tóm tắt luận án một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

Như vậy, bài toán tìm điểm bất độngchung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti trong khônggian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử j

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯƠNG MINH TUYÊN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤTĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠNCÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-NĂM 2013

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm-Đạihọc Thái Nguyên, Thái Nguyên, Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Bường

GS TS Jong Kyu Kim

Có thể tìm hiểu về luận án tại:

- Thư viện Quốc gia

- Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh

xạ không giãn trong không gian Hilbert hay không gian Banach làmột trường hợp riêng của bài toán chấp nhận lồi: "Tìm một phần tửthuộc giao khác rỗng của một họ hữu hạn hay vô hạn các tập con lồi

và đóng {Ci}i∈I của không gian Hilbert H hay không gian BanachE" Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vựckhoa học khác nhau như: Xử lí ảnh, khôi phục tín hiệu, vật lý, yhọc

Khi Ci = F ix(Ti), với F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn Ti, i = 1, 2, , N , thì đã có nhiều phương pháp được

đề xuất dựa trên các phương pháp lặp cổ điển nổi tiếng Đó là cácphương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa và Halpern, phươngpháp xấp xỉ mềm Các kết quả nghiên cứu theo những hướng nàyđược trình bày cụ thể hơn trong Chương 1 của luận án

Ta biết rằng, nếu T là một ánh xạ không giãn trong không gianBanach E, thì toán tử A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, với I

là toán tử đồng nhất trên E Như vậy, bài toán tìm điểm bất độngchung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti trong khônggian Banach E có thể đưa về bài toán tìm không điểm chung của một

họ hữu hạn các toán tử j-đơn điệu Ai = I − Ti với i = 1, 2, , N Đối với bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu, trongphạm vi của luận án chúng tôi chỉ đề cập đến một số phương phápgiải nổi tiếng cho lớp bài toán này như: phương pháp hiệu chỉnhTikhonov, phương pháp điểm gần kề, một số cải biên của phươngpháp điểm gần kề, bao gồm phương pháp điểm gần kề quán tính,phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh, phương pháp điểm gần kềquán tính hiệu chỉnh

Đối với bài toán tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn các phươngtrình toán tử với các toán tử đơn điệu cực đại trong không gian

1

Hilbert, chúng tôi đặc biệt chú ý phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov của G.S Nguyễn Bường (Buong N (2006), "Regulariza-tion for unconstrained vector optimization of convex functionals inBanach spaces", Compt Math and Math Phys., 46 (3), pp 372-378) khi ông đặt vấn đề giải bài toán tìm không điểm chung của một

Browder-họ hữu hạn các toán tử đơn trị đơn điệu, thế năng, h−liên tục từkhông gian Banach E vào không gian đối ngẫu E∗ Ông đã quy bàitoán giải hệ phương trình với các toán tử đơn điệu cực đại về việc giảimột phương trình toán tử và thu được sự hội tụ mạnh của thuật toán

về một nghiệm của bài toán khi các tham số hiệu chỉnh được chọnthích hợp Tiếp đó, năm 2008 GS Nguyễn Bường (Buong N (2008),

"Regularization proximal point algorithm for unconstrained vectorconvex optimization problems", Ukrainian Mathematical Journal,

60 (9), pp 1483-1491) lần đầu tiên nghiên cứu kết hợp phương phápđiểm gần kề quán tính với hiệu chỉnh và gọi là phương pháp điểmgần kề quán tính hiệu chỉnh, cho việc giải bài toán tìm không điểmchung của một họ hữu hạn các toán tử đơn điệu cực đại Ai = ∂fi,với ∂fi là dưới vi phân của các phiếm hàm lồi, chính thường, nửaliên tục dưới yếu fi, i = 1, 2, , N trong không gian Hilbert H.Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu áp dụng phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov và một số cải biên của phương pháp điểmgần kề bao gồm phương pháp điểm gần kề của Xu H K (Xu H.-K.(2006), A regularization method for the proximal point algorithm,

J Glob Optim 36 (1) (2006), pp 115-125) và phương pháp điểmgần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bất độngchung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gianBanach, các biến thể của nó cùng với các bài toán liên quan dựa trên

tư tưởng thuật giải của tác giả Buong Ng Chúng tôi cũng tiến hànhnghiên cứu tính ổn định của các phương pháp giải thu được theohướng nghiên cứu của Alber Y (Alber Y (2007), "On the stability

of iterative approximatins to fixed points of nonexpansive mappings",

J Math Anal Appl., 328, pp 958-971) Cụ thể, luận án tập trunggiải quyết các vấn đề sau:

1 Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề theo hướng của Xu H Kcho bài toán tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạn

các ánh xạ không giãn trong không gian Banach và các biến thểkhác nhau của nó, đồng thời nghiên cứu tính ổn định của cácphương pháp lặp thu được theo hướng nghiên cứu của Alber Y

2 Nghiên cứu mở rộng kết quả của Xu H K cho bài toán xác địnhkhông điểm của toán tử m-j-đơn điệu từ không gian Hilbert lênkhông gian Banach trơn đều

3 Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương phápđiểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho bài toán tìm một điểm bấtđộng chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trongkhông gian Banach và các biến thể của nó, đồng thời nghiên cứutính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh thu được

Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương

Chương 1 có tính chất bổ trợ, giới thiệu sơ lược về một số vấn đềliên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, bài toánđặt không chỉnh với các toán tử loại đơn điệu, bài toán tìm điểm bấtđộng chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, tổng quan

về các phương pháp giải đã biết cho các lớp bài toán này và cuốicùng là một số bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh các kết quảnghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án

Chương 2 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phươngpháp điểm gần kề theo hướng nghiên cứu của các tác giả Buong N

và Xu H K cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữuhạn các ánh xạ không giãn và cho bài toán xác định không điểm củatoán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach, ở đây tính ổn địnhcủa các phương pháp lặp cũng được thiết lập và nghiên cứu Một sốứng dụng của các kết quả đạt được cho việc giải bài toán tìm điểmbất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trongkhông gian Hilbert, bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach

và một số ví dụ cùng với các tính toán cụ thể cũng được trình bày

ở cuối chương này nhằm minh họa thêm cho các kết quả nghiên cứuđạt được

Chương 3 trình bày các định lí về sự hội tụ mạnh của phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tínhhiệu chỉnh cho bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu

hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach cùng với tính ổnđịnh của các phương pháp Mục cuối cùng trong chương này, chúngtôi đề cập đến một số ứng dụng của các phương pháp lặp thu đượccho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạncác ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, bài toán chấp nhậnlồi trong không gian Banach, cùng với các ví dụ số nhằm minh họathêm cho các kết quả nghiên cứu đạt được

Chương 1

Một số vấn đề chuẩn bị

Chương 1 của luận án là chương có tính chất chuẩn bị, nhằmtrình bày những kiến thức cơ bản nhất phục vụ cho việc trình bàycác kết quả nghiên cứu đạt được trong các chương sau của luận án

Cụ thể:

Mục 1.1 đề cập một số vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học củacác không gian Banach như không gian Banach lồi đều, không gianBanach trơn đều Ngoài ra trong mục này chúng tôi còn trình bàycác khái niệm về toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ánh

xạ không giãn cùng với một số tính chất cơ bản của chúng

Mục 1.2 của chương này đề cập đến khái niệm bài toán đặt khôngchỉnh, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toánloại này

Mục 1.3 và Mục 1.4 của chương này trình bày sơ lược về các phươngpháp điểm gần kề, phương pháp điểm gần kề quán tính và phươngpháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho phương trình với toán tửloại đơn điệu

Mục 1.5 dành cho việc phát biểu bài toán tìm một điểm bất độngchung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và đặc biệt trongmục này chúng tôi trình bày một cách tổng quan về các phương pháp

"cổ điển" xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn nói chung vàcác phương pháp tìm một điểm bất động chung của một họ hữu hạncác ánh xạ không giãn nói riêng

Mục 1.6 cũng là mục cuối cùng trong chương này, trình bày một

số bổ đề quan trọng, thường xuyên sử dụng đến trong việc chứngminh các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương sau của luận án.Trong các chương sau của luận án chúng tôi sẽ đề cập đến một sốphương pháp ổn định giải bài toán tìm một điểm bất động chung củamột họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach

5

Chương 2

Phương pháp điểm gần kề

Chương này, chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu đạt được

về sự hội tụ mạnh của phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìmđiểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn vàbài toán xác định không điểm của toán tử m − j−đơn điệu trongkhông gian Banach, cùng với đó là một số ứng dụng của các kết quảthu được cho việc giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họhữu hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert và bài toánchấp nhận lồi trong không gian Banach

2.1 Phương pháp điểm gần kề cho bài toán tìm điểm

bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạkhông giãn

Trước hết, ta xét bài toán sau:

Xác định một phần tử x∗ ∈ S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅, (2.1)trong đó F ix(Ti) là tập điểm bất động của ánh xạ Ti : E −→

E, i = 1, 2, , N

Định lí 2.1 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn các ánh xạkhông giãn với S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Nếu dãy {tn} ⊂ (0, 1) thỏamãn một trong các điều kiện

i) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞, limn→∞ tn

tn+1 = 1 hoặcii) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞,P ∞

n=1|tn − tn+1| < +∞,thì dãy {xn} xác định bởi

hội tụ mạnh về QSu, trong đó Ai = I − Ti, i = 1, 2, , N và

QS : E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S.Định lí 2.2 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc Cho Ti : E −→ E, i = 1, 2, , N là một họ hữu hạn cácánh xạ không giãn với S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Nếu các dãy số{rn} ⊂ (0, +∞) và {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện

Xác định một phần tử x∗ ∈ S = ∩Ni=1F ix(Ti), (2.4)trong đó Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn,

Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E

Định lí 2.3 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E vàcho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với

S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Cho {xn} là dãy được xác định bởi

i) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞, limn→∞ tn

tn+1 = 1 hoặcii) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞,P ∞

n=1|tn − tn+1| < +∞,thì dãy {xn} hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S là ánh

xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S

Định lí 2.4 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E vàcho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với

S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Cho {xn} là dãy được xác định bởi

số {rn} ⊂ (0, +∞) và {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện

i) limn→∞tn = 0; P ∞

n=0tn = +∞;

ii) limn→∞rn = +∞,

thì dãy {xn} hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S là ánh

xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S

Cuối cùng trong mục này chúng tôi đề xuất một số phương phápgiải bài toán sau:

Xác định một phần tử x∗ ∈ S = ∩N

i=1F ix(Ti), (2.7)trong đó Ti : Ci −→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn và

Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của E.Định lí 2.5 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của

E và cho Ti : Ci −→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãnvới S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Cho {xn} là dãy được xác định bởi

N

X

i=1

fi(xn+1) + xn+1 = tnu + (1 − tn)xn, u, x0 ∈ E, n ≥ 0, (2.8)

trong đó fi = I − QCiTiQCi, i = 1, 2, , N và QCi : E −→ Ci làcác ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên Ci, i = 1, 2, , N Nếu dãy số {tn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn một trong các điều kiện

i) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞, limn→∞ tn

tn+1 = 1 hoặcii) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞,P ∞

n=1|tn − tn+1| < +∞,thì dãy {xn} hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S là ánh

xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S

Định lí 2.6 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn theo tia của

E và cho Ti : Ci −→ E, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãnvới S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Cho {xn} là dãy được xác định bởi

i) limn→∞tn = 0; P ∞

n=0tn = +∞;

ii) limn→∞rn = +∞,

thì dãy {xn} hội tụ mạnh về QSu, trong đó QS : E −→ S là ánh

xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S

2.2 Tính ổn định của phương pháp

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định của các phươngpháp lặp (2.5) và (2.6) cho bài toán (2.4) khi tất cả các miền xácđịnh Ci và các ánh xạ không giãn Ti được cho bởi nhiễu Cụ thể hơn,các giả thiết nhiễu được đặt ra như sau:

(P1) Thay cho mỗi tập Ci, tồn tại các tập con lồi, đóng và co rút

không giãn theo tia Cin ⊂ E, n = 1, 2, 3, thỏa mãn

H(Cn

i , Ci) ≤ δn, i = 1, 2, , N,trong đó {δn} là một dãy số thực không âm

(P2) Đối với mỗi tập Cin, tồn tại ánh xạ không giãn Tin : Cin −→ Cn

Định lí 2.7 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩntắc Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của

E và cho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N là các ánh xạ khônggiãn với S = ∩N

i=1F ix(Ti) 6= ∅ Nếu các điều kiện (P1) và (P2)được thỏa mãn và các dãy số {δn} và {tn} thỏa mãn điều kiệnξ(aphE(δn))

tn −→ 0 với mỗi a > 0 và nếu một trong các điều kiệnsau được thỏa mãn

i) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞, limn→∞ tn

tn+1 = 1 hoặcii) limn→∞tn = 0, P ∞

n=1tn = ∞,P ∞

n=1|tn − tn+1| < +∞,thì dãy {zn} xác định bởi (2.11) hội tụ mạnh về QSu, trong đó

QS : E −→ S là ánh xạ co rút không giãn theo tia từ E lên S

Định lí 2.8 Giả sử E là một không gian Banach lồi đều và trơnđều với tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.Cho Ci là các tập con lồi, đóng và co rút không giãn của E vàcho Ti : Ci −→ Ci, i = 1, 2, , N là các ánh xạ không giãn với

S = ∩Ni=1F ix(Ti) 6= ∅ Nếu các điều kiện (P1) và (P2) được thỏamãn và các dãy số {rn}, {δn} và {tn} thỏa mãn các điều kiệni) limn→∞tn = 0; P ∞

n=0tn = +∞;

ii) limn→∞rn = +∞;

iii) P ∞

n=0rnξ(aphE(δn)) < +∞ với mỗi a > 0,

thì dãy {zn} xác định bởi (2.12) hội tụ mạnh về QSu, trong đó

QS : E −→ S là ánh co rút không giãn theo tia từ E lên S

2.3 Phương pháp điểm gần kề và bài toán xác định

không điểm của toán tử m-j-đơn điệu

Cho E là một không gian Banach trơn đều và A : D(A) ⊆ E −→

2E là một toán tử m − j−đơn điệu với S = A−1(0) 6= ∅ Chúng tôinghiên cứu sự hội tụ mạnh của dãy lặp ẩn {xn} được xác định bởi:

u, x0 ∈ E,

rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1 − tn)xn, n ≥ 0, (2.13)trong đó {tn} ⊂ (0, 1) và {rn} ⊂ (0, +∞)

Trước hết ta có định lí sau:

Định lí 2.9 Cho E là một không gian Banach trơn đều với tínhliên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j từ E vào