về tính catenary của vành noether địa phương và môđun artin tựa không trộn lẫn

Năm 2007, trong [CDN], Nguyễn Tự Cường, Lê ThanhNhàn, Nguyễn Thị Dung đã xét tính chất * của môđun đối đồng điều Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An [NA1] đã nghiên cứu tính chất *cho các mô

2.1 Tập iđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin 172.2 Chiều Noether của môđun Artin 192.3 Một tính chất linh hoá tử cho môđun Artin 22

3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn 283.2 Tính catenary và môđun Artin tựa không trộn lẫn 323.3 Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn 36Tài liệu tham khảo 40

Lời nói đầu

Trong toàn bộ luận văn này ta luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoánNoether, địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh, A là R-môđun Artin

Vì thế hoàn toàn tự nhiên, Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [CN] đãxét tính chất đối ngẫu với tính chất trên cho các môđun Artin như sau:

Khi vành R là đầy đủ theo tôpô m-adic, tính chất (*) luôn đúng cho môđunArtin A vì môđun đối ngẫu Matlis D(A) của A là hữu hạn sinh Một cáchtổng quát, nếu R là đầy đủ thì bằng việc dùng Đối ngẫu Matlis, việc nghiêncứu mối quan hệ giữa phạm trù các R-môđun Artin và phạm trù các R-môđun Noether là rất thuận lợi Tuy nhiên, khi R không đầy đủ, người taquan tâm xét tính chất (*) vì nó cho nhiều thông tin về vành cơ sở R và cácmôđun Artin và môđun hữu hạn sinh trên R Cụ thể, năm 2002, Nguyễn

Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [CN] đã giới thiệu tính chất (*) nhằm trả

là bằng nhau Năm 2007, trong [CDN], Nguyễn Tự Cường, Lê ThanhNhàn, Nguyễn Thị Dung đã xét tính chất (*) của môđun đối đồng điều

Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An [NA1] đã nghiên cứu tính chất (*)cho các môđun đối đồng điều địa phương bậc thấp hơn, họ chứng tỏ rằngnếu R là catenary phổ dụng và tất cả các thớ hình thức của nó là Cohen-

R/ AnnRM là catenary phổ dụng và vành R/p là không trộn lẫn với mọi

p ∈ Ass M, tức là dimR/b bp = dim(R/p) với mọibp ∈ Ass( bR/p bR)

Đặc biệt, năm 2010, Lê Thanh Nhàn và Trần Nguyên An [NA2] đãgiới thiệu khái niệm môđun Artin tựa không trộn lẫn: Môđun Artin A

b

RA) với

b

trong mối quan hệ với tính catenary của vành cơ sở và chiều của môđun.Kết quả chính thứ nhất trong bài báo này là định lí sau

Định lí Giả sử A là tựa không trộn lẫn Nếu A thoả mãn tính chất (*) thì

b

RA).Rất tự nhiên, người ta hỏi rằng liệu chiều ngược lại của định lí trên là

đúng Định lí tiếp theo là kết quả chính thứ hai của bài báo này, cho ta

Luận văn gồm 3 chương Chương I là kiến thức cơ sở phục vụ cho cácchương sau Chương II trình bày kiến thức về chiều và tính chất (*) củamôđun Artin Chương III là nội dung chính, chứng minh các kết quả vềtính chất (*) của môđun Artin tựa không trộn lẫn trong mối quan hệ vớitính catenary của vành cơ sở và đẳng thức về chiều của môđun

Lời cảm ơn

Luận văn được hình thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắccủa PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới Cô và gia đình

Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô ở Viện Toán học

Hà Nội, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đạihọc Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này luôn giả thiết R là một vành giao hoán Noether và

Mục đích của Chương I là nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ chocác chương sau Tiết 1.1 trình bày lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđunArtin giới thiệu bởi I G Macdonald 1973 [Mac] Tiết 1.2 nhắc lại một sốkhái niệm và tính chất cơ sở của vành catenary [Mat] Tiết cuối 1.3 nhắclại một số khái niệm và tính chất cần thiết về môđun đối đồng điều địaphương [BS]

1.1 Biểu diễn thứ cấp

Kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I G.Macdonald

1.1.1 Định nghĩa Cho L là một R-môđun

nhân bởi x trên L là luỹ linh Nếu xL = L thì ta nói phép nhân bởi x trên

ii) Ta nói L là môđun thứ cấp nếu phép nhân bởi x trên L là toàn cấuhoặc lũy linh với mọi x ∈ R Trong trường hợp này, tập hợp các phần tử

x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là lũy linh làm thành một iđeannguyên tố p và ta gọi L là p-thứ cấp.

iii) Một biểu diễn L = L1 + + Ln, trong đó mỗi Li là pi-thứ cấp,

được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L Biểu diễn thứ cấp này được gọi

là L 6= L1 + + Li−1 + Li+1+ + Ln với mọi i)

iv) Nếu L có biểu diễn thứ cấp tối thiểu thì ta nói L là biểu diễn được.Phần tiếp theo của tiết này chỉ ra rằng mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thểquy về tối thiểu Trước hết ta cần bổ đề sau

1.1.2 Bổ đề Cho L là R-môđun

i) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp

ii) Môđun thương khác 0 của một môđun p- thứ cấp là p-thứ cấp.iii) Nếu L1, , Lr là môđun con p-thứ cấp của L thì L1 + + Lr làmôđun con p-thứ cấp của L

cho xtLi = 0 với mọi i Vì thế xt(⊕ni=1Li) = 0, tức phép nhân bởi xtrên ⊕n

x(⊕ni=1Li) = ⊕ni=1Li, tức phép nhân bởi x trên ⊕n

i=1Li là toàn cấu Vậy

i=1Li là p-thứ cấp

(ii) Cho L là p-thứ cấp và B là môđun con của L sao cho L/B 6= 0

Ta cần chứng minh L/B là p-thứ cấp Cho x ∈ p Khi đó tồn tại t ∈ N

nhân bởi x trên L/B là lũy linh Cho x /∈ p Khi đó xL = L Suy ra

trên L/B là toàn cấu

(iii) Đặt B = L1 + + Lr Hiển nhiên B 6= 0 Xét ánh xạ ϕ :

⊕r i=1Li −→ B cho bởi ϕ(x1, , xr) −→ x1+ + xr Dễ thấy ϕ là toàn

i=1Li Theo (i) và theo giả thiết,

i=1Li là p-thứ cấp Theo (ii) ta suy ra B là p-thứ cấp

1.1.3 Mệnh đề Mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể quy về tối thiểu

Bổ đề 1.1.2, Li+ Lj cũng là p-thứ cấp Vì thế, bằng cách loại đi các thànhphần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng mộtiđêan nguyên tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành một biểudiễn thứ cấp tối thiểu

Phần tiếp theo trình bày 02 định lí duy nhất về biểu diễn thứ cấp, từ đódẫn đến khái niệm tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun biểu diễn được

đó các phát biểu sau là tương đương:

i) p ∈ {p1, , pn}

ii) L có môđun thương là p-thứ cấp

Chứng minh (i⇒ii) Giả sử p = pi Đặt Pi = Pj6=iLj Vì Li không thừa

L/Pi = (Li + Pi)/Pi ∼= L

i/(Li ∩ Pi)

Vì thế L/Pi là môđun thương khác 0 của Li Vì Li là pi-thứ cấp nên theo

(ii⇒iii) Giả sử P là môđun thương p-thứ cấp của L Vì R là vành Noethernên p là hữu hạn sinh Giả sử p = (a1, , at) Vì P là p-thứ cấp nên vớimỗi i = 1, , t, tồn tại nisao cho an iP = 0 Chọn n = max{n1, , nt}.

định P 6= pP Thật vậy, nếu P = pP thì với k ≥ nt ta có

0 = pkP = pk−1(pP ) = pk−1P = = pP = P,

điều này là mâu thuẫn Vì thế Q = P/pP là môđun thương khác 0 của

i=1(Li+ B)/B ta được một biểu diễn tối thiểucủa Q Do đó bằng việc đánh lại thứ tự các chỉ số ta có thể giả thiết Q có

i=1Qi, trong đó Qi là pi-thứ cấp với

i = 1, , m với một số tự nhiên m 6 n nào đó Do Qi là pi-thứ cấp vớimọi i = 1, , m nên dễ kiểm tra được√AnnRQ = p1∩ ∩ pm.Vì thế,theo giả thiết (iii) ta có p = p1 ∩ ∩ pm Do đó tồn tại i ∈ {1, , m}sao cho p = pi

Định lí sau đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1.4

1+ + L0m là hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của R-môđun L,trong đó Li là pi-thứ cấp và L0

i là qi-thứ cấp Khi đó m = n và{p1, , pn} = {q1, , qn}

1.1.6 Định nghĩa Giả sử L là R-môđun biểu diễn được Theo Định lý

thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L Ta gọi nó là tập các iđêan

cô lập của L

Chú ý rằng tồn tại hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L mà các thànhphần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố gắn kết là khác nhau Tuy

thành phần thứ cấp tương ứng là xác định duy nhất Đó là nội dung của

định lí sau đây

1.1.7 Định lý (Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử L là R-môđun biểu

không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L

1 + + L0n là hai

j là pj-thứ cấp Vì

a ∈ (∩j6=ipj) \ pi Với j 6= i, do a ∈ pj nên anLj = 0 = anL0j với n đủlớn Do a /∈ pi nên anLi = Li và anL0i = L0i với mọi n Vì thế với n đủlớn ta có anL = Li = L0i

Phần cuối trình bày tính biểu diễn được của môđun Artin Trước hết tacần bổ đề sau

1.1.8 Bổ đề Giả sử A 6= 0 là R-môđun Artin và A không là tổng của haimôđun con thực sự của A Khi đó A là thứ cấp

Chứng minh Giả sử A không thứ cấp Khi đó tồn tại x ∈ R sao chophép nhân bởi x trên A không toàn cấu và cũng không là luỹ linh Vì thế

A 6= xA và xnA 6= 0 với mọi n > 0 Do A là Artin nên dãy môđun con

với v ∈ A, suy ra xk(u−xkv) = 0.Do đó u−xkv ∈ A1.Suy ra u ∈ z+xkvvới z ∈ A1 Vì thế u ∈ A1 + A2 Suy ra A = A1 + A2, mâu thuẫn

1.1.9 Định lý Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Chứng minh Cho A là R-môđun Artin Giả sử A không biểu diễn được.Gọi Γ là tập các môđun con không biểu diễn được của A Vì A ∈ Γ nên

tức là B1, B2 là biểu diễn được Vì thế B = B1+ B2 cũng biểu diễn được,vô lý

1.2 Một số tính chất cơ sở về tính catenary

Luôn giả thiết R là một vành giao hoán, Noether Trong tiết này chúng tanhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ sở về tính cartenary của vành.Các thuật ngữ và kết quả ở tiết này được tham khảo trong cuốn sách của H.Matsumura [Mat] Tính catenary cho các vành đã được quan tâm nghiêncứu đầu tiên bởi W Krull từ năm 1937 Sau đó rất nhiều kết quả về tínhcatenary của vành được cho bởi W Krull, M Nagata, I S Cohen, D.Ferand và M Raynaud, L J Ratliff, R Heitmann, M Brodmann , cáckết quả này đã làm làm cho tính catenary của vành trở thành một lí thuyết

quan trọng trong Đại số Giao hoán, nó liên quan với nhiều lĩnh vực kháccủa Đại số Giao hoán như vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối

đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết Lớp vành catenary đầu tiên đượcchỉ ra bởi W Krull trong một bài báo của ông năm 1937, ở đó ông chỉ

ra rằng nếu k là một trường thì mọi k-đại số hữu hạn sinh đều là vànhcatenary Tính catenary của lớp vành đầy đủ theo tôpô m-adic được chứngminh bởi Cohen trong một bài báo năm 1946, ở đó ông đã chứng minhtính catenary cho vành các chuỗi luỹ thừa hình thức trên một trường và sau

đó chỉ ra rằng mỗi vành địa phương đầy đủ là thương của một vành cácchuỗi luỹ thừa hình thức Hầu hết các vành được biết đến đều là catenary.Cho đến tận năm 1956, M Nagata mới chỉ ra được một lớp những miềnnguyên không catenary

1.2.1 Định nghĩa R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêannguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hoà giữa q và

Nhắc lại rằng chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dim R, là cận trêncủa các số n sao cho có một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R có độ

Với I là iđêan của R, độ cao của I, kí hiệu là ht(I), là số bé nhất trongcác số ht p với p là iđêan nguyên tố chứa I Cho M là một R-môđunhữu hạn sinh Chiều (Krull) của M, kí hiệu là dim M, là cận trên của các

p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn.1.2.2 Một số tính chất

i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary

ii) Nếu dim R 6 2 thì R là catenary.

iii) Giả sử (R, m) là vành Noether địa phương Khi đó R là vành nary nếu và chỉ nếu mọi dãy bão hoà giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p đều

cate-có cùng độ dài

Chứng minh (i) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R Khi đómỗi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p của R/Itương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa hai iđêan nguyên tố

(ii) Giả sử dim R 6 2 Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R.Khi đó chỉ có một trong 2 khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm 1 iđêannguyên tố giữa p và q để được dãy bão hoà, hoặc p ⊂ q đã là bão hoà Vìthế R là catenary

(iii) Vì R là vành Noether địa phương nên dim R < ∞ Vì thế luôntồn tại một dãy nguyên tố bão hoà giữa q và p với mọi cặp iđêan nguyên

tố q ⊂ p của R Do đó R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy bãohoà giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p đều có cùng độ dài

1.2.3 Định nghĩa Giả sử (R, m) là vành Noether địa phương và M là

của M Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M với mọi

là dim(R/b bp) = dim cM với mọibp ∈ min Ass

b

RM c1.2.4 Mệnh đề (xem [Na], 1956) Nếu (R, m) là miền nguyên địa phươngNoether tựa không trộn lẫn thì R là catenary

Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy rằng nếu R là miền nguyên địa

phương catenary thì nó thoả mãn công thức chiều

ht p + dim R/p = dim Rvới mọi iđêan nguyên tố p của R Vì thế I S Cohen 1954 đã hỏi rằngliệu một miền nguyên địa phương R thoả mãn công thức chiều ht p +

Câu trả lời khẳng định được R J Ratliff đưa ra vào năm 1972

1.2.5 Mệnh đề Một miền nguyên Noether địa phương R là catenary nếu

và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

ht p + dim R/p = dim R

Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều, tức là dim R/q =

nếu R là catenary thì ht p + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố pcủa R McAdam và R J Ratliff năm 1974 đã chứng minh chiều ngược lại,kết quả này mở rộng mệnh đề trên cho tất cả các vành địa phương đẳngchiều

1.2.6 Mệnh đề Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều Khi đó

ht p + dim R/p = dim R

1.3 Một số chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phươngTrong tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán, Noether, I là iđêancủa R và L là một R-môđun Mục đích của tiết này là trình bày các tínhchất cơ sở cần thiết về môđun đối đồng điều địa phương phục vụ cho cácchương sau Các kiến thức và thuật ngữ ở đây được tham khảo từ cuốnsách của M Brodmann và R Y Sharp [BS] về đối đồng điều địa phương

1.3.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R-môđun L ta định

n≥0

thì ta có đồng cấu f∗ : ΓI(L) −→ ΓI(L0) cho bởi f∗(x) = f (x) Khi đó

Một giải nội xạ của L là một dãy khớp

được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có giải nội xạ

1.3.2 Định nghĩa Cho L là R-môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn

∗ 1

I(L) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức trên, môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L.Cho I là iđêan của R Nhắc lại rằng R-môđun L được gọi là I-xoắn

(iii) Nếu L là I-xoắn thì Hi

thì tồn tại với mỗi số tự nhiên n một đồng cấu δn : HIn(L00) −→ HIn+1(L0)sao cho ta có dãy khớp dài

0 −→ ΓI(L0) −→ ΓI(L) −→ ΓI(L00) −→ Hδ0 I1(L0)

−→ HI1(L) −→ HI1(L00) −→ Hδ1 I2(L0) −→ Sau đây là một số tính chất triệt tiêu của một số môđun đối đồng điều

địa phương

Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Một phần tử 0 6= a ∈ R được gọi

là phần tử M-chính quy nếu am = 0 kéo theo m = 0 với mọi m ∈ M.Một dãy các phần tử a1, , an của R được gọi là M-dãy chính quy nghèonếu ai là phần tử chính quy của M/(a1, , ai−1)M với mọi i = 1, , n

a1, , an là một M-dãy chính quy nghèo và M/(a1, , an)M 6= 0 Cho

rộng thành một dãy chính quy tối đại, và các dãy chính quy tối đại của

trong I và được kí hiệu là depth(I, M)

1.3.4 Định lý Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó với mỗi iđêan

depth(I, M ) = inf{i | HIi(M ) 6= 0}

Chiều của một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặctrưng qua tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau

1.3.5 Định lý Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh Khi đó

Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất Artincủa môđun đối đồng điều địa phương Kết quả đầu tiên khẳng định môđun

đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin

1.3.6 Định lý Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu

Kết quả tiếp theo khẳng định môđun đối đồng điều địa phương cấp caonhất (với giá tuỳ ý) luôn là Artin

1.3.7 Định lý Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh với dim M = d Khi đó với mỗi iđêan I của R ta luôn có

(i) Hi

I(M ) = 0 với mọi i > d

(ii) Hd

I(M ) là Artin

Cuối cùng là một kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun

đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại

1.3.8 Định lý Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữuhạn sinh với dim M = d Khi đó

i=1pi.Vì p ⊇ AnnRAnên p ⊇ pivới i nào đó Có

R-môđun Artin Khi đó

AttRA00 ⊆ AttRA ⊆ AttRA0∪ AttRA00

A/P = (P + A0)/P ∼= A0/(P ∩ A0)

môđun thương khác không của A/P Vì A/P là p−thứ cấp nên A/Q là

của A00 = A/A0 nên p ∈ AttRA00

môđun con của A, do đó nó là môđun Artin Chú ý rằng Ru là hữu hạnsinh (sinh bởi 1 phần tử u) Vì thế Ru vừa là môđun Artin, vừa là môđunNoether Do đó Ru là môđun có độ dài hữu hạn Vì thế tồn tại số tự

Vì thế dàn môđun con của A xét như Rb-môđun chính là dàn môđun con

pij-thứ cấp và bpi1 ∩ R = =bpiti ∩ R = pi với mọi i = 1, , n và các

pi là đôi một phân biệt Khi đó

Att

b

RA = {bpij | i = 1, , n, j = 1, , ti}

Đặt Ai = Ai1 + + Aiti với i = 1, , n Khi đó A = A1 + + An.Cho i ∈ {1, , n} Với x ∈ pi, ta có x ∈ bpij với mọi j = 1, , ti Vìthế phép nhân bởi x trên Ai là luỹ linh Cho x /∈ pi Khi đó x /∈ bpij vớimọi j = 1, , ti Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu Suy ra Ai

Vậy AttRA = {p1, , pn} = {bp∩ R | bp ∈ Att

b

RA}

2.2 Chiều Noether của môđun Artin

Trong tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin Khái niệm đối ngẫuvới chiều Krull cho một môđun tùy ý (Kdim) được giới thiệu bởi R N.Roberts [Ro] và ở đó ông đã chứng minh một số kết quả về chiều Krullcho các môđun Artin Sau đó D Kirby [K2] đã đổi thuật ngữ của Roberts

và đề nghị thành chiều Noether (N-dim) để tránh nhầm lẫn với chiều Krull

đã được định nghĩa cho các môđun Noether Định nghĩa sau theo thuậtngữ của Kirby [K2]

là một số nguyên Ta đặt N-dimRA = d nếu N-dimRA < d là sai và

N-dimR(An/An+1) < d với mọi n > n0

môđun Noether và A 6= 0 Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra được kết quả sau

đây

các R-môđun Artin thì

Sau đây là một kết quả rất quan trong về chiều của môđun Artin Trong

hữu tỷ khi n  0 Sau đó R N Robert [Ro] đặc trưng bậc của đa thứcnày thông qua 02 bất biến khác của A, một trong 2 bất biến đô là chiềuNoether của A

2.2.3 Định lý Giả sử A 6= 0 Khi đó `R(0 :A mn) là một đa thức với hệ sốhữu tỷ khi n đủ lớn và

N-dimRA = deg `R(0 :A mn)

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ m sao cho `R(0 :A (x1, , xt)R) < ∞}

phần tử x1, , xs trong m sao cho `R(0 :A (x1, , xs)R) < ∞ Khi đó

hệ (x1, , xs) được gọi là hệ tham số của A Một hệ (x1, , xt) với

t 6 s được gọi là một phần của hệ tham số của A nếu tồn tại các phần tử

xt+1, , xs ∈ m sao cho (x1, , xs) là hệ tham số của A