LV bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trình PARABOLIC mạnh trong trụ với đáy là miền nhị diện có bờ

Chào các bạn, với mong muốn chia sẻ cho tất cả mọi người những tài liệu mình biên soạn cũng như sưu tầm nay tôi chia sẻ lên đây (có phí và không phí) hi vọng giúp ích được phần nào cho công việc cũng như học tập của tất cả mọi người. Chúc thành công

− − − − − − − − −

ĐỖ VĂN LỢI

BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ NHẤT

ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MẠNH TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN NHỊ DIỆN CÓ BỜ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 62 46 01 01

Người hướng dẫn khoa học: 1 GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

2 PGS TS Đinh Huy Hoàng

NGHỆ AN - 2011

hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn khoa học củaGS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS Đinh Huy Hoàng Cáckết quả trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tácgiả cho phép sử dụng và nội dung của luận án không trùng lặp vàchưa được công bố trong bất cứ công trình nào của ai trước đó.

Tác giả

Đỗ Văn Lợi

hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng và PGS.TS ĐinhHuy Hoàng Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, các Thầy còn

là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê nghiên cứu Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với các Thầy Tác giảcũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô giáo và cácthành viên của seminar phương trình đạo hàm riêng (ĐHSPHN),đặc biệt là TS Phạm Triều Dương Tại đây tác giả đã nhận đượcnhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như môi trường nghiên cứu sôi nổi vàthân thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu,Khoa đào tạo sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán, các Thầy

cô và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán của Trường Đại họcVinh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án này Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm KhoaKhoa học Tự nhiên cùng tất cả các thành viên của seminar toángiải tích của Trường Đại học Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tác giả chuyên tâm học tập, nghiên cứu khoa học để hoànthành luận án này Tác giả gửi lời cám ơn đến TS Vũ Trọng Lưỡng– Trường Đại học Tây bắc, người đồng nghiệp cùng hướng nghiêncứu với mình Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận án,tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của PGS.TS TrầnVăn Ân, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Nguyễn Xuân

xin chân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này.

Tác giả

MỤC LỤC

Trang bìa phụ 1

Lời cam đoan 2

Lời cảm ơn 3

MỤC LỤC 5

Mở đầu 9

Chương 1 TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN 17 1.1 Thiết lập bài toán 17

1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán 21

1.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào các dữ kiện đã cho 32

Chương 2 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM 41 2.1 Bài toán biên elliptic trong miền đa diện 41

2.2 Tính trơn của nghiệm theo biến thời gian 42

2.3 Tính chính qui toàn cục của nghiệm 54

Chương 3 TIỆM CẬN NGHIỆM TRONG LÂN CẬN CỦA BỜ 68 3.1 Bài toán biên elliptic trong miền có bờ 71

3.2 Tính chính qui của nghiệm suy rộng trong miền nhị diện có bờ 72 3.3 Tiệm cận nghiệm suy rộng trong lân cận của bờ 80

KẾT LUẬN CHUNG 88

MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 89

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91

CHỈ MỤC 101

MỘT SỐ KÍ HIỆU TRONG LUẬN ÁN

N - tập các số tự nhiên, R - tập các số thực, C - tập các số phức.Với số phức z ∈ C, kí hiệu Rez, Imz lần lượt là phần thực và phần

ảo của z, z là số phức liên hợp của z, x = (x1, , xn) ∈ Rn và đachỉ số p = (p1, , pn) ∈ Nn,

Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn, với biên ∂Ω, kí hiệu

∂tk , , ∂

kus

∂tk

, (k ∈ N) là đạohàm riêng cấp k của u(x, t) theo biến t, Dpu = (∂xpu1, , ∂xpus)

là đạo hàm (suy rộng) của u(x, t) theo biến x cấp |p|, ∇ =(∂x∂

1, ∂x∂

2, , ∂x∂

n) Trong luận án này chúng tôi dùng chữ cái C để

kí hiệu chung cho các hằng số (và ngay cả khi với các hằng số khácnhau, thay vì phải dùng các kí hiệu C1, C2 ta vẫn kí hiệu là C).Luận án này sử dụng các không gian hàm sau

Ck(Ω): không gian các hàm khả vi liên tục cấp k (k ∈ N) trên Ω.C(Ω) = C0(Ω): không gian các hàm liên tục trên Ω

C∞(Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω

C0∞(Ω): không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong

Ω,(giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm màhàm đó khác không).

Cs∞(QT): không gian các hàm thuộc C∞(QT) và triệt tiêu trongmột lân cận của ST

C0∞(QT): không gian các hàm thuộc C∞(QT) có giá compact trong

QT

L2(Ω): không gian các hàm bình phương khả tích trên Ω

Hm(Ω): không gian Sobolev các hàm véc tơ phức s chiều u(x) cócác đạo hàm suy rộng Dpui, 1 ≤ i ≤ s, |p| ≤ m thuộc L2(Ω) vớichuẩn

kukHm (Ω) =

X

Hm(Ω): bao đóng của C0∞(Ω) với chuẩn của Hm(Ω)

Hm(QT): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên QT

có các đạo hàm suy rộng Dpu, |p| ≤ m thuộc L2(QT) với chuẩn

Hm(QT, γ): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên

QT có các đạo hàm suy rộng Dpu, |p| ≤ m thuộc L2(QT) với chuẩn

trong đó γ là số thực dương cho trước

Hm,k(QT): không gian các hàm véc tơ phức u(x, t) xác định trên

QT có các đạo hàm suy rộng Dpu, utj, |p| ≤ m, 1 ≤ j ≤ k thuộc

Hm,k(QT): bao đóng của tập Cs∞(QT) với chuẩn của Hm,k(QT)

Hm,k(QT, γ): không gian bao gồm tất cả những hàm u(x, t) xácđịnh trên QT, có các đạo hàm riêng suy rộng theo x đến cấp m vàtheo t đến cấp k, sao cho

trong đó γ là số thực dương cho trước

Hm,0(QT): đôi khi được kí hiệu thay cho Hm(QT)

Hm,0(QT, γ) đôi khi được kí hiệu thay cho Hm(QT, γ)

L2(QT, γ): không gian bao gồm các hàm u(x, t) xác định trên QTvới chuẩn

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Các bài toán biên đối với phương trình hay hệ phương trình đạohàm riêng thường có nguồn gốc từ các ngành khoa học kĩ thuật,đặc biệt nó là mô hình giải tích của nhiều hiện tượng vật lí Bởitính thực tiễn đó, khi nghiên cứu các bài toán này người ta quantâm đến tính đặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm

và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu đã cho)

Những năm đầu thế kỉ XX, nghiệm của bài toán phương trìnhđạo hàm riêng được hiểu là nghiệm cổ điển, nghiệm đòi hỏi khả

vi theo nghĩa thông thường đến cấp của phương trình Trên thực

tế, những phương trình đạo hàm riêng có nghiệm cổ điển, đặc biệtnhững nghiệm tồn tại trong toàn miền xác định (nghiệm toàn cục)

là rất ít Nhưng rõ ràng là cần phải tìm "nghiệm" của các phươngtrình không có nghiệm cổ điển để lí giải các hiện tượng thực tế mà

nó mô tả Chính vì vậy, khái niệm nghiệm suy rộng được đưa ra,nghiệm này thường được xây dựng bởi giới hạn của một quá trìnhxấp xỉ Các đánh giá trong quá trình xấp xỉ có thể không đủ mạnh

để đảm bảo rằng giới hạn đó là nghiệm cổ điển, nhưng ở một khíacạnh khác vẫn có thể xảy ra khả năng giới hạn đó có chung một

số tính chất với nghiệm cổ điển, bởi mối liên hệ này xuất phát từviệc nhân phương trình hay hệ phương trình đó với một hàm thử

đủ trơn, sau đó sử dụng tích phân từng phần

Khái niệm nghiệm suy rộng là một bước ngoặt về mặt phươngpháp trong nghiên cứu phương trình, hệ phương trình đạo hàmriêng, nó tách việc nghiên cứu các bài toán biên đối với phươngtrình, hệ phương trình đạo hàm riêng làm ba bước: (i) Tính đặtđúng của bài toán; (ii) Tính chính qui của nghiệm; (iii) Tiệm cậnnghiệm suy rộng.

Các bài toán biên tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêngtrong miền với biên trơn được nghiên cứu khá hoàn thiện vào nửađầu thế kỷ XX Khi đó, người ta nghiên cứu các bài toán biên loạidừng trong các miền biên trơn nhờ phép phân hoạch đơn vị đưa

về bài toán trong toàn không gian hoặc nửa không gian ([7], [12],[15]) Trong trường hợp này, bài toán có duy nhất nghiệm ([12]).Các bài toán biên không dừng trong các hình trụ với đáy là miền

có biên trơn được nghiên cứu nhờ phép biến đổi Laplace hoặc phépbiến đổi Fourier để đưa về bài toán dừng với tham biến trong miềntrơn ([12], [38], [39], [40], [41], [55]) Một trong những kết quả quantrọng là: Nếu hệ số của phương trình hay hệ phương trình, hàm vếphải và biên của miền đủ trơn, thì nghiệm là hàm trơn

Bài toán biên tổng quát đối với phương trình elliptic trong miềnvới biên không trơn đã được nghiên cứu từ giữa thế kỷ XX Trongcông trình nổi tiếng, mang ý nghĩa đặt nền móng của nhà toán họcngười Nga V A Kondratiev, tác giả đã công bố những kết quảquan trọng về tính đặt đúng của bài toán cũng như tính trơn vàtiệm cận của nghiệm trong miền có các điểm nón trên biên ([19],

[20], [56]) Ông đã giải quyết được một số vấn đề mang tính nguyên

lý để khắc phục điểm kì dị "kiểu nón" của bài toán biên tổng quátđối với phương trình elliptic Tổng quan các kết quả về bài toánbiên elliptic đã được V A Kondratiev và O A Oleinic đưa vàotrong công trình [56] Các nhà toán học khác đã dựa trên phươngpháp của V A Kondratiev để nghiên cứu các bài toán biên đốivới các hệ không dừng trong các miền với các điểm kỳ dị trên biên([9], [11], [19], [13], [18], [23], [24], [25], [44], [45], [46], [47], [48], [50],[52], [54]) Một trong những kết quả thu được là: nghiệm của cácbài toán này nói chung không trơn tại các điểm kì dị trên biên, do

đó chúng không thuộc vào các không gian Sobolev thông thường([24]) Bởi vậy, điều quan trọng là mô tả các tính chất của nghiệmnày trong lân cận các điểm kì dị của biên và đưa chúng vào cáckhông gian Sobolev có trọng thích hợp để xét các bài toán đó.Vào những năm chín mươi của thế kỉ XX, các bài toán biêntổng quát đối với các phương trình và hệ phương trình không dừngtrong các miền không trơn được nghiên cứu trong không nhiều côngtrình Nguyên do là nếu sử dụng các phương pháp truyền thống(biến đổi Fourier, biến đổi Laplace), thì chỉ dừng lại ở việc giảiquyết được các bài toán này trong các miền với biên trơn, hơn nữacác hệ số của phương trình và hệ phương trình buộc phải khôngphụ thuộc thời gian Cũng có một số kết quả nghiên cứu về các bàitoán không dừng trong các miền không trơn, song chỉ với phươngtrình cấp hai hoặc phương trình có hệ số không phụ thuộc vào thời

gian ([21], [22], [39], [43], [49], [51], [53], [57], [58]).

Từ năm 1995 các bài toán biên đối với phương trình và hệ phươngtrình không dừng có hệ số phụ thuộc thời gian trong các miền trụvới đáy có biên không trơn đã được nghiên cứu một cách hệ thống.GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng đã sử dụng phương pháp cắt thiếtdiện để đưa bài toán không dừng về xét trên một thiết diện nhưmột bài toán dừng ([26] - [36], [59], [60]) Với phương pháp này GS

và các cộng sự đã xét được các bài toán biên đối với các hệ khôngdừng trong miền trụ với đáy có biên không trơn sau:

apq là các hàm (đối với phương trình) hoặc ma trận hàm cấp s × s(đối với hệ phương trình) xác định trong QT (là bao đóng của QT);

apq = (−1)|p|+|q|aqp, aqp là ma trận chuyển vị liên hợp của aqp vàtoán tử L(x, t, D) là elliptic đều theo t ∈ (0, T ) trong Ω, với hằng

số elliptic γ0 không phụ thuộc vào t, nghĩa là

Vấn đề đặt ra là khi đáy của hình trụ chứa các điểm kì dị khôngphải "kiểu nón" thì các bài toán biên được giải quyết như thế nào?

Đa diện là một loại miền có biên không trơn, miền này có hailoại điểm kì dị là điểm cạnh và điểm đỉnh Khi nghiên cứu bài toántrên miền đa diện, chúng ta gặp rất nhiều khó khăn do tính kì

dị của điểm cạnh, điểm đỉnh cao hơn điểm nón Cho đến nay cómột số công trình về bài toán elliptic trên miền đa diện của V A.Kondratiev ([19], [20]), của B Ammann, A Ionescu và V Nistor([5]) năm 2006 hay của C Bacuta, V Nistor và L Zikatanov ([6])

năm 2005 P.T.Dương và Đ.V.Lợi có nghiên cứu về hệ phương trìnhparabolic trong miền nhị diện và thu được kết quả về sự tồn tạiduy nhất nghiệm ([10]) Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệphương trình parabolic mạnh trong trụ vô hạn với đáy là miền nhịdiện chưa được nghiên cứu một cách có hệ thống.

Với những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu choluận án của mình là: "Bài toán biên ban đầu thứ nhất đốivới hệ phương trình parabolic mạnh trong trụ với đáy

là miền nhị diện có bờ."

2 Đối tượng nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau:

4 Phạm vi nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu bài toán trên trong trụ với đáy là miềnnhị diện có bờ

5 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết bài toán chúng tôi sử dụng phương pháp xấp

xỉ Galerkin, phương pháp cắt thiết diện, các bất đẳng thức tiênnghiệm và các kết quả của các bài toán elliptic trên miền đa diện

6 Ý nghĩa của luận án

Các kết quả của luận án góp phần hoàn thiện lí thuyết địnhtính các bài toán biên ban đầu đối với hệ phương trình khôngdừng trong miền có biên không trơn

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình liên quanđến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm 3 chương:Chương 1: Tính đặt đúng của bài toán: Thiết lập bài toán;Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng; Chứng minhnghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho

Chương 2: Tính chính qui của nghiệm: Nêu lại kết quả củabài toán biên elliptic trong miền đa diện; Chứng minh tính trơn

của nghiệm theo biến thời gian; Chứng minh tính chính qui toàncục của nghiệm.

Chương 3: Tiệm cận nghiệm trong lân cận của bờ: Trìnhbày một số kết quả của bài toán biên elliptic trong miền có bờ;Chứng minh tính chính qui của nghiệm trong miền nhị diện; Tiệmcận của nghiệm trong lân cận có bờ

Các kết quả này đã được chúng tôi trình bày tại: seminar phươngtrình vi phân và tích phân, Khoa Toán-Tin, ĐHSPHN; seminartoán giải tích, Trường ĐHHĐ; hội thảo NCS Trường Đại học Vinhnăm 2010; hội thảo liên trường: Viện toán học VN - Trường ĐHSPHN

- Trường ĐHHĐ tháng 5 năm 2011; seminar khoa học của KhoaToán, ĐH Vinh;

Các kết quả chính được công bố và nhận công bố trong 04 côngtrình khoa học: 03 công trình đã công bố, 01 công trình nhận công

bố trên các tạp chí chuyên ngành có uy tín trong và ngoài nước(được liệt kê ở danh mục công trình liên quan đến Luận án)

Chương 1 TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN

Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng; Sựphụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vào các dữ liệu đã cho (đâychính là tính đặt đúng của bài toán), trong cả trụ hữu hạn và trụ

vô hạn của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với hệ phương trìnhparabolic mạnh trong trụ với đáy là miền có biên không trơn

apq, ∂a∂tpq là ma trận của các hàm nhận giá trị phức bị chặn đều trên

QT Chúng ta giả sử apq = (−1)|p|+|q|aqp với aqp là ma trận chuyển

vị liên hợp phức của aqp

Ta cũng luôn giả thiết rằng toán tử L là elliptic mạnh đều theo

t ∈ (0, T ), nghĩa là tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi véc

tơ ξ ∈ Rn và mọi véc tơ η ∈ Cs ta có

X

|p|,|q|=m

apqξpξqηη ≥ C|ξ|2m|η|2 ∀(x, t) ∈ QT (1.1)

Hm(Ω), Hm,k(QT) là các không gian Sobolev thông thường đã đượcđịnh nghĩa trong phần ký hiệu, trong đó m, k là ký hiệu cấp củacác đạo hàm tương ứng theo biến x và biến thời gian t Thêmvào đó ˚Hm,k(QT) là bao đóng trong Hm,k(QT) của tập các hàmthuộc C∞(QT) và triệt tiêu trong một lân cận của mặt xung quanh

ST = ∂Ω × (0, T )

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán biên ban đầuthứ nhất đối với hệ phương trình parbolic mạnh trong trụ QT sau(và từ đây được gọi là bài toán (1.2)-(1.4))

P u ≡ ut + (−1)mL(x, t; D)u = f trong QT, (1.2)

∂ju

trong đó, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài của mặt xung quanh

ST, f và ϕ là các hàm cho trước, lần lượt xác định trên QT và Ω

(L(x, t; D)u, v)L2(Ω) = B(u, v; t),với mọi u, v ∈ C0∞(Ω) và với hầu khắp t ∈ [0, T )

Định nghĩa 1.1.1 Hàm u ∈ ˚Hm,1(QT, γ) được gọi là nghiệmsuy rộng của bài toán (1.2)-(1.4) nếu u(x, 0) = ϕ(x) và thỏa mãnđồng nhất thức

(ut, v)L2(Ω) + (−1)mB(u, v; t) = (f, v)L2(Ω)với hầu khắp t ∈ (0, T ) và với mọi hàm v ∈ ˚Hm(Ω) (1.5)

Điều kiện biên (1.3) được suy ra từ u(., t) ∈ ˚Hm(Ω) với hầu khắp

t ∈ [0, T ) Tính cưỡng (tính bị chặn dưới) của −L = (−1)mL liênkết với (−1)mB(., ; t) nhận được từ bất đẳng thức G˚arding

Bổ đề 1.1.2 ([2]) (Bất đẳng thức G˚arding) Giả sử các hệ sốcủa toán tử L thỏa mãn điều kiện (1.1) trong QT, và các hàm

apq là liên tục theo biến x đều theo t ∈ [0, T ) Khi đó, tồn tạicác hằng số µ0 > 0, λ ≥ 0 sao cho với mọi u(x, t) ∈ ˚Hm,1(QT),

ta có

(−Lu, u) = (−1)mB(u, u; t) ≥ µ0kuk2Hm (Ω) − λkuk2L

2 (Ω) Nhận xét 1.1.3 Hệ số λ trong Bổ đề 1.1.2 có thể chọn là 0.Thật vậy, giả sử λ 6= 0 (λ là số trong Bổ đề 1.1.2 ) Ta đặt

v = e−λtu khi đó, u = veλt Từ đó ta có

ut = vteλt + λveλt = vt + λv
eλt.Thay vào (1.2) ta được

vt + λv
eλt + (−1)mL(x, t; D)veλt = f (x, t)

trong đó ˜L = λ + (−1)mL(x, t; D), ˜f = f (x, t)e−λt.

Do đó ˜L liên kết với dạng song tuyến tính ˜B = λ + B thỏa mãnbất đẳng thức

˜B(u, u; t) ≥ µ0kuk2Hm (Ω) (1.6)

Từ đó suy ra hằng số λ trong Bổ đề 1.1.2 có thể chọn bằng 0

Bổ đề 1.1.4 ([2]).(Bất đẳng thức Gronwall - Bellman) Giả sửu(t) là một hàm liên tục tuyệt đối, không âm trên [0, T ] và thỏamãn hầu khắp t bất đẳng thức vi phân

1.2 Tính giải được duy nhất của bài toán

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu bài toán (1.2)-(1.4) trêntrụ không trơn QT Tuy nhiên, các kết quả vẫn còn đúng trên trụvới đáy là miền bất kỳ

Ở đây, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệmsuy rộng, cũng như sự phụ thuộc liên tục của nghiệm suy rộng vàohàm ở vế phải của (1.2), trong cả trụ hữu hạn và trụ vô hạn

B(u, v; t) = Bt0(u, v; t)

Do Hm,1(QT) ⊂ Hm,1(QT, γ), ∀γ > 0 nên từ Bổ đề 1.1.2 và Nhậnxét 1.1.3 ta có

µ = const, f ∈ L2(QT, γ0) và ϕ(.) ∈ ˚Hm(Ω) Khi đó với mọi

γ > γ0 bài toán (1.2)-(1.4) có duy nhất nghiệm suy rộng u(x, t) ∈

˚

Hm,1(QT, γ) Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn đánh giá

kuk2Hm,1 (QT,γ) 6 C kf k2L2(QT,γ0) + kϕk2Hm (Ω)
,trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f

Chứng minh i) Trước tiên ta chứng minh sự tồn tại nghiệm củabài toán (1.2)-(1.4) bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin

Bằng phương pháp trực giao hóa Gramm-Schmith, giả sử {ωk(x)}∞k=1

là một cơ sở của ˚Hm(Ω), trực chuẩn trong L2(Ω) Ta tìm dãynghiệm xấp xỉ {uN(x, t)} dưới dạng

Từ đó ta có kuN(x, 0)k2L2(Ω) 6 kϕk2L2(Ω) (1.11)Bài toán (1.9)-(1.10) còn được viết dưới dạng chính tắc sau

Đây là hệ N phương trình vi phân tuyến tính đối với các hàm ẩn

CkN(t) Từ giả thiết và kết quả đã biết về phương trình vi phân, bàitoán (1.9)-(1.10) có duy nhất nghiệm CkN(t), k = 1, , N Nhânhai vế của (1.9) với CkN(t) sau đó lấy tổng theo k từ 1 đến N tađược, với hầu khắp t ∈ [0, T ) đẳng thức

Sử dụng bất đẳng thức G˚arding và Nhận xét 1.1.3 ta có

(−1)mB(uN, uN; t) > µ0kuNk2Hm (Ω) (1.15)Mặt khác từ bất đẳng thức Cauchy, với ε > 0 ta có đánh giá

2 (Ω) (1.16)

Ta đặt η(t) := kuNk2L

2 (Ω),ξ(t) := kf k2L

Nhân hai vế (1.16) với e−γt, sau đó lấy tích phân theo t từ 0 đến

Thay đẳng thức trên vào (1.20) với chú ý rằng

Cố định v ∈ ˚Hm(Ω), kvk2Hm (Ω) 6 1 và viết v = v1 + v2 trong đó

v1 ∈ span{ωk}N

k=1 và (v2, ωk) = 0, k = 1, , N (nghĩa là v2 ∈span{ωk}N

k=1

⊥

) Khi đó, ta có

kv1kHm (Ω) ≤ kvkHm (Ω) 6 1

và kv1kHm (Ω) 6 1 ta được

|(uNt , v)| 6 |(f, v1)| + |B(uN, v1; t)|

6 kf kL2(Ω)kv1kL2(Ω) +

Z

kuNt k2L

2 (Ω) 6 C(kf k2L2(Ω) + kuNk2Hm (Ω)) (1.23)Nhân hai vế của (1.23) với e−γt sau đó lấy tích phân theo t từ 0đến T và chú ý rằng γ > γ0 và sử dụng (1.22) ta có

kuNk2Hm,1 (QT,γ) 6 C kϕk2Hm(Ω) + kf k2L

2 (QT,γ0)
, (1.25)với C là hằng số không phụ thuộc N Từ (1.25) ta thấy dãy hàm{uN} là bị chặn đều trong ˚Hm,1(QT, γ) Do đó, tồn tại một dãycon không mất tính tổng quát ta vẫn kí hiệu là {uN}, hội tụ yếuđến phần tử u trong ˚Hm,1(QT, γ) Hơn nữa, ta có đánh giá

Ta còn phải chứng minh u(x, t) thỏa mãn điều kiện ban đầuu(x, 0) = ϕ(x) Lấy v(t) =

(ut, v) + (−1)mB(u, v; t) = (f, v), với hầu khắp t ∈ [0, T )

Tích phân đẳng thức này theo t từ 0 đến τ, (0 6 τ < T ) ta được

Cho N → +∞, (lưu ý rằng uN(0) hội tụ yếu về ϕ(x)) ta có

Vì v là hàm bất kì thuộc ˚Hm(Ω) và (1.27), (1.28) đúng với mọi

τ ∈ [0, T ) nên ta được u(0) = ϕ(x) Vậy sự tồn tại nghiệm suyrộng của bài toán được chứng minh

ii) Chứng minh tính duy nhất nghiệm :

Giả sử bài toán (1.2)-(1.4) có hai nghiệm suy rộng là u1, u2 Khi đó

u = u1 − u2 là nghiệm suy rộng của bài toán (thuần nhất) tươngứng có vế phải f (x, t) = 0 và điều kiện ban đầu ϕ(x) = 0 Bởivậy từ (1.5) ta có đẳng thức (ut, v) + (−1)mB(u, v; t) = 0 với hầukhắp t ∈ [0, T ), với mọi v ∈ ˚Hm(Ω) Do u ∈ ˚Hm,1(QT, γ) nên vớimỗi t ∈ [0, T ) ta có u ∈ ˚Hm(Ω) Vì thế ta có thể chọn v = u(., t)

để thay vào đẳng thức ở trên, rồi cộng đẳng thức thu được với liênhợp phức của nó ta được

Như vậy chúng ta đã chứng minh xong sự tồn tại và duy nhấtnghiệm suy rộng của bài toán, cũng như sự phụ thuộc liên tục củanghiệm suy rộng vào hàm đã cho ở vế phải của bài toán (1.2) -(1.4) thông qua đánh giá

kuk2Hm,1 (QT,γ) 6 C kf k2L2(QT,γ0) + kϕk2Hm (Ω)
,trong đó C là hằng số không phụ thuộc vào u và f

iii) Lớp các hàm f (x, t) ở vế phải bài toán (1.2) - (1.4) của chúngtôi, thực sự rộng hơn lớp các hàm f (x, t) ở vế phải bài toán (1.2)

- (1.4) đã có trước đây Thật vậy, với mọi f (., ) ∈ L2(QT), γ > 0

Vậy L2(QT) là tập con thực sự của L2(QT, γ)

các dữ kiện đã cho

Định lí 1.2.1 thiết lập tính giải được duy nhất của bài toán (1.2)

- (1.4) Ngoài ra, nó còn cho thấy nghiệm suy rộng phụ thuộc liêntục vào hàm f ở vế phải của (1.2) Mục này ta chứng minh nghiệmsuy rộng phụ thuộc liên tục vào các hệ số của toán tử L

qp là ma trận chuyển vị liên hợp phức của aδqp, hơn nữa aδqpthỏa mãn (1.1).

L bởi Lδ Khi đó ta có định lí sau

Định lí 1.3.1 Giả sử u ∈ ˚Hm,1(QT, γ) là nghiệm suy rộng củabài toán (1.2) - (1.4) và

sup{|apq(x, t) − aδpq(x, t)| : 0 ≤ |p|, |q| ≤ m, (x, t) ∈ QT} ≤ µ(δ).Khi đó, nếu µ(δ) → 0 khi δ → 0 thì với mọi γ > γ0, hàm uδhội tụ tới hàm u trong không gian Hm,1(QT, γ)
nếu δ → 0,trong đó γ0 là số thực dương nói trong Định lí 1.2.1

như trong Định lí 1.2.1, ở đây {Ckδ,N}N

k=1 là nghiệm của hệ phươngtrình vi phân thường sau

với điều kiện ban đầu Ckδ,N(0) = 0; k = 1, , N (1.32)Nhân (1.31) với Ckδ,N(t), rồi lấy tổng theo k từ 1 đến N, ta được

số khác nhau ta được

d

dt kUδ,Nk2L

2 (Ω)
+ kUδ,Nk2Hm (Ω) ≤ Cµ(δ)kuk2Hm (Ω) (1.36)Nhân hai vế (1.36) với e−γt, sau đó lấy tích phân theo t từ 0 tới τ,

Do vế phải biểu thức trên không phụ thuộc vào τ ∈ [0, T ) nên

Cố định v ∈ ˚Hm(Ω), kvk2Hm (Ω) 6 1 và viết v = v1 + v2,

với v1 ∈ span{ωk}N

k=1 và (v2, ωk) = 0, k = 1, , N (nghĩa là v2 ∈span{ωk}Nk=1⊥) Khi đó,

 (1.41)Kết hợp với (1.39) ta được

kUtδ,Nk2L

2 (QT,γ) 6 Cµ(δ)

γ kuk2Hm,0(Q

T ,γ) + Cµ(δ)kuk2Hm,0 (QT,γ),

hay kUtδ,Nk2L

2 (QT,γ) 6 Cµ(δ)kuk2Hm,0 (QT,γ) (1.42)

Từ (1.39) và (1.42) ta được

kUδ,Nk2Hm,1 (QT,γ) 6 Cµ(δ)kuk2Hm,0 (QT,γ), (1.43)trong đó, C là hằng số không phụ thuộc N Từ (1.43) ta thấy dãyhàm {Uδ,N} là bị chặn đều trong ˚Hm,1(QT, γ) Do đó tồn tại mộtdãy con, vẫn kí hiệu là {Uδ,N}, hội tụ yếu đến phần tử Uδ trong

˚

Hm,1(QT, γ) Hơn nữa, ta có đánh giá

kUδk2Hm,1 (QT,γ) 6 Cµ(δ)kuk2Hm,0 (QT,γ).Điều này có nghĩa là kUδk2

Hm,1(QT,γ) → 0 khi δ → 0 Định lí đượcchứng minh

Kết luận của Chương 1Trong chương này chúng tôi đã chứng minh được:

• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng trong không gian

˚

Hm,1(QT, γ) của hệ phương trình parabolic mạnh trong trụvới đáy là miền có biên không trơn bất kì Chứng minh nàyđúng cho cả trụ hữu hạn và trụ vô hạn

• Nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào các hệ số của toán tử

vi phân đã cho ở vế trái và hàm f đã cho ở vế phải của hệphương trình

Các kết quả này thực sự tổng quát hơn các kết quả đã có trướcđây và đã được công bố, nhận công bố trong hai công trình (2; 3 -Danh mục công trình liên quan đến luận án)

• Sự tồn nghiệm suy rộng không gian

˚

Hm,1(QT, γ) hệ phương trình parabolic mạnh tr? ?với đáy miền có biên. .. nàyđúng cho trụ hữu hạn trụ vô hạn

• Nghiệm suy rộng phụ thuộc liên tục vào hệ số toán tử

vi phân cho vế trái hàm f cho vế phải h? ?phương trình

Các kết thực tổng quát kết có trướcđây... {Ckδ,N}N

k=1 nghiệm hệ phươngtrình vi phân thường sau

với điều kiện ban đầu Ckδ,N(0)