tóm tắt luận án một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

Bường chotrường hợp các toán tử là liên tục và đóng yếu trong không gian Hilbert H để thu được sự hội tụ cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần các điềukiện t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Công trình được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Phần mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong toán học tồn tại một lớp bài toán: Tìm giao điểm của một họ N các tập đónglồi Cj, j = 1, 2, , N, trong không gian Hilbert H hay không gian Banach X, mangtên bài toán chấp nhận lồi, có ứng dụng rộng rãi trong xử lý ảnh như phục chế hay tạo

ảnh dựa vào các dữ liệu liên quan trực tiếp hoặc gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh

Đây là lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong y học, quân sự, công nghiệp, đặc biệt trongthiên văn và công nghệ sinh học, Khi Cj cho dưới dạng ẩn như là tập nghiệm củamột phương trình, ta có bài toán: Tìm nghiệm chung cho một họ N phương trình, nóichung là không chỉnh Trường hợp đơn giản, khi N = 1, đã có nhiều phương pháp ổn

định tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt ra Trường hợp N > 1 được GS Ng Bườngnghiên cứu đầu tiên vào năm 2006, khi các toán tử trong phương trình là đơn điệu,hemi-liên tục và thế năng từ X vào X∗ (không gian đối ngẫu của X) GS Ng Bường

đã đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng tổng các phương trìnhcủa hệ với trọng số phụ thuộc vào tham số hiệu chỉnh Một năm sau, GS O.Scherzercùng với cộng sự đã xét trường hợp khi các toán tử có tính liên tục và đóng yếu trongkhông gian Hilbert H và đưa ra hai cách tiếp cận: Đưa về không gian tích hoặc hiệuchỉnh lặp xoay vòng Năm 2008, Torsten Hein cũng đưa ra phương pháp hiệu chỉnhdựa trên bài toán cực tiểu phiếm hàm ổn định không âm và nửa liên tục dưới yếu Sựhội tụ cũng như tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được xây dựng bằng các phươngpháp mà Scherzer và Hein đề xuất được đảm bảo, khi mỗi toán tử trong phương trình

đều có những tính chất tương tự như khi xét cho N = 1 Năm 2009, Bài toán này cũng

được GS Ph.K.Anh và NCS C.V.Chung xét đến khi Aj : H → H có tính chất ngược

đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song song, các kết quả đạt được củaphương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất Trường hợp

N > 1 và mỗi toán tử trong phương trình là U− đơn điệu chưa được đề cập đến

2 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích thứ nhất của luận án là nghiên cứu cách tiếp cận của GS Ng Bường chotrường hợp các toán tử là liên tục và đóng yếu trong không gian Hilbert H để thu được

sự hội tụ cũng như đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần các điềukiện thông thường đặt lên một toán tử trong hệ Mục đích thứ hai của luận án là nhận

được các kết quả về sự hội tụ và tốc độ hội tụ cho trường hợp khi các toán tử trong các

phương trình của hệ là U− đơn điệu từ không gian Banach X vào X Các kết quả nhận

được dựa vào việc sử dụng và cải tiến kỹ năng thông thường cho một phương trình

3 Những đóng góp mới của luận án

Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề khi tìm nghiệm xấp xỉ của hệphương trình

kAj(x) − fjδk2 + αkx − x∗k2 → min

X ,

mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều kiện của mộttoán tử A1 Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X là U− đơn điệu và liên tụcLipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều,chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình dựa vào việc giải phươngtrình

A1(x) + αà˜

NXj=2(Aj(x) − fjδ) + α(x − x∗) = f1δ

và đưa ra cách chọn tham số α = α(δ), ở đây, ˜à ∈ (0, 1) là hằng số cố định Theophương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá mà chỉ cần dựavào điều kiện đặt lên một toán tử A1

4 Bố cục của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu đượctrình bày thành ba chương Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gianHilbert và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh từ đó giới thiệu phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu và phươngpháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U− đơn điệu Trên cơ

sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phươngtrình toán tử đặt không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh Chương 2 giới thiệu cáckết quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với cáctoán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả số được thực hiện nhằmkhẳng định tính đúng đắn của phương pháp Cuối cùng, chương 3 trình bày phương

pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình phi tuyến đối với toán tử U− đơn điệu và liêntục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.

Chương 1

Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnhChương này gồm 3 mục Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trong không gianHilbert và không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu khái niệm bài toán đặt không chỉnh

và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếucùng với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U−

đơn điệu Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình không chỉnh, các bàitoán dẫn về hệ phương trình không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh cho hệbài toán này Cụ thể, chúng tôi giới thiệu hai cách tiếp cận hiệu chỉnh tìm nghiệm của

hệ phương trình

Aj(x) = fj, ∀j = 1, 2, , N (1.11)khi các toán tử liên tục và đóng yếu, bao gồm phương pháp lặp xoay vòng (phươngpháp lặp xoay vòng dạng Newton và phương pháp hiệu chỉnh dựa vào quá trình lặp

điểm bất động) và phương pháp đưa về không gian tích

Chương 2Hiệu chỉnh cho hệ phương trìnhvới toán tử liên tục và đóng yếu2.1 Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải

Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ D thỏa mãn (1.11), ở đây, Aj, j = 1, 2, , N

là các toán tử phi tuyến từ tập lồi đóng D thuộc không gian Hilbert X vào khônggian Hilbert Yj và thỏa mãn hai tính chất liên tục và đóng yếu fj ∈ Yj, giả thiết

Sj = {¯x ∈ D : Aj(¯x) = fj} , j = 1, 2, , N, S = ∩N

j=1Sj, S 6= ∅ Dễ thấy, vì Aj làtoán tử liên tục và đóng yếu, nên Sj là tập đóng, vậy S cũng là một tập đóng trong X.Trong trường hợp vế phải của hệ phương trình có nhiễu, khi đó vế phải fj được thaybởi fδ j

j và

kfj − fδj

Vì Aj, j = 1, 2, , N là các toán tử không chỉnh Vì vậy, để tìm nghiệm của bàitoán (1.11) với nhiễu vế phải fδj

j , ta dẫn về tìm nghiệm của bài toán tối ưuN

Xj=1

(i) Sự ổn định của nghiệm (nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải của hệ);

(ii) Nghiệm của (2.2) phải hội tụ về nghiệm của (1.11) khi α, δj → 0

Để giải quyết các vấn đề này, ta lần lượt có các định lý sau:

Định lý 2.1 Cho α > 0, fδjk

j → fδj

j với δj ≥ 0 và xk là cực tiểu của (2.2) với fδj

j đượcthay bởi fδjk

j thì tồn tại một dãy con hội tụ của {xk} và giới hạn x˜ của các dãy con hội

tụ là điểm cực tiểu của (2.2)

Để khẳng định nghiệm của bài toán (2.2) hội tụ về nghiệm của (1.11), không mất tínhtổng quát, ta giả thiết δj = δ, khi đó ta có định lý sau:

Định lý 2.2 Nếu α(δ) thỏa mãn α(δ) → 0, α(δ)δ2 → 0 khi δ → 0 thì dãy nghiệm {xδk

αk}

của (2.2) có dãy con hội tụ (ở đây, δk → 0, αk = α(δk)) Giới hạn của các dãy conhội tụ là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất Ngoài ra, nếu nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất lànghiệm x0 duy nhất thì lim

δ→0

xδα(δ) = x0

Các kết quả ở Định lý 2.1 và Định lý 2.2 hoàn toàn có thể suy ra được từ các kếtquả của Torsten Hein khi hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóngyếu trong trường hợp chỉ có nhiễu vế phải Giả sử xδ

α(δ) → x0 khi δ → 0, khi đó tốc

độ hội tụ của {xδ

α(δ)}được Hein đưa ra nếu bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán

tử Aj, j = 1, 2, , N Vậy với mục tiêu nới lỏng các điều kiện đặt lên toán tử khi đánhgiá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, định lý sau đây sẽ chỉ ra tốc độ hội tụ củanghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 mà chỉ cần bổ sung điều kiện nguồn lên một toán tửbất kỳ trong hệ

Định lý 2.3 Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) A1 khả vi Fréchet;

(ii) tån t¹i mét sè L > 0 sao cho kA01(x0) − A01(z)kY1 ≤ Lkx0 − zkX , víi z lµ l©ncËn cña x0, ký hiÖu tËp c¸c l©n cËn x0 cña z lµ U;

(iii) tån t¹i ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A01(x0)∗ω;

NXj=1

cña (2.15) cã d·y con héi tô (ë ®©y hk → 0, δk → 0, αk =α(hk, δk)), giíi h¹n x0 lµ nghiÖm cãx∗−chuÈn nhá nhÊt Ngoµi ra, nÕu x0 lµ duy nhÊt

thì lim

h,δ→0xhδα(h,δ) = x0

Bây giờ, ta giả thiết xhδ

α(h,δ) → x0 khi h, δ → 0, khi đó tốc độ hội tụ của nghiệm hiệuchỉnh được xác định theo định lý sau:

Định lý 2.6 Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn

(i) A1 khả vi Fréchet;

(ii) tồn tại một số L > 0 sao cho kA0

1(x0) − A01(z)kY1 ≤ Lkx0 − zkX , với z là lâncận của x0, ký hiệu tập các lân cận x0 của z là U;

(iii) tồn tại ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A01(x0)∗ω;

Vì Aj là toán tử tuyến tính liên tục, nên Sj là tập lồi đóng trong X, từ đó tập nghiệm

S cũng là một tập lồi đóng Dữ liệu vế phải là những đại lượng được xấp xỉ bởi fδj

jvới mức độ nhiễu δj và thỏa mãn (2.1) Như trong mục trước, để tìm nghiệm của mỗiphương trình thứ j ta phải sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cực tiểu phiếmhàm

tham số hiệu chỉnh α = α (δj) sao cho xδ j

α(δ j ) → x0 khi δj → 0 và cuối cùng đánhgiá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều, hay ướclượng được kxδ j

α(δ j )− x0kX, ở đây, x0 là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất

Để tìm nghiệm của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìmnghiệm của bài toán tối ưu không ràng buộc

minx∈X

NXj=1

j thì dãy {xk} sẽ hội tụ tới cực tiểu của (2.28)

Định lý 2.8 Choα(δ) là tham số hiệu chỉnh sao cho α(δ) → 0, α(δ)δ → 0 khiδ → 0, thìdãy xδ

ở đây, C là hằng số dương, giả thiết Ah

j và Aj là các toán tử tuyến tính liên tục và cócùng tính chất Để tìm nghiệm của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựatrên cơ sở tìm nghiệm của bài toán tối ưu không ràng buộc

NXj=1

Định lý 2.10Choα > 0,hk → h > 0(Ahk

j là xấp xỉAhj và thỏa mãn(2.35)),fδj,k

j → fδj

j ,

j → Ah

j khi k → ∞, δj ≥ 0 và xk là cực tiểu của (2.36) với fδj

j , Ahj được thay thếtương ứng bởi fδj,k

j , Ahk

j thì dãy {xk} sẽ hội tụ tới cực tiểu của(2.36)

Định lý 2.11 Cho δj = δ và chọnα(h, δ) sao cho

ở đây, B : H → H và thỏa mãn hai điều kiện

(i) B có tính chất đơn điệu:

hBx − By, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H; (2.42)

(ii) B có tính chất liên tục Lipschitz:

∃L > 0 : kBx − Byk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ H (2.43)

Phương trình toán tử (2.41) có thể giải bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp sau:

x(k+1) = x(k) − βk(Bx(k) + αk(x(k) − x(0)) − f ), x(0) = x∗, (2.44)trong trường hợp f được xấp xỉ bởi ˜fδ và thỏa mãn

thì

1 với k = 0, 1, , K(δ), ta có

l :=

hc(1 − cλ − 2ω/(√

τ − 1)2) − 2α0

i(√

τ − 1)2(1 + α3

Sau ®©y lµ mét sè kÕt qu¶ tÝnh to¸n.

®­îc kÕt qu¶ sau

α xα1 xα2 xα3 kxα− x0kR30.1000 0.9973 0.9955 0.9774 0.02320.0100 0.9997 0.9995 0.9977 0.00240.0010 1.0000 1.0000 0.9998 0.00020.0001 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000

Bảng 2.1 Kết quả tính toán sau 20 lần lặp cho bài toán tuyến tính

Ta xét trong trường hợp toán tử có nhiễu Ah

Bhx + α(h, δ)(x − x∗) = ˜fδ,

ở đây, x∗ ∈ R3, Bh = (Ah1)∗Ah1 + (Ah2)∗Ah2, ˜fδ = (Ah1)∗f1δ + (Ah2)∗f2δ Bằng cách sửdụng phương pháp lặp Jacobi với xấp xỉ đầu x(0) = (0; 0; 0) thì sau 20 lần lặp ta thu

Tập nghiệm của (2.54) là một đường thẳng đi qua hai điểm x = (1; 1; 1; 1) và x0 =(1; 3; 6; 2), nghiệm của (2.54) có dạng x0 = x0 + t (x − x0), trong trường hợp x0 lànghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ nhất thì t được xác định như sau:

Để τ thỏa mãn điều kiện (2.50) ta có thể chọn

+ 1

2

= 145.8741 VËy ta cã kÕt qu¶ tÝnhto¸n nh­ sau:

số tuyến tính mà ma trận hệ số có cùng kích thước với ma trận hệ số bất kỳ một hệnào trong hệ bài toán Ngoài ra, ma trận hệ số này có định thức khác không, tức làbài toán xấp xỉ là bài toán đặt chỉnh và như vậy ta hoàn toàn có thể tìm nghiệm bằngcác phương pháp giải thông thường, các kết quả tính toán được thể hiện ở Bảng 2.1 vàBảng 2.2 đã chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ mà không đòihỏi phải thỏa mãn điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử trong hệ Trong trường hợpbài toán xấp xỉ cho hệ phương trình có ma trận hệ số với điều kiện xấu, khi đó việc

sử dụng các phương pháp giải thông thường sẽ có sai số lớn, vậy để tìm nghiệm ta sửdụng phương pháp hiệu chỉnh lặp và quy tắc dừng lặp, các kết quả số được thể hiện ở

Bảng 2.3, Bảng 2.4, Bảng 2.5 và Bảng 2.6, từ các kết quả tính toán cho thấy, nếu bỏ đivai trò của tham số hiệu chỉnh thì bài toán xấp xỉ lại là bài toán đặt không chỉnh và cóvô số nghiệm Tuy nhiên, khi có mặt của tham số hiệu chỉnh thì việc giải bài toán lạicho ta nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất có thể tìm được theo ý muốn khi có phần

tử x∗ đóng vai trò như là tiêu chuẩn để chọn nghiệm

2.4.2 Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến

x1 − x2 − x3 = 0Phương trình A1(x) = f1 có 4 nghiệm

F (x) = kA1x − f1δk2

R3 + kA2x − f2δk2

R3 + αkx − x∗k2

R3 → min (2.58)

ở đây, x∗ = (x∗1; x∗2; x∗3) ∈ R3, α là tham số hiệu chỉnh

Vậy, nghiệm của (2.58) là nghiệm của hệ

x1 − x2 − (1 + h)x3

Để tìm nghiệm của hệ phương trình

Ahj(x) = fjδ, j = 1, 2,

ta tìm nghiệm của bài toán tối ưu

Fh(x) = kAh1x − f1δk2

R3 + kAh2x − f2δk2

R3 + αkx − x∗k2

R3 → min Bằng sơ đồ lặp Newton, ta có kết quả tính toán được cho trong Bảng 2.9 và Bảng 2.10

Bảng 2.9 Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ

đầu x(0) = x∗ = (5; 5; 5) và tham số hiệu chỉnh α = h + δ

Bảng 2.10 Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ

đầu x(0) = x∗ = (−5; −5; −5) và tham số hiệu chỉnh α = h + δ

Nhận xét: Kết quả trên cho thấy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x∗- chuẩn nhỏnhất Trong Bảng 2.7 và Bảng 2.9, ta thấy với x(0) = x∗ = (5; 5; 5), kx(0)− s1kR3 =9.8489, kx(0) − s4kR3 = 7.5498, vậy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về s4 là nghiệm có

x∗- chuẩn nhỏ nhất Trong Bảng 2.8 và Bảng 2.10, x(0) = x∗ = (−5; −5; −5),

kx(0)− s1kR3 = 7.5498, kx(0) − s4kR3 = 9.8489, nên nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về

s1 là nghiệm có x∗- chuẩn nhỏ nhất

Chương 3Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trìnhphi tuyến với toán tử U − đơn điệu vàliên tục Lipschitz trên không gian Banach3.1 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U− đơn điệu vàliên tục Lipschitz trên không gian Banach

Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (1.11) được đưa ra trongtrường hợp toán tử Aj là U− đơn điệu và ngược U− đơn điệu mạnh trên không gianBanach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều Giả thiết toán tử Aj và vếphải fj là những đại lượng được xấp xỉ bởi Ah

j, fjδ và thỏa mãn (2.1), (2.14) Để tìmnghiệm của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệmcủa bài toán

Ah1(x) + αà˜

NXj=2(Ahj(x) − fjδ) + α(x − x∗) = f1δ, (3.1)

ở đây, ˜à ∈ (0, 1) là hằng số dương cố định, α là tham số hiệu chỉnh

Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ trong trường hợpchỉ có nhiễu vế phải

Định lý 3.1 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux

đều, A1 là toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz, Aj là toán tử ngược U − đơn điệumạnh với hằng số γj trên X, j = 2, , N Khi đó, ta có:

(i) với mỗi α > 0 vàfjδ ∈ X, phương trình

A1(x) + αà˜

NXj=2(Aj(x) − fjδ) + α(x − x∗) = f1δ (3.3)

có nghiệm duy nhất xδα;

(ii) nếu S 6= θ, fjδ thỏa mãn (2.1) với j = 1, , N, tham số α được chọn sao cho

α, δ/α → 0, thì xδα hội tụ mạnh tới x0 ∈ S và thỏa mãn

hx0 − x∗, U (x0 − z)i ≤ 0, ∀z ∈ S (3.4)Trong trường hợp tổng quát, khi vế phải và toán tử có nhiễu ta có định lý sau chỉ ra

sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ