ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 BIẾT SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

Mặc dầu việc so sánh hai phân số đã được học ở tiểu học . Nhưng do học sinh lớp 6 mới chuyển bậc học. Có thể nói học sinh lớp 6 còn bỡ ngỡ khi bước vào học trường lớp mới , cho nên các em còn lúng túng trong việc tìm tòi cách học , phương pháp học nói chung cho các môn và cho môn toán nói riêng .Vì thế học sinh gặp không ít khó khăn khi tiếp cận nó , đặc biệt là giải quyết những bài tập so sánh hai phân số ở mức độ cao hơn yêu cầu lời giải rõ ràng logic hơn chặt chẽ hơn ở bậc tiểu học .Việc định hướng , hướng dẫn cho các em trong tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết và vô cùng quan trọng.Song đưa ra một phương án duy nhất để tranh luận nhằm tìm ra một hướng dẫn chuẩn mực , tối ưu không đơn giản chút nào,bởi hướng dẫn của mỗi giáo viên là đa dạng, phong phú không có khuôn mẫu nhất định.Do đó tuỳ vào đối tượng học sinh và yêu cầu của bài toán mà giáo viên đưa ra những phương pháp giải phù hợp đảm bảo tính khoa học, tính sư phạm và hiệu quả cho học sinh.

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 BIẾT SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

A Phần mở đầu

I : ĐẶT VẤN ĐỀ

Cùng với khoa học công nghệ , giáo dục đào tạo được Đảng và Nhà nước ta xem là quốc sách hàng đầu Giáo dục đã thực sự cố gắng thực

hiện nhiệm vụ chính yếu để góp phần tích cực vào việc “Nâng cao dân trí ,

đào tạo nhân lực , bồi dưỡng nhân tài”.

Chiến lược phát triển giáo dục từ nay đến năm 2015 cũng đề ra ba

nhiệm vụ chủ yếu , trong đó có nhiệm vụ “ tập trung nâng cao chất lượng

và hiệu quả giáo dục”.Để thực hiện tốt nhiệm vụ này nói riêng và phát

triển sự nghiệp giáo dục nói chung thì một trong các giải pháp là “Đổi mới phương pháp dạy học” nhằm nâng cao chất lượng đào tạo

Trong những năm gần đây ngành giáo dục đã có nhiêu biện pháp thiết thực để nâng cao chất lượng dạy và học : Phong trào đổi mới phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh Nhiều nhà trường ,nhiều giáo viên đã tìm ra các phương pháp thích ứng để áp dụng vào địa phương mình mong muốn đem lại hiệu quả cao nhất để nâng cao chất lượng giáo dục góp phần vào việc thực hiện mục tiêu của Giáo dục -Đào tạo Trong những năm gần đây, đặc biệt là những năm thay sách giáo khoa , đại đa số giáo viên toán ở THCS đã hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH, đã chú trọng đến dạy học phân hoá, dạy sát đối tượng học sinh, phụ đạo cho học sinh yếu, kém khắc phục dần tình trạng HS lên lớp không đúng thực chất, quan tâm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

Tuy nhiên, các tiết dạy: khái niệm, định lý, quy tắc thường được giáo viên dạy tốt hơn, các tiết luyện tập thì còn nhiều vướng mắc Thực tế cho thấy phần lớn các thầy cô giáo thường chỉ mới dừng lại ở tiết chữa bài tập, chưa đúng là tiết dạy luyện tập

Trong việc dạy toán ở THCS, các tiết luyện tập chiếm một tỷ trọng khá lớn Khả năng dạy các tiết luyện tập của giáo viên còn nhiều hạn chế do đó ảnh hưởng đến khả năng giải toán của học sinh, từ đó dẫn đến học sinh :

- Học tập thụ động, kiến thức tiếp thu không vững chắc.

- Học sinh gặp khó khăn trong hoạt động độc lập giải toán và vì thế hạn chế khả năng phát triển tư duy sáng tạo trong học toán

- Năng lực cá nhân của học sinh ít có điều kiện để bộc lộ và phát triển

- Khả năng phát hiện và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi còn nhiều hạn chế

Hoà chung với phong trào đó trường chúng tôi cũng phát động thi đua “

Đổi mới phương pháp dạy học”.Trong phong trào đó đã có những kinh

nghiệm được áp dụng ở trường và các trường bạn Bản thân tôi qua nhiều năm giảng dạy ở khối 6 đã rút ra được một kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy chương phân số đặc biệt là trong phần so sánh các phân số Tôi cũng mạnh dạn nêu ra một kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn học sinh lớp 6 biết so sánh hai phân số

Mặc dầu việc so sánh hai phân số đã được học ở tiểu học Nhưng do học sinh lớp 6 mới chuyển bậc học Có thể nói học sinh lớp 6 còn bỡ ngỡ khi bước vào học trường lớp mới , cho nên các em còn lúng túng trong việc tìm tòi cách học , phương pháp học nói chung cho các môn và cho môn toán nói riêng Vì thế học sinh gặp không ít khó khăn khi tiếp cận nó , đặc biệt

là giải quyết những bài tập so sánh hai phân số ở mức độ cao hơn yêu cầu lời giải rõ ràng logic hơn chặt chẽ hơn ở bậc tiểu học Việc định hướng , hướng dẫn cho các em trong tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết và vô cùng quan trọng.Song đưa ra một phương án duy nhất để tranh luận nhằm tìm ra một hướng dẫn chuẩn mực , tối ưu không đơn giản chút nào,bởi hướng dẫn của mỗi giáo viên là đa dạng, phong phú không có khuôn mẫu nhất định.Do

đó tuỳ vào đối tượng học sinh và yêu cầu của bài toán mà giáo viên đưa ra những phương pháp giải phù hợp đảm bảo tính khoa học, tính sư phạm và hiệu quả cho học sinh Chính yêu cầu như thế mà tôi đã chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp 6 biết so sánh hai phân số “ Với phạm vi đối tượng học sinh khối 6 , phạm vi chương trình chương phân số , hạn chế của

đề tài nờn tụi chỉ trỡnh bày một số vớ dụ minh hoạ cho đề tài này Xin được

sự đúng gúp của cỏc bạn đồng nghiệp

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I THỰC TRẠNG:

Bản thõn tụi vào ngành đó lõu, giảng dạy qua cỏc khối lớp với nhiều thế hệ học sinh.Tụi nhận thấy rằng, cựng với tỡnh hỡnh phỏt triển của xó hội, nhu cầu học tập ngày càng được chỳ trọng, quan tõm hơn Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh dạy toỏn, theo dừi tụi thấy học sinh thường lỳng tỳng, khú khăn khi vận dụng kiến thức đó học để làm bài tập Do vậy ngoài việc định hướng, hướng dẫn cho học sinh tỡm được cỏch giải, cần trang bị thờm cho cỏc em nhiều cỏch giải cho một bài toỏn Được như vậy cỏc em sẽ cú nhiều phương ỏn lựa chọn để giải cỏc bài toỏn cựng dạng, trỏnh được thúi ỷ lại, phụ thuộc vào thầy cụ, tài liệu

Vào đầu mỗi năm học, nhà trường thường tổ chức khảo sỏt để đỏnh giỏ chất lượng học sinh ở cỏc khối lớp với hầu hết cỏc mụn học Kết quả khảo sỏt đầu năm học 2008-2009 đối với mụn Toỏn như sau:

KHỐI LỚP TỔNG

SỐ HS

(%) SL

TL (%) SL

TL (%) SL

TL (%)

S L

TL (%)

6

Kết quả trên cho thấy tỷ lệ học sinh đạt yêu cầu trở lên chiếm tỷ lệ thấp so với yêu cầu chung hiện nay

II NGUYấN NHÂN:

- Phần lớn học sinh là con gia đỡnh thuần nụng, đời sống kinh tế khú khăn, thời gian dành cho học tập cũn ớt

- Một số cha mẹ học sinh chưa ý thức đủ, đỳng trỏch nhiệm đốivới việc học tập của con Cỏ biệt một số cũn "khoỏn trắng" con cho Nhà trường

- Một số bộ phận học sinh cũn chõy lười trong học tập, chưa ý thức được trỏch nhiệm, nhiệm vụ học tập của mỡnh

- Tuy nhiên bên cạnh đó đã có nhiều gia đình tạo cho con mình mọi điều kiện tốt nhất cho học tập Nhiều học sinh đã có cố gắng trong học hành, đã xác định được vai trò, trách nhiệm của mình đối với gia đình, nhà trường và

xã hội

- Do số lượng và chất lượng một số giáo viên chưa thực sự đáp ứng được yêu cầu đổi mới nên ảnh hưởng tới chất lượng đào tạo nói chung, chất lượng môn toán nói riêng

- Học sinh chưa năm rõ các cách so sánh hai phân số , còn nhầm lẫn khi sử dụng các phương pháp so sánh hai phân số

- Do yêu cầu của các kì thi kiểm định chất lượng , thi học sinh giỏi các cấp

và đầu vào của các trường chất lượng cao ,,,

III NỘI DUNG CHÍNH

III.1 Các nội dung kiến thức cần ghi nhớ

Để học tốt và giải được các bài toán so sánh phân số ở lớp 6 thì các em học sinh cần nẵm được các kién thứ cơ bản về phân số như sau :

1 Cách tìm BCNN của hai nhiều số lớn hơn 1

2 Tính chất cơ bản của phân số

- a b =a m b m.. ( m ≠0 )

- : ( ; ; 0)

:

a b m m

3 Quy đồng mẫu số , tử số của hai hay nhiều phân số

4 Phân số phần bù đến đơn vị : a b a 1;(b 0)

−

5 Tích chéo :

- b a= d c <=> a.d = b.c

- b a<d c <=> a.d < b.c

- a c

b > d <=> a.d > b.c

Các mệnh đề trên đã được trình bày trong sách giáo khoa toán 6 , sách bài tập , các tài liệu bồi dưỡng toán 6 hoặc các tài liệu được giới thiệu trong chương trình tiểu học ( Chương trình lớp 5) Để củng cố các kiến thức trên và áp dụng , nâng cao giải các bài tập so sánh phân số giáo viên cần lấy các ví dụ minh hoạ để học sinh áp dụng linh hoạt vào giải các bài tập

6 Các phép toán : Cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa

7 Các tính chất của bất đẳng thức số

Học sinh cần nắm vững các kiến thức trên , có kỹ năng vận dụng linh hoạt các kiến thức đó vào các bài tập so sánh phân số

III.2 Các ví dụ minh hoạ cho đề tài

Để giúp học sinh biết và vận dụng các phương pháp so sánh phân số tôi phân chia các phương pháp so sánh phân số một cách tương đối theo bốn cách sau đây :

III.2.1 Phương pháp thứ nhất

“So sánh phân số bằng cách qui đồng mẫu hay tử các phân số”

- Nếu hai phân số có cùng mẫu , phân số nào có tử lớn hơn thì phân

số đó lớn hơn

- Nếu hai phân số có cùng tử , phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân

số đó nhỏ hơn

Đây là dạng bài toán áp dụng ngay các kiến thức đã học ở lớp cũng

có thể giải được ngay nên học sinh có thể áp dụng kiến thức trên là so sánh được hai phân số ở dạng này

* Ví dụ 1.1 so sánh A và B biết :

A = 2 3

5 + + 7 + 7 + 7 ; B = 3 2 4

5

7 + 7 + 7 + + 7

Nhận xét : Đối với bài dạng bài tập giáo viên hướng dẫn cho học sinh biết nhận xét các số hạng nào của A và B giống nhau Từ đó chỉ cần so sánh các số hạng còn lại , như vậy ta đưa bài toán so sánh A và B về so sánh tổng các phân số sau đây :

A = 2 4

3 6

7 + 7 và B = 2 4

6 5

7 + 7 Đến đây chỉ hướng dẫn cho học thực hiện quy đồng các phân số của A và B là kết luận được

A = 2 4

3 6

7 + 7 = 4

153

7 và B = 2 4

6 5

7 + 7 = 4

299

7 Vậy A < B

* Ví dụ 2.1 Cho 2 phân số 3

5 và 3

4 hẫy tìm :

a Một phân số có dạng a b mà 35< <a b 34

b Hai phân số có dạng b a mà 35< <a b 34

c Năm phân số có dạng a

a b

< <

+ Nhận xét : Bài tập này nếu nhìn qua thì học sinh tưởng là rất khó

nhưng nếu hướng dẫn học sinh áp dụng cách quy đồng mẫu số hoặc tử số các phân số thì bài toán trở nên dễ dàng Ta tiến hành như sau :

a.Quy đồng tử số các phan số bằng cách nhân 2 => 3

5 = 6

10 và 3 6

4 = 8

giữa hai phân số này có phân số a b =69=23 thoả mãn 53< <23 34 mở rộng bài toán tìm 2 ; 5 phân số thoả mãn các điều kiện ở câu b,c

b Quy đồng tử bằng cách nhân 3 => 3

5= 9

15 và 3

4= 9

12 giữa 9

15 và

9

12 có các phân số 139 và149 Đối với bài toán này giáo viên có thể hưỡng dẫn học sinh quy đồng mẫu số để tìm ra hai phân số thoả mãn yêu cầu của bài toán

c Đối với bài tập này học sinh quy đồng mẫu các phân số với MC =

40 ta có 34=3040 và 35=2440 giữa hai phân số 2440 và 3040 có 5 phân số cần tìm là

25 26 27 28 29

; ; ; ;

40 40 40 40 40 thoả mãn yêu cầu của bài toán

* Ví dụ 3.1 Cho phan số a b ( a<b) nếu thêm m vào tử sô và mẫu số củaphan số thì được phân số mới lớn hơn hay bé hơn phân số đã cho ?

Đây là bài toán so sánh hai phân số a b và a m b m++ áp dụng phương pháp quy đồng mẫu số các phan số ta có : MC = b.(b+m) =>

a b =a b m b b m.(.( ++ ))= a b a m b b m..( ++ .) =b b m.(a b.+ )+b b m.(a m.+ ) và

a m

b m

+

+ = b a m b b m.(.( + )) =b b m a b b m.(. + . ) =b b m.(a b. )+b b m.(b m. )

+ + + + Từ đây học sinh chỉ cần so sánh

hai phân số b b m.(a m.+ ) và b b m.(b m.+ ) mà do a < b nên b b m.(a m.+ ) < b b m.(b m.+ ) hay

a

b < a m b m++

Lưu ý : Có những phân số lớn hơn 1 ta không nhất thiết phải quy đồng

mẫu sô , quy đồng tử số mà chỉ cần đổi ra hỗn số thì bài toán trở thành

dễ dàng

*Ví dụ 4.1 So sánh các phân số 2713 và 1531

không quyđồng mẫu số hoặctử số ta cúng có thể so sánh được

- Giáo viên hướng dẫn học sinh hẫy đổi các phân số trên ra hỗn số :

27 21

13 = 3 và 31 2 1

15 = 15 ta thấy 15 151 > 1 => 1327 > 1531

Từ ví dụ trên ta có ví dụ sau :

* Ví dụ 5.1 So sánh hai phân số A = 55

10 1

10 3

+

− và B = 55

10 3

10 1

+

−

Tương tự như ví dụ 4.1 giáo viên hướng dẫn học sinh đổi các phân số

này ra hỗn số A = 1055 1

10 3

+

− = 1 5

4

10 − 3 và B = 1055 3

10 1

+

− = 1 5

4

10 − 1 đến đây chỉ cần so sánh hai phân số 5

4

10 − 3 và 5

4

10 − 1 ta có 5

4

10 − 3 > 5

4

10 − 1 Vậy A > B

* Ví dụ 6.1 So sánh hai phân số M = 1

3

m m

+

− và N = 3

1

m m

+

− giải tương tự ta có M >N

III.2.2 Phương pháp thứ 2

“ So sánh hai phân số với phân số phần bù đén 1”

- Hai phan số đều nhỏ hơn 1 phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn

- Phân số a 1

b < ( a<b) có phần bù là b a−b và ngược lại

* Ví dụ 1.2 So sánh các phân số

a 1115 và 1713 b 3141 và 313413

Nhận xét : Nếu bài này học sinh quy đồng tử số và mẫu số thì chắc

chắn có nhièu em sẽ bị nhầm lẫn trong trường hợp tử và mẫu là các số lớn Do đó giáo viên hướng dẫn cho học sinh cách so sánh phân số phàn

bù Ta làm như sau :

a 11 4 1;13 4 4 4

15 15 + = 17 17 + => 15 17 > Vậy 11

15 < 13

17

b 31 10 1;313 100 1

41 41 + = 413 413 + = =>1041 410=100 <100413 Vậy 3141 < 313413

* Ví dụ 2.2 Từ ví dụ 3.1 ta có thể so sánh hai phân số theo phương pháp này Giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh như sau :

“ Cho phan số a b ( a<b) nếu thêm m vào tử sô và mẫu số của phân số thì được phân số mới lớn hơn hay bé hơn phân số đã cho ? ” Ta có

1

a b a

−

+ = và a m b a 1

b m b m

+ + − = + + đến đây học sinh chỉ cần so sánh haiphan số

b a

b

−

và b m b a+− mà b a b− > b m b a+− Vậy a b< a m b m+

+

III.2.3 Phương pháp thứ 3

“So sánh hai phân số với phân số trung gian thứ ba”

So sánh hai phân số với phân số trung gian thường có hai cách sau đây :

- Cách 1 : Chọn phân số trung gian thứ 3 có cùng tử số với một trong

các phân số đã cho , cùng mẫu số với phan số còn lại

- Cách 2 Chọn phân số trung gian thứ 3 thể hiện mối quan hệ giữa tử

và mẫu của hai phân số

* Ví dụ 1.3 So sánh hai phan số 1249 và 1347

Đối với ví dụ này có thể dùng phương pháp thứ 2 để so sánh nhưng chúng ta sử dụng dùng phan số trung gian thứ 3 để so sánh Giáo viên hướng dẫn học sinh chọn phân số thứ 3 là : 1247 ta có 1347 >1247 >1249 Vậy 1249

< 1347

* Ví dụ 2.3 So sánh hai phân số 15

59 và 24

47

Nhận xét : Ta tháy 59 gấp gần 4 lần 15 và 97 gấp gần 4 lần 24 nên ta chọn

phân số trung gian là 1559>1560=14 (1) ; 14=2496 >2497 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : 15

59 > 24

47

* Ví dụ 2.3 Cho A = 1 3 5 199 .

2 4 6 200 ( 1) Chứng minh A2 < 2011

Hướng dẫn : Giáo viên cho học sinh nhận xét xem A gồm tích các

phân số có tử số và mẫu số như thế nào ? Từ đó hướng dẫn học sinh chọn phân số trung gian để so sánh

Giải : A gồm tích 100 các phân số bé hơn 1 có tử số lẻ mẫu số chẵn

nên ta chọn biểu thức trung gian là tích các phân số có tử số chẵn , mẫu số đều lẻ bằng cách áp dụng cách giải ở ví dụ 3.1 ta có :

A < 2 4 6 200 .

3 5 7 201 (2) Nhân từng vế của (1) và (2) ta được :

A2 < 1 3 5 199 . 2 4 6 200 .

2 4 6 200 3 5 7 201

   = 1.(3.5.7 199). (2.4.6 200)

(2.4.6 200) (3.5.7 199).201= 1

201 Vậy A2 < 2011

* Ví dụ 3.3 So sánh A và B biết :

A = 1056 1

10 1

+ + và B = 1067 1

10 1

+ +

Nhận xét: học sinh nhận xét thây tử số và mẫu số co số hạng tử bằng nhau , nhưng số hạng thứ nhất của chúng hơn kém nhau 10 lần Ta chọn phân số trung gian có cùng mẫu số bằng mẫu số của phan số đã cho Ta so sánh 10 A và 10B

Giải :

10A = 1066 10

10 1

+ + = 1 + 6

9

10 + 1 và 10B = 1077 10

10 1

+ + = 1 + 7

9

10 + 1 Ta chỉ cần so sánh hai phân số 6

9

10 + 1 và 7

9

10 + 1 => 6

9

10 + 1 > 7

9

10 + 1 => 10A > 10B Vậy A

> B Tương tự ta có bài tập sau :

* Ví dụ 4.3 : So sánh A và B biết : A = 1065 1

10 1

+ + và B = 1076 1

10 1

+ +

Ta cũng có nhận xét như ví dụ 3.3 giáo viên hưỡng dãn học sinh so sánh 10A

và 10B

1

10 10 10 10 10

1

10 10 10 10 10

10 10 10 > 10

=> 10A <10B Vậy A < B

Lưu ý : các phân số trung gian được chọn không nhất thiết phải là các phân số có tử số , mẫu số khác nhau Ta có thể chọn các phân số trung gian

là 1 ( có tử và mẫu bằng nhau ) khi đó bài tập trở nên dễ dàng hơn

Ví dụ 5.3

a So sánh hai phân số sau : 13

12 và 3

4

Ta thấy 1312 > 1 > 34 vậy 1312 > 34

b So sánh hai phân số 125131 và 117109 Ta thấy 125131 < 1 < 117109