Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng nói riêng đề giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài toán “qwÿ tích” giúp cho quá trình thực

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA: TOAN

DANG THI THUY

UNG DUNG PHEP DONG DANG DE

GIẢI BÀI TOAN QUY TICH TRONG

HINH HOC KHONG GIAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyén nganh: Hinh hoc

HÀ NỘI - 2012

TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA: TOAN

DANG THI THUY

UNG DUNG PHEP DONG DANG DE

GIAI BAI TOAN QUY TICH TRONG

HINH HOC KHONG GIAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyén nganh: Hinh hoc

Người hướng dẫn khoa học

Th.s NGUYEN VAN VAN

HA NOI - 2012

LOI CAM ON

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn — người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Thùy

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này hoàn toàn do sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn

Hà nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Đặng Thị Thùy

MUC LUC A-MO) DAU oosesssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssesssssssssssssssssssssssnessssssesssnessssesssees 1

B-NỘI DŨỮNG << 5< 5< TT 0000000050000 66 00 3 Chương 1: Cơ sở lý luậnn s 5 5- <5 5 5 E5 99 1 0908308595080 050 3

1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian 2-27255+c+2s+<<cz 3

1.2 Phép biến hình afin - 25252 2x2 EEE211 112121 711111111121 21212 xe 4

KAONG GAN 13 2.3 Một SỐ ví dụ ccc HH HH Hư 14

2.4 Bài tập đề nghị 55-521 1221212212122121211212112121121211212112121212121 2 xe 31

TAL LIEU THAM KHẢO . 2 22°222£ES22£EEESez£E2Eeeservvzezsrre 34

A-MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học có một vị trí rất quan trọng trong Toán học Nó là một môn học

có tính hệ thống, chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác

của Toán học Do vậy, Hình học được coi là một môn học khó, đặc biệt là việc học hình học không gian cũng như học các phép biến hình trong không gian

Việc vận dụng các phép biến hình nói chung cũng như phép đồng dạng nói riêng đề giải quyết các bài toán hình học trong không gian, đặc biệt là bài toán “qwÿ tích” giúp cho quá trình thực hiện trở nên đơn giản, dễ hiểu mà

không phải khi nào phương pháp thông thường cũng giải quyết được

Vì vậy từ niềm đam mê và cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Văn Vạn, tôi đã quyết định chọn đề tài: “Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài này nhằm:

Củng có lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ hơn

và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán

Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng vào giải một số bài toán quỹ

tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng

Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích của hình học không gian

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong không gian

Nghiên cứu về ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lí luận, sách giáo khoa, sách giáo trình, sách tham khảo và một số

tài liệu liên quan

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc khóa luận gồm: Chương I: Cơ sở lý luận

Chương 2: Ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

B - NOI DUNG Chuong 1:CO SO LY LUAN

1.1 Đại cương về phép biến hình trong không gian

Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất trên tập 7 là phép biến hình

1.1.2 Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến hình

Định nghĩa: Giả sử ƒ và g là hai phép biến hình của tap T da cho, fi M L>M' và g: M'L>M'' Khi đó, tích của hai phép biến hình ƒ và g cũng

được gọi là phép biến hình Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích

của ƒ và ø, kí hiệu g s ƒ: MI_>M}'' hoặc gƒ): MI—> M``

Tóm lại tích của hai phép biến hình là một phép biến hình nhận được từ

việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến hình đã cho

Cho n phép biến hình f;, ƒ„ ƒ; ƒ, với n>2 Tích của n phép biến hình

đã cho là một phép biến hình # được thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xác

định và được kí hiệu là #= ƒ; 9 ƒ;; ° ƒ„; 9 o ƒ 9 ƒ¡ Trong đó ta thực hiện ƒ;

trước, rồi tiếp đến là ƒ, ƒ» ƒ„

1.1.3 Phép biến hình đảo ngược

Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ: ME > M'” Nếu tồn tại một phép biến

hình g:M '> M thì ta nói ø là phép biến hình đảo ngược của ƒ

1.1.4 Phép biến hình đối hợp, phép biến hình đồng nhất

Định nghĩa: Phép biến hình ƒ của tập 7 được gọi là phép biến hình đối

hợp nếu ƒ= 1đ, khi đó ta có ƒ và phép biến hình nghịch đảo của ƒlà ƒ ` trùng nhau

Định nghĩa: Phép biễn hình ƒ của tập 7 biến mọi điểm M trong không gian thành chính nó được gọi là phép biến hình đồng nhất

1.1.5 Điểm bất động (điểm kép), hình bắt động, hình kép

Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ của tập 7 Điểm M của tập 7 được gọi

là điểm bắt động (điểm kép) của phép biến hình ƒ nếu ƒM) = M

Định nghĩa: Cho phép biến hình ƒ của tập 7 Hình H bộ phận của tập 7

được gọi là hình kép của phép biến hình ƒ nếu f(H) = H

Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình ƒ nếu ta có mọi

điểm của H bắt động đối voi f

1.1.6 Hai hình trùng nhau

Ta nói hai hình không gian (F,) và (F;) trùng nhau nếu mọi điểm của

hình này đều thuộc hình kia và ngược lại Hai hình trùng nhau được kí hiệu

là (F¡) = (F;) Nếu mọi điểm của (F;) đều thuộc (F;) thì ta nói (F;) là hình

con cua (F>)

1.2 Phép bién hinh Afin

1.2.1 Dinh nghia:

Phép biến hình biến đường thẳng thành đường thắng được gọi là phép

biến hình afin hay gọi tắt là phép afin

1.2.2 Định lí:

Định lí I.I: Một phép biến hình ƒ của không gian được gọi là một phép

afin khi và chỉ khi nó biến 3 điểm thắng hàng thành 3 điểm thắng hàng và

biến 3 điểm không thắng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng

1.2.3 Tính chất:

Tinh chat 1: Phép afin bién mat phang thanh mat phang

Tính chất 2: Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng Tính chất 3: Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thắng định hướng

Tính chất 4: Phép afin biến véc tơ tổng thành tổng các véc tơ tương ứng

Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

1.2.4 Định lí về sự xác định phép afin

Định lí 1.2: Trong không gian cho hai tứ dién ABCD va A’B’C’D’ khi đó

tồn tại duy nhất một phép afin bién A, B, C, D 1an luot thanh A’, B’, C’, D’

1.2.5 Hai tứ diện cùng chiều, ngược chiêu

Định nghĩa: Trong không gian hai tứ diện ABCD và A'BˆC}*D' được gọi

là cùng chiều (ngược chiều) nếu hai góc tam diện A.BCD và A’.B’C’D’ cing hướng (ngược hướng)

1.2.6 Phân loại phép aƒïn

Định nghĩa: Phép afin trong không gian được gọi là phép afin loại I nếu

hai tứ diện xác định nó là cùng chiều Ngược lại ta gọi là phép afin loại 2

Tinh chat 1: Phép đẳng cự là phép afin

Tính chất 2: Phép đẳng cự biến mặt cầu thành mặt cầu

1.3.3 Định lí về sự xác định

Định lí 1.3: Trong không gian cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' bằng

nhau, khi đó tồn tại duy nhất một phép đẳng cự biến A, 8, C, D lần lượt thành

Tích hai phép dời hình là phép dời hình

Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình

Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép

phản chiếu Phép đảo ngược của dời hình ( phản chiếu ) là phép đời hình (

phản chiếu )

1.3.6 Hai hình bằng nhau, hai hình đối xứng

Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình

bằng nhau Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối xứng

1.4 Một số phép đẳng cự đặc biệt

1.4.1 Phép tịnh tiến

a) Định nghĩa: Trong không gian cho véc tơ via một véc tơ hằng (tức là

véc tơ có hướng, phương, modun không đổi) Phép biến hình trong không

gian biến điểm # thành điểm M’ sao cho MM'=y được gọi là phép tịnh tién theo véc tơ v va ki hiệu T :ME>M"',v được gọi là véc tơ tịnh tiến

b) Tính chất:

Tinh chat 1: Phép tịnh tiến 7 là một phép dời hình bảo tồn phương

M'=T.(M)< MM"=y

Tính chất 2: Phép tịnh tiến 7 không có điểm bất động và có biến đổi

ngược Nếu v=0 thi phép tinh tién T là một phép đồng nhất

Tính chất 3: Nếu A”, 8' là ảnh của A, 8 qua 7; thì AB= A''

Tính chất 4: Phép tịnh tiến T biến 4 điểm nằm trong một mặt phẳng thành 4 điểm nằm trong mặt phẳng

1.4.2 Phép đối xứng qua tâm

4) Định nghĩa: Trong không gian cho trước một điểm O Phép biến hình

trong không gian biến điểm M thành điểm M’ sao cho OM '= -OM được gọi

là phép đối xứng qua tâm Ó và kí hiệu Đạ: M L> M', O được gọi là tâm đối

xứng

b) Tính chất:

Tính chất 1: Phép đối xứng Đọ là phép phản chiếu, là phép đối hợp và có

Ó là điểm bắt động duy nhất

Tinh chat 2: Néu A’, B’ la anh cua A, B qua Dg thi A'B'=—AB

Tính chất 3: Phép đối xứng Đọ biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.3 Phép đối xứng qua một đường thẳng

a) Dinh nghĩa: Trong không gian cho trước một đường thẳng (4) Phép

biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm 3° sao cho (4) là đường

trung trực của đoạn Ä⁄M' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng và kí

hiệu Đự;: M > M ', đường thắng (d) được gọi là trục đối xứng

Tính chất 3: Phép đối xứng Dia) biến bốn điểm cùng nằm trong một phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.4 Phép đối xứng qua mặt phẳng

a) Định nghĩa: Cho trước một mặt phẳng (œ) Phép biến hình trong không gian biến điểm # thành điểm 4 sao cho (œ) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM”' được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng và kí hiệu Dia):

M +> M', mat phang (a) dugc goi la mat phang déi xứng

b) Tinh chất:

Tinh chat 1: Phép đối xing Dcqy 1a phép phản chiếu, là phép đối hợp và

mặt phẳng (ø) bất động duy nhất

Tinh chat 2: Néu A’, B' là ảnh của A, B qua D(a) thi A’B’=AB

Tính chất 3: Phép đối xứng Da) biến bốn điểm cùng nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.4.5 Phép quay quanh một trục trong không gian

a) Định nghĩa: Trong không gian cho đường thắng (đ) và góc phẳng

định hướng Ø Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M’

sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:

i) Cac diém M va M’ cing nằm trong mặt phẳng (œ) vuông góc với

đường thắng (4) tại điểm O

I)OM = OM'

iii)Nếu chiều dương của mặt phẳng (z) là chiều quay của vặn nút chai

tiến theo chiều dương của trục (đ) thì (OM ',OM) =Ọ

Thì gọi là phép quay trong không gian quanh trục (đ), góc quay Ø

Kíhiệu: Q(/,Ø)hoặc Q7: M L->M'

b) Tỉnh chất:

Tinh chat 1: Phép quay Q’ la phép doi hinh va truc quay (d) 1a đường thắng bắt động của phép quay

Nếu gy =180° thi phép quay 1a phép đối xứng qua (4)

Tính chất 2: Phép quay quanh (d) là phép đối hợp khi và chỉ khi

@=k.1800

Tinh chat 3: Néu A’, 8' là ảnh của A, B trong Q? thi A’B’=AB

Tính chất 4: Phép quay quanh (d) bién bén diém cing nằm trong một

phẳng thành bốn điểm cùng nằm trong một mặt phẳng

1.5 Phép đồng dạng

1.5.1 Phép đồng dạng

a) Định nghĩa: Phép biển hình trong không gian biến cặp điểm M, N

thành cặp điểm M', N' tương ứng sao cho M°N' = k.MN (k là một hằng số

dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k va ki hiéu Z,, k 1a tỉ số

ABCD, A’B’C’D’ sao cho

duy nhất phép đồng dạng biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm

A’, B’,C’, D’

Chứng minh:

Trên tia 4'B', A'C”, A'D" tương ứng lấy cac diém B,,C,,D, sao cho

10

A'B, =AB,A'C, = AC,A'D, = AD,BC, = BC, B,D, = BD,C,D, = CD Suy ra

tứ diện ABCD bang ti dién A'B,C,D

Từ đó theo định lý về sự xác định phép dời hình, tồn tại duy nhất phép dời

g, sao cho ø: AL> A',g:BL> B.,g:Cr>C,g:Dr> D,

Thực hiện tiếp phép vị tự tâm A' tỉ số k, sao cho Vi :A'>A,, Vi :B.> B,

Phép đồng dạng Z,ñược gọi là phép đồng dạng thuận hay nghịch nếu nó

là phép afin loại I hay loại 2

1.5.2 Phép vị tự

a) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm O và số thực k#0 Phép

biến hình trong không gian biến méi M thanh diém M thoa man OM'=kOM được gọi là phép vi tu tim O, tỉ số k va ki higu V(O,k) hoac Vo

11

Định nghĩa 1: Trong không gian cho trước một đường thẳng (đ) và một

số k>0 Phép biến hình trong không gian biến điểm M thành điểm M' sao cho IM'= kIM, trong đó ' là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (4) được gọi là phép co — dãn về (4) Kí hiệu C(,k):M > M"'

Định nghĩa 2: Cho trước một mặt phẳng (#) và một số & >0 Phép biến

hình trong không gian biến điểm A⁄ thành điểm A⁄' sao cho HM '=kHM, trong đó H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (Ø) được gọi là phép co —

dãn về (œ) Kí hiệu C(,k): M E> M"

Néu k >1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mot phép dan

Nếu k <1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mét phép co

Néu k =1 thi C(a,k), C(d,k) 1a mot phép déng nhat

Dinh ly I.6: Trong không gian cho hai đường thang (d), (d’) va một số k>0 Khi đó, tích của hai phép co - din C(d,k)va C(d',k) véi hai truc (d), (đ') vuông góc với nhau và cắt nhau tại Ø là một phép vi tu tam O, ti 86 k

Chung minh:

Ta chọn hệ trục toa d6 Oxy ma đường thắng (4), (đ') là các trục tọa độ

Với mỗi điểm M(x, y), C(d,k) bién M thanh M,(x,ky), C(d',k) bién

M, thanh M,(kx,ky)

Vậy tích của hai phép co — dãn đó bién diém M thanh Ä⁄„ thỏa mãn điều

kiện OM, =kOM

Định lý 1.7: Cho ba mặt phẳng (Pñ).CP).(P) đôi một vuông góc với

nhau và một số & >0 Khi đó, tích của ba phép co - dan C(F,k),C(P,,k),

C(P,,k) là một phép vị tự

Chứng mình: tương tự định lý 1.6, bạn đọc tự chứng minh

1.5.3 Dạng chính tắc của phép đồng dạng

12

eDinh li 1.7:

Trong không gian tích của một phép dời hình và một phép vị tự tý số hoặc theo thứ tự ngược lại là một phép đồng dạng theo tỷ số & Phép đồng dạng là thuận hay nghịch tùy thuộc theo k âm hay dương

Ngược lại, mọi phép đồng dạng tỷ số k trong không gian luôn có thế

được phân tích thành tích của một phép dời hình và một phép vị tự hoặc theo thứ tự ngược lại mà tâm vị tự là tùy ý, tỷ số vị tự là k hoặc —k tùy theo phép

Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong không gian nếu không là phép

vị tự thì có thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép

quay quanh trục và một phép vị tự

Chuong 2: UNG DUNG PHEP DONG DANG DE GIAI BAI TOAN

QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Bài toán quỹ tích

2.1.1 Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của các điểm # có tính chất 7 (hay

tập hợp các điểm M có tính chất 7) khi và chỉ khi nó chứa các điểm có tính

chất 7

2.1.2 Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất 7 là

một hình (H) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

a)Phẩần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình (H)

b)Phẩần đảo:Mọi điểm thuộc hình (H) (hoặc hình (H')) đều có tính chất

Giới hạn quỹ tích (nếu có)

Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta rút ra kết luận: Quỹ tích những

Phương pháp chung: Đề tìm quỹ tích của điểm M”, ta sử dụng phép đồng

dạng thích hợp Z, :Ä⁄ E›> M', mà điểm M⁄ thuộc hình (H) đã biết trước nên

điểm M' thuộc hình (H') là ảnh của hình (H) qua phép đồng dạng

Ví dụ I1: Cho hai đường thẳng (d) va (d’) chéo nhau và vuông

góc với nhau Với mỗi điểm A thuộc (d) ta xác định hình chiễu B của

A trên (d') và điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng (œ) vuông góc với (d°) Tìm quỹ tích điểm C khi A

thay đổi trên (d)

= hình chiếu B của A lên (đ”) là giao điểm của (đ') và (a)

Do (d’) va (a) cé dinh nén 8 cố định với mọi Ae(đ).