về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầng

Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình Việc tính toán động lực học công trình khác với việc tính toán tĩnh họccông trình ở những đặc trng cơ bản sau: Trớc hết, dới tác

Lời cảm ơn!

Học viên xin chân thành cảm ơn đến Ban giám đốc và tất cả các thầygiáo, cán bộ Khoa sau đại học, Viện công trình đặc biệt Học viện kỹ thuậtquân sự trong quá trình học tập nâng cao kiến thức sau đại học tại trờng

Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ này, học viên xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy giáo hớng dẫn khoa học: PGS,TS Phạm Đình Ba, ngời đã trựctiếp hớng dẫn, chỉ bảo nghiêm túc với cơ sở khoa học trong nghiên cứu, hớngdẫn tận tình, kỹ lỡng là điểm tựa cho học viên hoàn thành tốt luận văn tốtnghiệp thạc sĩ của mình

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

PHầN Mở ĐầU

1 Tên đề tài:

Về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà

nhiều tầng

2 Cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài:

Theo sự phát triển của đất nớc, tốc độ tăng dân số, quan niệm sống dẫn

đến nhu cầu phát triển các khu nhà cao tầng, hiện đại với những công năng sửdụng khác nhau Để đáp ứng đợc xu hớng phát triển đó của ngành xây dựngthì việc tìm hiểu, nắm chắc và làm chủ các kiến thức tính toán để góp phầnnâng cao chất lợng và giảm giá thành công trình là việc làm cần thiết Mục

đích của đề tài là nhằm cụ thể hóa một phơng pháp tính dao động của kết cấu,giúp cho ngời dùng cũng nh các nhà nghiên cứu có đợc một công cụ dễ hiểu,trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu

Đề tài này đi theo hớng đi sâu nắm chắc một trong các cách tính dao

động riêng của hệ kết cấu khung nhà nhiều tầng, trên cơ sở đó có thể pháttriển để giải quyết một số bài toán phức tạp hơn trong xây dựng

3 Mục tiêu của đề tài:

- Tên đề tài: Về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầng

- Nghiên cứu cách tính dạng dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầngdựa trên phơng pháp lặp năng lợng

4 Phơng pháp nghiên cứu:

- Nắm chắc lý thuyết tính toán với công trình chịu tải trọng động

- Đi sâu nghiên cứu dạng dao động riêng đối với kết cấu khung với bài toánhữu hạn bậc tự do

- Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn

CHƯƠNG 1 TổNG QUAN

1.1 Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình

Khái niệm về động lực học gắn liền với khái niệm lực thay đổi theo thờigian; nghiên cứu động lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tácdụng của tải trọng thay đổi theo thời gian

Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình bao gồm:

Xác định nội lực và chuyển vị nhằm lựa chọn kích thớc hợp lý và kiểmtra kích thớc thực của công trình, đồng thời tránh hiện tợng cộng hởng

Dới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kết cấu sẽ dao động

và dao động đó đợc biểu thị dới dạng chuyển vị của kết cấu Do đó khi phântích và giải quyết bài toán động lực công trình sẽ cho phép xác định đợc sựthay đổi của chuyển vị theo thời gian tơng ứng với quá trình thay đổi của tảitrọng động Các tham số khác nh nội lực, ứng suất, biến dạng nói chung đều

đợc xác định sau khi có sự phân bố chuyển vị của hệ Tất cả các tham số đó

đều là các hàm thay đổi theo thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài.Tuy nhiên, đôi khi việc giải quyết bài toán động lực học công trình còn

đợc tiến hành bằng việc sử dụng hệ số động lực Khi đó, nội lực chuyển vị vàmọi số tham số của hệ đều đợc tính toán thôn qua hệ số động với các kết quảtính toán tĩnh Tất cả các đại lợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với mộtthời điểm xác định, không phải là hàm theo biến thời gian

1.2 Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình

Việc tính toán động lực học công trình khác với việc tính toán tĩnh họccông trình ở những đặc trng cơ bản sau:

Trớc hết, dới tác dụng của tải trọng động thay đổi theo thời gian, trạngthái ứng suất biến dạng của hệ cũng sẽ biến đổi theo thời gian Nh vậy, bàitoán động sẽ không có nghiệm duy nhất nh bài toán tĩnh Do đó, cần phải tìm

sự liên tục của nghiệm tơng ứng với mọi thời điểm thời gian biểu thị trạng tháithực của hệ Chính vì thế mà việc tính toán động rất phức tạp và khó khăn hơnnhiều so với việc tính toán tĩnh

Mặt khác, đặc trng cơ bản của bài toán động đợc phân biệt rõ so với bàitoán tĩnh ở chỗ: ở bài toán tĩnh, dới tác dụng của tải trọng tĩnh là tải trọng tácdụng rất chậm lên công trình, sự chuyển động của hệ là chậm và lực quán tínhrất nhỏ có thể bỏ qua đợc ở bài toán động, tác dụng của tải trọng động lêncông trình gây ra sự chuyển động của hệ với gia tốc lớn, và lực quán tính phụthuộc vào gia tốc chuyển động (đạo hàm bậc hai của chuyển vị theo thời gian)

là không thể bỏ qua đợc Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là sự khác biệtcơ bản nhất của bài toán động lực học so với bài toán tĩnh

Ngoài ra việc xét tới ảnh hởng của lực cản cũng là đặc trng cơ bản phânbiệt bài toán động so với bài toán tĩnh Bản chất của lực cản chuyển động (lựctắt dần) rất phức tạp và đa dạng Vì vậy, việc tính lực cản phức tạp hơn so với

tính lực quán tính Trong tính toán, đôi khi không xét tới ảnh hởng của lựccản, đôi khi lực cản đợc tính một cách gần đúng với giả thiết phù hợp Nhngphải luôn thấy rằng lực cản luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển

động của hệ

1.3 Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình

Bất kỳ một kết cấu xây dựng nào trong quá trình sử dụng đều phải chịutác dụng của tải trọng động ở dạng này hay dạng khác Tải trọng động là tảitrọng bất kỳ có độ lớn, phơng, vị trí thay đổi theo thời gian Tải trọng động tácdụng lên công trình rất đa dạng phức tạp Theo các đặc trng của nó, tải trọng

động với một quy luật bất kỳ nào đó đợc phân ra là tải trọng có chu kỳ là tảitrọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ

Các tải trọng có chu kỳ:

Tải trọng có chu kỳ là tải trọng lặp đi lặp lại theo thời gian qua các chu

kỳ Chu kỳ của tải trọng có thể là liên tục mà cũng có thể là gián đoạn Nếu tảitrọng tác dụng có quy luật hình sin hoặc cos với chu kỳ liên tục thì gọi là tảitrọng điều hòa đơn giản

Các dạng khác của tải trọng có chu kỳ thờng phức tạp hơn Sự phức tạpbiểu hiện ở quy luật của tải trọng trong mỗi chu kỳ (ví dụ nh áp lực thuỷ động

do sự quay của cánh quạt tầu thuỷ)

Tải trọng không có chu kỳ

Có thể là các loại tải trọng ngắn hạn và các tải trọng dài hạn tổng quát:+ Tải trọng ngắn hạn: Nguồn kích động đặc trng của các tải trọng ngắnhạn có thể lấy ví dụ là các vụ nổ

+ Tải trọng động dài hạn là dạng tải trọng động thờng gặp, ví dụ nh tácdụng của động đất đối với các công trình đều là tải trọng dài hạn

Trong thực tế thờng gặp một số loại tải trọng động nh sau:

• Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t) ví

dụ nh là tải trọng do môtơ có phần quay không cân bằng gây ra

• Tải trọng di động có trị số không đổi P(z) ví dụ nh đoàn xe chạy trên cầu

• Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t) ví dụ nh tải trọng động gâybởi đầu máy xe lửa chạy, chu kỳ phụ thuộc vào tốc độ đầu máy

• Lực địa chấn tác dụng lên công trình

• Lực khí động do gió bão tác dụng lên công trình

• Tải trọng do va chạm: nh có vật rơi hoặc va đập lên công trình

• Tải trọng động phức hợp: là tổ chức các dạng tải trọng trên và một sốtrờng hợp khác

1.4 Phân loại dao động

Tuỳ theo sự phân bố khối lợng trên hệ, cấu tạo và kích thớc của hệ, tínhchất của các loại tải trọng động và các tác dụng động bên ngoài mà ngời ta córất nhiều cách phân loại dao động khác nhau Để thuận lợi cho việc phân tíchdao động của các hệ, có thể phân loại nh sau:

1.4.1 Phân loại theo số bậc tự do của hệ:

Phân theo số bậc tự do, sẽ đa hệ về 3 loại dao động sau:

+ Dao động của hệ một bậc tự do

+ Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

+ Dao động của hệ vô hạn bậc tự do

1.4.2 Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động:

+ Dao động tự do: là dao động sinh ra do lực kích thích đột ngột hoặc lựcbất kỳ rồi bỏ ra tức thời Điều kiện ban đầu đợc tạo nên do các xung lực tứcthời và tách hệ ra khỏi vị trí cân bằng

+ Dao động cỡng bức: Là dao động sinh ra do chịu tác dụng của tải trọng

động, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao

động Dao động cơng bức bao gồm rất nhiều loại: dao động của hệ chịu tảitrọng có chu kỳ, dao động của hệ chịu tải trọng ngắn hạn, dao động của hệchịu tải trọng di động, dao động của các công trình chịu tải gió, động đất

1.4.3 Phân theo sự tồn tại của lực cản:

+ Dao động tắt dần: là dao động có xét tới lực cản

+ Dao động không tắt dần: là dao động bỏ qua ảnh hởng của lực cản

1.4.4 Phân theo cấu tạo của cơ hệ:

Theo cách phân loại này dao động của hệ sẽ bao gồm:

+ Dao động của hệ thanh

+ Dao động của tấm

+ Dao động của vỏ

+ Dao động của các khối móng

+ Dao động của hệ treo

+ Dao động của các kết cấu công trình đặc biệt…

1.4.5 Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động:

+ Dao động tuyến tính: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao

động là phơng trình vi phân tuyến tính

+ Dao động phi tuyến: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao

động là phơng trình vi phân vi tuyến

1.5 Bậc tự do của hệ dao động

Bậc tự do của hệ dao động là số các thông số độc lập cần thiết để xác

định đầy đủ vị trí của tất cả các khối lợng của hệ khi dao động

Trớc hết ta xét hệ với các khối lợng tập trung Trong các hệ này có thể bỏqua các lực quán tính của thanh và chỉ tính đến các lực quán tính phát sinh docác khối lợng tập trung Để tính bậc tự do, ta dùng các giả thiết sau:

+ Coi các khối lợng tập trung của hệ là các chất điểm

+ Bỏ qua chiều dài co dãn do biến dạng uốn

Ta có thể xác định số bậc tự do của hệ bằng cách đặt vào các khối lợngcủa hệ các liên kết loại một vừa đủ để sao cho tất cả các khối lợng của hệ trởthành bất động

Số bậc tự do của hệ dao động có thể bằng, nhỏ hơn hoặc lớn hơn số khốilợng của hệ

Xét hệ thanh với khối lợng phân bố ở hệ này không đợc phép bỏ qua lựcquán tính của thanh và nh vậy hệ sẽ có số bậc tự do là vô cùng Để tính toáncác hệ có bậc tự do là vô cùng ta cần phải thiết lập và giải hệ phơng trình viphân với các đạo hàm riêng, bởi vì trong trờng hợp này lực quán tính phụthuộc cả vào toạ độ và thời gian

1.6 Các phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình chuyển động

Trong dao động công trình có các phơng pháp cơ bản sau:

- Phơng pháp dựa trên nguyên lý Dalambe

- Phơng pháp dựa trên nguyên lý Hamintơn

- Phơng pháp dựa trên nguyên lý chuyển vị khả dĩ

Xét hệ thanh thẳng có khối lợng phân bố Hệ này có vô số bậc tự do Dao

động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ đợc biểu diễn bằng đờng đàn hồi của

nó Phơng trình đờng đàn hồi là hàm của hai biến số: toạ độ x và thời gian t

y = f(x,t)Theo sức bền vật liệu ta đã có mối liên hệ giữa độ võng và nội lực trongdầm có mối liên hệ vi phân sau:

( )

2 2

M x, t

p x, tx

Vậy phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng:

Dùng các phơng pháp giải phơng trình vi phân chính xác của toán học, ta

sẽ giải ra đợc các nghiệm riêng ứng với các dạng dao động riêng với tần sốriêng ωi

1.7.2 Phơng pháp gần đúng:

1.7.2.1 Phơng pháp Rayleigh. (chi tiết trong chơng 3)

Phơng pháp Rayleigh dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lợng Theo

định luật này, ở bất kỳ thời điểm nào ta cũng có biểu thức:

ymxx

∂−

∂

r(x,t)

T + U = hằng sốtrong đó:

Xét hệ với các trạng thái đạt giá trị năng lợng lớn nhất, áp dụng cơ sở

định luật bảo toàn năng lợng ta có:

Phơng pháp Rayleigh khi xác định tần số dao động riêng theo công tácgần đúng thì thờng có giá trị lớn hơn trị số chính xác Điều này xảy ra là doviệc giả định đờng đàn hồi thờng khó chính xác, do vậy sẽ dẫn đến hiện tợng

đa thêm vào hệ các liên kết, các liên kết này sẽ làm tăng độ cứng của hệ, nêntần số dao động tìm đợc sẽ lớn hơn tần số dao động thực của hệ

thể xem nh công khả dĩ của tải trọng qi trên chuyển vị ϕk( )x Do đó khi cáctham số ϕi( )x , vàϕk( )x chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên thì biểu thức(1-15) có thể coi là công của tải trọng qk trên chuyển dời ϕi( )x Từ lý luận đóchúng ta thấy răng hàm ϕi( )x thoả mãn điều kiện biên thì Cki =Cik.

Trong công thức (1-14), các hệ số ai là cha xác định Chúng phải có giátrị để sao cho phơng trình (1-14) luôn thoả mãn với mọi giá trị của k (k=1, 2,

…n) Các hàm ϕi( )x phải chọn sao cho thoả mãn toàn bộ (hoặc một phần các

điều kiện biên) của bài toán và chọn càng gần các chính dao động thì càngtốt Ví dụ có thể chọn hàm dạng ϕi( )x theo đờng đàn hồi do các tải trọngkhác nhau trên hệ tạo nên nh tải phân bố, tập trung có thể chọn là hàm lợnggiác v.v

mà theo đó thế năng toàn phần của hệ sẽ có giá trị dừng

Thế năng toàn phần đợc biểu diễn dới dạng công của ngoại lực và nội lựccủa hệ khi chuyển từ trạng thái biến dạng về trạng thái không biến dạng nhsau:

2 ''

Từ (1-20) ta thiết lập đợc n phơng trình với các ẩn là a1,a2,…,an Hệ

ph-ơng trình đó là thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm an khác 0 thì định thứccủa các hệ số trong phơng trình chính tắc phải bằng 0

Phơng pháp Lagơrăng Ritz chỉ áp dụng đợc cho các hệ bảo tồn [1]

1.7.2.4 Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác định tần số cơ bản của dao

động riêng

Vấn đề là, đối với hệ có nhiều hoặc vô cùng bậc tự do, nếu chỉ cần xác

δ: chuyển vị của dầm tại vị trí đặt M, do lực tập trung P=1 gây ra

Nội dung cơ bản của phơng pháp là xác định M và vị trí đặt M sao chotần số dao động riêng của hệ thay thế bằng hoặc gần bằng tần số thấp nhất của

hệ đã cho Ngời ta thấy rằng nên đặt khối lợng tơng đơng tại vị trí có chuyển

vị lớn nhất khi dao động Nếu ngoài khối lợng phân bố, trên hệ còn có khối ợng tập trung tơng đối lớn, thì nên đặt ở M ở vị trí có khối lợng tập trung.Phơng pháp khối lợng tơng đơng đợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiếtgần đúng sau: “Hai hệ tơng đơng về động năng thì cũng tơng đơng về tần số”

l-Nh vậy điều kiện để tần số của hệ thay thế bằng tần số của hệ thực là:

động năng lớn nhất T(b) của hệ thay thế tơng đơng phải bằng động năng lớnnhất T(a) của hệ thực khi dao động

Giả thiết đờng đàn hồi của hệ thực khi dao động có dạng:

y(x,t) = y(x) Z(t)Suy ra vận tốc dao động tại thời điểm bất kỳ có hoành độ x là:

( ) ( ) ( )

2 td

td

1M

- Chia các khối lợng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lợngphân bố trên mỗi khoảng về trọng tâm của nó

- Phân bố các khối lợng phân bố theo nguyên tắc đòn bẩy Theo cách nàykhối lợng phân bố trên mỗi đoạn đợc thay thế bằng khối lợng đặt ở hai đầu

đoạn đó

Thay thế khối lợng theo cách thứ 2 thờng cho ta một hệ mới đơn giản hơncách thứ nhất, vì số lợng các khối lợng tập trung ít hơn Tần số dao động của

hệ mới này chính là tần số gần đúng của hệ thực Mức độ chính xác của lờigiải phụ thuộc số lợng và vị trí đặt các khối lợng trong sơ đồ mới Số khối lợngcàng nhiều thì kết quả càng chính xác Thông thờng, nếu chỉ quan tâm đến tần

số của một vài dạng dao động đầu tiên, ta có thể biến đổi hệ về hệ có hai, babậc tự do cũng đủ thoả mãn đợc yêu cầu về độ chính xác cần thiết

Sau khi đã chọn đợc sơ đồ khối lợng, ta tiến hành nh đối với bài toán hệhữu hạn bậc tự do với việc giải các phơng trình tần số, thu đợc các tần số cầnthiết

1.7.2.6 Phơng pháp sai phân

Nh đã biết, khi đi tìm dạng dao động riêng chính xác của hệ ứng với tần

số khác nhau thì điều khó khăn chủ yếu là phải giải các phơng trình vi phândao động rất phức tạp

Trong các trờng hợp khi dạng tải trọng phức tạp hay dầm có tiết diện thay

đổi thì khó khăn càng lớn Do đó có thể tìm nghiệm gần đúng của phơng trình

vi phân bằng các phơng trình sai phân

Trong các phơng pháp giải gần đúng bài toán dao động của hệ thanh,

ph-ơng pháp sai phân tph-ơng đối đơn giản hơn và có thể áp dụng dễ dàng cho các ờng hợp các thông số của hệ thay đổi (ví dụ nh khối lợng thay đổi, tiết diệnthay đổi)

tr-Nội dung của phơng pháp sai phân là thay thế các đạo hàm trong các

ph-ơng trình vi phân bằng các tỉ số hiệu số Sau khi thay thế ta đợc một hệ phph-ơngtrình đại số tuyến tính Nh vậy ta đã thay thế việc giải phơng trình vi phânbằng việc giải một hệ phơng trình đại số tuyến tính

Xét hệ dầm dài 1 có khối lợng phân bố đều Ta có phơng trình vi phândao động riêng của dầm mang khối lợng phân bố đều:

4 4

Thay các kết quả trên vào (1-25) ta thu đợc phơng trình sai phân viết cho

điểm bất kỳ i nh sau:

đợc tần số chính xác thì không đoán đợc sai số của nó.

Phơng pháp đúng dần cho phép tìm đợc trị đúng dần của tần số, càng sátvới trị số chính xác của tần số nếu càng thực hiện nhiều lần tính toán Nh vậy

có thể ớc tính đợc phạm vi sai số của tần số bằng cách so sánh kết quả tronghai lần tính kế tiếp nhau Đồng thời cũng có thể dựa vào độ chính xác yêu cầu

mà thực hiện số lần tính cần thiết

Ngoài ra trong quá trình tính tần số ta cũng có thể tìm đợc dạng dao độngriêng tơng ứng Tuy nhiên, phơng pháp này có nhợc điểm là nếu không có sựtrợ giúp của máy tính thì nó thực hiện sẽ dài, vì phải có quá trình lặp tìm cácphơng trình đờng đàn hồi

Xét dầm có các khối lợng tập trung mk và khối lợng phân bố m(x) Giả sửbiết biên độ của các dạng dao động chính là yi(x) thì các lực quán tính tácdụng lên hệ có dạng:

( )

2

i i 2

Đẳng thức này nghiệm đúng với bất kỳ giá trị nào của x Vì hàm yi(x)

ch-a biết nên trong lần gần đúng thứ nhất tch-a giả thiết hàm dạng theo hàm ϕi( )xnào đó và xác định đợc giá trị gần đúng thứ nhất theo công thức sau:

xx

( ) ( ) ( )i

q x =m x ϕ x và tải trọng tập trung Pk =mkϕi( )x gây ra

Do hàm ϕi( )x chọn ban đầu thờng không đúng với dạng dao động thựcnên đại lợng ( )1

i

có giá trị khác nhau Nếu giá trị ( )1

i

lấy giá trị trung bình của chúng làm kết quả cần tìm ωi Nếu các giá trị ( )1

iω

khác nhau nhiều thì cần phải tiếp tục tính toán, tức là cần thực hiện lần tínhtiếp theo

Trong lần tính tiếp theo, ta lại giả thiết phơng trình dao động có dạng

Ngoài ra còn có thể kể đến các phơng pháp tính tần số dao động riêng

nh phơng pháp Holzer, phơng pháp ma trận chuyển tiếp, phơng pháp chuyển vịkhả dĩ, phơng pháp lặp không gian con

chơng 2 dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do

Trong thực tế tính toán kỹ thuật, chúng ta thờng gặp bài toán tính dao

động của hệ hữu hạn bậc tự do Để thuận tiện, việc trình bày đợc thể hiện ởdạng ma trận

2.1 Xây dựng phơng trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự do

2.1.1 Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm:

Xét hệ dầm tại tại các vị trí 1,2…,n hệ chịu các lực ứng với các vị trí là

P1,P2, ,Pn

Hình 2.1Chuyển vị tại vị trí k đợc xác định theo nguyên lý cộng tác dụng

Các phần tử của ma trận độ mềm là các chuyển vị tơng ứng với tọa độ K

do lực bằng đơn vị đặt tại vị trí m gay ra đựoc xác định nh hình vẽ trên

Ngợc lại ta cũng có thể biểu diễn phơng trình chính tắc ở dạng

Ma trận mềm [F] và ma trận cứng [K] là ma trận có tính chất đối xứng

và chúng là nghịch đảo của nhau:

[K] = [F]-1; [F] = [K]-1; [F][K] = [K][F] = [E]

2.1.2 Phơng trình vi phân dao động tổng quát của hệ hữu hạn bậc tự do:

Xét hệ dầm có n khối lợng tập trung, tơng ứng với vị trí hệ chịu các lực

P1(t), P2(t), P3(t),…, Pn(t) Bỏ qua trọng lợng bản thân của dầm khi dao động,

vị trí của mỗi khối lợng đợc xác định bởi một thông số là chuyển vị theo

ph-ơng đứng Do vậy hệ có n bậc tự do

Trớc hết ta xét trờng hợp bỏ qua ảnh hởng của lực cản Ta sẽ viết phơngtrình cần bằng lực với việc sử dụng nguyên lý Dalambe Trong đó các lực đặtvào khối lợng bao gồm: tải trọng động tác dụng, lực quán tính và lực đàn hồi

P1(t) P2(t) Pk(t) Pn(t)

m1 m2 mk mn

Hình 2.2Phơng trình cần bằng lực đối với khối lợng thứ k:

Các phần tử của ma trận tắt dần Ckm gọi là hệ số ảnh hởng tắt dần, là lực

t-ơng ứng với toạ độ k do tốc độ chuyển dịch bằng đơn vị tại toạ độ m gây ra

2.2 Bài toán dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do

Khi xét dao động riêng của hệ, theo (2-2) ta có phơng trình sau:

[ ]M{ }V(t) +[ ]K{V(t)} { }= 0 (2-3)Với giả thiết xem xét dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do cũng códạng là hàm điều hoà đơn giản

Phơng trình (2-6) đợc gọi là phơng trình tần số của hệ hữu hạn bậc tự

do, khai triển (2-6) ta sẽ nhận đợc phơng trình đại số bậc n đối với ω2 Giảiphơng trình này ta sẽ xác định n nghiệm ( 2)

n

2 3

2 2

Vectơ bao gồm tất cả các tần số dao động riêng xếp theo thứ tự tăng dần (ω1 <

ω2 < ω3 < ω4 < … < ωn) đợc gọi là vectơ tần số dao động riêng

(2-7)

Tần số dao động riêng thấp nhất ω1 gọi là tần số cơ bản

Tất cả các ma trận khối lợng và ma trận cứng của hệ kế cấu bất kỳ đều

là các ma trận đối xứng và xác định dơng Vì vậy, tất cả các nghiệm của

ph-ơng trình tần số đều là thực và dph-ơng [1]

Phơng trình tần số có thể biểu diễn ở dạng ma trận mềm Muốn vậy ta

nhân trái hai vế của (2-5) với ma trận 12 ⋅[ ]F

động của hệ hữu hạn bậc tự do

Để xác định các dạng dao động riêng, ta đa vào ma trận [Bi] ứng vớidao động riêng ωi Dạng dao động riêng ứng với tần số ωi gọi là dạng dao

−

i i

2 i

Khi đó phơng trình tần số có dạng:

[Bi]{Vi(t)} = 0 (2-10)Muốn xác định dạng dao động riêng, ta không nhất thiết phải tìm trựctiếp các giá trị biên độ của các khối lợng, mà ta chỉ cần tìm tỷ số biên độ củacác khối lợng so với biên độ của một khối lợng nào đó, thờng so với biên độcủa khối lợng thứ nhất Tỷ số đó ta gọi là φ.

i

ni ni

1

=

i i

1

1

1 ) ( 11

ϕ

=ϕ

ni

i 2

*

i

[B11(i)] là ma trận [B(i)] bỏ đi hàng 1, cột 1

{B1(i)} là vectơ thứ nhất của ma trận [B(i)] bỏ đi phần tử thứ nhất

Ma trận biểu thị tất cả các dạng dao động riêng gọi là ma trận các dạngchính, ký hiệu là [ ]φ

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

=ϕϕϕϕ

=φ

nn 2

1

n 22

21

n 12

11 n

3 2 1

Vấn đề xác định các tần số dao động riêng và các dạng dao động riêngcủa bài toán dao động hệ hữu hạn bậc tự do tơng ứng với bài toán xác định các

trị riêng và vectơ riêng của đại số tuyến tính Giá trị bình phơng tần số tơngứng các giá trị riêng, còn các dao động riêng tơng ứng với các vectơ riêng [1].

2.5 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng

Các dạng dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do có tính chất đặc biệt,

đó là tính chất trực giao Tính chất này đóng vai trò rất quan trọng trong việcgiải quyết các bài toán dao động cỡng bức cũng nh dao động riêng của hệ hữuhạn bậc tự do

Biểu thức của tính chất trực giao giữa các dạng dao động tự do đợc tìmtrên cơ sở áp dụng nguyên lý công tơng hỗ Betti đối với các dạng dao độngriêng

Phơng trình vi phân chuyển động đối với các dao động riêng là:

áp dụng định lý Betti cho hai trạng thái biến dạng ứng với hai dạngchính thứ “i” và thứ “j” ta sẽ có:

{vj(t)}T.{Pqi(t)}= {vi(t)}T.{Pqj(t)} (2-15)

Hình 2.3 Dạng dao động riêng và lực quán tính.

Với {v(t) = {A}sin(ωt + γ)

Pq1 (i) P

q2 (i)P

q3 (i)

v1i (t) v

2i (t) v

3i (t)

m1 m

2 m

3

Pq1 (i) P

q2 (i)

v1j (t) v

3j (t)

v2j (t)

Pq3 (j)

Sau khi thay {v(t)} vào {Fq(t)} = -ω2.[M].{v(t)}, đơn giản hàm tuầnhoàn theo thời gian ta đợc:

{ } [ ] { } { } [ ] { }j

T i

2 j i

T j

2

1 A M A =ω A M A

Ta thấy rằng tích các ma trận ở phơng trình (2-16) là đại lợng vô hớng,vì vậy sau khi chuyển trí các ma trận ở một vế rồi thực hiện phép chuyển vế, ta

sẽ đợc: (ω2j −ω12) { }Ai T[ ]M{ }Aj =0 (2-16a)

Vì các tần số dao động riêng có giá trị khác nhau ωi ≠ ωj nên ta có thể

Biểu thức (2-17) biểu thị tính chất trực giao của các dạng chính của hệdao động Biểu thức tính chất trực giao còn có thể viết đợc qua ma trận cứng[K], muốn vậy ta nhân trái hai vế của phơng trình (2-14) với vectơ {Aj(t)}T,sau khi bỏ đi các hàm thời gian ở hai vế ta đợc: {Ai}T[K] {Aj} = 0

Trong trờng hợp tổng quát biểu thức của tính chất trực giao của cácdạng chính dao động đợc viết với các vectơ dạng dao động không thứ nguyên{φi} ; {φj} Muốn vật ta chia biểu thức (2-17) cho các biên độ chuyển vị củamột khối lợng nào đó ứng với dạng “i” và “j” ta đợc:

ở dạng giải tích, biểu thức tính chất trực giao viết theo ma trận khối ợng nh sau:

l-0m

n 1

k k ki kj

=ϕϕ

Còn có thể biểu hiện tính chất trực giao ở dạng tổng quát [1]:

{φi}T[M][[M]−1[K]] b{φi} = 0 (-∞ < b < ∞)

2.6 Chuẩn hoá các dạng dao động riêng

Ta viết phơng trình (2-16a) ở dạng sau:

( 2) { }i T[ ]M{ }j 0

1

2

j −ω ⋅ ϕ ϕ =ω

Nếu ωj = ωi (i = j) thì phơng trình trên chỉ thoả mãn khi {φi}T[M]{φi}≠0

Viết biểu thức (2-24) đối với tất cả các dạng chuẩn:

2 n

2 2

2 1

000

0

00

000

0

0

Điều kiện trực chuẩn có ý nghĩa rất quan trọng trong việc rút gọn quátrình tính toán dao động của hệ

CHƯƠNG 3 PHÂN TíCH DAO ĐộNG THEO PHƯƠNG PHáP RAYLEIGH.

CáC BƯớC HOàN THIệN 3.1 Phân tích dao động theo phơng pháp Rayleigh

Công thức bình phơng tần số của hệ có một bậc tự do đợc xác định nh sau:

ω2 = k/m (3-1)Với k và m là độ cứng và khối lợng của hệ Công thức (3-1) có thể tìm đ-

ợc theo phơng pháp Rayleigh và việc đánh giá tần số dao động đợc đa ra trựctiếp từ biểu thức này

Phơng pháp Rayleigh dựa trên nguyên tắc cơ bản là sự bảo toàn năng ợng đó là năng lợng trong hệ thống dao động tự do cần phải đảm bảo là hằng

l-số nếu nh không có các lực cản tác động để hấp thụ nó

Xem xét mô hình hệ khối lợng đàn hồi không cản đợc thể hiện trên hình(3 -1)

m

vk

π

(b)v

t(c)

0

0

Hình 3.2: Dao động của dầm chịu tải phân bố không đều

Để áp dụng các bớc tính của phơng pháp Rayleigh, cần thiết phải giảthiết hàm dạng mà dầm thực hiện trong các dạng dao động Nh giải thích ởtrên, các giả thiết này đợc thể hiện qua dạng dao động điều hoà với hệ toạ độchung trong dao động tự do

Trong đó (x)ψ là hàm dạng, nó là tỉ lệ của chuyển vị tại một số điểm x

đối với hệ toạ độ tham khảo hoặc hệ toạ độ tổng quát Z(t) Phơng trình(3-5)thể hiện sự giả thiết là dạng của một dầm dao động không thay đổi theo thờigian, chỉ có biên độ của chuyển động thay đổi và sự thay đổi là theo dạng điềuhoà trong điều kiện dao động tự do

Giả thiết về hàm dạng sẽ ảnh hởng tới độ chính xác của bài toán Do tần

số của dao động có thể tìm đợc từ sự cân bằng của thế nâng biến dạng lớn nhất

EJ(x)m(x)

v (x,t)= (x)Z(t)

lx

và động năng lớn nhất Thế năng biến dạng của hệ đàn hồi đợc xác định bởi

2 0

0

.1

Cuối cùng, sau khi cân bằng động năng cực đại và thế năng cực đại của

hệ ta thu đợc bình phơng tần số xác định theo công thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )

L

2 ''

2 0

L

2 0

3.2 Lựa chọn hàm dạng của phơng pháp Rayleigh

Độ chính xác của tần số dao động thu đợc bởi phơng pháp Rayleigh dựahoàn toàn và hàm dạng ban đầu

Về nguyên tắc, một số hàm dạng có thể đợc lựa chọn sao cho thoả mãncác điều kiện hình học của hệ Tuy nhiên, một số dạng giả định sai lệch so vớidạng chính xác sẽ tạo ra thêm các tác động cỡng ép bên ngoài để đảm bảothực hiện cân bằng; điều này dẫn đến hiệu quả tơng tự nh làm tăng độ cứngcủa hệ, bổ sung thêm năng lợng biến dạng của hệ thống do vậy sẽ làm cho tần

số tính toán sẽ lớn hơn tần số thực Chúng ta có thể nhận thấy rằng dạng dao

động chính xác sẽ nhận đợc qua tần số dao động thấp nhất qua phơng phápRayleigh, và trong việc lựa chọn giữa các kết quả xấp xỉ của phơng pháp, thìtần số thấp nhất luôn là kết quả gần đúng tốt nhất.

Ví dụ 3.1:

Để minh chứng cho lập luận trên ta tiến hành ví dụ cho dầm ở hình (3-2)

có khối lợng phân bố đều m và độ cứng kháng uốn EI Với một xấp đầu tiên,

Câu hỏi hiện tại là chọn hàm dạng nh thế nào? để đảm bảo cho kết quảtốt với phơng pháp Rayleigh Cơ sở để lựa chọn hàm dạng đó là kết quảchuyển vị trong các dao động tự do với các tải trọng quán tính vốn luôn có của

hệ kết cấu (đợc tạo ra bởi khối lợng và gia tốc) tơng ứng với sự phân bố khối ợng và biên độ chuyển vị Do vậy dạng dao động chính xác ψc(x)là kết quảtìm đợc từ tải trọng pc(x) phân bố tỉ lệ với m ψc( )x Tất nhiên là khó có thể đ-

l-a rl-a đợc hàm dạng chính xác, nhng dạng chuyển vị thu đợc từ dạng tải trọng

( ) ( ) ( )

định hợp lý của hàm dạng thực) sẽ đa ra kết quả với độ chính xác rất gần vớikết quả chính xác

Hình 3.3: Kết quả dạng chuyển vị dới tác dụng của lực quán tính với hàm

dạng giả thiết

Phơng pháp Rayleigh sẽ cho kết quả có độ chính xác tốt tơng ứng vớimức độ lựa chọn ít nhất có thể Một giả thiết phổ biến đợc sử dụng đó là tảitrọng là lực quán tính của hệ là chỉ trọng lợng của dầm, có nghĩa là

( ) ( )

p x =m x g, với m(x) khối lợng phân bố, g là gia tốc trọng trờng Tần số

đợc đánh giá dựa trên cơ sở kết quả dạng độ võng vd(x) từ tải trọng bản thânnày Năng lợng biến dạng lớn nhất có thể tìm thấy rất đơn giản trong trờnghợp này từ thực tế năng lợng lu giữ cần phải cân bằng với các tác động vào hệthống qua tải trọng tác động:

Độ vừng tớnh toỏn giả thiết tải trọng quỏn tớnh

[với là hàm dạng giả định]

định theo sự bảo toàn năng lợng:

Công thức (3-12) đợc sử dụng phổ biến trong việc phân tích xấp xỉ tần

số Chú ý các biên độ tham khảo Z0 cần phải có mặt trong biểu thức nếu hàm

cần nó nếu nh chuyển vị do tải trọng bản thân đợc sử dụng

Tải trọng p(x) đợc sử dụng để tính toán độ võng của trọng lợng bản thân

vd(x) trong (3-12) chỉ gồm trọng lực chỉ trong trờng hợp dao động xét theo ớng thẳng đứng Trong các trờng hợp khác, ví dụ nh cột công sơn thẳng đứngdao động theo hớng ngang thì tải trọng cần phải tác dụng theo hớng ngang,khi đó ta coi nh tải trọng trọng lực tác dụng theo phơng ngang này

h-Một hàm dạng thích hợp với một khung đối xứng chịu tải đối xứng có thểthu đợc qua việc áp dụng trọng trọng lực thẳng đứng nh hình vẽ 3-4 Tuynhiên dao động cơ bản của dạng kết cấu trên sẽ đợc sinh ra theo hớng ngang;

để thu đợc hàm dạng xấp xỉ theo hớng ngang, thì trọng lực phải đợc tác dụngtheo hớng ngang

Xét tiếp ví dụ một dầm 2 nhịp, chuyển vị của nó có chiều ngợc nhau ởhai nhịp, do vậy để thu đợc hàm dạng chuyển vị trong trờng hợp này, thì trọnglực nên đợc tác dụng theo chiều ngợc nhau ở 2 nhịp, nh hình vẽ

(c)

Hình 3.4: Kết quả hàm dạng giả định từ tải trọng tĩnh bản thânChúng ta thấy rằng, việc mất nhiều thời gian trong việc lựa chọn dạngchuyển vị sẽ cho kết quả tần số dao động có độ chính xác cao

Kết quả cơ bản của phơng pháp RayLeigh là cung cấp một cách đơn giản

và có độ chính xác thích hợp trong việc tìm tần số tự nhiên Các hàm dạng giả

định hợp lý sẽ cho kết quả sát thực

3.3 Hoàn thiện tăng độ chính xác của phơng pháp Rayleigh

ý tởng sử dụng hàm dạng chuyển vị, kết quả từ các lực quán tính của hệ

nh đã nói ở trên của phơng pháp Rayleigh có thể đợc áp dụng một cách hệthống để cải tiến phơng pháp Rayleigh

Các phân tích chuẩn liên quan đến việc lựa chọn tuỳ ý hàm dạng, lànhững hàm thoả mãn điều kiện biên hình học của kết cấu Với mục đích này,việc lựa chọn hàm dạng ban đầu đợc ký hiệu là mũ 0

đó (ở thời điểm chuyển vị lớn nhất) đợc xác định nh sau:

Thế năng biến dạng của kết cấu gây bởi tải trọng này đợc tính

(0) (1) 0 0 4 (0) (1) max

( )

L

2 (0) (0)

(1) L

(0) (1) 0

sẽ có độ chính xác thấp hơn nhiều hàm dạng (x)ψ , và do vậy theo (3-20), sẽkhông có yếu tố lấy đạo hàm, sẽ cho kết quả chính xác hơn

Tuy nhiên, vẫn có thể thu đợc một kết quả xấp xỉ tốt hơn nữa nếu ta bổsung đôi chút việc tính động năng qua hàm dạng v(1) hơn là tính qua hàm dạngban đầu v(0) Nếu nh vậy kết quả động năng lớn nhất sẽ là:

( )

L

(0) (1) (0)

(1) L

2 (1) 0

động chính xác, nếu chúng ta thực hiện đủ số vòng lặp, và do vậy ta sẽ thu đợctần số chính xác

3.4 Ví dụ tính toán phơng pháp RayLeigh với các bớc cải tiến

Ví dụ 3.2: Các quá trình lặp với các bớc cải tiến của phơng pháp

Rayleigh sẽ đợc mô tả qua ví dụ sau và đợc so sánh với lời giải của phơngpháp giải tích qua ví dụ tính tần số của khung 3 tầng Khối lợng của khung coi

nh tập trung lại các mức tầng, khối lợng của các cột coi nh bỏ qua, độ cứngcủa các tầng theo phơng ngang đợc cho trên hình vẽ

v = 1.0

(0) 1

v = 1.0

(Lực cắt 4.5)(Lực cắt 2.5)(Lực cắt 1.0)Lực quán tính =m1v

(c)