hệ phương trình toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh lặp

Chính vì thế, yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏthì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2010

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 8

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 8

1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh 8

1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 12

1.2 Hệ phương trình toán tử 17

1.2.1 Phát biểu bài toán 18

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm 19

Chương 2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu 21 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh 21

2.1.1 ánh xạ đơn điệu cực đại 21

2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 23

2.1.3 Tham số hiệu chỉnh 28

2.1.4 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 31

2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không trong không gian Hilbert 34

2.2.1 Mô tả phương pháp 34

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp 392.3 Kết quả tính toán thử nghiệm 42

Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t

H kh«ng gian Hilbert thùc

X kh«ng gian Banach thùc

X∗ kh«ng gian liªn hîp cña X

Rn kh«ng gian Euclide n chiÒu

xk → x d·y {xk} héi tô m¹nh tíi x

xk * x d·y {xk} héi tô yÕu tíi x

Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm (đo đạc, quantrắc ) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏisai số Chính vì thế, yêu cầu đặt ra là phải có những phương pháp giải ổn

định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏthì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuấtphát Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán đặt khôngchỉnh là Tikhonov A N., Lavrent'ev M M, Lions J J., Ivanov V K Xét bài toán đặt không chỉnh ở dạng phương trình toán tử: tìm x0 ∈ Xsao cho

Năm 1963, A N Tikhonov [14] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng

và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sứcsôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế Nội dung chủ yếu củaphương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử(0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu

xh,δα của phiếm hàm Tikhonov

Fαh,δ(x) = kAh(x) − fδk2 + αkx∗ − xk2 (0.2)trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tửcho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn nghiệm và (Ah, fδ) là xấp xỉ của(A, f ) Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu củaphiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp đểphần tử cực tiểu xh,δ

α(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1) khi h

và δ dần tới không

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khókhăn trong trường hợp bài toán phi tuyến Đối với lớp bài toán phi tuyếnvới toán tử đơn điệu A : X → X∗, F Browder [8] đưa ra một dạng kháccủa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phương pháp

do F Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chất

h-liên tục(hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Us,

ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X, là một toán tử có tính chất như vậy Bằngphương pháp này, Ya I Alber [4] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αUs(x − x∗) = fδ (0.3)cho bài toán (0.1)

Một mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệphương trình toán tử

Aj(x) = fj, ∀j = 1, , N, (0.4)

ở đây Aj : X → X∗ là các toán tử đơn điệu, đơn trị và fj ∈ X∗.

Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho mỗi phươngtrình trong (0.4), Nguyễn Bường [9] đã kết hợp các phương trình dạng này

để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.4) trên cơ sở xây dựng mộtphương trình phụ thuộc tham số

và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử (0.4) trên cơ sởkết quả của Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy trong [9], [16] Cuốicùng chúng tôi đưa ra một kết quả số minh họa Kết quả này đã được đăng

năm 2010

Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày các nộidung của luận văn, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt khôngchỉnh, hệ phương trình với toán tử đơn điệu và một số phương pháp giảiphương trình toán tử đơn điệu

Chương 2 chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh dạng phươngtrình toán tử phụ thuộc tham số cho hệ phương trình toán tử đơn điệu trongkhông gian Banach phản xạ thực X và phương pháp hiệu chỉnh lặp bậckhông trong không gian Hilbert thực H giải hệ phương trình toán tử đơn

điệu với toán tử ngược đơn điệu mạnh Kết quả tính toán thông qua một

ví dụ số được trình bày ở cuối chương cho thấy tính hiệu quả của phương

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từcác thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và gia đình Nhân dịp này cho phéptôi được bày tỏ những lời cảm ơn chân thành nhất tới những người đã giúptôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS NguyễnThị Thu Thuỷ, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học đã tận tình giảngdạy, chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo đã trực tiếp giảngdạy và trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản trong suốt quá trình tôi họctập tại trường, các thầy cô giáo trong bộ môn Toán-Lý, Khoa Khoa học Cơbản trường Đại học Nông lâm Thái Nguyên đã tạo nhiều điều kiện thuậnlợi, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập và công tác của mình.Những lời cảm ơn cuối cùng tôi muốn gửi tới những người thân yêu nhấttrong gia đình tôi đã giúp đỡ, chia sẻ, cũng như động viên tôi rất nhiều đểtôi vượt qua khó khăn và đạt được những kết quả trong học tập và công tácnhư hiện nay

Tác giả

Phạm Thanh Hiếu

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày khái quát về bài toán đặt khôngchỉnh và hệ phương trình với toán tử đơn điệu Các kiến thức của chươngnày được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [5], [6], [17]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh

Để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp giải hệ phương trình toán

tử đặt không chỉnh trong các chương sau, trong mục này chúng tôi nhắc lạimột số khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

Định nghĩa 1.1 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho A : X → Y là một toán tử

từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặtchỉnh nếu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này duy nhất và;

3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán(1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (hay bài toán không chỉnh) Đốivới các bài toán phi tuyến thì điều kiện thứ hai gần như không thoả mãn

Do vậy hầu hết các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơnnữa điều kiện cuối cùng cũng khó thực hiện được, nên ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho A : X → Y là một toán tử

từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặtkhông chỉnh nếu nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liêntục vào dữ kiện ban đầu

Trong nhiều áp dụng, thay cho giá trị chính xác (A, f), ta chỉ biết đượccác xấp xỉ (Ah, fδ) của chúng Trong toàn bộ mục này, chúng tôi trình bàycác kết quả cho bài toán đặt không chỉnh (1.1) trong trường hợp Ah ≡ A,còn vế phải được cho bởi fδ thỏa mãn kfδ− f k ≤ δ Gọi xδ là nghiệm củaphương trình (1.1) với f được thay bởi fδ (giả thiết rằng nghiệm tồn tại).Khi δ → 0 thì fδ → f, nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì xδ nói chungkhông hội tụ đến nghiệm x0 của bài toán (1.1), nghĩa là xδ là xấp xỉ tồi chonghiệm của bài toán này

Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử A mà (1.1) là bài toán đặtkhông chỉnh Trước hết ta nhắc lại định nghĩa của toán tử liên tục mạnh(xem [17])

Định nghĩa 1.3 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó

ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh

Sau đây là một kết quả về toán tử liên tục mạnh

Mệnh đề 1.1 (xem [17]) Cho X vàY là các không gian Banach thực Nếu

A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.

Ví dụ 1.1 Nếu A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.1) (vô hạn chiều)nói chung là bài toán đặt không chỉnh Thật vậy, giả sử {xn} là một dãychỉ hội tụ yếu đến x, xn * x, xn 6→ x và yn = A(xn), y = A(x) Khi đó,

do tính liên tục mạnh của A suy ra yn → y và nghiệm của phương trìnhA(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán

tử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) củatoán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tínhcompact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh

Ví dụ 1.2 Một ví dụ khác với A là toán tử đơn điệu, nghĩa là toán tử Athoả mãn

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A)

Cho X = Y = R5, A là một toán tử được xác định bởi ma trận vuông cấp5

x5 = f5với f = (f1, f2, f3, f4, f5)T ∈ R5 Hiển nhiên, hệ phương trình này cónghiệm khi f = (f1, f2, f3, 0, f5)T với f1, f2, f3, f5 tùy ý Khi vế phải đượccho xấp xỉ bởi fδ = (f1, f2, f3, f4δ, f5)T với fδ

4 6= 0, thì phương trình (1.1)trong trường hợp này vô nghiệm

Vì tính không duy nhất của nghiệm của phương trình (1.1), nên ta cầnphải có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng nghiệm

x0 có x∗- chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn

A(x0) = fvà

kx0 − x∗k = min{kx − x∗k : A(x) = f }

Phần tử x∗ đóng vai trò như là một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn nghiệm.Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta mong muốn

Ta nhắc lại một số định nghĩa sau (xem [6], [17])

Định nghĩa 1.4 Một toán tử phi tuyến A : X → Y được gọi là đóng yếunếu với mọi dãy {xn} ⊂ D(A) hội tụ yếu trong X đến x và A(xn) hội tụyếu trong Y đến y thì suy ra x ∈ D(A) và A(x) = y

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach

Y, ta sẽ viết r(x) = o(kxk) với x → θX, nếu r(x)/kxk → 0 khi x → θX

Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y

Định nghĩa 1.5 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach Xvào không gian Banach Y Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm

x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạohàm Fréchet của A tại x, và ta viết A0(x) = T

1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh

Chúng tôi sẽ trình bày sau đây một số phương pháp hiệu chỉnh cho bàitoán đặt không chỉnh (1.1)

Cho A là một toán tử khả nghịch trong lân cận của x0 và giả sử A(x0) =

f Với phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.1), nếu chỉ biết dữ kiện fδ

sao cho

kfδ − f k ≤ δ, (1.2)thì thậm chí ngay cả khi tồn tại A−1, xδ := A−1fδ vẫn có thể là một xấp

xỉ tồi cho nghiệm của bài toán này Để nhận được nghiệm xδ thỏa mãn

kxδ − xk ≤ ε khi f, fδ thỏa mãn (1.2), ta phải sử dụng các phương pháphiệu chỉnh

Định nghĩa 1.6 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho A : X → Y là một toán tử

từ không gian Banach X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α), phụthuộc vào tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệuchỉnh cho phương trình (1.1), nếu

- Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (fδ, α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y thoả mãn

kfδ− f k ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

- Tồn tại một hàm α = α(δ, fδ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0,luôn tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thoả mãn

kfδ− f k ≤ δ ≤ δ(ε)thì kxδ

α− x0k ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bài toán(1.1) và xδ

α ∈ T (fδ, α(δ, fδ)).Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị Phần

tử xấp xỉ xδ

α ∈ T (fδ, α(δ, fδ)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phươngtrình (1.1), còn α = α(δ, fδ) được gọi là tham số hiệu chỉnh Tham số hiệuchỉnh α(δ, fδ) phải được chọn sao cho

Từ Định nghĩa 1.6, ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện ban

đầu Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh phụthuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm việc xây dựng toán tử hiệuchỉnh và cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin củabài toán về sai số và dữ kiện ban đầu Với cách chọn giá trị của tham sốhiệu chỉnh α thì sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδ

α đến nghiệm x0 của bàitoán (1.1) có thể chậm tuỳ ý Để nhận được đánh giá sai số, nghĩa là đánhgiá kxδ

α − x0k, người ta phải sử dụng thêm thông tin về nghiệm Một giảthiết thông dụng là "điều kiện nguồn" (hay điều kiện trơn của nghiệm): tồntại z ∈ X sao cho

x0 − x∗ = A0(x0)∗z

1.1.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Giả thiết rằng X và Y là các không gian Hilbert thực Nội dung củaphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδ

α của phiếmhàm Tikhonov

Fαδ(x) = kA(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 (1.3)Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt cho toán

tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu xδ

α làxấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1) Ta có định lý sau

Định lý 1.1 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho A là một toán tử liên tục và đóngyếu, α > 0 và {xk} là một dãy cực tiểu của (1.3) với fδ được thay bởi fk

sao cho fk → fδ Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy xk và giới hạncủa dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.3)

1.1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov

Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại các định nghĩa sau(xem [6], [17])

Browder-Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợpcủa X Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k Ta viết hx∗, xi thay cho

x∗(x) với x∗ ∈ X∗, x ∈ X Cho A là toán tử đơn trị với miền xác định làD(A) ⊆ X (thông thường ta coi D(A) ≡ X nếu không có gì cần lưu ý) vàmiền ảnh R(A) nằm trong X∗

Ký hiệu S = S(X) = {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của X

Định nghĩa 1.7 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu

đơn vị của X là lồi chặt, tức là, từ x, y ∈ S kéo theo kx + yk < 2, hoặc

biên ∂S của S không chứa bất kì đoạn thẳng nào.

Định nghĩa 1.8 Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X

A là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi x = y

Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, thì tính đơn điệu tương đương vớitính không âm của toán tử

Định nghĩa 1.9 Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàmkhông âm δ(t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(kx − yk) ∀x, y ∈ D(A)

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn

điệu mạnh

Định nghĩa 1.10 Toán tử A được gọi là h-liên tục trên X nếu A(x+ty) *

Ax khi t → 0+ với mọi x, y ∈ X, và A được gọi là d-liên tục trên X nếu

từ xn → x suy ra Axn * Ax khi n → ∞

Một toán tử đơn điệu và h-liên tục trên X thì d-liên tục

Định nghĩa 1.11 Toán tử A : X → X∗ được gọi là toán tử bức nếu

lim

kxk→∞

hAx, xikxk = ∞.

Định nghĩa 1.12 ánh xạ Us : X → X∗ (nói chung đa trị) được định nghĩabởi

Us(x) =



x∗ ∈ X∗ : hx∗, xi = kx∗ks−1kxk = kxks

, s ≥ 2gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X Khi s = 2 thì Us được viết là U

và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề sau.Mệnh đề 1.2 (xem [6]) Giả sửX là một không gian Banach Khi đó,1) U (x) là tập lồi,U (λx) = λU (x) với mọi λ ∈ R;

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồntại trong mọi không gian Banach

Định lý 1.2 (xem [6]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt, thì ánh xạ

đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục.Hơn nữa nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn

điệu chặt

Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu

Bổ đề 1.1 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach thực,X∗

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X

Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chất liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một dạng của toán tử

h-M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát Us của X Bằng phương pháp này, Alber[4] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) trên cơ

sở phương trình

A(x) + αUs(x − x∗) = fδ (1.4)Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất Ephimov-Stechkin (hay tính chất E-S), nghĩa là trong X sự hội tụ yếu các phần tử

xn * x
và sự hội tụ chuẩn kxnk → kxk

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

kxn − xk → 0

, X∗ là không gian lồi chặt Ta có kết quả sau:

Định lý 1.3 (xem [4]) Cho A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, liên tục Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X∗, phương trình (1.4) có duynhất nghiệm xδ

h-α Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {xδ

α} hội tụ đến nghiệm có

x∗-chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1)

1.2 Hệ phương trình toán tử

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu về hệ phương trình toán tử với toán

tử đơn điệu trong không gian Banach thực phản xạ X Trước hết ta nhắc lạimột số định nghĩa sau (xem [6])

Định nghĩa 1.13 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là khônggian liên hợp của X, ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm trên X

• ϕ được gọi là lồi nếu

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]

• ϕ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu

và x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tạo x, kí hiệu là ϕ0(x)

• ϕ được gọi là chính thường nếu ∀x ∈ X,

ϕ(x) > −∞ và domϕ 6= ∅ trong đó domϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞}

Định nghĩa 1.14 Cho ϕ là một phiếm hàm lồi, chính thường trên X và

điểm x ∈ X Ta định nghĩa ∂ϕ bởi:

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X∗ : ϕ(x) ≤ ϕ(y) + hx − y, x∗i, ∀y ∈ X}

Phần tử x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới Gradient của ϕ tại x và ∂ϕ(x) được gọi

là dưới vi phân của ϕ tại x

1.2.1 Phát biểu bài toán

Cho Aj là các toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach thựcphản xạ X vào X∗ Hãy tìm x0 ∈ X sao cho

inf

x∈Xϕj(x), (1.6)

và là một tập lồi đóng trong X, với mỗi j = 1, , N Kết quả này được suy

ra từ bổ đề Minty và mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3 (xem [10]) Giả sử F : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm

Gâteaux F0 giả thiết là liên tục Khi đó các phát biểu sau là tương đương:i)x0 là điểm cực tiểu của F (x) trên X;

ii)hF0(x0), x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ X;

iii) hF0(x), x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ X

Mệnh đề 1.4 (xem [10]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi

Khi đó, bài toán inf

x∈XF (x) có ít nhất một nghiệm Ngoài ra, nếu hàm F lồichặt trên X thì bài toán có nghiệm duy nhất

Định lý 1.5 (xem [1] và tài liệu dẫn) Nếu A là một toán tử đơn điệu và liên tục thỏa mãn điều kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X,kxk ≥ M thì hAx, xi > 0 Khi đó phương trình toán tử A(x) = θ có ítnhất một nghiệm

h-Định lý 1.6 (xem [2] và tài liệu dẫn) Nếu A là một toán tử đơn điệu, h-liêntục và bức từ không gian Banach phản xạ X vào X∗ thì phương trình toán

tử A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X∗

Chương 2

Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình với toán tử đơn điệu

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệphương trình toán tử

Aj(x) = θ, j = 1, 2, , N (2.1)

ở đây Aj : D(Aj) ≡ X → X∗ là các toán tử đơn điệu, h-liên tục

Chương này bao gồm ba mục: Trong mục 2.1 chúng tôi trình bày phươngtrình hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (2.1) và sự hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều Mục 2.2 trình bày phương pháphiệu chỉnh lặp bậc không giải hệ phương trình toán tử (2.1) trong khônggian Hilbert thực H trên cơ sở kết quả của Nguyễn Bường và Nguyễn ThịThu Thủy [9], [16] Mục 2.3 trình bày kết quả tính toán thử nghiệm

2.1 Phương pháp hiệu chỉnh

2.1.1 ánh xạ đơn điệu cực đại

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian liên hợpcủa X, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu Ngoài định nghĩa đã đượctrình bày ở Chương 1, khái niệm về toán tử đơn điệu còn được mô tả dựatrên đồ thị Gr(A) của toán tử A trong không gian tích X ì X∗, trong đó

Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của mộthàm lồi Cụ thể ta có định lý sau.

Định lý 2.1 (xem [6]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X∗

là không gian liên hợp của X Nếu F : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi chínhthường, nửa liên tục dưới trên X, thì ánh xạ dưới vi phân ∂F là một toán

tử đơn điệu cực đại từ X vào X∗

Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A + λU là toàn

bộ không gian X∗, đó là nội dung của Định lý 2.2

Định lý 2.2 (xem [6]) Cho X và X∗ là các không gian Banach thực phảnxạ và lồi chặt, U : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, A : X →

X∗ là một toán tử đơn điệu Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu vàchỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λU) là toàn bộ X∗

Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bịchặn nào từ X vào X∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại

Định lý 2.3 (xem [6]) Cho X là một không gian Banach thực phản xạ,

B : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục và bị chặn, A : X → X∗

là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệucực đại.

Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của

nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau

Định lý 2.4 (xem [6]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và

A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục xác định trên X Khi

đó A là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta cóR(A) = X∗

2.1.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Cho X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E-S, X∗, khônggian liên hợp của X, là lồi chặt

Ta xét bài toán (2.1) với Aj là các toán tử đơn điệu Nếu Aj không có tínhchất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì mỗi phương trình trong (2.1)nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Để tìm nghiệm ổn định chomỗi phương trình này người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov dưới dạng (xem [4])

Ahj(x) + αU (x − x∗) = θ, j = 1, 2, , N, (2.2)

ở đây Ah

j là toán tử đơn điệu, h-liên tục và là xấp xỉ của Aj thoả mãn

kAj(x) − Ahj(x)k ≤ hg(kxk), h → 0, (2.3)g(t) là hàm không âm, bị chặn, t ≥ 0, U là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của

X, tức là U : X → X∗ thỏa mãn điều kiện

hU (x), xi = kxk2, kU (x)k = kxk

Với mỗi j = 1, 2, , N, phương trình hiệu chỉnh (2.2) có duy nhất nghiệm,