thiết kế điều khiển bộ biến đổi dc-dc giảm áp sử dụng phương pháp cận tuyến tính nhờ phản hồi trạng thái

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP --- LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: THIẾT BỊ, MẠNG & NHÀ MÁY ĐIỆN ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP SỬ DỤN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

-

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGÀNH: THIẾT BỊ, MẠNG & NHÀ MÁY ĐIỆN

ĐỀ TÀI:

THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CẬN TUYẾN TÍNH NHỜ PHẢN HỒI TRẠNG THÁI

Học viên: PHẠM THỊ THUỲ LINH

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN PHÙNG QUANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Phạm Thị Thuỳ Linh

Ngày tháng năm sinh: Ngày 15 tháng 07 năm 1984

Nơi sinh: Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên

Nơi công tác: Trường Cao đẳng nghề Cơ điện & Xây dựng Bắc

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn này là trung thực và là công trình nghiên cứu của tôi, chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, ngày 06 tháng 8 năm 2010

Tác giả luận văn

Phạm Thị Thuỳ Linh

MỤC LỤC

1.2 Mô hình bộ biến đổi giảm áp (the Buck converter) 13

2.1 Tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc 21

Phân tích tính ổn định nhờ mô hình tuyến tính tương đương

Phân tích tính ổn định nhờ đa tạp trung tâm

2.2 Thiết kế bộ điều khiển 36

2.3 Thiết kế bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái gán điểm cực 38

MỞ ĐẦU

Hiện nay vấn đề năng lượng và mụi trường là vấn đề rất quan trọng trong đời sống sản xuất và phỏt triển kinh tế xó hội trờn toàn cầu Với sự phỏt triển của khoa học cụng nghệ, con người đó sử dụng được những nguồn năng lượng sạch từ tự nhiờn như năng lượng giú, mặt trời, thuỷ chiều… Ở Việt Nam hiện nay cũng đó bắt đầu sử dụng những nguồn năng lượng này trong việc giải quyết bài toỏn năng lượng quốc gia Những nguồn năng lượng trờn

đó cung cấp một lượng năng lượng lớn đỏp ứng nhu cầu của con người Nhưng chỳng ta mới sử dụng một phần rất nhỏ, chưa khai thỏc triệt để tiềm năng sẵn cú của nú Nguồn điện tạo ra là nguồn nờn nú cú khả năng lưu trữ điện đú thường cú biờn độ cố dịnh, khụng được điều khiển Vỡ thế gặp rất nhiều khú khăn trong việc cung cấp nguồn điện cho cỏc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như sản xuất cụng nghiệp, truyền thụng

Mặt khỏc, hiện nay, do nhu cầu về năng lượng điện của con người ngày càng tăng, việc đầu tư cho hệ thống lưới điện lại đũi hỏi rất nhiều kinh phớ dẫn tới tỡnh trạng quỏ tải, thiếu hụt điện năng và chất lượng điện năng suy giảm Điều này ảnh hưởng trực tiếp tới cỏc thiết bị dựng điện, đặc biệt ảnh hưởng lớn tới tuổi thọ cỏc thiết bị điện tử nhạy cảm như hệ thống thụng tin, điều khiển trong cụng nghiệp Ngoài ra, nếu xảy ra tỡnh trạng mất điện làm cho cỏc thiết bị ngừng hoạt động, khụng những gõy tổn thất khụng nhỏ về mặt kinh tế cho cỏc doanh nghiệp và nhà nước mà cũn ảnh hưởng đến tớnh mạng của con người khi sử dụng cỏc mỏy múc hiện đại để điều trị trong y học

Trong kỹ thuật hiện đại ngày nay, việc chế tạo ra các bộ chuyển đổi nguồn có chất l-ợng điện áp cao, kích th-ớc nhỏ gọn cho các thiết bị sử dụng

điện là hết sức cần thiết

Vỡ những lý do đú mà bộ biến đổi nguồn DC-DC đang được sử dụng ngày càng rộng rói Bộ biến đổi nguồn DC-DC là một thiết bị cụng suất, biến điện ỏp một chiều thành điện ỏp một chiều với cỏc mức điện ỏp mong muốn

nhằm cung cấp điện cho cỏc thiết bị sử dụng nguồn một chiều Bộ biến đổi nguồn DC-DC cũn là một phần quan trọng của bộ lưu điện UPS

Bộ biến đổi DC - DC giảm áp hay đ-ợc sử dụng ở mạch một chiều trung gian của thiết bị biến đổi điện nâng công suất vừa và nhỏ, đặc biệt là các hệ thống phát điện sử dụng năng l-ợng tái tạo (sức gió, mặt trời)

Cấu trúc của mạch vốn không phức tạp nh-ng vấn đề điều khiển nhằm đạt

đ-ợc hiệu suất biến đổi cao và bảo đảm ổn định luôn là mục tiêu của các công trinh nghiên cứu Bản chất mạch giảm áp có các phần tử phi tuyến do vậy lựa chọn ph-ơng pháp tuyến tính hóa nhờ phản hồi trạng thái sẽ phù hợp cho việc

điều khiển bộ biến đổi trên Trong phạm vi bản luận văn này, với đề tài „Thiết

kế điều khiển bộ biến đổi Dc-DC giảm ỏp sử dụng phương phỏp cận tuyến tớnh nhờ phản hồi trạng thỏi ‟

Nội dung của đề tài được trỡnh bày trong cỏc chương sau đõy:

Chương 1: Mụ hỡnh bộ biến đổi DC-DC giảm ỏp

Chương 2: Phương phỏp cận tuyến tớnh phản hồi trạng thỏi

Chương 3: Cấu trỳc điều khiển bộ biến đổi DC-DC giảm ỏp

Chương 4: Mụ phỏng kiểm chứng trờn nền MATLAB & Simulink

Em xin chõn thành cảm ơn thầy giỏo hướng dẫn GS.TSKH.Nguyễn Phựng Quang dó tận tỡnh chỉ bảo, giỳp đỡ và tạo điều kiện để em cú thể hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ kỹ thuật

CHƯƠNG 1

MÔ HÌNH BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP

1.1 Các bộ biến đổi DC-DC

Trong kỹ thuật điện có nhiều trường hợp phải thực hiện quá trình biến

đổi một điện áp một chiều không đổi thành một chiều khác có giá trị điều chỉnh trong phạm vi rộng Để thực hiện quá trình biến đổi này người ta dã sử dụng nhiều phương pháp khác nhau Phương pháp biến đổi cho hiệu suất cao, dung được trong giải công suất từ nhỏ đến lớn và thực hiện điều chỉnh điện áp

ra một cách thuận tiện nhất là sử dụng các bộ biến đổi điện áp một chiều thành điện áp một chiều, thường gọi tắt là bộ biến đổi DC-DC và cũng được gọi là xung điện áp hoặc băm điện áp Bộ biến đổi DC-DC là thiết bị biến đổi điện năng ứng dụng các linh kiện bán dẫn có điều khiển

Hiện nay có rất nhiều phương pháp để thực hiện bộ biến đổi DC-DC, vì vậy để có một cái nhìn tổng quan nhất, tôi sẽ trình bày sơ lược về phân loại các bộ biến đổi DC-DC cùng với đó là đưa ra một số nguyên lý biến đổi DC-

DC phổ biến

1.1.1Phân loại sơ đồ biến đổi DC-DC

Về nguyên lý, sơ đồ biến đổi DC-DC có thể được chia thành 2 nhóm:

1.1.1.1 Sơ đồ biến đổi DC-DC không có cách ly

Với nhóm sơ đồ này, điện áp một chiều được tạo ra nhờ việc phóng nạp

tụ điện từ dòng điện qua cuộn cảm L được cung cấp bởi nguồn cấp Điện áp một chiều đầu ra thay đổi nhờ có việc phóng nạp được thay đổi bởi van công suất được mắc hợp lý tuỳ thuộc vào từng sơ đồ Các sơ đồ phổ biến theo nguyên lý này gồm có:

- Sơ đồ biến đổi Buck

- Sơ đồ biến đổi Boost

- Sơ đồ biến đổi Buck-Boost

Sơ đồ biến đổi DC-DC không cách ly có ưu điểm là mạch đơn giản, và giá thành thấp, thường được ứng dụng trong các bộ DC-DC công suất nhỏ, không cần chất lượng cao

Hình 1.1: Các bộ biến đổi DC-DC không có cách ly

1.1.1.2 Sơ đồ biến đổi DC-DC có cách ly

Với nhóm sư đồ này, điện áp một chiều đầu vào được biến đổi thành điện áp xoay chiều cao tần và biên độ điện áp xoay chiều được nâng lên qua biến áp xung, sau khi qua một hệ thống lọc LC sẽ cho ta điện áp một chiều với biên độ mong muốn Các sơ đồ phổ biến theo nguyên lý này gồm có:

- Sơ đồ biến đổi FlyBlack

- Sơ đồ biến đổi Push-Pull

- Sơ đồ biến đổi Half-Bridge

- Sơ đồ biến đổi Full-Bridge

Do nguồn và và nguồn đầu ra có cách ly nhờ sử dụng biến áp xung nên

có ưu điểm là hạn chế được nhiễu tải tác động ngược lại nguồn đầu vào và các thiết bị trong mạch, có thể tăng/giảm mức điện áp đầu ra một cách dễ dàng, công suất lớn Tuy nhiên nó cũng có một số nhược điểm là làm tăng kích thước mạch, tăng giá thành, vấn đề trở lên khó khăn hơn Sơ đồ biến đổi DC-

1.1.2 Các sơ đồ bộ biến đổi DC-DC không cách ly

1.1.2.1 Sơ đồ biến đổi Buck

Bộ biến đổi Buck là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành điện áp một chiều thấp hơn, thường ứng dụng trong các bộ ổn định điện áp thay cho các mạch analog truyền thống sử dụng biến áp lõi tôn sillic

+

-+

i

-Hình 1.2: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Buck

b) Nguyên lý hoạt động

Van Q được điều khiển bởi một xung có độ rộng thay đổi được(PWM)

trong một chu kỳ T Cuộn cảm L và tụ C ở đầu ra đóng vai trò như bộ lọc thông thấp

Trong thời giam van Q mở thì điện áp đặt lên diode D đúng bằng điện

áp Vd, cuộn L tích điện Dòng điện qua cuộn cảm tăng tuyến tính theo luật Faraday

Khi Q đóng thì điện áp đặt lên diode D gần như bằng 0 (thực tế khoảng

Điện áp ra được tính theo công thức sau:

V0 =D.Vd

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van

1.1.2.2 Sơ đồ biến đổi Boost

Bộ biến đổi Boost là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành điện

áp một chiều có biên độ cao hơn, nó còn gọi là mạch step-up converter Nguyên lý này đƣợc ứng dụng cho việc cung cấp các điện áp yêu cầu lớn hơn điện áp nguồn nuôi, với công suất nhỏ, ví dụ trong các mobile, notebook… a) Sơ đồ nguyên lý

Hình 1.3: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Boost

b)Nguyên lý hoạt động

Trong thời gian van Q mở thì điện áp trên cuộn cảm L đúng bằng điện áp

Vd do đó cuộn cảm tích điện, dòng iL qua cuộn cảm tăng tuyến tính

Khi van Q đóng thì cuộn cảm L bắt đầu phóng qua diode D và nạp cho tụ

C Trong quá trình này điện áp đặt lên cuộn cảm là Vd-V0 <0 do đó giảm về 0 thì mạch hoạt động ở chế độ liên tục

Điện áp đầu ra đƣợc tính theo công thức sau:

V0 = V d

D



1 1

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van

1.1.2.3 Sơ đồ biến đổi Buck-Boost

Bộ biến đổi Buck-Boost là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành

Hình 1.4: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Buck-Boost

b) Nguyên lý hoạt động

Khi van Q mở, điện áp đặt lên cuộn cảm là Vd, cuộn cảm tích điện, dòng điện iL qua cuộn cảm tăng lên tuyến tính

Khi Van Q đóng, diode D thông, điện áp đặt lên cuộn cảm là –V0, cuộn

Điện áp ra được tính theo công thức sau:

V0 = V d

D



1 1

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van

1.2 Mô hình bộ biến đổi giảm áp (the buck converter)

Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu mô hình của bộ biến đổi DC –

DC giảm áp Bộ biến đổi Buck là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành điện áp một chiều có biên độ thấp hơn biên độ điện áp vào Vấn đề điều khiển

bộ biến đổi giảm áp là một vấn đề phức tạp vì nó có tính phi tuyến và dễ bị ảnh hưởng của các tác động bên ngoài Sơ đồ mạch điện của mô hình bộ biến đổi DC- DC giảm áp (the buck converter) như sau:

-+

i

-Hình 1.5: Mạch điện mô tả bộ biến đổi DC-DC giảm áp

Giả sử mạch bộ biến đổi DC-DC giảm áp có các thành phần lý tưởng, nghĩa là transistor Q phản ứng nhanh khi diode D có giá trị ngưỡng bằng 0 Điều này cho phép trạng thái dẫn và trạng thái khóa được kích hoạt tức thời không mất thời gian., ở đây các phần tử bán dẫn Q,D được thay thế bằng một công tắc lý tưởng như hình 1.3

vi

Hình 1.6: Mạch điện lý tưởng mô tả bộ biến đổi DC-DC giảm áp

1.2.1 Mô hình của bộ biến đổi

Mạch hoạt động như sau: khi transistor ở trạng thái mở, diode D sẽ bị phân cực ngược Do đó, sẽ hở mạch giữa nguồn áp E và tải R Ta có thể thấy điều này trên hình 1.4(a) Mặt khác, khi transistor Q ở trạng thái khóa, diode

D phân cực thuận, tức là D dẫn Nó cho phép dòng năng lượng truyền từ

nguồn nguồn năng lượng dự trữ trên L tới tải R được thể hiện như ở hình 1.4(b)

L i

E + -

+ - v

L i

a) Trường hợp u=1 b) Trường hợp u=0

Hình 1.7: Sơ đồ thay thế của bộ biến đổi giảm áp

Để xác định được mô hình động học của bộ biến đổi, ta áp dụng luật Kirchoff cho mỗi một sơ đồ mạch như là hệ quả của hai vị trí chuyển mạch

Sơ đồ mạch đầu tiên nhận được khi chuyển mạch lấy giá trị u = 1, sơ đồ mạch thứ hai nhận được khi chuyển mạch lấy giá trị u = 0, hai sơ đồ mạch này được biểu diễn trên hình 1.7

Áp dụng định luật Kiếp hốp dòng và áp cho 2 mạch điện trên Ta được các phương trình vi phân biểu diễn mạch như sau:

Trước tiên ta xét trường hợp khoá ở vị trí u=1(hình 1.7.a), áp dụng định

luật Kirchoff dòng và áp cho mạch điện, ta được hệ phương trình vi phân :

Khi khoá chuyển mạch ở vị trí u=0 (hình 1.7.b), ta có hệ phương trình

Xếp chồng hai trường hợp trên ta được mô hình động lực học :

ra chuẩn hóa, và uav là giá trị điều khiển trung bình

Chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

E

C

L E x

x

1 0

0 1

1.2.3.Điểm cân bằng và hàm truyền tĩnh

Một điểm trạng thái của hệ thống gọi là điểm cân bằng (equilibrium

poin) nếu như khi đang ở điểm trạng thái và không có một điểm tác động nào

từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó Về bản chất thì điểm cân bằng chỉ là loại điểm dừng đặc biệt, tức là điểm dừng ứng với tín hiệu đầu vào y(t) =0

phi tuyến, vì một lý do là thông thường người ta hay quan tâm tới tính chất động học của hệ trong lân cận các điểm trạng thái này

Một trong các mục tiêu điều khiển mà ta mong muốn đạt được khi sử dụng hoặc thiết kế bộ biến đổi công suất một chiều sang một chiều, là điều chỉnh điện áp ra ổn định tới một giá trị hằng hoặc để tiếp cận tới 1 tín hiệu tham chiếu cho trước Trong chế độ trạng thái ổn định, ứng với các giá trị cân bằng hằng, tất cả các đạo hàm theo thời gian của các biến trạng thái mô tả hệ thống được cho bằng 0 Vì vậy, đầu vào điều khiển cũng phải là hằng, nghĩa

là uav=U=constant Điều kiện này kéo theo một hệ phương trình mà nghiệm của nó mô tả điểm cân bằng của hệ

) 1 0

2

x

x Q

là trạng thái ỏn định chuẩn hoá của điện áp đầu ra chuẩn hoá x2 với

điều kiện đầu vào trung bình là hằng số U Chất lượng này được thể hiện qua H , nó là hàm tham số cho giá trị trung bình đầu vào U, là H(U) Trong bộ biến đổi Buck, nó thê hiện mối quan hệ:

x2  H(U) = U (1.7)

Ta có sơ đồ mạch điện của bộ biến đổi DC-DC giảm áp với các thành phần có giá trị nhƣ sau:

v

5 6 7 8

4 3 2 1

330 330

S D

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP CẬN TUYẾN TÍNH

PHẢN HỒI TRẠNG THÁI

Do thoả mãn nguyên lý xếp chồng nên việc khảo sát, phân tích hệ tuyến tính nói chung rất tiện lợi, chẳng hạn chỉ cần dựa vào tính chất hàm trọng lượng, hàm quá độ … là ta đã xác định được đặc tính động học của toàn bộ hệ thống Sử dụng mô hình tuyến tính để mô tả, phân tích cũng như tổng hợp và điều khiển có rất nhiều ưu điểm như:

- Mô hình càng đơn giản, càng tốn ít kinh phí Các hàm tham số mô hình tuyến tính dễ dàng xác định được bằng phương pháp thực nghiệm( nhận dạng) mà không phải đi từ những phương trình hoá lý phức tạp mô tả hệ

- Tập các phương pháp tổng hợp bộ điều khiển tuyến tính rất phong phú và không tốn nhiều thời gian để thực hiện

- Cấu trúc đơn giản của mô hình cho phép dễ dàng theo dõi được kết quả điều khiển và điều chỉnh lại mô hình cho phù hợp

Từ những ưu điểm nổi bật đó của mô hình tuyến tính cũng như với mong muốn sử dụng được các thành tựu của lý thuyết điều khiển tuyến tính, nên trong khá nhiều trường hợp, khi điều kiện cho phép, người ta thường tìm cách chuyển thể mô hình phi tuyến sang dạng có thể áp dụng được các phương pháp phân tích và thiết kế bộ điều khiển của lý thuyết điều khiển tuyến tính Đó cũng là nội dung của điều khiển cận tuyến tính

2.1 Tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc

2.1.1 Tuyến tính hoá mô hình trạng thái

Về bản chất của tuyến tính hoá xấp xỉ mô hình hệ thống xung quanh

cong f(x) trong lân cận điểm x0 bằng một đoạn thẳng tiếp xúc với đường cong đó tại điểm x0 Như vậy việc tuyến tính hoá một hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc đồng nghĩa với sự xấp xỉ gần đúng hệ phi tuyến trong lân cận điểm trạng thái cân bằng hoặc điểm dừng bằng một mô hình tuyến tính

bằng x e hoặc điểm dừng x d Điều này có nghĩa là khi không bị kích thích, tức là khi tín hiệu vào u(t) =0 thì điểm làm việc x v sẽ chính là điểm lân cận x e à trong trường hợp ngược lại với u(t) = u0 là hằng số thì x v chính là điểm dừng x d

) , (

u x g y

u x f dt

n x u f u x f u x f u

x

f( , ) ( , ), ( , ), ( , )

2 1

T

r x u g u x g u x g u

x

g( , ) ( , ), ( , ), ( , )

2 1

x , tức là tại đó:

0 ) , (x u0 

r x u g u x g u x

g ( , ), ( , ), ( , )

2

chuỗi taylor tại điểm xv, u 0 Sau đó với giả thuyết sai lệch x-xv và

u-u 0 là đủ nhỏ để có thể bỏ qua tất cả các thành phần bậc cao trong

) (

) (

0 0

0

u u D x x c u x g

y

u u B x x A dt

dx

v v

v

(2.2)

Trong đó :

0

0 ,

, 1

1

1 1

u x n

n n

f

x

f x

f

x

f A

, 1

1

1 1

u x r

n n

f

u

f u

f

u

f B

, 1

1

1 1

u x n

s s

g

x

g x

g

x

g C

, 1

1

1 1

u x r

s s

g

u

f u

Và đƣợc gọi chung là ma trận jacobicủa các vector hàm f (x ,u ), g (x ,u )

Nếu để ý tiếp rằng nếu xv là vector hằng tức là:

dt

x x d dt

x

d (  v)

dụng các kí hiệu: x=x-x v, u=u-u 0 và y=y-g(x v-u 0) Thì từ 2.2 ta sẽ trở về mô hình tuyến tính dạng quen biết trong lý thuyết điều khiển tuyến tính :

g

y

u B

x

như trên thì cần thiết các vector hàm f (x ,u ), g (x ,u ) phảI khả vi tại x v, và u 0

2.1.2 Phân tích hệ thống

Phân tích tính ổn định nhờ mô hình tuyến tính tương đương

Với mô hình tuyến tính tương đương (2.3) trong lân cận điểm làm việc thì việc phân tích chất lượng của hệ phi tuyến có mô hình trạng thái (2.1) có thể được thực hiện bằng các công cụ quen biết và đơn giản của lý thuyết điều khiển tuyến tính

Tuy nhiên do có sự hạn chế rằng mô hình tuyến tính (2.3)chỉ thay thế được mô hình (2.1) ban đầu trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của điểm làm việc nên các kết luận rút ra được từ công việc phân tích cũng chỉ đúng trong lân cận đó

Định lý 2.1: Cho hệ phi tuyến (2.1) với điểm cân bằng x e có mô hình tuyến tính tương đương trong lân cận x e là (2.3) Khi đó tính ổn định của hệ phi tuyến (2.1) tại x e sẽ được xác định từ vị trí các giá trị riêng của ma trận A của

mô hình (2.3) như sau:

a) Hệ phi tuyến (2.1) ổn định tiệm cận tại x e khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của A nằm bên tráI trục ảo

b) Hệ phi tuyến (2.1) không ổn đinh tại x e nếu có ít nhất một giá trị riêng

của A nằm bên phải trục ảo

c) Sẽ không đưa ra được một kết luận gì về tính ổn định tiệm cận của (2.1)

(Tài liệu tham khảo 1)

Chứng minh:

x f

thành chuỗi taylor ta có:

V(x) = T

x x=



n k k

x

1 2

x P

n k k

k x

x 0(x)

Nếu tất cả giá trị s1, s2, …, sn đều nằm bên tráI trục ảo, hàm P(x) sẽ xác định

âm Trong lân cận 0, giá trị của đa thức bậc thấp nhất là ba T

2 2 1

x x x

x x

1

x x x

Cả hai hệ này đều cõn bằng tại 0 và tại đú cú cựng mụ hỡnh tuyến tớnh tương đương

2 2 1

x x x

x x

1

x -2 4 2

x

Xỏc định õm trong toàn bộ khụng gian trạng thỏi Trong khi đú, hệ 2 lại khụng

ổn định tiệm cận tại 0 vỡ ngoài điểm 0 nú cũn cõn bằng tại mọi điểm trạng thỏi khỏc cú x1=0, do đú nếu bị nhiễu tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm 0 và đưa

Ví dụ 2.2: Minh hoạ định lý 2.1

Quay lại hệ cú mụ hỡnh trạng thỏi dạng phương trỡnh vi phõn Lorenz đó được sột đến ở vớ dụ 2.1 là:

2 1

2 3 1

1 2 1

) 26 (

) (

3

u x x x

x x x

u x x

x x

0 3 3

0 1

u~=A1 x~+Bu~

Det(sI - A1)=(s+1)(s2+4s-75)

Khụng phải là đa thức Hurwits(cỏc hệ thống khụng cựng dấu) và cũng khụng

cú nghiệm trờn trục ảo nờn tất cả cỏc nghiệm của nú sẽ khụng cựng nằm bờn trỏi trục ảo Vậy hệ Lorenz khụng ổn định tại x e1

Tương tự từ mụ hỡnh tuyến tớnh tương đương tại x e2 và x e3 của hệ:

5 1 1

0 3 3

0 0

0 1

5 1 1

0 3 3

0 0

0 1

u~= A3 ~x+Bu~

Với det(sI-A2)=det(sI-A3)= s2+5s2+29s+150

Khụng phải là đa thức Hurwits cũng khụng cú nghiệm trờn trục ảo nờn hệ Lorenz khụng ổn định tiệm cận tại x e2 và x e3

Ví dụ 2.3: Minh hoạ định lý 2.1

dt

x d

) , (x u

x

2 3 1 1

0

2 3 1 1

2

x x x

2 1

Tương ứng là cỏc mụ hỡnh tuyến tớnh tương đương cựng những kết luận từ đú:

1) tại x 1: 

dt

x d

A2,3 x+b u=08 11 x+10 u

 det(sI-A2,3)= s2+s+4 không phải là Hurwits nên hệ không ổn định

tiệm cận x 2 và x e3

Phân tích ổn định nhờ đa tạp trung tâm

Quay lại hệ phi tuyến cân bằng tại 0, mô tả bởi (2.1) và trong trường

~

x

x

x f

và 0(x) có bậc thấp nhất là 2

x

Ở đây ta chỉ sét trường hợp mà định lóy 4.1 chưa giải quyết được là ma trận A

có các giá trị riêng nằm trên hoặc nằm bên trái trục ảo

Không mất tính tổng quát ta giả sử răng ma trận A có cấu trúc:

A=   

A

0 A

- A0  Rmxm Là ma trận con của A có tất cả các giá trị riêng nằm trên trục ảo

- A-  R(n-m)x(n-m) là ma trận con bên của A

vậy thì khi viết tách vector x Rnthành x= 

), , ( 0

2 1 2 2 2

2 1 1 1 0 1

x x x

A dt

d

x x x

A dt

nằm bên trái trục ảo

Định nghĩa 2.1: Một đa tạp M được gọi là đa tạp trung tâm nếu:

b) Bất biến địa phương với hệ (4.5), tức là tại mọi x0 M luôn tồn tại

khoảng thời gian T để nghiệm x (t) của hệ (4.5) nằm trong M khi

Hình 2.1: Mô tả đa tạp trung tâm

Theo định nghĩa như trên thì một hệ phi tuyến (2.5) có thể có nhiều đa

tập trung tâm (Hình 2.1b) minh hoạ một số đa tập trung tâm M có thể có của

Im(A) thành tổng của hai phần tử thuộc không gian vector con Im(A1), Im(A2) Ngoài vì Im(A1)  Im(A2)= 0

cũng là duy nhất (tổng trực tiếp):

Im(A)= Im(A1)  Im(A2)

định giữa x1 và x2 Ký hiệu quan hệ đó là vector hàm

a) Vì M chứa gốc toạ độ nên hiển nhiên có (0 )=0

b) Do tiếp tuyến với M tại 0là không gian vector Im(A1) nên mọi vector cột

của

0 1



) , (

02 1 22

2

x x x

A dt

x





[ A0x1+01(x1,(x1))]

Định lý 2.2 xác nhận sự tồn tại của đa tập trung tâm M, đồng thời là

tiền đề cho việc xây dựng vector hàm x2=(x1), mô tả M phục vụ việc xác

tính ổn định của hệ (2.64) sau này Chú ý rằng vector hàm x2=(x1) không

bắt buộc phải khả vi vô hạn lần nhƣ f (x ) hay nhƣ 01(x1,x2) và 02(x1,x2)

Tiếp tục, khi thay vector hàm x2=(x1) mô tả đa tập trung tâm M vào

mô hình hệ thống ta thu đuợc



dt

d x1

A0x1+01(x1,x2)=A0x1+01(x1,(x1)) (2.7)



dt

) , (

02 1 2

2 x x x

A A x2 02(x1,x2)

(2.8)

Rõ ràng do tất cả các giá trị riêng của A- nằm bên trái trục ảo, nên hệ con

(4.8) là ổn định tiệm cận tại x2=0 Bởi vậy:

Định lý 2.3: Hệ phi tuyến bậc n (2.5) ổn định tại gốc toạ độ x =0 khi

và chỉ khi hệ con (2.7) của nó với với bậc m<n cũng ổn định tại gốc toạ độ tại

1

x =0

Hơn nữa vì hệ con (2.8) là ổn định tiệm cận, nên mọi quỹ đạo trạng thái

t

hệ con (2.7) nơi quy tụ đó chính là đa tập trung tâm M Nói nói cánh khác,

sau một thời kỳ “quá độ”, hệ (2.5) sẽ “ xác lập” trên đa tập trung tâm M

(Tài liệu tham khảo 1)

Theo định lý 2.3 thì việc sét tính ổn định tại gốc toạ độ 0 của hệ phi

tuyến bậc n có mô hình không bị kích thích (2.5) sẽ đƣợc chuyển về việc sét

tính ổn định cũng tại gốc toạ độ 0 của hệ có bậc thấp hơn m  n là (2.7) vấn

đề còn lại là xác định vector hàm x2=(x1) cho đa tập trung M

Để xác định hàm x2=(x1), định lý 2.2 cung cấp cho ta những thông tin đầu tiên Tuy nhiên các thông tin đó là chưa đầy đủ, phần cũng là do một

hệ (2.5) có thể có nhiều đa tập trung Bởi vậy, trong ứng dụng, người ta thường chỉ áp dụng phương pháp đa tạp trung tâm cho một số hệ (2.5) mà ở

đó số các giá trị riêng của ma trận A nằm trên trục ảo là không nhiều, tức là

ma trận A có chiều m nhỏ, hay bậc của hệ con (2.7) tương ứng của nó là thấp cũng như số các phần tử của vector x1 là tương đối ít

Một cách làm khác cũng hay được sử dụng là xấp xỉ x2=(x1) dưới dạng đa thức có bậc thấp nhất của x1 phải là hai Lý do cho điều đó là:

1 ) (

1 1

x

x

m n







Thì có thể thấy k(x1) =x1TQk=x1, k=1,2 …n-m (2.9)

Là một đa thức có bậc thấp nhất của x1 bằng hai, thoả mãn hai diều kiện vừa

thêm điều kiện c) của định lý 2.2 Nói cách khác, điều kiện c) là điểm bắt đầu

Xét riêng trường hợp m=1 và n =2, tức là hệ phi tuyến (2.5) với ma trận

trận A chỉ có một giá trị riêng nằm trên trục ảo, giá trị riêng còn lại nằm bên

trái trục ảo Vậy thì với các phần tử của ma trận trận A là những số thực, bản

than hai ma trận trận A0 , A- cũng phải là số thực (A0  R, A-  R), hơn nữa

A0 =0 Hệ con bậc m với mô hình (4.7) trở thành:



dt

d x1

01(x1,x2) = 01(x1,(x1)) (2.10) Trong đó x1, x2, (x1) đã được thay bằng những kí hiệu không có dấu

Từ phương trình (2.12) hoặc (2.14) bằng cách cân bằng hệ số bậc thấp

nhất theox1 của hai vế có chứa q, Hoặc q1, q2 và bỏ qua những thành phần bậc

cao của x1 ta sẽ được các tham số q, Hoặc q1, q2 việc bỏ qua các thành phần

đa thức bậc cao của x1 không làm thay đổi kết luận sau này về tính ổn định tại

gốc toạ độ 0 của hệ thống, vì để sét tính ổn định, ta chỉ cần xét x trong lân cận 0 là đủ (có x1 , x2 là tương đối nhỏ)

sẽ làm thay đổi xấp xỉ mô hình của hệ thống, tức là không có được thực sự

3 1 2 1 1

cx x bx x d

dx

x x ax d

Suy ra mô hình hệ con (4.10) có cùng tính ổn định tại 0 là

3 1 2 1 1

x x x x d

dx

x x x d

x thì theo kết quả của ví dụ 4.6, tính ổn định của

hệ tại 0 tương đương tính ổn định tại 0 của

(x1) là thành phần bù sai lệch chưa được xác định và ngoài

1

nó, nên cũng chưa thể xác định đựơc tính ổn định của hệ Bởi vậy cần phải có một đa tạp trung tâm x21=(x1) khác thích hợp hơn

2 1

x x

x x

1

x x

Sau khi đã sử dụng đa tập trung M với vector hàm x2 = (x1) mô tả có

thể dưa bài toán xét tính ổn định tai 0 của hệ phi tuyến bậc n với mô hình

không bị kích thích (2.5) về bài toán tương đuơng là xét tính ổn định cũng tại

0 của hệ bậc m<n với mô hình (2.7) thì việc thực hiện giải bài toán đó sẽ trở

nên đơn giản hơn nhiều Lý do một phần là vì hệ con (2.7) có bâcn m thường

nhỏ nhiều so với hệ gốc (2.5) ban đầu, phần nữa mô hình hệ (2.7) có rạng rất

tiện cho việc khảo sát tính ổn định như các ví dụ 2.4, 2.5 và 2.6 đã minh hoạ

Định lý 2.4: Giả sử hệ phi tuyến bậc n (2.5) cân bằng tại 0 với ma trận A chỉ

có một giá trị riêng nằm trên trục ảo (m=1), các giá trị riêng còn lại đều nằm

bên trái trục ảo Vậy thì với đa tạp trung tâm x2 = (x1), mô hình hạ bậc (2.7)

a) Hệ (2.5) sẽ ổn định tiệm cận tại 0 khi a<0 và P là số lẻ

b) Hệ (2.5) s ẽ không ổn đ ịnh tại 0 khi a>0 ho ặc a<0 và P là số ch ẵn

c) Không kết luận được gì nếu a=0

Ta không sét đến trường c) vì khi đó hàm bù sai lệch O (x1) là chưa được xác định Khi a0 thì do Op

(x1) tiến về 0 nhanh hơn bản thân p

x1 nên trong lân cận gốc toạ độ, quỹ đạo trạng thái của hệ con (2.15) sẽ có dạng của

p

x1 cho ở hình 2.2 Ứng với những trường hợp khác nhau như a>0, a<0 hoặc p

là số chẵn hãy số lẻ chiều của quỹ đạo trạng thái được xác định từ điều hiển

2.2 Thiết kế bộ điều khiển

Theo kết quả của định lý 2.1 (tài liệu tham khảo 1), hệ phi tuyến (2.1)

ổn định tiệm cận Lyapunov tai xe khi và chỉ khi mô hình tuyến tính tương

đương tại x e của nó là (2.3) có giá trị riêng của ma trận A nằm bên trái trục ảo, tức là khi và chỉ khi (2.3) là ổn định Nếu mô hình tuyến tính tương đương (2.3) không ổn định, ta có thể áp dụng các phương pháp thiết kế bộ điều khiển