Công trinh này dành cho việc nghiên cứu một số bài toán mổ rộng trong lý thuyết én định : bài toán ôn định bộ phận hay ồn định đối với một phần biến số va bai toan.6n định đối .với ma t
Trang 1BỘ GIÁO DỤC ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 1
VŨ TUẤN ˆ
vE MOT SO BAI TỘN MỜ RỘNG
TRONG LY THUYET ON DINH (rom TAT LUAN 4N PHO TIEN SI TOAN~ LY)
HÀ NỘI _ 1979 `
Trang 2
Công trình được hoàn thành tại Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1 `
- Người nhận xói luận án
Địa điềm bảo vệ: Trưởng Đại học Sư phạm Hà-Nội bh ;
Cảc bản nhận xét xin gửi về phòng Quần lỷ khoa
“họe trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1
Trang 3
BỘ GIÁO DỤC
TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NỘI 1
VŨ TUẤN
4
-_WF MỘT SỐ BÃI TỘN MO RONG
_— TRONG LÝ THUYET ỒN ĐỊNH
(TĨM TẮT LUẬN ÁN PHĨ TIẾN $Ì TỐN — LÝ}
[iro] L gfe
«HA NOI-1979
Trang 4Công trinh này dành cho việc nghiên cứu một số
bài toán mổ rộng trong lý thuyết én định : bài toán ôn
định bộ phận (hay ồn định đối với một phần biến số)
va bai toan.6n định đối với ma trận chéo
Công trình gồm 3 chương: Chương I và II trình bay
` các kết quả về vấn để thứ nhất, còn chương TH dành,
cho vấn đề thứ hai :
Vấn đề ồn định bộ phận duge A.M Liapufoy đặt ra, (xem [1]; trang 292) và chỉ được thực sự nghiền cứu kề
từ khi xuất hiện công trình của V.V Humyantsev ([2])
Tiếp sau Humyantsev là A.S Oziraner, V/l: Zubovy,:
K Peiffer, X Rouche, G., -Corduneanu, Tất cả các tác giả đều mở rộng phương pháp thứ hai của Liapunov
Bai toan này đặt ra như sau:
- Cho hé vi phân cấp n
Hãy xét xem với điều kiện nào vị trí cân bằng
x =0 của hệ (1) là ôn định đối với bộ phận biến số
XỊ; -.-„, X„ (Í < m< n) - *
Trang 5Nói cách khác, hãy xét xem với điều kiện nào thì
với mỗi số đương e >0 và tạ€ RẺ đều tồn tại số
ô(e, tạ) >0 sao cho tử
n a Ixi = (Ð we To (2)
ta suy ra
, 1 -
voi moit<é ít , 0) (6 day x = colon (y, z), y€lR",
zc|fmrm),
- Nếu với mọi >0, lạ€ IR* , luén luôn tồn tại số
“ô(, tạ)>>0 đề từ (2) suy ra (3) thì ta bảo vị trí cân
bằng (hay nghiệm tầm thường x =:0) của hệ (1) là ôn định đối với bộ phận các biến số xị, xạ hay gọn
hon là y — Ôn định
Nếu, ngoài ra, tồn tại số A (tạ) sao cho bất kỳ nghiệm X(t, lạ, xạ) nào của hệ (Í) mà
- dxal< A@)
đều kéo theo:
lim JÏy(t; tạ, xa) | = 0 (4) -
ab > 0 thì ta bảo nghiệm x = 0 là y - ồn định tiệm can , Ta sẽ gọi x=l là y — ôn định tiệm cận mũ nếu
tồn tại các số M>>0 và ø>>0 sao cho:
Hy(ts tes Xo) | << MUX] eT Erte?
với mọi tSt,>0
4
Trang 6Việc nghiên cửu tính chất ôn định bộ phận có những ứng dụng thiết thực (xem chẳng hạn [3], [4]) vào kỹ
Chirong I khao sat tinh chất ồn định bộ phận đối với
hệ vi phân phi tuyến cắp n dạng:
(F(t, 0) = 0
(C{[a, =), X€IR®, x = colon(y,z), y la veeto m
chiéu, z 1A veeto n — m chiéu, Fat, x) = colon (f(y, z) g(t, y,2)), f 1a vecto m chiéu, g là vcetơ n — m chiều) -
O day đã xét vấn đề ồn định đối với hộ phận các biến Xu, Xm trong hai trường hợp khi phần tuyến tính
——= M()x = M(t) | ®) 6
là hệ chính quy hoặc phi chính quy
Hai định lý sau đây là kết quả chính của chương này:
ĐỊNH LÝ I—2 Nếu:
1) Hệ (6) là hệ chính quy theo nghĩa Liapunov
2) Trong hệ nghiệm cơ bản chuận tác Xe) của hệ (6)
có m nghiệm có số mũ đặc trưng âm `
Azo] =<
G=n—m + f, nm)
Trang 73) Đổi với veetơ hàm F(t, x) ta cổ hất đẳng thức
ify, 2 <9 (9llyJt ` (>Ð
trong đó + ( là hàm số liên tục, dương tếong [ tạ, œ} và
thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (5) là y—ôn định
mũ khi t + o
Định lý của Liapunov ay về sự ồn định theo xấp
xỉ thứ nhất là một trường hợp riêng của định lý này khi m = n
ĐỊNH 1Ý !— 4 Nếu:
1) Đối với hệ (6) tồn tại ma trận cơ bản chuần tác dạng chéo khối U (t)=diag (U,, (Ð, Ủa_m Œ)) thỏa mãn
bất đẳng thức
GU)
G (Dạ) G (Ủy m) (rong đó G (Uy) là định thie Gram :của ma trận Uy)
3 Ifđ/y.Z)<t®(0ylt (q> 1ˆ
=p>0
trong dé y(t) là hàm số đương ; liên tục và x[t(Đ]= 0, `
3) Phd day da 4< cà: <a„ của hệ (6) thỏa mãn
ae + Kite = ST SO
q—1
trong 46 T = TY (m) là hệ số phi chính quy m ~— bộ
‘ phan `
PiŒ)d+
ius
lim 1
›) xT too Uf jy
_ te i
Trang 8{P¡(Œ) là phần tử chéo của ma trận ÀÍ(1)), thì nghiệm tam thường x= 0 của hệ phi tuyến (5) lay - — én dinh tiém cdn khi t—> o
Khi m =n dinh ly nay cho ta dinh ly Massera { 5 } ~
Trong chương H tác giả sử dụng công cụ của lý
thuyết số mũ trung lâm trên do R.E Vinograd đưa ra (xem [6}) dé nghiên cứu tính chất ồn định của nghiệm
ˆ một hệ vỉ phân với nhiễu cấp cao
Hi NGHĨA 2—1 Cặp hàm số giới nội, đo được trên
ty » 2°) {RO, ø(@)} được gọi là thuộc lớp H nếu tồn
` hằng số D = Dạ,p sao cho -
t = l §
fre dt + (q — 1) foar
[Pm (X(t, s)f< Des te
doi voi moit, Cs Ct; 6 aay X(t, 8) ky hiện ma trận _ Côsi của hệ tuyến tính (8) và
n
XŒ,s5)= Pm(X(t, 8))
Trang 9Số
om = inf (RT)
RG
` trong đó
(
R+a= lim + (ŒR +p)dr
t—> œ
bo
được gọi là sô mũ trung tâm trên m — bộ phận cấp
q của (6)
Với q= 1 vàm =n, định nghĩa này trùng với định ˆ nghĩa hàm thuộc lếp trên và số mũ trung tâm trên
theo nghia Vinograd
Dinh ly sau day la kết quả chỉnh của chương HH
ĐỊNH LÝ 2—1 Giả sử rằng trong lớp trên R'tồn tại
cặp hàm (R(t), ø (DỊ sao cho
4
- [R@ & < Dị <=
ty
s
f (q — ofa + pdt
e to ds = Ky< œ`
_ to
Trang 10Thế thì với bất kỳ điều kiện ban đầu nado x, = x(t,)
có chuần đủ nhỏ ; phương trình (5) có nghiệm x(t, ty, X»)
là z — thác triền được trên (t,, œ) và thỏa mãn bất
đẳng thức;
t
frear
Iv(Đi < đyđ2Ï + lize.) Dye"
Từ đó suy ra rằng nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (¿2 8 là y — ồn định
Áp đụng dịnh lý này ta chứng mìinh được các mệnh
dé mé rong cia định lý Malkin, định lý Massera, định
Chang han:
HỆ QUÁ 2 — 3 Nếu chuẩn của Pa (X(t, s)) théa man bất đẳng thức sau với một hằng số D nào đó: %5 -
IP„(X@, sỹ < De #Œ — 9 + PS
trong đó +, B là các hằng số thỏa mãn điều kiện: >
_ q—1)a+p<0 thì nghiệm tâm thường x=0 của hệ {ð) lày -ôn
định tiệm cận với bất kỷ nhiễu nào có cấp > q
_ Khi m=n mệnh đề này cho ta định lý Malkin{7]
HỆ QUÁ 2—2 Nếu số mũ trung tâm trên m—bộ phận cấp q là âm : @m <0 thì nghiệm tầm thường
x=0 của hệ (5) là yồn định tiệm cận khi L—> s với
Trang 11Chương HI dành cho việc sử dụng phương pháp ham
Liapunov đề nghiên cứu tính chất ồn định đối với ma
trận chéo © (t) Khai niém nay, do tac ‘gid dua ra, 1a
sự mẻ rộng của khái niệm ôn định (heo Liapunoy NO
giúp cho la khảo sái sâu sắc hơn «mức độ» ôn định đối với từng thành phần của veclơ biều diễn chuyên
động
Giả sử đã cho hệ vi phân cấp n
dx: = =N, , ` mm
với về phải liên tục và (hỏa mãn điều kiện duy ‘ahi at
nghiệm trong miền -
Giả sử gt G=1, n) la nhitng ham số đơn điệu tăng, khả vi trong [a.oo) va;
ot) <1 ,a<t<io, lim g@;¡() =b; -(9ˆ
ĐỊNH) NGHĨA Nghiệm + (Ð của hệ vi phân (7) được
gọi là ôn- định bậc k> 0 đối với ma trận
.„ ®Œ}= đỉag (0uufa) -
hoặc ®œt — ồn định khi t —> co nếu đối với mỗi s>>0,
tạ.€ [a,=) tồn lại số ở (se, tạ) — 0 sao cho từ bất đẳng
IP*đ2) x,—n(,)|<ð —— 10)
YOK (OQ XS ty Xe) — 1D <e voi moi i>t,
10
Trang 12,
Nghiệm n (1) của hệ (7) được gọi là ®*.— ôn định
- tiệm cận nếu nó là #* ~ ồn định và với mỗi lạ € [a,œ), 'tồn tại số A ()>0 sao cho mọi nghiệm x (L;fạ, xạ) mà
I (2) xe — Wt <A
thì
lim J*(Ðx(t ; l2, xạ — n (ĐỊ = 0
i — co -
Từ.các dinh nghĩa dưa ra la suy ra được một số
mệnh đề sau đây:
- HỆ QUÁ 3—1 Nếu nghiệm m () của hệ vi phân (7) là
`®(@) ồn định (hoặc ®() — ồn định liệm cận) với
®() = E (21a ma tran don vị cấ6 n) thì nó là ồn dịnh (hoặc Ov định tiệm cận) theo nghĩa Liapunov
HỆ QUÁ 3—3 Nếu nghiệm tầm thưởng x =0 của hệ
là ®* — ồn định (hoặc @* ôn định tiệm cận) thì nó cũng là ®* — ồn định (hoặc @©° ~ ồn định tiệm cận):
với mọi số h: 0< h < k, do do nó cũng là ồn định (hoặc ồn định tiệm cận) theo nghĩa Liapunov
=X(@x (X@Œ0=0) — TdĐ
Sau khi đưa ra các khái niệm mở rộng trên đây tác- giả đã chứng minh một số mệnh đề cho các điều kiện
đủ (và điều kiện cần) đề nghiệm tâm thường x=0 của
hệ (11) là ®* — ồn định; @* — ồn định đều, ®* —nˆ định tiệm cận, Các mệnh đề này là mở rộng của các định lý đã biết trong Íý thuyết ồn định của Liapunov;
Persidski; Tsêtaev, ,
Chẳng hạn các định lý sau đây là mở rộng của định
lý Liapunov
"
Trang 13ĐỊNH lLÝ 3~1 Nếu đối với hệ vị phản cấp n
dx
dt
ton tai ham V (t,x) théa mãn các bất đẳng thức
V(t x) > a(x) -
(trong đó a (r) là hẳm số đơn điệu tăng; liên tục trong
[0 H] (hoặc [0, œ) và a(0 = 0) thì nghiệm tầm
thường x=0 của hệ (13) 1A &* — ồn định
ĐỊNH LÝ 3—5 Nếu đối với hệ vị phân (12) tồn: tại
hàm số khả vi liên tuc V(t, x) théa man cdc điều kiện
9) VŒ, x) >9) adXID a) =1)
trong đó 6() là hàm số đơn dié utang va lim Ot) =
toe
3» ¬ Ÿ(d,®*(4)x) <0
thì nghiệm lăm thường x=0 của hệ (12) là @*~ồn
định tiệm cận khi t-» + o ` `
Cuối chương JH tác giả đã nêu mét sé thi du minh họa cho những định lý đã“ -được chừng minh trong việc xác định lính chất (ĐÈ —ồn định; ok Sn định
tiệm cận của nghiệm tầm thường của một hệ vi phan
Những kết quả chính của bản luận văn này đã được báo cáo ở hội nghị Toán học Việt Nam lần thứ hai, 12
Trang 14ở hội nghị khoa học của Tô, Giải tích và Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà nội ! và ở xemine Phương
trình vi phân của trường Đại học Tông hợp Hà Nội Các kết quả chính của luận văn được công bố trong
[8] — [11]
13
Trang 15TÀI LIỆU THAM KHẢO a
[1] Jlanyros A.M CoGpanne coqcuennl H MOckpa- J]iennnrpan, l956
[2] Pywannes B.B O6 ycrolqHBocTH /nBHXGHHT HO OTHOHICHHIO K HACTH: D€DEM€HHBIX Becrunk M.P.Y N® 4;
[3] Pymsannes B.B O6 acumnroruueckoft VCTOHWHBOCTH
H H@VCTỌHHBOCTH ABHKCHHA HO OTHOUTeHINO K YacTH
trepemenuitx, ITM M, 1971, T35, BBH1 1
14] -Megenn H.P_ Đsenenue B TeopHo VCTOlffiBOCTiT -
apuxenusa Elan-po «Haywa», MocKsa, 1976, -
[5] Maccepa X.JI, K reopun yeroluneocrn, Cố nepe- somos « Matematuka», H.J1 1:4, 1957 |
[6] Busorpéa PS © nenrpasbnom XapaKTeDHCTN€CKOM IOKA34TEI6 CHCTEMD IHỦjj€pEIHUHA1EHBX YDABHHHE
MareM cØopHnk 42, N°2, 1957,
[7] Maakmm, J.P B8eneHu€ 8 TeOpHIO yGTOÍÏNHBOCTH
asHxcenns, Wlan-so « Hayka», Mocksa, 1966,
S4 B Tyan Heroropbe TeopeMi, 06 y€fOfiurROGTH
Re OTUOCHTEADHO MaTDITILBL @ a FLadibepeui.u~ apie ypapnenusa 1978, TOM XIV, N°9, e
14C
Trang 16{9] By Tyan O6 yCTOÑWOBO€TH To Hepsomy nphốan3.erudo 3XeöEHiOMWV ƠTHOCHT€IbHO HACTH H€D€M€HHHIX, TIMM (x tte-
_uadru)
[10] Vai Tuấn Số mũ trung tâm trên và tính chất ồn
định bộ phận Tạp chí Toán học (đã gửi đăng)
fit] Vũ Tuấn Về tính chất ồn định tiệm cận bậc k ~
đối với ma trận ® (Ù - Tạp chí Toáu học LHià Nội (đã
“45