Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn. Có nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ và hình ảnh. Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là môn hình học không gian . Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các trường hợp củ thể từ các bài toán đơn giãn. Qua quá trình thực hiện tôi thấy từ phương pháp này giúp các em giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng một cách dễ dàng hơn và từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương pháp giải các bài toán khác và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian nhiều hơn.
Trang 1PHẦN I - MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Chúng ta đã biết Toán học nói chung là một nghành khoa học gắn liền với những suy luận logic chặt chẽ, đòi hỏi tính chính xác và ngắn gọn Có nhiều ý kiến cho rằng toán học rất khô khan và nhàm chán bởi những rắc rối của kí hiệu và sự trừu tượng của ngôn từ và hình ảnh Nhìn nhận vấn đề gần hơn trong trường THPT
đa số các em thấy khó khăn, rắc rối, khó nhớ và lo sợ khi học môn toán đặc biệt là môn hình học không gian Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán,
tôi xây dựng “ Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng ” trong các
trường hợp củ thể từ các bài toán đơn giãn Qua quá trình thực hiện tôi thấy từ phương pháp này giúp các em giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng một cách dễ dàng hơn và từ đó tạo niềm đam mê tìm hiểu xây dựng phương pháp giải các bài toán khác và đặc biệt giúp các em yêu thích hình học không gian nhiều hơn
Chính những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài này
PHẦN II - NỘI DUNG SÁNG KIẾN
A CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG.
1 Khái niệm: “ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng đó ”
2 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SGK Hình học 11cơ bản).
- Giả sử hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c
- Từ một điểm I bắt kỳ trên c ta dựng trong (P) đường thẳng a vuông góc với c
và dựng trong (Q) đường thẳng b vuông góc với c
- Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
- Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp trên học sinh sẽ gặp khó khăn với những bài toán phức tạp đó là việc chọn vị trí điểm I trên giao tuyến c để xác định được các đường thẳng a, b thoã mãn bài toán
- Để khắc phục khó khăn trên, trong nội dung sáng kiến này tôi nêu ba trường hợp thường gặp và hướng khắc phục cụ thể cho từng trường hợp
Trang 2B CÁC TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP CỦA BÀI “ TOÁN TÌM GÓC GIỮA HAI MẶT
PHẲNG ” VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
I TRƯỜNG HỢP 1
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy cuả hình chóp.
I.1 Các bài toán.
Bài toán 1:(Bài 3.32-SBT Hình học 11 cơ bản).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông
ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC =
a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA = a Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABCD)
Giải:
Theo giả thiết:
SA (ABCD) SA CB (1)
Mặt khác: Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a AC = a 2
Gọi I là trung điểm của AB IC IB và IC = IB = AD = a.
Xét tam giác vuông ICB ta có: CB = IC 2 IB2 = a 2
Xét tam giác vuông ACB ta có: AC2 + CB2 = 2a2 + 2a2 = 4a2
AB2 = 4a2
AC2 + CB2 = AB2 AC CB (2)
Từ (1) và (2) (SAC) CB SC CB (3)
Từ (2) và (3) góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Nhận xét.
Trong bài tập dựa vào hai điều kiện để xét góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là:
2
S
C D
I
Trang 31 A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) hay SA CB.
2 AC CB.
Từ nhận xét trên hãy giải bài toán sau:
Bài toán 1.2.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành SA
(ABCD) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABCD)
Ta thấy bài toán 1.2 thiếu điều kiện 2, để giải
quyết bài toán này ta cần tạo nên điều kiện vuông
góc.
Giải:
Theo giả thiết:
SA BC [vì SA (ABCD)]
Từ A dựng AH CB tại H (1) (SAH) CB SH CB (2)
Từ (1) và (2) góc SHA là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Bài toán 1.3.
Hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD Đáy ABCD là hình bình hành.Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD)
Ta thấy bài toán 1.3 chưa có cả hai điều kiện trong nhận xét trên, khi đó ta giải bài toán này như sau.
Giải:
Gọi o = AC BD
Theo giả thiết ta có: ΔSAC, ΔSBD cân tại S với SO
là đường trung tuyến
SO ( ABCD)
BD
SO
AC
SO
S
A
B
C D
H
C
S
A
B
D
O
H
Trang 4[hay O là hình chiếu của S lên (ABCD)]
Từ O dựng OH BC tại H (1)
(SOH) BC
SH BC (2)
Từ (1) và (2) góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD)
I.2 Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó a = () () thuộc mặt phẳng đáy.
Phương pháp giải:
- Xác định hình chiếu O của đỉnh S lên mặt phẳng đáy ( P ).
- Từ O dựng đường thẳng OH a tại H.
góc SHO là góc giữa hai mặt phẳng () và ().
I.3 Bài tập vận dụng.
Bài 1 (Đề thi TSĐH - CĐ -2004 khối B) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (00 < < 900) Tính tan
của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
Bài 2 Cho hình chốp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, Â = 600, SA = SB
= SD =
2
3
a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
II- TRƯỜNG HỢP 2.
Tìm góc giữa hai mặt phẳng khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của hình chóp.
II.1 Các bài toán.
Bài toán 2.1.
Hình chóp S.ABCD có ΔSAB, ΔSAD ΔSAD ΔSAD đều Xác
định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)
Giải:
Gọi I là trung điểm SA
4
S
A
I B
C
D
Trang 5Theo giả thiết ΔSAB, ΔSAD ΔSAD ΔSAD đều.
SA
DI
SA
BI
góc BID là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD)
Nhận xét:
Trong bài tập 2.1 dựa vào điều kiện ΔSAB, ΔSAD SAB, ΔSAD ΔSAB, ΔSAD SAD ΔSAD đều nên xác định được hai đường thẳng IB (SAB); ID (SAD) cùng vuông góc với SA tại I (I SA).
Từ nhận xét đó giải bài toán sau
Bài toán 2.2
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh a,
SB = a Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD)
Ta thấy, bài toán 2.2 không có điều kiện tam
giác đều giống như bài toán 2.1 do đó ta giải bài
toán 2.2 như sau.
Giải:
Gọi I là trung điểm của SA
Theo giả thiết: SB = a = AB.
BI SA
Trong mặt phẳng (SAD), từ I dựng IK SA tại I cắt AD tại K
góc BIK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD)
Bài toán 2.3.
Hình chóp S.ABCD Xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (SDC)
Ta thấy, bài tập này không có điều kiện gì đặc
biệt để xác định hai đường thẳng thuộc hai mặt
phẳng vuông góc với SC tại một điểm Vì vậy ta
giải như sau.
I S
A
B
C
D K
S
K
H
C D
Trang 6Trong mặt phẳng (SBC) dựng BH SC tại H
Trong mặt phẳng (SDC) dựng KH SC tại H cát
DC tại K
góc BHK là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
II.2 Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó a = () () là một cạnh bên của hình chóp.
- Trong mặt phẳng () dựng đường thẳng từ một đỉnh vuông góc với a tại H.
- Trong mặt phẳng () dựng HK a tại H cắt một cạnh của () tại K.
góc AHK là góc giữa hai mặt phẳng () và ().
II.3 Bài tập vận dụng.
Bài 1 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a Gọi C1
là trung điểm của CC’ Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Đường cao SA =
h Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) theo a, h Chứng tỏ rằng >
900
III - TRƯỜNG HỢP 3.
III.1 Các bài toán.
Bài toán 3.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Xác định
góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Giải:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm chung S và
AB // CD
Qua S dựng Sx // AB (//CD)
Sx = (SAB) (SCD).
Dựng SH AB SH Sx
góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
6
S
x
A H
B
C K
D
Trang 7Dựng SK CD SK Sx và (SCD).
Nhận xét.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với mặt phẳng đáy.
III.2 Phương pháp giải.
Xác định góc giữa hai mặt phẳng () và () trong đó () và () chứa hai đường thẳng a, b song song.
- Gọi S là điểm chung của () và ().
- Qua S dựng đường thẳng SH a.
- Qua S dựng đường thẳng SK b.
góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng () và ().
III.3 Bài tập vận dụng.
Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a; đường cao hình chóp bằng
2
a
Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Bài 2 Cho hình chữ nhật ABCD AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong không
gian sao cho SO (ABCD), SO = h Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để (SAB) (SCD).
Trang 8PHẦN III – KẾT LUẬN.
Sau khi tổ chức dạy học theo phương đề xuất trên ở lớp 11A2 với n1 = 46 học sinh (HS) và khi dạy học phương pháp của sách giáo khoa hình học 11 - ban cơ bản ở lớp 11A4 với n2 = 36 HS, rồi tổ chức kiểm tra như nhau ở hai lớp ta thu
được kết quả sau:
Bảng 1
Từ bảng 1 ta tính được các thông số thống kê.
* Tính trị trung bình số học: Công thứ tính
n
x f
X i i với n
1 = 46; n2 = 36
* Lớp
*Lớp
Ta có: d = X1 X2 1 44 và X1 > X2
* Tính phương sai: Công thức tính
1
)
2
n
X x
f i i
Ta có các bảng số liệu sau:
Bảng 2
Lớp
(xi - X )1
(xi - X )1 2
(xi - X1
Bảng 3
Lớp xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(xi - X )2
(xi - X )2 2
8
Trang 9(xi - X )2 fi
*
* Tính độ lệch chuẩn: Công thức tính
1
)
2
n
X x
f i i
* Tính độ tin cậy: Công thức tính t =
2
2 2 1
2 1
2 1 2 2
2 1
2 1
n n
X X m m
X X m
d
Ta có: t =.
Kết luận :
• Từ kết quả thực nghiệm và những tính toán ở trên ta thấy có sự sai lệch giữa
1
X và X2(cụ thể X1 > X2)
• Giả sử sự sai lệch giữa X1và X2 (cụ thể X1 > X2) là không đáng tin cậy, tức là phương pháp mới không có tác dụng; X1 > X2chỉ là một sự trùng lặp do
ngẫu nhiên mà có Như vậy, để xem xét tác động tích cực của phương pháp mới
chúng ta hãy kiểm định tính khách quan của kết quả thực nghiệm trên
• Gọi H0 là giả thiết thống kê: Sự sai lệch giữa X1và X2(cụ thể X1 > X2 ) là không thực chất (tức là do ngẫu nhiên mà có) với mức ý nghĩa = 0.05 = 5%
• Gọi H1 là đối giả thiết: Sự sai lệch giữa X1và X2(cụ thể X1 > X2) là thực chất (tức là do tác động của phương pháp mới mà có, chứ không phải do ngẫu nhiên mà có)
• Theo các tính toán ở trên ta có:
+ Độ tin cậy t theo các số liệu thực nghiệm: t = 2.88
• Với N = 46 + 36 -2 = 80 và mức ý nghĩa = 0.05 = 5% tra trên bảng Student (dạng II), ở cột N = từ 63 đến 175, ta được t = 2.0 , với xác suất tương ứng 95%
• Với giá trị thực nghiệm t = 2.88, như vậy ta có kết quả so sánh: t > t nghĩa
là ta bác bỏ giả thiết H0 và chấp nhận giả thiết H1 Vậy:
Với độ tin cậy là 95% (hay với sai số 5%) sự sai lệch giữa X1và X2 (cụ thể
1
X > X2) là do kết quả của tác động sư phạm mà có ( do đó có thể áp dụng phương pháp mới một cách rộng rãi)
