinh tế, thống kê, Vì lẽ đó, xác suất đa trị đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học Chúng ta có thể kể tên một số
nhà toán học tiêu biểu nghiên cứu về lĩnh vực này như: Gerald Beer, Charles
Castaing, Fumio Hiai, Robert Lee Taylor, Các kết quả về xác suất đa trị là một sự mở rộng thực sự các kết quả về xác suất đơn trị
Căn cứ vào những lý do đó, chúng tôi quyết định nghiên cứu đề tài “Các dạng hội tụ của dãu phần tử ngẫu nhiên đa trị”
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của
PGS.TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của
mình đến Thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm
Khoa Sau đại học và các thầy, cô giáo trong Khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ trong suốt thời gian học tập
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè trong lớp Cao học 17 - Xác suất thống kê đã cộng tác và giúp đỡ trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu
Trang 3Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo
và bạn bè để luận văn được tốt hơn
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả
Trang 4CHƯƠNG 1
KIEN THỨC CHUAN BI
1.1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI
Định nghĩa 1.1.1 Giả sử % là không gian mêtric, dãy {z„} C % Khi
Không gian định chuẩn (7#, |.||) được gọi là không gian Banach nếu (P, |.||)
là đầy đủ với đ là mêtric sinh bởi chuẩn ||.||, tức là
d(x,y) = ||« — w|| Y z, € F
Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X là tập bất kỳ # là không gian định chuẩn
và ƒ: X— E Ánh xạ ƒ được gọi là b¿ chặn trên tập con A của X nếu tồn
tại hằng số c sao cho
|ƒ(z)l<c Vaœe A
Brg(X) =‡{ƒ: X— | ƒ là hàm bị chặn }
Khi do, || || = sup || f(x)|
z„cX với ƒ € Öp(X) là một chuẩn trên öz(X)
Định nghĩa 1.1.3 Gid sit {fn} C Bp(X), X la tap bất kỳ Khi đó day
ham { ƒ„} được gọi là
Trang 5¡) hội tụ tới hàm ƒ trên X nếu với mọi e > 0 và z € X tồn tại ng = ng(<, +)
sao cho véi moi n > no thi
Il fn(2) — f(x)|| < s:
Ký hiệu fn > f khin > 00 hay lim fp(x) = ƒ(z) - noo
ii) hội tụ theo chuẩn sup trong Bg(X) tới ƒ nếu ƒ € Bpg(X) va
sup |[ƒfa(z) — ƒ(z)|| — 0 khi z — ©
rex
Định nghĩa 1.1.4 Giả sử {z„} là dãy trong không dinh chuan E Day {z„} được gọi là hội tụ yếu tới z nếu dãy {z„} hội tụ đến z € X theo topo yếu (2, !*), tức là với mọi ƒ € E* thì
ƒ(z„) > f(a) khi n —> œ
Khi đó chúng ta ký hiệu z„ , x
Dinh ly 1.1.5 i) Gia sé X là không gian mêtric, thà tập A C 3 là tập
đóng khi uà chỉ khi uới mọi dãy {an,m > 1} CA mà zạ > x thine A ii) Méi tap A trong không gian mmêtric % là tập compact néu moi day
{an.n > 1} CA đều chứa một tập cơn fan, : k > 1} hoi tu téi mot diém
1) 7u(z) là họ các tập con khác rỗng của %
1) Kg« là họ các tập con compact, lồi khác rỗng của %
1i) Kp(%) là họ các tập con đóng, bị chặn, lồi khác rỗng của #%
1v) Kp.(%) là họ các tập con bị chặn, lồi khác rỗng của X
5
Trang 6v) K(X) la ho cdc tap con đóng khác rỗng của #
vi) Trén Po(X) định nghĩa hai phép toán như sau:
Chứng múnh 'Ta cần chứng mình nêu 44, Ð compact thi A+ B compact
Để chứng minh A + compact ta chứng mỉnh mọi dãy {z„} C A+ B đều
có một dãy con hội tụ
i) Giả sử {z„} C A+ P khi đó tồn tại {z„} C 4,{0n} C Ð sao cho
2p = In + Yn-
Vi Acompact nén t6n tai
k—>œ
{tn,} C {an}: an, > ced
Vi Beompact NON tồn tại
Trang 7d(x, A) = inf A(x y) véi d(x, y) = ||r — 9||x:
Định nghĩa 1.2.4 Khoảng cách trén Po(X) được định nghĩa
H(A, B) = max { sup d(a, B).sup a Ay}
Định lý 1.2.6 a) Không giưn (Kp(%)), II) là không gian mmêtric
b) Không gian (Kp(%) H) là không gian métric day di
Hơn nữa K(%), Ky.(%) Ku.(%) là các tập con đóng trong (Kg(%), H) Chitng minh a) V6i A, B € K,(X) thi0 < H(A, B) < ow
Trang 8Vi A, B bi chan nén tồn tại m > 0 sao cho
Vi A dong suy ra A= A= {2 € X : d(x, A) =O}
Nếu AC B thi d(x, B) < d(x, A) véi moi x € &
Ta cé
H(A, B) = 0 khi va chi khi max { sup d(a, b), sup d(b, 4)} =0
sup da, B) = 0 2 {i B)=0 VaeA
sup d(b, A) =0 d(b,A)=0 VbEB
beB
vì A, đóng nên các chứng minh trên đúng do tương đương với
ACB
suyraA=B BCA
từ dinh nghia suy ra H(A, B) = H(B, A)
Với
A,B,C€ Kp(X) suy ra H(A,B) < H(A,C) \ H(C, B)
Trang 9Thật vậy, lấy a € A,b€ B,e€ Œ ta có
la — 0||x < lla — ellx + lle — Olle
Lấy inf với b€ B ta cé
đ(a, B) < ||a— c||x + d(c, B)
Lấy inf với e € Œ ta có
d(a, Ð) < d(a,c) + inf d(c, B)
ccC
Inf(c, Ð) < sup d(c, Ð)
va lay sup vdi a € A ta có
sup d(a, B) < sup d(a,C)+ < supd(c, B) < H(A,C) + H(C, Ð)
tri: mat trong khong gian K(X)
Với mỗi EF € K(X) vie > 0, ton tai {x; € EF: 1,1} sao cho EC U B(z¡,£)
=
và
EZn B(;,e) # Ú với ¡ = 11
trong đó P(z;,=) là hình cầu mở tâm z; bán kính e
Vì 7 là trù mật trong ® nên tồn tại L; = fy, yo, , yi} C D sao cho
|l+; — ¿|| < e với k = 1,1
9
Trang 10Nếu z„ £ ⁄ do B(zs,z)n E z Ú thì tồn tại z € D(+;,) 1 sao cho
d(sy, E) = inf line — < lizx — all <<
suy ra đ(y, #2) < 2e hay sup d(; F) < 2z
Mặt khác, với mỗi ¿ € /¿ và z¡ € Ñ với ¡ = 1,Í ta có
llứ — yl] < [le — #¡|| + lz: — 9Ì:
Lay inf với € 2z suy ra
d(x, Ez) < ||x — aj|| + d(a;, Ee)
Lấy inf với z¡ € Ñ; suy ra
1.3 PHAN TU NGAU NHIEN NHAN GIA TRI DONG
Giả sử (O,.4) là không gian đo được, % là không gian métric
Dinh nghia 1.3.1 Mot anh xa F : Q + Po(X) dude goi la ánh xạ đa trị
10
Trang 11¡) Tập hợp G(F') = {(,z) EQ x ¥: 2 € F(w)} duoc goi la do thi cia F
1) Với mỗi A C X, tap
F(A) ={weEQ: F(w)nAFG}
được gọi là nghich anh cia tap A qua anh xa F’
Định nghĩa 1.3.2 ¡) Ánh xạ đa trị F : Q — K(®) được gọi là đo được
mạnh nếu mỗi tập con đóng CC &, ta đều có F(C) € A
ii) Anh xa da tri F : Q > K(X) được gọi là đo được yếu nếu mỗi tập con
mé O C &, F~(O) € A Mot anh xa da tri do dude yếu được gọi là biến ngẫu
nhién da trị
Dinh ly 1.3.3 Anh xa da tri do dugc manh la bién ngdu nhiên đa trị
Dinh ly 1.3.4 Gia st (Q,.A) la khéng gian do duoc, X la khong gian khả
ly Gia si F : Q— K(X) la anh xạ đa trị ta xét các điều kiện
1) Với mỗi tập Borel B C X, F~(B) € A;
u) Voi méi tap ding C C ¥, F-(C) € A;
iii) Với mỗi tập mở O C %, F~(O) € A;
20) œ c> d(œ, F()) là hàm đo được uới mỗi z € %;
9) G(F) la A x Bx do được Trong đó Bx là g-đại số Borel của %
Khi đó ta có các kết quả sơu:
1) () > (4) > (wi) => (wv) => (0)
2) Nếu % dầy đủ uà A đầu đủ vdi dé do a-hitu han thi (i) & (it) & (ii)
© (iv) & (v)
11
Trang 12CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ HỘI
TU CUA DAY PHAN TU NGAU NHIEN DA TRI
2.1 CAC DANG HOI TU TRONG KHONG GIAN CAC TAP DONG
Dinh nghia 2.1.1 Cho {A,, A} C K(%)
1 (An) được gọi là hội f đến A theo métric Hausdorff Ky hiéu 1a: (H) A„—>A hoặc (H) lim An = A néu lim H(4„, A) = 0
2 (Aa) được gọi là hội tụ yếu đến A Ký hiệu: (W')Aa->A hoặc
(W) lim A, =A
N00
néu véi moi «* € X* thi
lim S(a*, An) = S(a*, A)
hot tu déu vé d(x, A) vdi moi x € X Nghia la
lim sup |d(x, An) — d(a, A)| = 0
NOC rex
12
Trang 13Chitng minh That vay, tit d(x, A) = 0 véi x € A
Ta có
d(x, B) = d(x, B) — d(x, A) suy ra
sup(d(«, B) — d(x, A)) = sup d(z, B)
Trang 14H(A, B) = max {sup d(x, B), sup d(x, ay}
Suy ra điều phải chứng minh
( Cha ¥: sup |f(x)| = max {s plrte)).sup(—F(e))} )
sup d(a, B) < d(ao, B) +e
Trang 15Chứng minh tương tự ta có
in{A: B CU(A;A)} = supd(b, A)
beB
Định nghĩa 2.1.4 Giả sử {A„, A} C K(3) Khi đó, A„ được gọi là hội
tụ đến A theo nghĩa Mosco nếu
w-limsup A, = A =s- liminf Ap,
s- liminf An = {x =s-limzy : tp € An, n € N}
Ky hiệu là (KAf)Aa->A hoặc (KM) im An = A
Chúng ta thấy rằng s-liminfz„ = z có nghĩa là ||#„ — z|Ìx = 0 và
w- lim z„„ = + có nghĩa là z„ hội tụ yếu đến x
Điều này có nghĩa
i) « € w-limsup A, néu tén tai day con {Ap, } C {Aa} và zạ, € Á„, sao
Vì vậy khi chỉ ra sự hội tụ Mosco ta chỉ cần chứng minh
w- lim sup 4; C 4C s- lim inŸ Aạ,
Trang 162 Khái niệm s- lim inf Á„ và w- lim sup 4„ là khác với khái niệm lim Inf và
LsAn C we lim An = f1 w-cl ( U An}
3 Cho {An} C Ke(X)
Trong dé w-clA 1a bao dong yếu của tập 4
Ching minh a) That vay
Trang 17Cho po € N sao cho po > a, cho k > 1,24 € Ap, Apo thi
x € w-limsup(An N pol)
No
Vay ta có điều phải chứng minh
b) Để chứng minh (b) ta chỉ cần chứng minh với p > 1 thì
w- lim sup(Aa f1”) = ñ w-cl LJ (Am Men)
Thật vậy, từ %7 là khả ly, đặc biệt nếu % là không gian phản xạ thì pỮ là com-
pact va metric hóa được đối với tôpô yêu Từ định nghĩa của w- lim sup(1„
Định lý 2.1.6 Cho {A„,A}C Kwy(®)
1) Néu (H)An—> A thi (W)Anp—> A
2) Néu S(a*, An) —> A(a*, A) vad K* C X* thi (H)An— A
B6 dé 2.1.7.1 1 € A & (X*, x) < S(x, A); Va* € X*
2 Cho {A, An,n € N} C K,(%) oà Aa hội tu tới A theo métric Hausdorff Khi đó
lim S(a*, An) = S(a*, A), Va* © %7
noo
Uới
S(+z”,A) =sup( ”,u) Va* € X*
acA
Dinh ly 2.1.8 1 Néu {An, A} C K(X) va (H)An—A thi (KM) Ap, A
2 Néu dim ¥ < 00, {An, A} C Ky(¥) va
(KM)A„—>A thì (H) Ay—>A
17
Trang 18Chitng minh 1 Cho « € A suy ra tồn tại z„ € A„ với n € Đ sao cho
|lz — z:||x < đ(œ Aa) + —
Từ Định lý 2.1.2 ta cĩ /T( A„, 4) —> 0 suy ra d(z, Aa)—>d(, 4) = 0
Với mọi z € A dẫn đến |lz„ — z||x—>0 khi n—>œ
Vay « € s-liminf A, suy ra A C s-liminf Ap
Lay « € w-limsup A, suy ra ton tai day ny < ng < VA Xn, € An, $ao
NFO
cho (W }ze„,—z
Từ Bổ đề 2.1.7 ta cĩ (3, #n,) < S(+*, Aø,) với mọi 2* € X*
Mặt khác, từ giả thuyết (I)A„—>A và Bổ đề 2.1.7 ta cĩ
lim S(z”, Aa,) = S(a*, A) với mọi +” € %”
no
Vì vậy ta c6 (a*, an) < S(a*, An)
Do đĩ với mọi z € A và theo Bổ đề 2.1.7 Suy ra (NAM) Aa = A O Dinh ly 2.1.9 Cho {An, A} C Kie(x) va dim < 00 thà các mệnh đề
sau la tuong duong
Trang 19suy ra s- lim a, > x véi x € s-liminf Ap
Trang 20Ta có với mọi n € N va 21, 22 € X* thi
1, An) — OLV9, An)| S ||Z1 — 22||3:- K-
|S(aq, An) — S(xg, Aa)| < |l+ï — +šllx:-lL |
Suy ra lim sup|S(sÿ, Ang — S(zj, 4)| > 0 (trái với giả thiết)
¡—œ
Dinh ly 2.1.10 Gid st {Ay} va {By} la hai day thuéc K;(X)
1) nếu A € K,(%) va lim sup s(a*, An) < s(a*, A) vdi mot x* € X* thi
Tì>Ằ%
w-lim sup Ay C A
noo
2) Giả sử % là không gian phan xa hoặc không gian khả lụ Khi đó
ø) nếu sup, ||4n|[c < œ thà w-lim sup 4a là một tập compact yếu khác
?†>%
rong va lim sup s(a*, An) < s(a*,w-lim sup Ay) vdi v* © X*
b) néu SUPn | Anllac < oo thi
w-limsup cl(An + Bn) C w-limsup A, + w-limsup By
2 a) Lay r = sup, ||An|lx < œ Vì {z € %: ||zllx < z} là compact và
metric hóa được theo tôpô yếu, nên
w- lim sup A, = () weel( UJ An) x0
20
Trang 21Với zø € %* thì ta có thể chọn được một dãy {x, : x, € 4„,} sao cho
(x*, cy) 2 limsup s(a*, Ay) va w- lim a, = x véi © € &
Do day {y,} bị chặn yếu nên w- lim ¿¿ = y thudc vao w- lim By, va
d(z, w- lìm sup Pạ) < ||# — 9ÌÌx
NIX
< lim sup ||#y — yg|lx ko
Trang 22Vì vậy
Giả sử
4i C U(4;e)U (Ù 3)
n=1
Vì Ai là compact và A„ là dãy giảm suy ra tén tai n € N sao cho A; C
UA(A; <2) U AS Tit day suy ra
Ay NU(A;2)°N An = 0
Vi An C 4i theo giả thiết nên
U(4:£)“ f1 ÁAa = Ú suy ra Ap C U(Aa:£)
2.2 CAC DANG HOI TU CUA BIEN NGAU NHIEN DA TRI Gia sti (0, F,P) la khong gian xdc suat day đủ E 1A khong gian Banach khả li, G 1a o-dai sé con cha F, B(E) 1a o-dai sé Borel
Dinh nghia 2.2.1 Ta noi Anh xa X : Q—> E là phần tử ngẫu nhiên G-do dude, nhan gia tri trong F nếu X là đ/B(E) đo được (nghĩa là với mọi
B € B(E) thi X~!(Đ) e đ) Phần tử ngẫu nhiên 7-do được được gọi là phần
tử ngẫu nhiên
Định nghĩa 2.2.2 1 Dãy phần tử ngẫu nhiên (Xạ) gọi là hộ #u đến ánh
xạ X:Q— E nếu X;(¿)—> X(0) (theo chuẩn) với mọi œ € © Và ký hiệu
Xn— X
2 Day phần tử ngẫu nhiên (X„) gọi là hội tu hau chac chan (h.c.c) dén ánh xạ X : Q—> E nếu tôn tại tập N € F sao cho P(N) = 0, Xp(w)—>X(w) (theo chuẩn) với mọi œ € \N Va ky hiéu X;, meg x,
22