Dạy học giải toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề véctơ trong không gian quan hệ vuông góc

3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy học tích cực, dạy học theo quan điểm phát hiện..

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC VINH

LE THI NGOC

DAY HOC GIAI TOAN THEO HUONG TANG CƯỜNG BOI DUGNG NANG LUC HUY DONG KIEN THUC DA CO CUA HOC SINH

Sách giáo khoa Trung học phổ thông Hoạt động

Phương trình Phát hiện và giải quyết vấn đề Mặt phẳng

Chứng minh rằng Năng lực

Tam giác

1.1 Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần

thiết phải bồi dưỡng năng lực HDKT cho HS

4

1.1.2 Vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng nang luc HDKT

1.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HDKT

1.3 Phát triển năng luc HDKT cho HS thong qua việc vận dụng phương pháp

dạy học kiến tạo dạy học phát hiện và giải quyết vấn

23

13.1 Vận dụng phương pháp day học kiến tạo vào dạy học

14 Một số trí thức định hướng năng lực huy động kiến

1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng

1.6 Thực trạng về việc hình thành và bồi dưỡng năng lực HĐKT trong dạy học

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC HĐKT

¡5 42

"0: ÔÖ- 42

2.2 Phương thức 1: Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều hình thức

khác để huy động kiến thức phù hợp với năng lực toán

2.2.1 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều góc độ khác nhauđể phát

2.2.2 Rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo hướng liên tưởng đến những vấn

Chuong 3: THUC NGHIEM SƯ PHAM

TH TH in HE 82

3.1 Mục đích thực nghiỆm - - - s 5 313119 1 vn ng re 82 3.2 Nội dung thực nghiỆm G5 < 1321183118318 11 11 xxx re 82 3.3 Tổ chức thực nghiệm +2 - + %+S+S£+E+E+E+EeEeEeEexexexrxexrxerrxrrrrrrer 82 3.3.1 Lớp thực ngiñiỆm - c1 x18 19 11 1 19 1v ng ngư 82 3.3.2 Tiến trình thực nghiỆm - - + + ++s + £+EvExerereerxeerrersee 82 3.3.3 Nội dung và kết quả kiểm tra ¿ 2 2 ss+s + Sx+x+e+e+zxzxzxcerx 83 3.3.3.1 Nội dung kiểm tra - ¿22525255 St sxcvserererxrereree 83 3.3.3.2 Kết quả kiỂm tTa ¿- c2 St St tt sEErveertrtrvrrrrrsrsrecee 84

3.4 Kết quả thực nghiệm - (2c 3 338211318188 1 1211111111 ExErkerrkre 86 3.4.1 Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học - 86

3.4.1.1 Đối với lớp thực nghiệm ++s++++s++s++x+>+ex+e+exsx 86 3.4.1.2 Đối với lớp đối chứng «+ c+cexerersxerererersrererke 86

3.4.2 Kết luận về thực nghiệm sư phạm - 5+ + +++++<+s+x+e+ess++ 86

Kết

I LY DO CHON DE TAI

1 Trong xu thế hội nhập và phát triển thì Giáo dục & Đào tạo lại càng được

Dang và nhà nước ta đặc biệt quan tâm, điều đó đã thể hiện rõ trong luật giáo dục Việt Nam: “ Mục tiêu của giáo dục Trung học Phổ thông nhằm giúp HS

củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục Trung học cơ sở, hoàn thiện

học vấn phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng

nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp, học nghề

hoặc đi vào cuộc sống lao động” (Luật Giáo dục, chương 2, điều 23)” Để đạt

được mục tiêu đó thì GV là người được giao phó trọng trách tiếp thu những kiến thức, những phương pháp dạy học tiến tiến, hiện đại; Những hiểu biết của

mình để truyền đạt, giáo dục cho HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản

Người GV phải thực sự tâm huyết với nghề, phải luôn biết trăn trở để tìm

ra những giải pháp tích cực, có hiệu quả cao trong giảng dạy đồng thời giáo dục

cho HS phát huy ý thức tổ chức quá trình tự học, tự tìm tòi khám phá tri thức để

tự hoàn thiện bản thân Và một trong những vấn đề mà giáo dục đang quan tâm nữa là làm sao để HS phải biết vân dụng kiến thức đã có của mình vào thực tiễn Để làm được điều đó thì trước hết phải đào tạo cho họ có trình độ và một năng lực nhất định, và năng lực đó cần phải được bồi dưỡng thường xuyên

2 Hiện nay năng lực HĐKT trong dạy học toán ở các trường THPT chưa được quan tâm đúng mức, học sinh còn gặp một số khó khăn trong việc phát

trước một vấn để các em có thể biết cách lựa chọn tri thức phù hợp và đúng

đắn Song áp dụng như thế nào còn phụ thuộc vào năng lực HĐKT của chính các em Với yêu cầu đổi mới dạy học toán ở trường THPT hiện nay đòi hỏi học

sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân

3.Chúng tôi quan niệm các năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn

đề tuỳ mức độ khác nhau được vận dụng trong nhiều phương pháp dạy học tích

cực, dạy học theo quan điểm phát hiện Từ nhu cầu thực tế đó nên cũng đã có một số công trình nghiên cứu về năng lực huy động kiến thức và cách huy động kiến thức có hiệu quả, nhưng để làm sáng tỏ vào chủ đề cụ thể về véc tơ và quan hệ vuông góc thì chưa được nghiên cứu

Vì những lí do nói trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học

giải toán theo hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức

của học sinh ở trường THPT thể hiện qua chủ đề: Véc tơ trong không gian

Quan hệ vuông góc ”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở lí luận của việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức

2 Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức đã có của học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc”

II GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trên cơ sở tôn trọng chương trình SGK, nếu trong quá trình dạy học giải

toán giáo viên chú trọng tổ chức các HĐ cho học sinh nhằm phát triển năng lực

huy động kiến thức thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả học tập môn toán nói chung, học chủ đề “ Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc” nói riêng ở

trường THPT

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực huy động kiến thức, các dạng năng

lực huy động kiến thức

2 Nghiên cứu một số phương pháp tăng cường năng lực huy động kiến thức của học sinh trong dạy học giải toán theo chủ dé “ Véc tơ trong không gian

Quan hệ vuông góc”

3 Huy động tổ hợp kiến thức để xây dựng và phát triển bài toán theo một

chuỗi các bài toán liên quan

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí về khoa học toán học,

giáo dục học, tâm lý học, liên quan đến đề tài

2 Quan sát: Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên, việc học của học sinh, thăm dò các ý kiến của giáo viên về các vấn đề nghiên cứu liên quan

3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và

các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng

VI DONG GOP CUA LUẬN VĂN:

1 Về mặt lý luận:

- Xác định được vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng năng lực huy động

kiến thức đã có của HS ở trường phổ thông

- Thấy được một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT

- Xác định được các phương thức dạy học nhằm phát triển năng lực HDKT

của HS

2 Về mặt thực tiễn:

- Đóng góp quá trình hình thành và phát triển tri thức ở HS

- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, GV các trường THPT

VII CẤU TRỤC LUẬN VĂN: Gồm 3 chương

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN

Chương 2: MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC TĂNG CƯỜNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN

THỨC CỦA HS TRONG QUÁ TRÌNH DẠY GIẢI TOÁN

Chuong 3: THUC NGHIEM SU’ PHAM

KET LUAN

NOI DUNG

Chuong1

MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ LUAN VA THUC TIEN

1.1 Khái niệm về năng lực HĐKT, các dạng năng lực HĐKT và sự cần thiết phải bồi dưỡng nang luc HDKT cho HS THPT

1.1.1 Khái niệm về năng lực, năng lực HĐKT

Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ ra rằng,

qua quá trình hoạt động HS dần hình thành tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cho bản

thân Và từ những nền tảng đó họ bắt đầu phát triển những khả năng của mình

ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc sự phát triển bên trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập và trong cuộc sống thì lúc đó

HS sẽ có những năng lực nhất định

Vậy thế nào là năng lực? Khái niệm này cho đến nay vẫn có nhiều cách

hiểu và cách diễn đạt khác nhau, dưới đây là một số cách hiểu về năng lực Theo từ điển Tiếng Việt thì: “ Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”

Năng lực là một khái niệm tích hợp ở chỗ nó bao hàm cả những nội dung, những hoạt động cần thực hiện và những tình huống trong đó diễn ra các hoạt động Garard và Roegies đã định nghĩa: “Năng lực là một tích hợp những kĩ năng cho phép nhận biết một tình huống và đáp ứng với tình huống đó tương đối thích hợp và một cách tự nhiên”

Còn ở Việt Nam tác giả Trần Đình Châu quan niệm: “Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động đó”

Tác giả Phạm Minh Hạc thì cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lí

của con người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

Cho dù cách tiếp cận khác nhau nhưng ta thấy năng lực biểu hiện bởi các

đặc trưng:

Cấu trúc của năng lực là tổ hợp nhiều Kĩ năng thực hiện những hoạt động thành phần có quan hệ chặt chế với nhau

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực tức

là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân

- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ

và do đó nó gắn liên với tính sáng tạo tư duy có khác nhau về mức độ

- Năng lực có thể rèn luyện và phát triển được

- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau

Ở mỗi người có những loại năng lực khác nhau và hai người khác nhau thì

có những năng lực khác nhau và tố chất ở họ khác nhau

G.Polia nói: “ Tất cả những tư liệu, yếu tố phụ, các định lý, sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích luỹ được kiến

thức đó trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải bài toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức”[1]

Nhu vậy ta có thể hiểu “huy động” là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến

thức mà mình đã có thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình cần giải quyết trong vốn tri thức của bản thân

Năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó như sau: Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người, đáp ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đã có thích

ứng với một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.Toán học là một môn

khoa học có tính logic, hệ thống và kế thừa rất cao Mọi kiến thức toán học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức

sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, chúng liên kết lại với nhau như những mắt xích

Một kiến thức toán học mới hay một bài tập toán được đưa ra thì nó luôn nằm trong hệ thống toán học đó, nó không thể tách rời, không tự sinh ra một

cách độc lập mà có những cơ sở nhất định nằm trong hệ thống kiến thức đã có trước đó Để giải quyết được vấn dé chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ Song để coi kiến thức nào là phù hợp với vấn đề đặt ra, kiến thức

cũ sẽ sử dụng thế nào, đó chính là năng lực huy động kiến thức Tất cả chúng ta

- những người thầy luôn phải đưa ra những lời khuyên kịp thời và có ích để

khuyến khích HS tìm tòi phát hiện Có thể bắt đầu từ những câu hỏi của G.Polya như “Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là ta đã gặp nó dưới

một dạng hơi khác” [1] Còn người giải toán phải biết sắp xếp, lưu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy động được chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán học dưới dạng định

lý đã chứng minh

Như vậy có thể khẳng định: Không HĐKT thì không thể giải được bài

tập toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân

Ta có thể minh hoạ thông qua ví dụ sau:

Vi dul: Chitng minh rdng ba cạnh a,b,c của một tam giác bất kì thoả mãn bất đẳng thức:

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (3) và (4) vì chúng đề cập mối quan hệ đẳng thức chứ không phải bất đẳng thức như điều

phải chứng minh, ta thấy mỗi cạnh phải có bậc hai, trong đó mỗi cạnh được tính bình phương một lần Hãy thử với (1), ta bình phương 2 vế:

a’ > b? +c? -2bc

Tương tự ta có:

b?> a? + c? -2bc

c€°>a?+b”-2bc

Cộng theo từng vế và ước lượng ta sẽ đi đến điều phải chứng minh

1.1.2Vai trò và sự cần thiết phải bồi dưỡng năng lực HĐKTtrong dạy

học toán

Ta đã biết năng lực định hướng là tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm tòi lời giải các bài toán được xác định trên cơ sở các khả năng của HS như: khả năng phát hiện các đối tượng và quan hệ trong mối liên hệ tương tự; Khả năng phát hiện ý tưởng nhờ nắm quan hệ giữa kết quả và nguyên nhân ; Khả năng

nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; Khả năng nhận dạng và thể hiện các phương pháp Nhưng năng lực HĐKT còn đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với năng lực định hướng và nó bao trùm lên năng lực định hướng

Năng lực HĐKT không phải là điều bất biến, một bài toán nếu đặt vào

thời điểm này có thể không giải được, hoặc giải được, chứng minh được một cách rất máy móc, dài dòng, nhưng đặt trong thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực huy động kiến thức tốt, học sinh có thể giải quyết vấn đề một cách rất độc đáo, hay

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

Nx+Š5 +Aj2x+3 <9(*) Với bài toán này nếu ra cho HS lớp 10 chắc chắn các em sẽ liên tưởng

đến tri thức cội nguồn: khử hết căn bậc 2 của bất phương trình (*) Hướng suy

nghĩ đó hoàn toàn đúng và nó phù hợp trong một chừng mực khi kiến thức về đạo hàm các em chưa được trang bị Đối với HS lớp 12( học theo chương trình

chưa phân ban) hoặc HS lớp 11(học theo chương trình phân ban) sẽ giải quyết bài này bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tóm lại: Tập nghiém cua (*) 1a: | - 3 „l1 -

Như vậy nếu biết HĐKT cộng năng lực giải quyết vấn đề tốt thì cách giải

sẽ gọn gàng hơn nhiều HS mà liên tưởng kém thì bài toán sẽ trở nên khó khăn

hoặc là giải rất dài dòng Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, người giải chỉ cần sử dụng một phần kiến thức mà mình đã có Cần sử dụng kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hệ nào điều đó phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải Do vậy việc thu nhận, lưu trữ kiến thức một cách khoa học cũng là một yếu tố quan trọng cho việc HĐKT, mỗi một dạng toán, một don vi kiến thức nếu biết cách sắp xếp theo một trật tự thích hợp như chúng ta phân loại sách trên giá thì khi cần đến có thể đễ dàng huy động nó

Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, cần thiết phải rèn

luyện cho học sinh năng lực liên tưởng, năng lực HĐKT và đặc biệt là ứng

dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán, chẳng hạn khi giải một phương trình bậc hai đối với an và co£ thì HS phải liên tưởng ngay đến việc đặt ẩn phụ

để đưa về giải phương trình bậc hai đối với ẩn phụ đó Việc rèn luyện các năng

lực cũng như HĐKT làm sao cho đúng mà hiệu quả là việc làm thường xuyên của GV đối với HS hoặc chính bản thân HS

Khi bồi dưỡng năng lực HĐKT cần yêu cầu các em phải tìm và hiểu sâu sắc kiến thức cội nguồn của vấn đề Việc làm này vừa có tác dụng củng cố, vừa

có tác dụng kiểm tra khả năng tư duy của HS để trong trường hợp nếu hiểu sai bản chất sẽ được uốn nắn và bổ sung kịp thời

Ví dụ 3: Tìm m để biếu thức

^Í(m+1)x?-2(m-1)x+3m-3 có nghĩa với mọi x

HS đã hiểu sai dẫn đến việc huy động kiến thức sai như sau:

Biểu thức có nghĩa với mọi x © f(x)= (m+1)x? - 2(m-1)x +3m-3 > 0 Vx

A>0

Đúng là: f(x)= ax+bx+c> 0, Vx ©

Lời giải xét thiếu trường hợp a = 0

Cái sai ở đây là trí thức cội nguồn nắm không vững dẫn đến là xét thiếu

trường hợp Hoặc đôi khi hiểu một cách máy móc, áp dụng vấn đề không linh

hoạt cũng dẫn đến việc HĐKT sai

HĐKT là một trong những thành tố quan trọng của hoạt động toán học nó

giải quyết những mâu thuẫn trong quá trình giải toán cũng như những nhu cầu

của toán học Việc bồi dưỡng năng lực HĐKT là nhiệm vụ quan trọng trong

dạy, học toán Nó đóng góp vào quá trình đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

HĐKT có thể xem là một chuỗi các hoạt động như: HĐ lựa chọn các công cụ thích hợp, HĐ dự đoán vấn đề, HĐ qui lạ về quen nhờ biến đổi đối tượng, HĐ chuyển đổi ngôn ngữ Nếu thành thạo các HĐ này chính là đã làm tốt năng lực HĐKT học sinh sẽ hiểu sâu sắc kiến thức toán học ở trường phổ

thông, thấy được mối quan hệ biện chứng giữa những nội dung kiến thức của từng chương, mục trong SGK, đóng góp vào sự phát triển tư duy logic, tư duy biện chứng, khả năng kiến tạo tri thức cho bản thân

1.2 Một số dạng biểu hiện cơ bản của năng lực HĐKT

1.2.1 Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một

quãng thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những øì có khả năng xảy ra

thì ta đã làm công việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằng chứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán

của mình

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phương pháp tư tưởng được

ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý

và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận” [32]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,

vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “ trừ những người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi

phán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự đoán sai và các dự

đoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứ dựa trên những qui tác, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng không phải là nghĩ liều” [1]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS

phải giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyện các năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng

Toán học, năng lực tư duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp,

đặc biệt hoá, tổng quát hoá; năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết

với các đối tượng tương tự, quan hệ tương tự Chúng ta hãy thử làm một điều dự đoán trong ví dụ sau:

Ví dụ 4: Dạy học định lí cosin trong tam giác ( Hình học 10)

Khi tính các yếu tố trong tam giác bất kì thì định lí Pitago xem ra phải

chịu “bất lực”, lúc này chúng ta mong mỏi có một định lí hay một công thức nào đó để có thể giải quyết được nó Bây giờ ta sẽ đi tìm kiếm, rồi dự đoán để

tìm ra mối liên hệ giữa cạnh và các góc trong tam giác

Đặc biệt hoá là một năng lực của tư duy, đôi khi nó giúp ta định hướng

được cách giải quyết vấn đề Trước hết ta xét các trường hợp của góc A lần

lượt 1a: 90°, 120°,60°,30°.Goi H 1a chan đường cao xuất phát từ đỉnh B

3 Trường hợp I: Tam giác ABC c6 A = 120°

Khi đó có thể đưa về định lí Pitago trong tam giác vuông và đi tới công thức:

a?=BC°= BH” + HC?

= (AB.sin60°)’ + (AB.cos60?+AC)?= c?+ b?+bc (1)

3 Trường hợp 2: Tam giác ABC có A = 600 Đưa về định lí Pitago, ta có:

? = BC = AH” + HC” = (AB.sin6ó0”)° + (AC-AH)?

=c? + b? -be (2)

3 Trường hợp 3: Tam giác ABC có A =300 Ta áp dụng Pitago cho tam

giác vuông thì:

a’= BC’ = AH’ +HC’ = (AB.sin30°) +(AC-AH)”

=c? + b”- bex/3(3)

3

Tam giác ABC có A= 90”: a?= c?+ bˆ(4) (a la cạnh huyền AABC)

Từ (1), (2).(3), (4) hãy dự đoán xem với tam giác ABC bất kì thì:

a?= c?+ bˆ - bcLT (*), trong đó LÏ là đại lượng nào phụ thuộc vào góc A Học sinh có thể dự đoán với ô trống là sinA, cosA, , chẳng hạn:

đà thắp sáng niềm say mê toán học ở HS

Ví dụ 5: Trong không gian cho 2 tia Ax, By chéo nhau Lấy M thuộc

Ax.(P) qua By và song song Ax Đường thẳng d qua M song song với AB cắt

(P) tại I Xác định giao điểm I và tim tap I khi M chạy trên Ax

Phân tích:

-Xác định giao điểm I của d với (P)

-Tìm qui tích của I khi M chạy trên Ax

Dự đoán:

M chạy trên Ax thì I chạy trên đường thẳng nào đó song song với Ax

Ta sẽ chứng minh phần thuận để làm rõ luận điểm này:

= ABIM là hình bình hành va AM= BI

Khi M chạy trên Ax thi I chay trén Bz / Ax

Tất cả người giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề ra giả thiết và đó chính là năng lực dự đoán vấn đề của họ Như vậy thì điều kiện cần

để có một năng lực dự đoán tốt là người giải toán phải không ngừng tích luỹ vốn tri thức, biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều góc độ và khi họ cọ sát nhiều với

dạng toán khác nhau sẽ có thêm những kinh nghiệm quí báu cho bản thân

1.2.2 Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án

có thể đáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để

huy động kiến thức đối với việc giải toán Nó được thể hiện qua các HĐ như:

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lượng giác hoá,

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phương pháp tổng hợp sang phương pháp giải tích (gồm có phương pháp véc tơ và phương pháp

toạ độ), hoặc phương pháp biến hình

Ví dụ sau đây cho thấy sự cần thiết phải chuyển đổi ngôn ngữ từ đại số sang hình học hay ta nói là phương pháp hình học hoá

lại gặp khó khăn Để hướng dẫn HS hoạt động nhận thức phát hiện cách giải,

GV có thể yêu cầu HS xét ý nghĩa hình học của các biểu thức ở vế trái của hệ

PT trên và nhận thấy nó là bình phương vô hướng của một véc tơ, chẳng hạn:

2008_— v 1004.2—

x78 =x (x'04)? dé các em biết dịch chuyển ngôn ngữ, sử dụng phương

pháp véc tơ vào giải toán:

Trong một số trường hợp cần phải chuyển hoá hình thức của đối tượng cho

phù hợp với nội dung để phát hiện cách huy động kiến thức đúng đắn trong HĐÐ

nhận thức, việc chuyển hoá đó có khi phải nhờ đến HĐ lượng giác hoá Ta xét

Đặt x= tanơ, khi này hình thức bài toán đã được thay đổi hệ PT đã cho

sẽ được biểu thị dưới dạng lượng giác sau:

7a=nt >a = Km Vậy x= tan oe

Vấn đề đặt ra là làm sao biết được bài toán lại có cách giải như thế? Nói

chung chúng ta không có một chìa khoá vạn năng để mở ra tất cả cách giải cho các loại bài toán mà nhiều khi muốn giải được nó cần phải sử dụng kinh nghiệm, phải có vốn kiến thức, phải có năng lực tư duy

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹ năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào, nếu là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang được ngôn ngữ véc tơ hoặc toa độ Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi được ngôn ngữ Một trong các dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình học có

giải được bằng phương pháp véc tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố

cần tìm ra ngôn ngữ véc tơ Nếu sự “phiên dịch” không gặp khó khăn lớn thì

việc sử dụng véc tơ để giải bài toán đó là có cơ sở

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hướng,

những đường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau Ta

sẽ lấy ví dụ để minh hoạ cho điều đó

Ví đụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A BC Gọi L,J lần lượt là trung điểm của A'D' và BB Chứng minh rằng: I J.L AC

Không mất tính tổng quát ta cho cạnh lập phương bằng 1 Chọn hé toa do

ĐêCác vuông góc có gốc là A và các trục Ax, Ay, Az lần lượt chứa các cạnh

AB, AD, AC Khi đó toạ độ các đỉnh: A(0,0,0) ; B(1,0,0); C(0,1,0); A’(0,0,1); B(1,0,1); C(1,1,1); D(0,1,1)

Ta có: 10,10 ;1/0.1) a có: 10, 2,1) ;J,0,2) = =d=q-1-T); H= 2 2) AÈ =d11 =(1,1,1)

7? >, 11 > >,

Do dé: I.AC =1-5-5=05U LACS ULACE

1.2.3 Năng lực qui lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập

tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một HĐ biến đổi đối tượng, HĐ này thể hiện

trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của HĐ ( các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các

quan hệ giữa chúng) Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình

thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có;

từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng

với tư cách là sản phẩm của HĐ nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Việc biến đổi đối tượng sẽ dẫn đến những bài toán tương tự Có rất nhiều

dạng tương tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đưa về dạng tương tự

đã biết:

Ví dụ 9: — Giải phương trình^/5-x = x”-5

Với bài toán này nếu ta cứ đem bình phương hai vế để khử căn bậc hai thì

sẽ được một phương trình bậc 4 không đầy đủ Khi đó HS sẽ thấy mất phương hướng giải quyết vấn đề Vậy phải làm cách nào? Ý nghĩ thông minh nhất lúc

này là tìm cách biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải Có thể bằng cách này hay cách khác nhưng nếu thật để ý và táo bạo một

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài

toán với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó có

thể thực hiện nhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của HS hoặc là biến đổi nội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán phẳng với bài toán không gian Việc làm này thể hiện ở việc xét cái tương tự giữa những

vấn đề trong không gian đối với những vấn đề trong mặt phẳng: cái tương tự với

mặt phẳng là đường thẳng, mặt cầu là đường tròn, cái tương tự tứ diện là tam

giác, Khi nghiên cứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần xét kĩ cái chưa biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc ít ra là đã giải bài toán tương tự

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nối tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với đỉnh A, cắt các cạnh

AB, AC, AD tại các điểm tương ứng M, N, P thì sáu điểm B, C, D, M, P thuộc mặt cầu

Trước khi giải quyết bài toán này ta có thể giải bài toán phẳng tương tự sau: “ Nếu đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối tâm vòng tròn ngoại tiếp với đỉnh A của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, AC tại các điểm M, N tương ứng thì bốn điểm B, C, Ñ, M thuộc một đường tròn”

Trong quá trình giải các bài toán, bằng HĐ phân tích có định hướng cần

“nhìn thấy” mối liên hệ giữa các bài toán không những về tính chất của kết luận, về công cụ sử dụng để giải bài toán mà cần phát hiện được mối liên hệ cấu trúc của bài toán: “Nhìn thấy” một bài toán là bộ phận của bài toán khác hay kết luận của bài toán cần chứng minh có thể suy ra từ bài toán đã biết

3

Ví dụ 11: Cho tam giác vuông ADB ( D =Iv).Vẽ đường cao DE Gọi M, J tương ứng là trung điểm của DE và BE Chứng minh AM L DỊ

Lời giải:

Ta có thể sử dụng phương pháp Vectơ để giải quyết bài toán trên

Việc đầu tiên là HS phải biết chuyến đổi ngôn ngữ Từ giả thiết:

Suy ra: AM L DJ <> AM(DE+ DB)=0(1)

Vi du 12: Cho tam giác cân ABC tại A vẽ đường cao AD, vẽ DEL AB,

gọi M là trung điểm DE Chứng minh CE L AM A

So sánh 2) ta có kết luận 2 bài toán

tương đương Nhận thấy DJ là đường trung bình của tam giác CEB nén

DJ ⁄CE do vậy CE.L AM © DJ L AM -

Nhu vậy khi xác định năng lực HĐKT thì khả năng biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán đóng vai trò rất quan trọng Nhờ quá trình biến đổi vấn đẻ,

biến đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự đã giải

1.2.4 Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện

chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc

độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng

hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chẳng hạn nhìn tam giác là một tứ giác có một

cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng 180, cái tương tự như tứ diện trong không gian, hoặc xem xét, đặt nó trong môi trường không gian khác, chẳng hạn có thể nghiên cứu hình chóp trong hình hộp, đường tròn trong một

mat cau,

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận

theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc xảo một niềm tin

sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

Vi du 13: Day của hình chóp S.ABCD 1a hinh binh hanh Mot mặt phẳng

bất kì cắt cạnh bên của hình chóp tại các điểm K,L,M,N bắt đầu từ SA

á inh: S4 4 SC _ SB, SD

Chứng minh: SK *t SM= su? SN

Khi nhìn vào kết luận của bài toán HS rất dễ liên tưởng đến định lí Talet nhưng có môt mâu thuẫn là không có dấu hiệu về tỉ lệ giữa các cạnh Cần phải

có sự tư duy khác để huy động kiến thức phù hợp với yêu cầu đặt ra

HS dễ dàng chứng minh được KM, LN, SO đồng qui tại ILmặt khác 2 tam

giác có chung đáy và đường cao tỉ lệ với nhau tương đương với diện tích 2 tam giác đó tỉ lệ Nhưng ở bài toán này không nhìn thấy đường cao thì ta có thể

thay thế công thức nào khác để tính diện tích?

Bài toán được giải như sau:

Cách 1:

Gọi dt ASAO = dt ASOC =S; dt ASKTI=S,; dt ASIM=§,

Vì diện tích ASKT và dt ASAO tỉ lệ với nhau:

5 SK.SI sinKSI 2

2 SA.SO sin ASO

Cách 3: Dùng thể tich dé chitng minh hé thitc

Dat V = Veapcp- Ta C6 : Vexun + Vsxim = Vsxne + Vsuxm

Đôi khi người làm toán còn phải xem xét bài toán dưới góc độ khác tức là chuyển từ việc giải bài toán đại số hoặc giải tích trở về giải bài toán hình học

w.v <|u||v |: Iu.v|< [ul|.|v|ap

Ta xét trong hệ toạ độ Đêcac vuông góc ừ =(X¡:y,;Z,) và v =(X;;Y;;Z;) thì biểu thức giải tích của ),(I) là:

XIX;tY,Y;†Z/Z2 < VjXi+y¡j+Z4ˆ \X;+y; +22 ()

lx,Xzty,yztZ/2L < Vx) +y,7+2,> xy +y2"+2,° (IT)

Các bất đẳng thức trên gợi ý cho việc vận dụng chúng vào giải một số bài toán như: chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ phương trình

hoặc bài toán cực trị

Nhận xét: Qua lời giải trên cho thấy nếu biết nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng, người giải toán biết liên tưởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ mang lại một cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất

Ví dụ 15:(Bài toán lớp 7) Cho tỉ lệ thức 5 = ` Biết rằng xy = 90 Tính x, y Cách1: Hiển nhiên x # 0 Nhân cả hai vế của 5 = š với Xx,

tacé:® =*¥ og © 2 5 2 5 Lig & x2=36, Do đồ x= +6=> y=‡ l5

Cách 2: Dat 5 =F =k thi x=2k, y=5k Thay các giá trị này vào xy = 90

ta có kết quả trên

*Vận dụng làm bài tập sau: Tìm x, y, z biết: i = = a2 „ VỚI XyZ=l2

Với bài toán này mà chỉ nhìn ở cách giải thứ nhất sẽ không cho kết quả mong đợi, nó chỉ được giải quyết khi ta áp dụng cách giải thứ 2 Như vậy biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau không những củng cố

được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng HĐKT ở HS

Việc tăng cường mối liên hệ giữa các chương, mục trong một môn học cũng hình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề

Ví dụ 16: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian ta

có thể thực hiện bằng nhiều cách:

Cách I: Sử dụng mối quan hệ song song, vuông góc (thể hiện trong hai chương quan hệ song song, quan hệ vuông góc)

Cách 2: Sử dụng phép quay góc 90( thể hiện ở chương phép biến hình)

1.3 Phát triển năng lực HĐKT cho HS thông qua việc vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo, dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.3.1 Vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo vào dạy học toán

Ta đã biết phương pháp dạy học theo quan điểm kiến tạo là phương pháp

day học hiện đại, HS được học tập trong HĐ và bằng HĐ còn GV là người xác định tri thức, kinh nghiệm đã có của HS để tạo môi trường kích hoạt cho các

em phát hiện ra kiến thức mới; Tạo cho HS cơ hội tập duyệt đề xuất các phán

đoán, các “giả thuyết” HS thể hiện năng lực huy động kiến thức bằng việc chứng minh để kiểm nghiệm các phán đoán Nếu phán đoán đúng tức là tri thức

đó đã được thích nghi và các em đã có một tri thức mới vừa kiến tạo

Để trả lời câu hỏi: “ năng lực huy động kiến thức của HS được thể hiện ở

những khâu nào khi vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo vào dạy,học toán

Cần phải làm gì để mọi HS đều có thể tham gia vào quá trình kiến tạo tri

thức?” Ta thấy nhiệm vụ của GV là phải khai thác từ nội dung dạy học xem

chỗ nào có thể cho HS tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức, kĩ năng cho họ

Từ đó thiết kế tình huống, chuẩn bị các hoạt động, câu hỏi, hướng HS tham gia

vào quá trình kiến tạo Trong quá trình này HS có thể trình bày quan niệm, nhận thức của mình; có thể tranh luận để đi đến thống nhất ý kiến GV gợi ý,

phân tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức cho HS, thể chế hoá kiến thức cho HS

Ví dụ I7: Dạy học khái niệm đường vuông góc chung của hai đường

thẳng chéo nhau trong không gian (Hình học 11)

Ta sử dụng kiến thức đã có về hình lập phương để chứng tỏ tồn tại đường

thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với hai đường thẳng đó

* Cho hình lập phuong ABCD.A BCD B Cc Hãy chỉ ra những đường thẳng vừa vuông góc

v6i AA’, vừa vuông góc với BC; AY

vừa vuông góc với A’A vita vudng géc BD” \

+) Các HĐ để HS huy động kiến thức:

~Trong những đường thẳng vừa kể ra ở

trên đường thẳng nào vừa vuông góc, vừa cắt cả AL “

hai đường thẳng đã cho?

-Có bao nhiêu đường thẳng vừa vuông góc vừa cắt cả hai đường thẳng đã cho? Hãy lập luận nhận xét của mình

+) HS có thể hợp thức hoá khái niệm( định nghĩa đường vuông góc chung) Hiểu sâu sắc khái niệm:

-Tinh chất “ngắn nhất” của đường vuông góc trong mặt phẳng còn đúng với khái niệm này không?

- Có luôn tồn tại khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng

chéo nhau trong không gian hay không? Hãy tìm hiểu vấn để này qua các

trường hợp sau:

Trường hợp 1: a,b chéo nhau và vuông góc với nhau (Hình vẽ)

Gọi (P) D b và vuông góc a, giao điểm của (P) và a là H

Trong (P) dựng HKL c, HK L b thì HK là đường vuông góc chung cua a

và b (Sự phát hiện này còn cho ta một qui trình xác định đường vuông góc

chung của hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau trong không

gian)

Trường hợp 2: a, b chéo nhau bất kì ( Hình vẽ)

Goi (P) > b và (P) ⁄⁄ a, gọi c là hình chiếu vuông góc của a trên (P) thì

đường vuông góc chung của a và b được xác định như thế nào?

Gọi K=b“ c (tại sao luôn có giao điểm này?), gọi d là đường thẳng qua K và vuông góc với (P),d¬ a=H

(vì sao d luôn cắt a2) thì HK là đường vuông góc chung cua a và b

Cuối cùng là HS có các hoạt động để củng cố khái niệm

Một trong những năng lực kiến tạo là việc luyện tập cho HS thói quen

khai thác tiểm năng SGK, khắc sâu mở rộng kiến thức, phát triển các bài toán

từ nền kiến thức chuẩn đã được qui định.Ta sẽ làm sáng tỏ điều này qua ví dụ:

Ví dụ18:Từ định lí đường trung tuyến quen thuộc

Bài toán : Trong fam giác ABC ta có

Tuong tu c6é cdc bat dang thttc cho m,, m, va din đến:

Bai toan 2: Trong tam gidc ABC ta có

Cc m, M,.m, 2 abc.cos 2 C08 5 COS >

Bài toán 3 Trong tam giác ABC ta có

m, 2 \\p(p-a) Tuong tu voi m,, m,

Như GS Nguyễn Cảnh Toàn đã viết trong tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán

học và tuổi trẻ:

“Các ban đã có sẵn một lòng yêu toán, chỉ cần các bạn biết cách tập dượt suy nghĩ sáng tạo và bền bỉ, kiên nhẫn tập dượt thì rồi nay mai, bạn sẽ thấy rằng

phát minh toán học không phải là một điều gì thần bí cao xa”

1.3.2 Vận dụng phương pháp dạy học PH & GQVĐ để học sinh HĐKT

trong giải toán

Then chốt của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là GV thiết kế được những tình huống gợi động cơ, gợi vấn đề, những tình huống có

vấn để, khai thác được những nội dung bài học một cách triệt để, có những sáng tạo trong xây dựng những bài toán Mỗi một bước thực hiện là HS đã phải trãi nghiệm qua hàng loạt kiến thức khi được huy động và họ phải phân tích, chọn lựa để tìm ra kiến thức nào là phù hợp, là đúng đắn

Từ việc nghiên cứu phương pháp dạy học PH và GQVĐ giáo viên xác lập một quy trình giải toán để HS phát triển được năng lực HĐKT, đó là:

Bước I: Tạo tình huống gợi vấn đề:

+ Đưa học sinh vào tình huống gợi vấn đề

+ Phân tích tình huống đó

+ Dự đoán vấn đề nảy sinh và đạt mục đích xác minh tính đúng đắn

Bước 2: Giải quyết vấn đề:

+ Phân tích mối quan hệ giữa dữ kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm + Đề xuất, lựa chọn hướng giải quyết và tìm tòi lời giải

+ Thực hiện lời giải

Bước 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:

+ Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải

+ Phát biểu chính xác vấn đề (kiến thức mới cần lĩnh hội)

+ Xét khả năng ứng dụng của nó

+ Vận dụng vào tình huống mới

Tất cả những vấn đề đó đều đòi hỏi HS phải có một năng lực trí tuệ nhất

định, năng lực HĐKT thích hợp mới giải quyết được yêu cầu đặt ra

Ví dụ 19: Dạy giải bài tập

CMR trong moi tam giác ABC ta có:

Sin?A+sin?B +sin°C=2 +cosAcosBcosC(#)

Bước: Tạo tình huống gợi vấn đề:

+) Đưa HS vào tình huống gợi vấn đề GV nêu ra ba bài tập nhỏ:

Bài T: Cho tam giác ABC vuông cân tại A

Tính sin?A + sin?B + sin°C và cosAcosBcosC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 60°, C = 30°

Tính sin?A + sin?B + sin°C và cosAcosBcosC

Bài 3: Cho tam giác ABC đều

Tính sinˆA + sinˆB + sinˆC và cosAcosBcosC

+) Phân tích tình huống:

So sánh giá trị sin?A+sin’B+sin’C và cosAcosBcosC trong 3 bài tập trên

Dự đoán vấn để: Sin?A + sin°B + sin°C = 2 + 2cosAcosBcosC

Bước 2: Giải quyết vấn đề

+) Phân tích mối quan hệ giữa dự kiện, điều kiện và vấn đề cần tìm

-_ Điều kiện đã cho: A, B, C là các góc của một tam giác

- A+B+C=rr và vấn đề cần giải quyết: Chứng minh rằng:

Sin?A + sin’B + sin?C = 2 + 2cosAcosBcosC (0 < A,B,C < z)

Đối với các tam giác đặc biệt ở bài 1, 2, 3 vấn đề được đặt ra có tính đúng đắn +) Đề xuất, lựa chọn hướng giải quyết và tìm tòi lời giải

Hướng 1: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về đẳng thức đúng

Hướng 2: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) về vế phải (sử dụng công

thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích)

Hướng 3: Biến đổi tương đương đẳng thức (*) vẻ vế phải (sử dụng công

thức biến đổi tích thành tổng)

+) Thực hiện lời giải

Trình bày lại 3 cách giải

Bước 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:

+) Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải; Kiểm tra 3 cách chứng minh, từ đó nêu rõ cách nào tối ưu hơn

+) Khang định lại vấn đề dự đoán là chính xác Kiểm tra lại dự kiện đã cho xem đã sử dụng hết chưa? Có thể phát biểu lại bài toán như thế nào?

( Cho A + B+ C = x, chứng minh rằng:

sin?A + sin’B + sin?C = 2 + 2cosAcosBcosC )

+)Xét khả năng vận dụng kết quả trên để giải bài toán: “Cho tam giác ABC

có: Sin°A + sinˆB + sin?C = 2 CMR tam giác đó là tam giác vuông”

Vận dụng vào tình huống mới

Dự đoán vấn đề mới: Trong tam giác ABC có:

Cos’A + cos’B + cos”C = 2 + 2 sinAsinBsinC

Ví dụ 20: Dạy học phát hiện khái niệm phương tích của một điểm đối với

Ta sẽ có khái niệm phương tích của một điểm đối với đường tròn

Ví dụ 21:Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong

y=\/4-x’; y=X

Bước I: Nêu tình huống gợi vấn đề

- Công thức tính diện tích của hình phẳng?

Giao điểm của 2 đường cong có toạ độ ( + ^/3 ;1) nên diện tích của hình

\3 -Tinh L= J Xá = V3 Vậy S=2(1,+L)= Tu,

0

Hướng 2:Thay cho việc tính I, ta thấy các giao điểm của phương trình

đường tròn y=/4-x” với đồ thị hàm bậc hai y = x là M( 5/3 ;1) và N(- ^/3 ;1)

- Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong đó là phần nào?

- Vậy kiến thức cần sử dụng tiếp theo nữa là gì ?

4

Gọi O(0;0), A(2;0) thì tanMOA = a nén MOA= 30° Sy gua= + :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn OM va (P) y= - là: xy

3

\3

0

Bước 3: Kiểm tra và vận dụng kết quả

HS nhận xét hai cách giải quyết vấn đề

Nếu thay đường tròn bởi elip thì kết quả như thế nào ? Ta có bài toán sau

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong:

1.4 Một số tri thức định hướng năng lực huy động kiến thức

1.4.1 Tri thức thuộc phạm trù duy vật biện chứng

Phương pháp luận của phép duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan trọng và cần thiết trong dạy học Toán, nó được áp dụng vào các phương pháp dạy học và giúp cho người học thấy được sự biện chứng trong nội tại của toán học thể hiện qua các cặp phạm trù về mối quan hệ chung - riêng, mối quan hệ

nhân - quả, mối quan hệ giữa nội dung - hình thức, Nắm được phương pháp

luận của phép duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn

của Toán học, thấy được mối liên hệ đan xen của các đơn vị kiến thức và vận dụng chúng để tìm tri thức mới; mặt khác phép duy vật biện chứng còn rèn luyện khả năng sáng tạo, độc lập và biết phát hiện vấn đề trong cuộc sống a) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan

trường hợp riêng soi sáng cho trường hợp chung và vận dụng trường hợp riêng

để giải quyết trường hợp chung” Việc dự đoán những quy luật xuất phát từ

những trường hợp riêng là một thủ thuật ta rất hay dùng Chẳng hạn như trong Bài toán tìm quỹ tích, Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất không sử dụng đến

đạo hàm Có những bài toán mà khi khảo sát cái riêng sẽ cho ta cách tìm cái chung

Ví dụ 22: Yêu cầu HS tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y)(y+z)(Z+x), VỚI X+y+Z=l và x, y,Zz> 0

Khi đứng trước bài toán này nhiều HS cảm thấy e ngại song nếu GV hướng dẫn HS phân tích cái chung thành những cái riêng cụ thể, đó là:

xyz; (x+y)(y+z)(z+x), thì bài toán sẽ được giải quyết một cách nhẹ nhàng

Áp dụng BĐT Cauchy cho từng cái riêng đó ta có:

1 = x+ytz > 34/xyz (1)

2 = (xty)+(ytz)+(xtz) > 3 */(x+y)(y+z)(x+z) (2)

Nhân vế với vế (1) va (2) ta duoc: 2>9/S & S< Gy = a9

335 © các đẳng thức (1),(2) xảy ra © x =y =z =3 Đẳng thức S = 7

Từ một cái riêng nếu biết nhìn theo nhiều quan điểm các góc độ khác

nhau thì có thể khái quát thành nhiều cái chung khác nhau, chẳng hạn ta có thể

xem hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành, cũng có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dưới góc độ

có “vòng tròn nội tiếp”, có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của tứ giác có hai đường chéo vuông góc, nếu nhìn nó dưới góc độ có “hai đường chéo vuông góc”

Đôi khi đem đặc biệt hoá nhiều cái chung thì lại được một cái riêng và cứ như thế ta sẽ tìm ra được những cái mới, chẳng hạn một tứ giác đem đặc biệt hoá theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh, các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Trong dạy học Toán, nếu người giáo viên nắm được mối quan hệ giữa cái chung - cái riêng, biết biến đổi phát triển bài toán thành chuỗi các bài toán thì

không những HS hiểu được sâu sắc kiến thức của bài toán đó mà còn biết thêm

các kiến thức khác và đem lại hiệu quả cao trong học tập (phần này sẽ được thể

hiện tiếp trong chương 2)

b) Năng lực HĐKT khi giải quyết một vấn đề thể hiện trong mối quan hệ giữa nội dung - hình thức

Theo quan điểm triết học, nội dung là những mặt, những yếu tố, những quá trình tạo nên sự vật; hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật hiện tượng, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật Nội dung và hình thức không tồn tại tách rời nhau, nó có sự thống nhất biện chứng với nhau Nội dung giữ một vai trò quyết định đối với hình

thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật, và hình thức cũng có tác động sâu sắc tới nội dung

Vận dụng vào toán học ta có thể mô tả mối quan hệ giữa nội dung “Điểm

O là trung điểm của đoạn thẳng AB” theo sáu hình thức để làm sáng tỏ quan điểm trên: A, B, O thẳng hàng và OA=OB; D,: A —> B (B là ảnh của A qua

> >

D,); OA =- OB; V,' :A > B; O1a tam hinh binh han AMBN; MO 1a dudng trung bình của tam giác ACB; M là trung điểm AC

đó qua những hình thức khác nhau để tạo điều kiện cho các em huy động được tốt

kiến thức và kinh nghiệm đã có vào giải quyết nội dung.Chẳng hạn ta có ví dụ:

x"+y”"+z”" =3

“Giải hệ phương trình: 4x?"?!+ y”*!'+ z”*”' =3, với x,y,z>0.”

x”?+ y2? +z2=3

HS sẽ không biết bắt đầu như thế nào bởi những phương pháp và tri thức

đã có quá xa lạ với hình thức biểu thị nội dung đó nên cần phải có sự biến đổi hình thức để đưa việc giải hệ phương trình đại số về việc giải bài toán bằng

phương pháp véc tơ

Đôi khi trong quá trình giải toán HS còn phải biết biến đổi đối tượng bằng cách chuyển hoá hình thức của đối tượng cho phù hợp với nội dung để phát hiện cách HĐKT một cách đúng đắn

Vi du 23: Đề xuất cho HS hoạt động tìm nghiệm (x, y, z, t) của hệ :

œ, B.y.